Nâng cao chất lượng học tập môn Toán lớp 10 và 11 thông qua hình thức Seminar “Các chuyên đề Toán 10, 11 trong đề thi Đại học, Cao đẳng”
PHầN Mở ĐầU Lý chn tài: Năm học 2012-2013 năm học tiếp tục thực vận động “Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, vận động “Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo”; với phong trào xây dựng "Trường học thân thiện, học sinh tích cực" Nghị TW khóa VIII khẳng định "Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào q trình dạy học" Do q trình dạy học địi hỏi thầy giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức, đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp 10, 11 tơi nhận thấy học sinh trang bị nhiều kiến thức khả áp dụng hiểu biết vấn đề hạn chế Nhằm kiểm tra, khai thác tính sáng tạo, tích cực tăng cường khả hoạt động nhóm học sinh Tơi mạnh dạn nêu cách học chủ động, có hiệu học sinh đặc biệt học sinh lớp chọn thông qua SEMINAR với chủ đề: NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP MƠN TỐN LỚP 10 VÀ LP 11 THễNG QUA HèNH THC SEMINAR Các chuyên đề toán 10, 11 đề thi đại học, cao đẳng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh lớp 11B8 Trường THPT Bỉm Sơn –Thanh Hóa Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu ti l hỡnh thc: SEMINAR Các chuyên đề toán 10, 11 đề thi đại học, cao đẳng PhÇn 2: néi dung Phương pháp tiến hành: 1.1 Sau học sinh học xong phần đại số tổ hợp, em có nhìn sơ nội dung cấu trúc đề thi đại học chương trình lớp 10+11 Giáo viên chia nhóm học sinh nội dung “seminar” sau: Nhóm : PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ STT Họ tên Tng Th Ngc Anh Nguyn Hà Anh Nguyễn Mai Anh Lê Mai Anh Nguyễn Việt Cng STT 10 Họ tên Tống Xn Cường Hồng Văn Cường (nhóm trưởng) Đinh Tiến Đạt Lê Xuân Dương Đào Xuân Giang STT 10 Họ tên Trn i Hip Trnh Xuân Hưng Nguyễn Lan Hương Hà Trung Kiên Vũ Thuỳ Linh (nhóm trưởng) STT 10 Hä tên Lờ Trng Nam V Thanh Nga Lờ Th Quỳnh Nga Phan Như Ngọc Lê Thị Nguyệt STT Họ tên Lờ Th Sn (nhúm trưởng) Mai Khả Tâm Hoàng Văn Thắng Mạc Anh Thanh STT Họ tên Nguyn Kim Oanh Nguyễn Anh Tuấn Nguyễn Tiến Thành Nhóm : HỆ PHƯƠNG TRÌNH STT Hä vµ tªn Mai Trường Giang Nguyễn Thị Hà Phạm Thị Thanh Hằng Phùng Thị Thu Hằng Nguyễn Thị Hậu Nhóm : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC STT Họ tên V c Linh Nguyn Th Linh Nguyễn Quang Minh Hồng Tuấn Minh (nhóm trưởng) Tống Cơng Minh Nhóm : ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRỊN STT Họ tên Phm Th nh Nguyệt Lê Thanh Phong Nguyễn Văn Phong Vũ Hồng Quân Trần Anh Quang Nhóm : ĐẠI SỐ TỔ HỢP STT Họ tên Nguyn Ngc Thảo Trương Thị Thoa Nguyễn Huy Tiến Vũ Thị Quỳnh Trang Trần Thị Hải Vân (nhóm trưởng) 1.2 Giáo viên hướng dẫn: • Tập hợp lựa chọn (mỗi học sinh sáng tạo bài) theo hướng dẫn dạng cách thức sáng tạo (thời gian 10 ngày) • Mỗi nhóm có nhóm trưởng phân cơng cho học sinh chịu trách nhiệm nội dung bài, phân công thành viên làm nội dung cụ thể (thời gian ngày cho nhóm biên tập đánh máy) • Giáo viên hướng dẫn cách trình bày nội dung gồm: • Lý thuyết • Trình bày sơ đồ tư chuyên đề • Các tập theo chủ đề C, Học sinh thảo luận trước lớp vào tự chọn: * Thời gian thực vào tự chọn: • Nhóm 1: tiết • Nhóm 2: tiết • Nhóm 3: tiết • Nhóm 4: tiết • Nhóm 5: tiết Tổng số tiết thực hiện: 17 * Mỗi nhóm cử thành viên lên thuyết trình nội dung giải đáp ý kiến thắc mắc * Để hấp dẫn sau hồn thành việc thuyết trình cho chun đề lớp bầu chọn học sinh thuyết trình ấn tượng để trao thưởng (kinh phí GV phụ trách) * Giáo viên đóng vai trị tổng biên tập cố vấn: Hướng dẫn thuyết trình cách thức làm, tập tương ứng Giải đáp thắc mắc tổng hợp vấn đề Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ LÍ THUYẾT CƠ BẢN I Phương trình vơ tỉ : 1) Phương trình vơ tỉ dạng g ( x) ≥ ∗ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) f ( x ) ≥ 0; g ( x ) ≥ 0; h ( x ) ≥ ∗ f ( x) + g ( x) = h ( x) ⇔ f ( x) + g ( x) + f ( x) g ( x) = h ( x) Chú ý: - Nếu phép tương đương trước có dấu dương - Nếu f(x), g(x), h(x) có nhân tử chung (x + x0) thực nhóm, ý dấu biểu thức ab = a b a, b ≥ ab = −a −b a, b ≤ Một số dạng phương pháp thường dùng: ∗)α f ( x ) + β f ( x ) + γ = Đặt y = ∗)α f ( x ) + β a f ( x ) + b + γ = f ( x) ≥ Đặt y = f(x), điều kiện y *) PT có chứa f ( x ) , g ( x ) f ( x ) g ( x ) = co n s t = k *)PT có chứa f ( x ) ± g ( x ) k Đặt y = f ( x ) ≥ ⇒ g ( x ) = y f ( x ) g ( x ) Đặt y = f ( x ) ± g ( x ) → t2 − α f ( x ) g ( x ) = Hoặc đặt a = f ( x ) ⇒ b = g ( x) f ( x ) g ( x ) = a.b *) f ( x ) = ( ax + b ) g ( x ) (f(x), g(x) hàm số bậc hai bậc ba) Đặt y = g ( x ) Pt có ẩn: x y biệt thức ∆ số phương II Bất phương trình vơ tỉ: g ( x ) ≥ 0, f ( x ) ≥ ∗) f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔ f ( x) ≤ g ( x) ∗) f ( x ) ≥ 0; g ( x ) ≥ 0; h ( x ) ≥ ∗) f ( x ) ≥ g ( x ) + g ( x) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) + h ( x ) + g ( x ) h ( x ) g ( x ) ≤ 0, f ( x ) ≥ f ( x) ≥ g ( x) ⇔ {g ( x ) ≥ 0; f ( x ) ≥ g ( x ) } *) Chú ý:- Chỉ bình phương vế chúng có nghĩa khơng âm - Khơng xét BPT hệ Các ví dụ VD Giải phương trình: 2, x − − x − = x − 1, x − x − = x + 11 VD Giải phương trình: 1, x − x + x − x = x + 3x 2, x + x − = x + x − x 3, x − + x − x + 10 = x − 4, x − 24 + x − x − 12 = x − x + 12 + x − VD Giải phương trình: 1, x + x + x + + x x + = 44 2, x − 12 x + x − x + = 3,5 + − x + x = x − x 4, x + x + x − = 33 − x VD Giải phương trình: 1, ( x − 1) x + x + = x − x VD Cho PT: − x + x − ( x − 2) ( − x ) 3, x + = 5 x − = m Tìm m để pt có nghiệm phân biệt VD Giải phương trình: 1, x − x + x − x + = 2, x − x + − = VD Giải phương trình: 1, − x + 28 x − 52 = x − + − x 2, x − x + 24 = 3x − + − x VD Giải phương trình: 1, x + x + + x + x − = x − x + x − x + 2, x + + x x + = x x + 3x + VD Giải phương trình: 1, x − − x − = x + 2, x + − x − = x − 3, x + x + x + x = x + x + x + x 4, x − + x + = x + + x + VD 10 Giải phương trình: 1, x + x − + x + 15 + x = − x 3, x + 3x + = + x + x − 5, 3x ( − x ) x +1 + x − x +1 2, x − + x + = x 4, x + + x + 3x + = x + + x3 + = ( x − 1) ( x − 1) VD 11 Giải phương trình: 1, x − x + = x − x + + x + 2,3 x − x − = x + x − x − 3,3 x − + x = x − x 4,3 x − x + + x − x + x − = VD 12 Giải bất phương trình: 1, x + ≤ x − 2, 3x − x > x − 3, x + x + ≤ x + 4, x − x + ≥ x + 5, x + 10 ≤ 3x + 6, − x − x < x + 7, x + x − 11 > x + 8, x + 15 x + 27 < x + VD 13 Giải bất phương trình: 1, x2 + x + ≥1 x+3 2, x+2 x + 3x − ≥1 3, x2 − 4x + < 3x − VD 14 Giải bất phương trình: 1, x2 − 4x − ≥ x − 4x − 3, x − x + 10 + x + ≤ 2, x − x − + − x ≥ x2 4, + x2 + x2 − − x2 x2 − 6+ x < x+ 6+ x VD 15 Giải bất phương trình: 1, x + ≥ x + + − x 2, x + ≥ x − + − x 3, 10 + x < − x + x + 4, x > x − + x + Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH I, Hệ gồm phương trình bậc nhất,một phương trình bậc cao *Hệ có dạng Ax + By + C = f(x;y)=0 (1) (2) * Phương pháp - Từ pt (1) rút x theo y y theo x, thay vào pt (2) ta dược pt bậc x hay y - Giải pt bậc cao với x y II, Hệ đối xứng loại I f ( x; y ) = g ( x; y ) = - Ta có hệ f ( x; y ) = f ( y; x) g ( x ; y ) = g ( y; x ) Trong - Phương pháp x + y = S xy = P h( S ; P ) = +, Giải hệ k ( S ; P) = ( ĐK: S2 ≥ 4P) +, Đặt S, P nghiệm ( kiểm tra ĐK) +, Nghiệm hệ nghiệm phương trình : X2 – S.X + P = III, Hệ đối xứng loại II f ( x; y ) = f ( y; x ) = - Dạng (I) (1) (2) * Nếu (x ; y ) nghiệm hệ (y ;x )cũng nghiệm hệ - Phương pháp +, (1) -(2) ta được: (x- y).h(x; y) = x = y ( II ) f ( x; y ) = (I) ⇔ h( x; y ) = f ( x; y ) + g ( x; y ) = ( III ) IV, Hệ đẳng cấp - Phương pháp: +, Tìm để thoả mãn x= (y= 0) +, x ≠ (y ≠ 0) Đặt : y = tx (x = ty) Ax + Bxy + Cy = D +Chú ý với hệ 2 A ' x + B ' xy + C ' y = D ' *Có thể khử hệ số tự đưa pt dạng : Ax2 + Bxy + Cy2 = tính x theo y y theo x *Có thể khử x2 y2 cộng trừ vế với vế pt hệ, sau dó rút y theo x x theo y thay vao hệ V, Hệ phương trình khơng mẫu mực - Là hệ biến đổi tương đương biến đổi hệ từ đầu đến cuối - Tuỳ tốn ta : Đặt ẩn phụ biến đổi tương đương đánh giá Các ví dụ VD Giải hệ phương trình: 4 x + y = 1, 2 3 x + xy − y + = x − y − xy + x + y = 2, 2 x + y =1 VD Giải hệ phương trình: x − xy + x − y − = 1, x − = y ( y + 2) x + y + xy − x + y − 42 = 2, 2 y − x + xy − y + x − 10 = VD Giải hệ phương trình: y − xy + xy − x + y − 15 = 1, 2 x + 2x = y − y x + y = my − mx + xy VD Cho HPT: x − xy − x =12 + 3m x + y + y = xy + x 2, x y + xy + y = 29 1, Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt 2, Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt VD Giải hệ phương trình: x ( x + 5) + y ( y + 5) + xy + 3( x + y )( xy + 1) = x + y − xy = − 1, 2, 2 x + y + xy = x + y − xy = x + y = 2a − VD Cho hệ Tìm max : P = xy 2 x + y = 11a − 14a + x3 + y = m VD Tìm m để hệ: 2 có nghiệm : x + y = − x + y + xy + = x + y = 2m + VD Cho hệ phương trình 2 x + y + xy = m + 10m + 19 Tìm max, của: P = 3xy - 2x2 - 2y2 VD Giải hệ phương trình: 2 x3+ y + x y =1 1, 2 y + x + xy =1 x3 − y x − x = 2, y − x y − y =0 x + x + xy = 3, y + y + x y =1 x2 + y = m VD 10 Cho hệ phương trình: y + x=m 1, Giải hệ m = VD 11 Giải hệ phương trình: x − 3xy + y =15 1, 2 8 x + xy + y = 2, Tìm m để hệ có nghiệm 2 x3 + y =1 x + xy = x − y 3, 3 2 2 2 x + x y + xy + y = x y + xy = 11x y − x y 2, VD 12 Giải hệ phương trình: 2x 3 y − = y + x + y 1, x + x + 3y = x + y − VD 13 Giải hệ phương trình: x( x + 2)( x + y ) = 15 1, x + 3x + y = x x + xy − x − y = y x + y 1 − y = y − x − y 2, 3, 2 x − x − y = x − y + y + x + y = 4x + y − ( x + y )( x − y ) = − 2, x + x − y =1 VD 14 Giải hệ phương trình: x − y = x x − xy 1, x − xy − y = − x − y x − y = x + y + xy + 3x − y 2, 2 x + y + = x − y − xy VD 15 Giải hệ phương trình: − xy − x y = x + x y 1, ( x + y )2 + + 1= x − y x + 32 − x = y − 2, x + 32 − x = 24 − y VD 16 Giải hệ phương trình: x + y + x + ( x + x)( y + x) + x + y = 1, 2 2 x y + x + x + xy − 9( x + y ) = xy + y + = 2, 2 3 x − y + xy + x = VD 17 Tìm m cho HPT sau có nghiệm: x − + y −1 = x − + y + = 2m 2 x + y + x + y = 1, 2, 3, x + y = 4m 3 x + y = 3m xy ( x + 2)( y + 2) = m 2 x − ( y + 2) x + xy = m VD 18 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : ( §H.KTQD.11) x + x − y = − 2m VD 19 Cho hai số thực x,y thỏa : x2 + xy + y2 = Tìm GTLN, GTNN A = x2 - xy + y2 VD 20 Cho số thực x, y thay đổi thỏa: ( x + y ) + 4xy ≥ 4 2 2 Tìm GTNN A = ( x + y + x y ) − ( x + y ) + x; y; z ≥ T×m GTNN cđa A = 3x − 11x − yz + xy + xz + 2021 x+ y+ z =3 VD 21 Cho VD 22 Cho a, b dơng thoả món: 6(a + b )ab = 5a 2b + (a + b )(a 2b + 4) T×m GTNN cđa biĨu thøc: P = a b2 a b + − + ÷+ 2013 b a b a Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I LÝ THUYẾT Phương trình đưa bậc 2, bậc – Dạng: at + bt + c = hoặc: at + bt + ct + d = t ∈ { sin x; cos x; tan x; cot x} – Các cơng thức sử dụng: • Cơng thức nhân đơi, nhân ba • Cơng thức hạ bậc • Cơng thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng – Phương pháp: • Đưa hàm cung • Nếu có cung đặc biệt làm cung đặc biệt Phương trình với sinx cosx – Dạng: a sin x + bcos x = c (1) (với a + b ≥ c2 ) – Phương pháp: (1) ⇔ a a +b 2 sin x + ⇔ sin ( x + α ) = b a +b 2 cos x = c a +b 2 a b ; sin α = cos α = ÷ 2 a +b a +b c a + b2 π π – Trường hợp đặc biệt: • sin x + cos x = 2sin x + ÷ = 2cos x − ÷ 3 6 π π • sin x ± cos x = sin x ± ÷ = ± cos x m ÷ 4 4 π π • sin x − cos x = 2sin x − ÷ = −2cos x + ÷ 3 6 Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc – Dạng: a sin x + bsin x.cos x + ccos x + d = hoặc: a sin x + bsin x.cos x + csin x.cos x + d cos x = – Các cơng thức sử dụng: • + tan x = cos x • + cot x = sin x – Phương pháp: Xét cos x = • Nếu cos x = không thoả mãn: Chia hai vế cho cos x (1) ⇔ a tan x + b tan x + c = d + d tan x ⇔ (a − d) tan x + b tan x + c − d = • Nếu cos x = thoả mãn: (1) ⇔ cos x = ∨ a sin x = d Phương pháp hạ bậc – Cơng thức hạ bậc: • 2sin x = − cos 2x • 4sin x = 3sin x − sin 3x • 2cos x = + cos 2x • 4cos3 x = cos3x + 3cos x – Phương pháp: Nếu có mũ chẵn thường hạ bậc Phương pháp nhóm nhân tử chung – Các cơng thức sử dụng • Cơng thức nhân đơi, nhân ba • Cơng thức hạ bậc • Cơng thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng • sin x = (1 − cos x)(1 + cos x) • ± sin 2x = ( sin x ± cos x ) • cos x = (1 + sin x)(1 − sin x) Phương trình chứa ẩn mẫu – Dạng: F ( sin x; cos x; tan x; cot x ) G ( sin x; cos x; tan x; cot x ) – Phương pháp: • Đặt điều kiện • Biến đổi phương trình dạng đơn giản • Kết hợp điều kiện : Phương pháp hình học; Phương pháp nghiệm nguyên Các ví dụ VD Giải phương trình sau: 1, tan x − − 3tan x − =0 cos 2x + tan ( x + π / ) tan ( x + 3π / ) 2, cos 2x + cos3x + cos 4x + cos5x + cos 6x + cos 7x + cos8x + cos9x + cos10x = tan x + sin x − cos 2x.tan x = 4cos x VD Giải phương trình sau: 3, 1, cos 4x − cos 2x − tan x.tan 2x + =0 sin x − cos x + 2, sin x + cos x = sin x − sin 2x + cos x 3, sin8x + sin 4x = cos6x − cos 2x 4, 5, cos x − sin 2x = cos 2x + sin x 6, π cos x + ÷ = 2cos x 4 + + +4=0 sin x cos x sin 2x VD Giải phương trình sau: 1, sin x − 4cos x + 2cos x + sin 2x + 4cos x = 2, sin x + 3cos x − 5cos x + = 3, cos x.(cos x + 1) + sin x + cos x = cos x + 4, 3sin 2x − sin x.(15cos x + 8sin 2x − 20cos x − 4sin x + 5) = VD Giải phương trình sau: cos x + 2sin x.cos x − = sin x + cos x + 1, 2, 2sin 2x = cos 2x + 3sin 4x sin x + cos x 3, cos 2x + cos x + 2sin 2x.(2cos x − 1) = 4, 3sin x − sin x.cos x − 2cos 2x = VD Giải phương trình sau: 1, 4sin 3x.(3 − 2cos x) − 2cos 4x.(4sin 3x + 2cos x) + 3cos x + cos3x = 17 π π 2, 3sin x − sin 3x + sin x.sin x + ÷+ sin 2x.cos x − 2cos x − ÷ = 2 VD Giải phương trình sau: 1, −14sin x + 20sin x − 5sin 2x + 6cos x − = 2, 2cos x − 4cos3 x + 2cos x + sin x + sin 2x + sin 3x = 10 ( ) 3 2 3, tan x − cot x − tan x + cot x − ( tan x − cot x ) + 10 = VD Giải phương trình sau: cos3x − cos x − sin x = 1, cos x + sin x 2cos x + 2, 3cos3 x − sin x − 6cos x + 5sin x = 3, 2sin x − cos 2x + 6sin x − = 4, 6sin x + sin 2x = −3 − VD Giải phương trình sau: 1, 6sin x.cos x − 5sin x.cos x − sin x = sin x − cos x 2, 10sin x.cos x − 2sin x.cos x − 5sin x = 4sin 2x − cos x − 3, 3cos x.sin 2x − 2cos x.sin x − sin x − 2cos x = VD Giải phương trình sau: 1, cos x + cos x + sin 2x = sin 2x 2, cos 4x + 2sin 2x − = 3, + sin x + cos x + cot x = 4, tan x.sin x + cot x.cos x = −1 cos x + sin x VD 10 Giải phương trình sau: 4cos3 x + 2sin x + sin 2x − 4cos x − =0 sin 2x − 2cos 2x − sin 2x cos3x + 5sin x + 19cos x − 24 =2 3, 4, =0 (1 − sin x)(1 + sin x) − cos x − VD 11 Giải phương trình sau: 1, cos3 x − 4cos x.sin x + 3sin x.cos x + sin x − 4cos x + = π 3 2 2 2, 32cos 6x + 16cos 2x − 5sin 6x + ÷+ 16sin 9x + 24sin x − 43 = 2 3, 4cos x − sin 3x.(sin x + cos x) + cos3x sin x + − 3(sin 3x + 1) − sin x − cos x − 3cos x = 1, + 2sin x + sin x − cos x = 2, ( ( 3 4, 2sin x − cos x = sin 2x + ) ) cos x − ( − ) sin x Chuyên đề: ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN A ĐƯỜNG THẲNG r 1, PT ∆ qua A(x0;y0) có VTPT n (a;b) ⇒ ∆:a(x-x0)+ b(y-y0)=0 2, ∆:ax+by+c=0; d ⊥ ∆ ⇒ d:bx-ay+c’=0 d//∆ ⇒ d: ax+by+c’=0 rr a.b r r r r 3, a (xa;ya); b (xb;yb) ⇒ cos( a ; b )= r r a b r r 4, a + b r r a + b , dấu “=” xảy ⇔ r r k 0: a = kb 5, Tìm M d: (MA+MB)min; 11 *A, B phía MA+MB AB ⇒ ycbt M=AB d *A, B khác phía Lấy C đối xứng A qua d ⇒ M:MA=MC ⇒ MA+MB=MC+MB ⇒ ycbt M=CB d 6, Tìm M d: MA − MB max *A, B phía MA − MB AB ⇒ ycbt M=ABd *A B khác phía.Lấy C đối xứng Aqua d ⇒ :MA=MC ⇒ MA − MB = MC − MB ≤ BC ycbt M=CB d 7, Tìm M uuuur uuuuu r uuuuu r : E= x1 MA1 + x MA +…+ x n MA n F= (x1 MA12 + x MA 2 +…+ x n MA n ) max ( x1 +x + + x n > ) uuu r uuu r uuur r PP: Tìm I cho x1 IA1 + x IA + …+ x n IA n = E= x1 +x + + x n MI F= (x1 +x + + x n ) MI + x1.IA12 + x IA 2 +…+ x n IA n ⇒ ycbt MI M hình chiếu I lên d 8, Khi có phân giác thường lấy đối xứng, Khi có trung tuyến hay trung điểm hay sử dụng tọa độ trung điểm, tọa độ trung điểm Khi có đường cao sử dụng tính chất vng góc Khi có trung trực sử dụng tọa độ trung điểm, tính đối xứng tính vng góc Khi có trọng tâm ∆ dùng CT tính tọa độ trọng tâm (1/3tổng tọa độ đỉnh ∆) B ĐƯỜNG TRỊN 2 1, PT(C) có tâm I(a;b); bán kính R: (C): ( x − a ) + ( y − b ) = R *(C): x + y + 2ax + 2by + c = Tâm I(-a;-b); R= a + b − c 2, Đường tròn tiếp xúc với d A tâm đường trịn nằm đường ∆ d A 3, PT tiếp tuyến qua A(xo;y0) (C) tâm I, bán kính R 4, PTTT chung (C) (C’): Các ví dụ(1) (về đường thẳng) VD 1: Cho ∆ABC có trung tuyến d1:x+3y-8=0, đường phân giác d2: x+y-2=0 xuất phát từ A C(1; 2) Tìm phương trình cạnh? VD 2: Cho ∆ABC có C(0;1), trung tuyến qua A d:x+y+1=0, AB= Tìm B? VD 3: Cho ∆ABC có d1: x-y+1=0; d2: 2x+y+2=0 đường cao trung tuyến xuất phát từ A Cho C(1;1) Tìm B? VD 4: Lập phương trình cạnh ∆ABC biết A(-1;1) đường cao qua đỉnh B;C d1: 2x+y+12=0, d2: 5x-y-5=0 12 VD 5: Cho ∆ABC biết pt AB: 3x-2y-11=0 Các đường cao qua đỉnh A B d1: x-5y+5=0, d2: x-y-5=0 Lập phương trình cạnh ∆ABC VD 6: Lập phương trình cạnh ∆ABC biết A(3;4) Đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh tam giác d1: 2x+y+1=0 d2: 4x+y-2=0 VD 7: Lập phương trình cạnh ∆ABC biết A(3;4), đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh ∆ABC có pt d1: 3x+y-4=0, d2: 2x+y-3=0 VD 8: Cho ∆ABC có đỉnh A(1;4) Hai đường phân giác góc B C có phương trình d1: x+y-1=0 d2: x+2y+1=0 Viết phương trình cạnh BC VD 9: Viết phương trình cạnh ∆ABC tính SABC? Biết B(2;1), đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh có phương trình ∆1: x-3y+5=0; ∆2: 2x+y+1=0 VD 10: Cho ∆ABC có A(3;9) Có trung tuyến ứng với cạnh huyền AB va AC d1: y-3=0, d1: x-3y+3=0 Xác định đỉnh lại ∆ABC VD 11: Lập phương trình ∆ABC biết B(2;3) Phương trình đường cao hạ từ A trung tuyến từ C là: d1: 3x+y+3=0, d2: x-2y+1=0 VD 12: Cho ∆ABC , trung tuyến AB M(-1;3) Đường cao BH: x+y-1=0 ∆ qua A // BC có dạng x+2y+5=0 Tìm tọa độ đỉnh VD 13: Cho ∆ABC có A(1;2), B(0;2), C(3;4) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình qua điểm H, M, N VD 14: Cho ∆ABC có A(1;2); C(4;-3) đường phân giác xuất phát từ B d:x-y3=0 Lập phương trình cạnh ∆ABC tọa độ điểm B, trọng tâm G ∆ABC VD 15: Cho ∆ABC có B(7;2) phương trình đường trung tuyến AM: 3x-5y+2=0; CN: x+y-3=0 1, Viết phương trình đường trung tuyến xuất phát B tìm tọa độ A C 2, Với A, B, C vừa tìm viết phương trình đường thẳng d chứa đườn phân giác góc A C? 3, Tìm tọa độ điểm M ∈ d cho tứ giác ABMC hình thang VD 16: Cho ∆: x+2y-1=0 Tìm I ∈ ∆ cho I cách d:3x-4y+6=0 khoàng bằnguuur uuu r VD 17: cho d1: x+2y-11=0, d2:3x-y-3=0 M(5,2) Tìm A ∈ d1; B∈ d2 cho MA = 3MB VD 18: Tìm GTNN của: 1, y= x − x + 10 + x − x + 26 2, y= x − x + 13 + x + x + 17 3,y= x − x + 20 + x + x + 26 4, y= x − x + / + x + 3x + / 2 Các ví dụ(2) (về đường trịn) VD 1: Cho phương trình (C): ( x − 1) + ( y + 2) = Viết phương trình tiếp tuyến: 1, qua A(0;1) 2, qua B(3;2) 3, song song với d:3x-4y+1=0 4, vng góc d: 6x-8y+3=0 2 VD 2: Cho đường tròn (C): x + y -2x+4y-4=0 đường thẳng: ∆1:x+y-1=0 ∆2: 2x+2y-7=0 Lập phương trình (C’) có tâm I ∈ (C) (C’) tiếp xúc với ∆1, ∆2 VD 3: Lập phương trình đường trịn nội tiếp ∆ABC biết: AB:6x+y-5=0, AC: 12x-y-4=0, BC: 3x-y+2=0 13 VD 4: Lập phương trình đường trịn nội tiếp A(1;7), B(1;-5), C(-5;1) VD 5: lập đường tròn nội tiếp ∆ biết A(1;3), B(5;2), trọng tâm G(3;1/2) VD 6: Cho (C1): ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = , (C2): ( x + 1)2 + ( y + 1)2 = Viết PTTT chung đường tròn VD 7: Cho (C): x + y -2x+4y-4=0, (C1): x + y -4x-2y-4=0 1, Tìm giao điểm (C)và (C1) 2, Tìm tiếp tuyến chung đường tròn 2 VD 8: Cho (C): x + y -6x-2y+1=0, A(-1,3) 1, Gọi đường thẳng d qua A tiếp tuyến với (C) B, C Lập d tìm tọa độ B, C 2, Tìm SABC VD 9: Cho (C): ( x − 3) + ( y − 2)2 = 16 ; M(5;-2) Gọi T1,T2 tiếp điểm (C) qua M Viết phương trình T1T2 VD 10: Cho đường trịn (C): x + y -4x+2y+1=0 d:2x-3y+1=0 Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d cắt (C) hai điểm M, N cho độ dài MN=2 VD 11: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;2) đường trịn (C) có tâm I(1;5), R=3 1, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A 2, Gọi M.N tiếp điểm Tính độ dài MN VD 12: Với giá trị m độ dài đoạn tiếp tuyến xuất phát từ A(3;5) đến đường tròn (C): x + y -2my = VD 13: Cho (C): ( x − 3)2 + ( y + 1)2 = Cho (C’) có tâm I’ ∈ d:3x+y-2=0 (C’)∩(C)=A,B Cho A(0;1) Tìm (C’) cho AB=1 VD 14: Cho (C): x + y +4x-2y-4=0, d: x - y = cắt (C) B,C A ∈ (C) (≠B,C) H trực tâm ∆ABC Tính AH 2 VD 15: Cho (C): x + y -36y-8=0 có tâm I, dây cung AB A(1;7), d(I;AB)=1 (AB có giao điểm với Ox) Gọi d1 vng góc B, d1 cắt (C) M(M≠B) cho M có xM>0.Tính SIMBH VD 16: Đường trịn (C) qua A(2;3), B(- 4;3), d:x+1=0 tiếp tuyến (C) Viết phương trình (C) VD 17: Tìm ∆ qua M(2;1) cắt (C): ( x − 2) + ( y − 1) = 25 AB=2 VD 18: Cho (C): x + y +4x-2y+1=0 d:x-y-1=0 Tìm M ∈ d cho qua M vẽ đường thẳng tiếp xúc với (C) A B cho góc AMB 600 VD 19: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x + y +6x-2y+8=0 đường thẳng ∆: x+3my-m+2=0 với m tham số Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) điểm phân biệt A, B cho SIAB max, tính SIAB max? VD 20: cho (C): ( x − 1) + ( y − 2) = Cho M(5;2) qua M kẻ tiếp tuyến với (C) P Q uur uuuu r Cho SPMQI=6 Gọi A ∈ IM cho AI = AM Tính SPIQA? Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP I Qui tắc cộng VD1 Từ tỉnh A đến tỉnh B có hai đường Từ tỉnh A đến tỉnh C có đường Hỏi có cách để từ A đến tỉnh khác (Tỉnh A khơng có đường đến tỉnh khác ngoại trừ hai tỉnh B C) 14 VD2 Một người tham quan địa điểm sau: Đi Châu âu: Anh, Đức, Pháp, Hà lan, Thuỵ sỹ Đi Châu Á: Trung quốc, Ấn độ, Ápganitstan, Mông cổ Đi Châu mỹ: Mỹ, Canada, Cuba, Brazil Hỏi người có cách du lịch II Qui tắc nhân VD1 Từ tỉnh A đến tỉnh B có đường, từ B đến tỉnh C có đường Hỏi từ A đến C có cách (phải qua tỉnh B) VD2 Một người có áo sơ mi quần dài Hỏi người có trang phục VD3 Sắp xếp học sinh vào hàng dài Hỏi có cách xếp VD4 Từ chữ số 1,2,…6 Lập số: a) Có chữ số b) Có chữ số khác nhau) Có chữ số khác Nhận xét Quan trọng qui tắc nhân là: Chúng ta biết chia công việc A thành công việc nhỏ Và quan trọng biết xếp thứ tự công việc, nên làm trước, làm sau VD5 Cho chữ số 0,1,2,…5 Lập số a) Có chữ số khác b) Số lẻ có chữ số khác c) Số chẵn có chữ số khác III Phối hợp hai qui tắc đếm Nhận xét Chủ yếu toán phối hợp hai qui tắc cộng nhân Khi cần biết phân chia cơng việc A thành công việc nhỏ cần nhận biết mối quan hệ công việc nhỏ VD1 Cho chữ số 0,1….6 Lập số: a) Có chữ số khác b) Số chẵn có chữ số khác c) Số lẻ có chữ số khác d) Số có chữ sơ khác chia hết cho e) Có chữ số khác chữ số f) Số có chữ số khác chữ số khác g) Có chữ số khác khơng có số VD2 Cho chữ số 1, 2, …5, Lập số thoả mãn: a) Có chữ số chữ số lặp lại hai lần b) Có chữ số có số lặp lại hai lần c) Lập số có chữ số khác Tính tổng tất số VD3 Cho chữ số 0,1,…4,5 Lập số thoả mãn: a) Số tạo thành số chẵn b) Số tạo thành số lẻ c) Số tạo thành không chia hết cho d) Số tạo thành không chia hết cho VD4 (HVBCVT) Từ chữ số 0, 1, …8, lập số có chữ số khác nhau, cho số ln có mặt chữ số VD5 Với chữ số 1, 2, …, lập số có chữ số khác Tính tổng tất số Chứng minh rẳng tổng số chia hết cho VD6.(CĐKTĐN) Có số gồm chữ số khác lập từ số ,2, 3, 4, 5, 7, cho hai chữ số chẵn không đứng liền 15 VD7 (ĐHHH) Có cách xếp học sinh A, B, C, D, E vào nghế dài cho: a) Bạn C ngồi b) Hai bạn A, E ngồi hai đầu nghế VD8.( ĐHTN) Có số gồm chữ số khác cho tổng chữ số số lẻ VD9.( ĐHSPHN) Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, chữ số lặp lại hai lần VD10.( ĐHV) a) Có số gồm chữ sô khác cho tổng chữ số số chẵn b) Có số tự nhiên có chữ số cho số đó, chữ số đứng sau ln lớn chữ số đứng liền trước VD11 (ĐHQGTPHCM) a) Có số chẵn gồm chữ số khác chữ số số lẻ b) Có số gồm chữ số khác có chữ số lẻ chữ số chẵn (chữ số phải khác số 0) IV Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp VD1 Một lớp học có 30 học sinh a) Có cách xếp tất học sinh thành hàng dọc b) Có cách chọn học sinh làm lớp trưởng, bí thư lớp phó c) Có cách chọn học sinh dự hội nghị học sinh giỏi VD2 Trong mặt phẳng cho điểm cho khơng có điểm thẳng hàng a) Có tam giác có đỉnh đỉnh b) Có đường thẳng qua hai đỉnh đỉnh VD3 Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số có chư số chữ số xếp theo thứ tự tăng dần V Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp kết hợp với hai quy tắc đếm VD1 (ĐH Huế) Một lớp học có 30 hs nam 15 hs nữ Chọn hs làm thành tốp ca Hỏi có cách chọn nếu: a) hs chọn b) Số nam nữ c) Đội văn nghệ gồm nữ nam d) Phải có hs nữ VD2 (ĐHYHN) Có nhà tốn học nam, nhà tốn học nữ nhà vật lý nam Lập đoàn cơng tác gồm người cho cần có nam nữ, cần có nhà tốn học vật lý Hỏi có cách VD3 (ĐHTNguyên) Một đội văn nghệ gồm 20 người có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: a) Có người nam người b) Có nam nữ người VD4 (HVCTQGTPHCM) Có 10 hs hs giỏi, hs hs trung bình Chọn ngẫu nhiên nhóm gồm hs Hỏi có cách chọn để: a) Trong học sinh chọn có hs giỏi, khá, trung bình b) Trong học sinh chọn khơng có hs trung bình 16 VD5 Có bi xanh, bi đỏ bi vàng có kích thước khác (các viên bi khác nhau) a) Có cách chon viên bi b) Có cách chọn viên có hai bi đỏ c) Có cách chọn viên bi số bi xanh số bi đỏ VD6 (ĐHQGTPHCM) Có hoa vàng, hoa trắng, hoa đỏ (các khác nhau), chọn để làm thành bó a) Có cách chọn cho có bơng đỏ b) Có bơng trắng VD7 Một lớp học có 25 nam 15 nữ Có cách chọn học sinh cho: a) không phân biệt học sinh b) Có nam nữ c) Nữ nhiều nam d) Có học sinh nam VD8 (HVNH) Trong mặt phẳng cho đa giác T gồm có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh lấy từ 20 đỉnh Hỏi: a) Có tam giác b) Có tam giác có cạnh cạnh T c) Có tam giác có cạnh cạnh T d) Bao nhiêu tam giác khơng có cạnh chung với T VD9 Cho đa giác T gồm có n cạnh nội tiếp đường trịn tâm O Hỏi: a) Có đường chéo b) Tìm số giao điểm đường chéo c) Tìm n biết số đường chéo số cạnh d) Có hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác VD10 (ĐHYHN) Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ cần có nhà tốn học vật lý Hỏi có cách VD11 (HVKTQS) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm công tác địa điểm A, người làm địa điểm B, người làm việc đồn Hỏi có cách phân cơng VI Phương trình bất phương trình VD1 Giải phương trình, bất phương trình sau (n + 1)! a) (n − 1)! = 72 n! = (n − 2)! 20n C n −3 f) n4−1 < An +1 14 P3 b) e) C1 + Cx2 + Cx3 = x x k k k i) (ĐHSPTPHCM) C14 + C14+ = 2C14+1 n! n! c) (n − 2)! − ( n − 1)! = d) n !− (n − 1)! = (n − 1)! y y −1 y −1 y −1 h) ( Ax −1 + yAx −1 ) : Ax : Cx = 10 : :1 j) C7k ; C7k +1; C7k + lập thành CSC VII Nhị thức Niu Tơn Sử dụng công thức tổng quát để xác định hệ số VD1 Cho khai triển (x13+xy)15 a) Tìm số hạng tổng quát khai triển triển c) Tìm hai số hạng đứng khai triển b) Tìm số hạng thứ khai d) Tìm số hạng chứa x25y10 17 n x VD2 Cho biết hệ số hạng tử thứ khai triển nhị thức: x x + ÷ 36 x ÷ Hãy tìm hạng tử thứ tìm hạng tử khơng chứa x n −28 VD3 Cho khai triển x x + x 15 ÷ a) Tìm n biết Cnn + Cnn−1 + Cnn −2 = 79 b) Tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x c) Tìm số hạng đứng khai triển n VD4 Cho biết hạng tử khai triển x + ÷ có hệ số số hạng x liên tiếp cấp số cộng Tìm hạng tử có số mũ x số nguyên VD5 Tìm hạng tử số nguyên khai triển: VD6 Trong khai triển ( 3+ 45 ) 124 ( − 15 ) có hạng tử số nguyên Giải phương trình VD1 Tìm số thực x cho hạng tử thứ khai triển (lg x +1) + 12 x ÷ 200 x ÷ VD2 Tìm giá trị x cho hạng tử thứ khai triển 2log2 x +1 + +2 −1 ;log (3x −1 +1) 84 Tìm hệ số lớn nhỏ khai triển n VD1 Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển ( + x ) có tỉ số k k Cn : Cn +1 = :15 Khi tìm hạng tử có hệ số lớn khai triển VD2 Tìm hệ số lớn khai triển (1+x)n cho biết tổng tất hệ số 4096 10 1 VD3 Trong khai triển + x ÷ thành đa thức : a0+a1x+….+a10x10 Hãy tìm hệ số ak 3 lớn Một số dạng khác VD1 Khai triên S = (x+1)12+(x+1)13….+(x+1)17 = a0+a1x+a2x2+…+a17x17 a) Tìm a0 b) Tìm a12 c) Tìm a15 d) Tìm a17 VD2 Khai triển (x-2)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100 a) Tìm a97 b) T= a0+a1+…+a100 c) S=a0-a1+a2-a3+….+a100 P=a1+2a2+3a3+…+100a100 VD3 Khai triển: (1+2x+3x2)10= a0+a1x+….+a20x20 a) Tìm a1, a20 , a4 b) Tính S = a0+a1+…+a20 Rút gọn chứng minh đẳng thức sử dụng nhị thức Niu Tơn VD1 Tính giá trị biểu thức sau: 1 1) S = C60 + C6 + + C66 2) S = C50 + 2C5 + 22 C52 + + 25 C55 3) S = Cn0 + Cn + + Cnn 1 4) S = Cn0 + 2Cn + 22 Cn2 + + 2n Cnn 5) S = Cn0 − Cn + Cn2 − Cn3 + + (−1) n Cnn 1 6) S = − 2Cn + 22 Cn2 − 23 Cn3 + + (−1) n 2n Cnn 7) S = C20n + C2 n + C22n + C23n + + C22nn 18 8) S = C20n − C2 n + C22n − C23n + − C22nn −1 + C22nn 10) S = C2 n + C23n + + C22nn−1 12) S = 3C2 n + 33 C2n + + 32 n−1 C22nn−1 13) S = C20n + 32 C22n + 34 C24n + + 32 n C22nn 9) S = C20n + 2C2 n + 22 C22n + 22 C23n + + 22 n C22nn 11) S = C20n + C22n + C24n + + C22nn 1 k Cn + + (−1) k k Cn + + (−1) n n Cnn 3 3 n n−2 n −4 n 15) S = Cn + Cn + Cn + + Cn 16) S = 2n−1 Cn + 2n −3 Cn3 + 2n −5 Cn5 + + Cnn p p p 17) CM: (Cn0 ) + (Cn ) + + (Cnn ) = C2nn 18) CM: Cn0Cm + CnCm −1 + + CnpCm = Cm + n 14) S = Cn0 − Cn + Hướng dẫn: Dùng (1+x)n(1+x)m=(1+x)n+m 19) S = Cn − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + + (−1) n −1 nCnn 20) CM n2n−1 = nCn0 + (n − 1)Cn + + Cnn−1 PHÇN KÕT QU¶ Sau tiến hành tiết thảo luận nhóm học tơi nhận thấy em tự tin kiến thức, cách trình bày vấn đề , tinh thần đoàn kết lớp nhiều em thể khả thuyết trình phản biện trước tập thể Đây khơng phải lần đầu áp dụng cho học sinh học tập theo phương pháp Năm học 2008-2009, 20092010, 2010-2011, 2011-2012 trường THPT Bỉm Sơn tiến hành làm với HS lớp lớp 10, 11 hiệu khả quan, góp phần giúp Trường THPT Bỉm Sơn liên tục vào tốp 100 toàn quốc điểm thi Đại học, cao đẳng Trong năm học này, áp dụng với lớp 11B8 kết kiểm tra chất lượng bồi dưỡng năm 2013 nhà trường lớp 11B8 đạt điểm tương đối cao, số đạt điểm giỏi (từ 8.0đ trở lên 61,2%) PHÇN KÕT LUËN Những học kinh nghiệm: Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt mơn học người giáo viên phải có số kỹ sau: * Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề * Kỹ giúp học sinh biết tư duy, tổng hợp sáng tạo * Kỹ trình lời giải thuyết trình trước tập thể Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 19 Khả ứng dụng, triển khai: Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm phương pháp nêu vấn đề phân tích, hướng dẫn học sinh giải vấn đề hiệu lớp Rất mong thầy cô tuyên truyền, cổ vũ ủng hộ cho cách làm để nhiều học sinh có hội học tập sáng tạo theo hướng tích cưc, chủ động PHÇN Lêi KÕT • Trên số kinh nghiệm tổ chức “SEMINAR” Rất mong thầy góp ý, bổ sung để sáng kiến hoàn thiện áp dụng phổ biến giới thiệu rộng rãi cho học sinh đồng nghiệp Về phần tác giả hy vọng có nhiều chương trình “SEMINAR” tất môn để tiết dạy thêm phần phong phú, để em có hội bộc lộ thân hướng tới xây dựng nhà trường THPT Bỉm Sơn nói riêng hệ học sinh tỉnh Thanh Hóa nói chung với hệ HS giỏi kiến thức tài ứng xử, giải tốt tình • Tác giả xin trân trọng cảm ơn tập thể lớp 11B8 niên khoá 2012-2013 nhiệt tình tham gia ủng hộ chương trình “SEMINAR” • Sáng kiến kinh nghiệm hẳn cịn có nhiều thiếu sót, kính mong thầy góp ý Tơi xin chân thành cảm ơn ! Bỉm Sơn, ngày 02 tháng nm 2013 Giáo viên thực Tụi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hoàng Minh Hiển NhËn xÐt đánh giá hội đồng khoa học nhà tr ờng 20 MỤC LỤC Stt 10 11 Néi dung PhÇn I: Mở đầu Phần II: Nội dung Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình vô tỉ Chuyên đề : Hệ phơng trình Chuyên đề : Phơng trình lợng giác Chuyên đề : Đờng thẳng, đờng tròn Chuyên đề : Đại số tổ hợp Phần III: Kết Phần IV: Kết luận Phần V: Lời kết Nhận xét đánh giá hội đồng khoa học nhà trờng Trang 2-3 3-5 5-8 8-11 11-14 14-18 19 19 20 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi đại học thống toàn quốc từ năm 2002 đến Bộ tài liệu ôn thi đại học (TS Vũ Thế Hựu - NXB đại học sư phạm) Báo toán học tuổi trẻ Các chuyên đề ôn thi đại học 21 ... LIỆU THAM KHẢO Các đề thi đại học thống toàn quốc từ năm 2002 đến Bộ tài liệu ôn thi đại học (TS Vũ Thế Hựu - NXB đại học sư phạm) Báo toán học tuổi trẻ Các chuyên đề ôn thi đại học 21 ... Năm học 2008-2009, 20092 010, 2 010- 2 011, 2 011- 2012 trường THPT Bỉm Sơn tiến hành làm với HS lớp lớp 10, 11 hiệu khả quan, góp phần giúp Trường THPT Bỉm Sơn liên tục vào tốp 100 toàn quốc điểm thi. .. tốp 100 toàn quốc điểm thi Đại học, cao đẳng Trong năm học này, áp dụng với lớp 11B8 kết kiểm tra chất lượng bồi dưỡng năm 2013 nhà trường lớp 11B8 đạt điểm tương đối cao, số đạt điểm giỏi (từ