Tài liệu hoàn chỉnh với tất cả các dạng bài tập chuyên sâu toán 10 ( gồm bài tập cơ bản và trích đề thi đại học). Đây là bộ tài liệu giúp các bạn tự học hoặc các giáo viên dạy thêm có thể tham khảo. Với tài liệu này tôi đã giúp các bạn không biết gì về toán sau khi tự luyện có thể hoàn thành tốt các bài kiểm tra với số điểm cao.
BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 PHẦN ĐẠI SỐ Chương 1: Mệnh đề-Tập hợp §1 Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề −mệnh đề chứa biến a) Mệnh đề Mệnh đề lôgic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai Ví dụ 1: -1- a) Góc vng có số đo 800 (là mệnh đề sai) b) Số số nguyên tố (là mệnh đúng) c) Hôm trời đẹp ! (không mệnh đề) d) Bạn có khỏe khơng ? (khơng mệnh đề) Ví dụ 2: Trong câu sau đậy câu mệnh đề? Nếu mệnh đề xác định xem mệnh đề hay sai a) Khơng lối này! b) Bây giờ? c) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm 1946 d) 16 chia dư f) 2003 không số nguyên tố e) số vô tỉ Chú ý: + Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh mệnh đề + Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12” + Một câu mà chưa thể nói hay sai chắn sai, khơng thể vừa vừa sai mệnh đề Ví dụ: “Có sống Trái Đất” mệnh đề b) Mệnh đề chứa biến Những câu khẳng định mà tính đúng-sai chúng tùy thuộc vào giá trị biến gọi mệnh đề chứa biến Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x số thực Khi đó: P(2) mệnh đề sai, P(1/2) mệnh đề Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không P phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu Mệnh đề P sai sai P Chú ý: Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Ví dụ: P: “là số vơ tỉ” Khi mệnh đề phát biểu : “khơng P phải số vô tỉ” “là số hữu tỉ” Mệnh đề kéo theo +Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” mệnh đề kéo theo +Kí hiệu P⇒Q + Mệnh đề kéo theo sai P Q sai * P⇒Q phát biểu “P kéo theo Q”, “P suy Q” hay “Vì P nên Q” Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề P : “ Tứ giác ABCD hình chữ nhật “ Q : “ Tứ giác ABCD hình bình hành “ P⇒Q: “ Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật tứ giác ABCD hình bình hành “ Q⇒P “ Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD hình chữ nhật “ * Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng : P⇒Q P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) P(x) -2- điều kiện cần để có P(x) Q(x) Mệnh đề đảo-Mệnh đề tương đương a) Mệnh đề đảo: Cho mệnh đề P⇒Q Mệnh đề Q⇒P gọi mệnh đề đảo P⇒Q b) Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương, + Kí hiệu P⇔Q +Mệnh đề P⇔Q P⇒Q Q⇒P sai trường hợp lại ( hay P⇔Q hai P Q sai) Các cách đọc khác: P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q Điều kiện cần đủ để có P(x) có Q(x) Ví dụ 1: Xét mệnh đề A: “36 chia hết cho chia hết cho 3”; B: “36 chia hết 12” Khi đó: A đúng; B A⇔B: “36 chia hết cho chia hết cho 36 chia hết 12” Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC tam giác có ba góc tam giác có ba cạnh nhau” mệnh đề gì? Mệnh đề hay sai? Giải thích Xét P:” Tam giác ABC tam giác có ba góc nhau” Q:” Tam giác có ba cạnh nhau” Khi P⇒ Q đúng; Q⇒P Vậy P⇔Q Các kí hiệu ∀ ∃ " ∀x∈ X :, P( x) ∀x ∈ X Kí hiệu ∀ (với mọi): ” “” ∃ ∈X Kí hiệu ∃ (tồn tại) :“” “ ” ∀xx∈ X :, P( x ) Phủ định mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” P(x) mệnh đề “∃x∈X, ” Phủ định mệnh đề “ ∃x∈ X, P(x) ” P(x) mệnh đề “∀x∈X, ” Ví dụ: Các biết tính đúng/sai mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định * a) ∀n ∈ , n -1 bội Ă b) x , x2-x+1>0 Ô c) x , x2=3 n d) ∃ n ∈ , + số nguyên tố e) ∀n ∈ , 2n ≥ n+2 * Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng : P⇒Q P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) P(x) điều kiện cần để có P(x) Q(x) -3- * Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu P⇔Q +Mệnh đề P⇔Q P⇒Q Q⇒P sai trường hợp lại ( hay P⇔Q hai P Q sai) Các cách đọc khác: P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q Điều kiện cần đủ để có P(x) có Q(x) Bổ sung: Trong lơgic tốn, phân ngành lơgic học, sở ngành tốn học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ mệnh đề lôgic khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa Chú ý:(mệnh đề) Trong thực tế có mệnh đề mà tính sai ln gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thời gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai Ví dụ: Sáng bạn An học Trời mưa Học sinh tiểu học nghỉ hè Ta thừa nhận luật sau lôgic mệnh đề: Luật trùng: Mỗi mệnh đề phải đúng, sai; khơng có mệnh đề không không sai Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề vừa lại vừa sai Có mệnh đề mà ta khơng biết (hoặc chưa biết) sai biết "chắc chắc" nhận giá trị Ví dụ: Trên Hỏa có sống Chú ý:(mệnh đề kéo theo) Trong lôgic, xét giá trị chân lí mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề a, b Không phân biệt trường hợp a có phải nguyên nhân để có b hay khơng, mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ví dụ: "Nếu mặt trời quay quanh trái đất Việt Nam nằm Châu Âu" ← mệnh đề Vì hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" b = "Việt Nam nằm Châu Âu" sai "Nếu tháng 12 có 31 ngày năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai Chú ý:(mệnh đề tương đương) Hai mệnh đề a, b tương đương với hoàn tồn khơng có nghĩa nội dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lí (cùng sai) Ví dụ: "Tháng 12 có 31 ngày trái đất quay quanh mặt trời" mệnh đề "12 trưa hơm Tuấn có mặt Hà Nội vào anh thành phố Hồ Chí Minh" mệnh đề sai "Hình vng có góc tù 100 số nguyên tố" mệnh đề -4- -5- Giải tốn suy luận Ví dụ:Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vịng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan Inđônêxia Trước thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đốn sau: Dung: Singapor nhì, cịn Thái Lan ba Quang: Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư Trung: Singapor Inđơnêxia nhì Kết quả, bạn dự đốn đội sai đội Hỏi đội đạt giải mấy? Giải: Kí hiệu mệnh đề: d1, d2 hai dự đoán Dụng q1, q2 hai dự đoán Quang t1, t2 hai dự đốn Trung Vì Dung có dự đốn dự đốn sai, nên có hai khả năng: Nếu G(d1) = G(t1) = Suy G(t2) = Điều vơ lí hai đội Singapor Inđơnêxia đạt giải nhì Nếu G(d1) = G(d2) = Suy G(q2) = G(q1) = Suy G(t2) = G(t1) = Vậy Singapor nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba cịn Inđơnêxia đạt giải tư Số vơ tỉ Trong tốn học, số vơ tỉ số thực số hữu tỷ, nghĩa biểu diễn dạng tỉ số a/b , với a, b số nguyên Ví dụ: Số thập phân vơ hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001 Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 Số lơgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536 Nếu số hữu tỉ có biểu diễn thập phân hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ: 1/2=0,5) vơ hạn tuần hồn (số thập phân vơ hạn tuần hồn, ví dụ:1/11= 0.090909 ) số vơ tỉ có biểu biễn thập phân vơ hạn khơng tuần hoàn Căn bậc hai tất số nguyên Ta chứng minh bậc hai số nguyên phải số nguyên số vô tỉ Lấy số nguyên r Thí dụ, r = Trong hệ nhị phân, = 102 Vậy, trên, = m/n thì, hệ nhị phân: m2 = 102 n2 m, n số nguyên Trường hợp n = khơng thể xảy ra, ta Lập luận trên, vế trái có số chẵn số lại có số lẻ số cuối Vậy giả thiết số biết số nguyên (trong hệ nhị phân) cuối, vế phải hữu tỉ phải sai Với số nguyên r bất kỳ, chứng minh hệ r-phân: m2 = 10r n2 m, n số nguyên Nếu n = m2 = 10r = r, số nguyên Cịn n ≠ thì, trên, số bình phương hệ r-phân phải có số chẵn số (trong hệ r-phân) cuối Do đẳng thức vế trái có số chẵn số cuối vế phải lại có số lẻ số cuối Vậy số hữu tỉ Số phương Số phương hay cịn gọi số hình vng số ngun có bậc số ngun, hay nói cách khác, số phương bình phương (lũy thừa bậc 2) số -6- nguyên khác Ví dụ:4 = 2²; = 3²; 1.000.000 = 1.000² Số phương hiển thị diện tích hình vng có chiều dài cạnh số nguyên -7- §1 MỆNH ĐỀ 1.1 Xét xem câu sau, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến? a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x0 f) ∃ ∈ : x − ¡ ++1>0 1.16.Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai x ¡ a) ∀ ∈ : 1= x ¡ b) ∀ ∈ : =1 ¢ c) ∀ n ∈ : n x2 ∈ ¡ ∀ b) x , |x| < x< ∈ c) x N, n2+1 không chia hết cho ∀ ∈ Ô d) a , a2=2 1.20 Cỏc mnh sau hay sai? Nếu sai, sửa lại cho đúng: A: ” 15 số nguyên tố” ¢ B: a , 3a=7 Ô C: a ∈ , a ≠3” 1.21 Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song b) Nếu hai tam giác chúng có diện tích c) Nếu số tự nhiên tận chữ số chia hết cho d) Nếu a+b > hai số a b phải dương 1.22 Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Nếu hai tam giác chúngcó góc tươmg ứmg b) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc c) Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d) Nếu a=b a2=b2 1.23 Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần đủ” “Tam giác ABC tam giác tam giác ABC tam giác cân có góc 600” 1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) mệnh đề sau để mệnh đề đúng: a) Để tứ giác T hình vng, điều kiện cần đủ có bốn cạnh b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần đủ số chia -9- hết cho c) Để ab>0, điều kiện cần hai số a b điều dương d) Đề số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ chia hết cho 1.25 Các mệnh đề sau hay sai? Giải thích a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Hai tam giác chúng đồng dạng c) Một tam giác tam giác vng có góc(trong) tổng hai góc cịn lại d) Một tam giác tam giác có hai trung tuyến có góc 600 BÀI TẬP THÊM Xét (sai)của mệnh đề sau : a/ Hình thoi hình bình hành b/ Số khơng nghiệm phương trình : x2 − 5x + = c/ ( > ) ∧ (3 < π) d/ ( > ) ∨ (42 < 0) e/ (5.12 > 4.6) ⇒ (π2 < 10) f) (1< ) 11 Ô3 l số nguyên tố Phủ định mệnh đề sau : a/ < x < b/ x ≤ −2 hay x ≥ c/ Có ∆ABC vng cân d/ Mọi số tự nhiên không chia hết cho e/ Có học sinh lớp 10A học yếu hay f/ x< hay x=3 g/ x ≤ hay x>1 h/ Pt x2 + = vô nghiệm pt x+3 =0 có nghiệm Xét (sai)mênh đề phủ định mệnh đề sau : a/ ∀x ∈ R , x2 + > b/ ∀x ∈ R , x2 − 3x + = c/ ∃n ∈ N , n2 + chia hết cho d/ ∃n ∈ Q, 2n + ≠ e/ ∀a ∈ Q , a2 > a f) ∀x ∈ R , x2 +x chia hết cho 4.Dùng bảng (sai)để chứng minh: AΛB ⇒A ∨ B = A a) A⇒ B = b) A ∧ (B ∨ A ) = ( = ∧ B )B ( A ∧ C ) C∨ B A A ∧ ∨ c) d) B SUY LUẬN TOÁN HỌC Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện đủ" a/ Nếu hai tam giác chúng đồng dạng b/ Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với c/ Nếu a + b > a > hay b > d/ Nếu số tự nhiên có chữ số tận số chia hết cho e/ Nếu a + b < hai số phải âm Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện cần" a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo b/ Nếu hai tam giác có góc tương ứng c/ Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d/ Nếu a = b a3 = b3 -10- sin2a, sin4a Tìm điều kiện m d) Cho sina + cosa = m với - ≤ m ≤ Tính sin2a, sina, cosa Khơng dùng bảng tính MTĐT, tính: A = sin 11π 5π cos ; 12 12 B = sin π 5π 7π 11π sin sin sin 24 24 24 24 C = cos100.cos500.cos700; D = cos200.cos400.cos800 E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400 G = tan π 5π + tan 12 12 F = sin100.sin500.sin700; H = tan50tan550tan650 H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300 cos800 5π π 7π2π 5π 3ππ MK = cos sin = cos - cos sin+ cos ; sin 12 12 24 724 10 Chứng minh định lý tang tam giác ABC: A-B tan a-b ; = a + b tan A + B B-C tan b-c ; = b + c tan B + C C-A tan c-a = c + a tan C + A 11 Chứng minh đẳng thức sau: sin(a + b + c) ; cosa.cosb.cosc a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = sin(a + b)sin(a - b) tan tan tan a c) tan a -2a - b = = tana.tan3a; 2 - tan 2a.tan a cos acos b b) 1π 3π cos2a cosa - sina d) 4cos x - 2cos2x coscos4x - 5= 0; cos 7π = 0; =h) sin20 0.sin40f) sin x0 + cos 4.x = + cos4x ; sin80 = g) + cos + e) 29 19 sin2a cosa + sina + 4 12) Chứng minh rằng: -170- cos(x + y) π 1 x + 2y = = cos(x - y) 2 a) Nếu tanxtany = b) x, y hai góc nhọn thỏa mãn điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 3sin2x 2sin2y 13 CMR: a) Nếu cos(a + b) = sin(a + 2b) = sina; b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb tan(a + b) = 2tana 14 CMR: ∆ABC ta có: 4cos A B C cos cos ; 2 b) cosA + cosB + cosC = + 4sin a) sinA + sinB + sinC = A B C sin sin ; 2 c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC; d) cos2A + cos2B + cos2C = – 2cosAcosBcosC; e) sin2A + sin2B + sin2C = + 2cosAcosBcosC; f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; cot g) bcosB + ccosC = acos(B – C) A B C A B C + cot + cot = cot cot cot ; 2 2 2 h) i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1; k) (a - b) cot C A B + (b - c) cot + (c - a) cot = 0; 2 l) S = 2R2sinAsinBsinC; n) tan A B B A CB C C A tan r = 4Rsin tan + sin ;.tan = 1; m) + tan sin tan 2 2 22 2 B a - b A tanA tan C sin(A q)p)r = p.tan p.sin - B) ; ; = 2 o) ac = sinC ; B C cos cos 2 2pr r v) + = acosA ++ cosB + ccosC; u) = cosA bcosB cosC; R R x) (b -w) )cotA + (c - aA)cotB +B + tan2C ; = 0; c 4R + r = tan + tan (a - b )cotC p 2 -171- r A p B C C s) tR = = sin asin sin ;; ) sin sin B C 4R4cos A2 r) r = cos cos ; A 2 sin ( ) 2 z) y) = = (a2sin2B + b sin 2A S S a - b )sinAsinB ; 2sin(A - B) 15 CMR: ∆ABC ta có: a) cotA + cotB + cotC = (a c) ) + b2 + c2 R ; abc b) p < p - a + p - b + p - c ≤ 3p; 1 1 1 + + ≥ 2 + + ; p-a p-b p-c a b c d) Nếu a4 = b4 + c4 2sin2A = tanB.tanC 16 Nhận dạng tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sau: a) sinA = 2; sinBcosC sinBsinC = c) a + b3 - c3 a = a -b-c b + c3 - a = a2 b) b + c - a ; cos(A + C) + 3cosB = ( ) 3 f) S = 2bcosC= a R sin A + sin B cosBcosC = + sin C d) b + c - a ; e) ; 3 =a sinB + sinC= a - b - c a C b + c - a g) sinA = ; ah) b - c + tanB = 2cot ; − tanA cosB + cosC l) sinA + sinB + sinC = cosA + cosB + cosC k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; 17 Chứng minh điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông là: a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0; c) sinA + sinB + sinC = + cosA + cosB + cosC 18 Chứng minh ∆ABC vuông khi: a) b c a + = ; cosB cosC sinBsinC b) cot B a+c sinA + cosB = ; c) = tanA b sinB + cosA -172- i) cosAcosBcosC = ; d) cos(B - C) = 2bc ; a2 e) S = a 2sin2B; f) h a = 2p 2sin B C sin 2 19 Chứng minh ∆ABC vuông cân khi: a) c-b C-B = tan ; c+b b) sin(B - C) = b2 - c2 a2 20 Chứng minh ∆ABC cân khi: a) a.tanA + b.tanB = (a + b)tan c) A+B ; sinA + sinB = tan(A + B); cosA + cosB d) b) 2tanB + tanC = tan BtanC; cos A + cos B = (cot A + cot B); 2 sin A + sin B sin A sin B C e) = (sinA + sinB)cot ; cosA cos g) sin i) A B B A cos3 = sin cos ; 2 2 f) cot C 2sinAsinB = ; sinC h) (p - b) cot C B = ptan ; 2 + cosB 2a + c C = ; k) a + b = tan (atanA + btanB); l) asin(B - C) + bsin(C - A) = sinB 4a - c 21 Tam giác ABC có đặc điểm thỏa mãn biểu thức sau: b) sin B tanB = ; sin C tanC 2cosA + cosC sinB c) + ; 2cosB + cosC sinA a) (b2 + c2)sin(C - B) = c2 – b2)sin(C + B); (b - c) - cos(B - C) d) = b - cos2B 22 CMR: ∆ABC tam giác thỏa mãn điều kiện sau: a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C; b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0; a d) b + c = + h a -173- c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); 23 Tam giác ABC có đặc điểm thỏa mãn điều kiện sau: a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; c) a3 = + c3; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0; d) sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B f) (1 + cotA)(1 + cotB) = 2; g) sin2A + sin2B = 5sin2C; tanx - tan h) A, B, C nghiệm x = phương trình: y = sinx cosx + cosx sinx 24 Tìm giá trị lớn hàm số: (ĐH An ninh 1998) 25 CMR: ba góc A, B, C ∆ABC thỏa điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C A, , C ba góc nhọn (ĐH An ninh 1998) 3A CB tan ≤ tan < 1 + tan = 42 22 26 Cho ∆ABC có góc thỏa CMR: (ĐH Bách khoa Hà nội 1998) cot c⇔ A C + cot = 2 27 Cho ∆ABC CMR: 2b = a + (ĐH Cần thơ 1998) 29 CMR: tất tam giác nội đường tròn cho trước tam giác có diện tích lớn (ĐH Cơng đồn 1998) 30 Cho ∆ABC CMR: -174- cotA + cotB + cotC = (ĐH a + b2 + c2 4S Dược hà nội 1998) 31 Cho ∆ABC Tìm giá trị lớn biểu thức: M = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH Luật Hà nội 1998) sin(A - B) a - b = sinC c2 32 Cho ∆ABC CMR: (ĐH Ngoại ngữ 1998) 33 CMR: ∆AC ta có: 1 1 A B C A B C + + = tan + tan + tan + cot cot cot sinA sinB sinC 2 2 2 (ĐH Ngoại thương 1998) b + c ≤ a sinA + sinB + sinC = + 34 Cho ∆ABC cho: Tính góc ∆ABC (ĐH Ngoại thương 1998) 35 CMR: ∆ABC ta có: cos A B C 3 A B C + cos3 + cos3 ≤ + cos + cos + cos 3 4 3 3 (ĐH Quốc gia Hà nội 1998) 36 a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức: 1 1 1 + + = + + cosA cosB cosC sin A sin B sin C 2 CMR: ∆ABC b) ∆ABC sinB = 2cosA sinC có đặc điểm gì, góc thỏa mãn biểu thức: (ĐH An ninh 1999) -175- 37 CMR: điều kiện cần đủ để ∆ABC có hệ thức: 1 + + - ( cotA + cotB + cotC ) = sinA sinB sinC (ĐH Bách khoa Hà nội 1999) 38 CMR: Điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông là: + cos2A + cos2B + cos2C = (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999) 39 ∆ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC) CMR: ∆ABC tam giác (ĐH Dược Hà nội 1999) tan A+B 40 CMR: ∆ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b) ∆ABC cân (ĐH Hàng hải 1999) 41 Tìm giá trị nhỏ iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + (ĐH Giao thông vận tải 1999) -176- ... Mệnh đề đảo-Mệnh đề tương đương a) Mệnh đề đảo: Cho mệnh đề P⇒Q Mệnh đề Q⇒P gọi mệnh đề đảo P⇒Q b) Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương, + Kí hiệu P⇔Q +Mệnh đề P⇔Q... sai, P(1/2) mệnh đề Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không P phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu Mệnh đề P sai sai P Chú ý: Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Ví dụ:... hạn có chu kỳ thay đổi: 0 .101 0 0100 0100 0 0100 00 0100 00001 Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37 510 58209 74944 59230 78164