Chuyên đề ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích 10 trang đề

Cho hình H quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng  Câu 30... đậm màu đen ở hình vẽ bên.Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN

TÍCH – THỂ TÍCH LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 (Sản phẩm của tập thể thầy cô Tổ 5-STRONG TEAM) Câu 1. Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính theo

S 

3712

S 

94

S 

512

A

43

S 

83

S 

73

Câu 8. Tính diện tích S của hình phẳng  H

giới hạn bởi đường cong yx312x và2

yx 

A

34312

S 

7934

S 

3974

S 

93712

S  

1e2

S  

1e2

S  

3e2

S 

432

S 

956

S 

976

S 

Câu 14. Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường y2 ,x yx và 3 y 1 là:

ln 2

4750

S 

13

ln 2

Câu 15. Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm yf x  như hình vẽ dưới

đây Khẳng định nào trong các phương án A B C D, , , dưới đây là đúng?

A

365

I 

3215

I 

185

I 

3215

I 

Câu 18. Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố X có dạng hình tròn đường kính AB4m Công ty cây

xanh thiết kế phần trồng hoa giấy ở giữa hai đường parabol có trục đối xứng vuông góc vớiđường kính AB tại tâm của hình tròn và cắt AB tại điểm C C, thỏa mãn BC 1m (phần tôđậm) Phần còn lại của vòng xuyến thiết kế trồng hoa cúc Chi phí để trồng hoa giấy và hoa cúclần lượt là 200.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2

Hỏi chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?

A 1.523.000 đồng B 1.532.000 đồng C 1.790.000 đồng D 1.980.000 đồng

Câu 19. Một khu đất có hình dạng là một hình tròn với đường kính d 20 m Người ta muốn trồng rau

trên dải đất rộng 10 m lấy tâm của đường tròn khu đất làm tâm đối xứng Diện tích phần đấttrống còn lại bao nhiêu m ?2

A

100

50 33





Câu 20. Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình dạng parabol, chiều rộng 8m, chiều cao

12,5mvà được lắp kính Biết mỗi 2

m kính có giá là 300000 đồng Số tiền để lắp kính chovòm cửa là

A 30000000 đồng B 60000000 đồng C 10000000 đồng D 20000000 đồng

Câu 21. Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích 200m Người ta muốn trồng hoa trên mảnh vườn2

đó theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh củamảnh vườn như hình vẽ bên Biết chi phí trồng hoa là 300 ngàn đồng cho mỗi mét vuông Xácđịnh chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên?

A 30 triệu đồng B 60 triệu đồng C 50 triệu đồng D 40 triệu đồng

Câu 22. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng

cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên Biết AB 5cm, OH 4

cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

A

B

H O

2

14cm

3 . D 50cm 2

Câu 23. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ Chiều cao GH 4m, chiều rộng AB4m,

0,9

AC BD  m Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá

là 1200000đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000đồng/m2

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

Câu 25. Cho parabol  P y x:  2

và một đường thẳng d thay đổi cắt  P tại hai điểm A, B sao cho



78



158



87



Câu 27. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y 1 sin 4xcos4 x, y  , 0 x 2



, x  Thểtích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành Ox bằng

A

2

78



2

74



2

34



2

38



Câu 28. Trong mặt phẳng Oxy,cho hình ( )H giới hạn bởi các đường y x x y ln , 0, x 1, x e . Cho

hình ( )H quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng



Câu 30. Cho hình  H giới hạn bởi parabol y2x x 2 và trục hoành Ox Thể tích khối tròn xoay khi

hình  H quay xung quanh trục Oxbằng:



1615



1517



đậm màu đen ở hình vẽ bên).

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành bằng

A

5

2 ln 23

V    

52ln 23

V    

  C

22ln 2

3

V    

  D

22ln 2

V 

47 210

V  

2 35

V 

2 35

Câu 37. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  và 1 x  , biết rằng khi cắt3

vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 x 3 thì được

thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x  2 2

A

1243

B V 32 2 15 

C V 32 2 15 D

1243

, biết rằng thiết diện của

vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 4

A V  3. B

32



V

12



V

22



V

Câu 39. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai

đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục

và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vịlít) là bao nhiêu?

A 425162 lít B 212581lít C 212, 6lít D 425, 2 lít

Câu 40. Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều

cao của trống là 1 m Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?

A 0, 45 (m 3) B 0, 20 (m 3) C 1, 41 (m 3) D 0, 64 (m 3)

Câu 41. Một hình cầu có bán kính 6 dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và

cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình

vẽ) Tính thể tích V mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4dm

A 368  3

dm3

V  

143

V  

403

V  

Câu 44. Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2

và 4 Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay khi quay đường cong

1

y x quay quanh trục Ox Thể tích của bình cắm hoa đó bằng

152



143

và ngược lại (xem hình vẽ) Tính thể tích phần chung V của hai khối

cầu tạo bởi ( )S và 1 ( )S 2



Câu 46. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y x a và

a 

32

a 

34

a 

Câu 47. Cho Parabol ( ) :P y16 x2 và hai điểm A a ;0 , Ba;0 ; 0 a4

Gọi ( )H là hình phẳng

giới hạn bởi ( )P và trục ox, (H là hình chữ nhật 1) ABCD ( ,C D là 2 điểm thuộc ( ) P ) Gọi

V là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay ( )H quanh Oy và V là thể tích hình tròn xoay1

có được khi xoay (H quanh Oy Tính giá trị lớn nhất của tỉ số 1) V V 1

Câu 49. Cho hình H giới hạn bởi các đường y2 2x và x2y2  ( phần gạch sọc trong hình) Khối8

tròn xoay khi quay H xung quanh trục Ox có thể tích bằng bao nhiêu?

A

2 8 2 73

4 13 8 23

A

2165



94915



81715



83615



GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN

TÍCH – THỂ TÍCH

Câu 1. Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính theo

công thức nào?

3

1

d( )

S 

3712

S 

94

S 

512

x x x



Câu 3. Gọi S diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 , trục hoành, trục tung và1

đường thẳng x 2

1 3 0

x 0 1 2

x   0  Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là

S 

83

S 

73

x x x

1 2

S 

7934

S 

3974

S 

93712

S 

.Lời giải

Câu 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

S  

1e2

S  

1e2

S  

3e2

 

Câu 13. Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây (phần cong của đồ thị là một phần của

parabol y ax 2bx c ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yf x , y 0,

x  2 , x 3

A

533

S 

432

S 

956

S 

976

y x

;  qua 2 D0; 4, C1;3

nên có phương trình: yx4;  P y ax:  2bx c qua C1;3và có đỉnh A2; 4 nên

ln 2

4750

S 

13

ln 2

Câu 15. Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm yf x  như hình vẽ dưới

đây Khẳng định nào trong các phương án A B C D, , , dưới đây là đúng?

Gọi S S là diện tích của các phần giới hạn như hình vẽ.1, 2

0 1 1

1( )d2

Vậy

2

1 2

Câu 17. Cho hàm y F x   là một nguyên hàm của hàm số yf x , biết đồ thị hàm số yf x 

trên đoạn 2; 2 như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích 1 2 3

bằng

A

365

I 

3215

I 

185

I 

3215

 2  1 2  1  1  1  2

F  F  F  F  F   F 

22 76 22 1082

Câu 18. Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố X có dạng hình tròn đường kính AB4m Công ty cây

xanh thiết kế phần trồng hoa giấy ở giữa hai đường parabol có trục đối xứng vuông góc vớiđường kính AB tại tâm của hình tròn và cắt AB tại điểm C C, thỏa mãn BC1m (phần tô

đậm) Phần còn lại của vòng xuyến thiết kế trồng hoa cúc Chi phí để trồng hoa giấy và hoa cúclần lượt là 200.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2

Hỏi chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đếnđơn vị nghìn đồng) ?

Khi đó phương trình của parabol phí dưới trục hoành có phương trình là y2x2 2

Diện tích phần trồng hoa giấy là: 1 2   2

Câu 19. Một khu đất có hình dạng là một hình tròn với đường kính d 20 m Người ta muốn trồng rau

trên dải đất rộng 10 m lấy tâm của đường tròn khu đất làm tâm đối xứng Diện tích phần đấttrống còn lại bao nhiêu m ?2

100

50 33

Ta xác định hệ tọa độ đặt vào tâm khu đất như hình vẽ

Khi đó phương trình đường tròn khu đát có tâm O và bán kính 10 m là: x2 y2 100

Ta có phần nửa cung tròn phía trên Ox có phương trình: y  100 x2

Khi đó diện tích trồng rau bằng hai lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành , đồ thị

Câu 20. Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình dạng parabol, chiều rộng 8m, chiều cao

12,5mvà được lắp kính Biết mỗi m kính có giá là 300000 đồng Số tiền để lắp kính cho vòm2

Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là:

200.300000 20000000

Câu 21. Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích 200m Người ta muốn trồng hoa trên mảnh vườn 2

đó theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của mảnh vườn như hình vẽ bên Biết chi phí trồng hoa là 300 ngàn đồng cho mỗi mét vuông Xác định chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên?

A 30 triệu đồng B 60 triệu đồng C 50 triệu đồng D 40 triệu đồng

Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy sao cho đỉnh của parabol là I0;nvà Parabol đi

Do đó phương trình parabol có dạng

2 2

S  R h

, với h là chiều cao của parabol và R

là bán kính của thiết diện tạo bởi một mặt phẳng vuông góc với trục và parabol)

Giả sử sân bóng có chiều dài a chiều rộng b

Câu 22. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng

cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên Biết AB 5cm, OH 4

cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

2

14cm

Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là  : 16 2 16

3

cm Diện tích của hình vuông là S  hv 100 cm2.

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là

AC BD  m Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá

là 1200000đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000đồng/m2

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A 11445000(đồng) B 7368000(đồng) C 4077000(đồng) D 11370000(đồng)

Lời giải Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox, A trùng O khi đó parabol có đỉnh G2;4

và

đi qua gốc tọa độ

Gọi phương trình của parabol là y ax 2bx c

b c

Do vậy chiều cao CF DEf 0,9 2,79( )m

 

4 2.0,9 2, 2

Diện tích hai cánh cổng là S CDEF CD CF 6,138 6,14  m2

Diện tích phần xiên hoa là S xh  S S CDEF 10,67 6,14 4,53(  m2)

Nên tiền là hai cánh cổng là 6,14.1200000 7368000 đ  

và tiền làm phần xiên hoa là 4,53.900000 4077000 đ  

.Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng

Câu 24. Cho các số thực a , b , c thỏa mãn a b c  và hàm số yf x 

Giả sử A a a ; ( ; )2 B b b( ; ),(2 b a ) sao cho AB 2019.

Phương trình đường thẳng d là: y(a b x ab )  Khi đó

20196



78



158



87



Lời giải

Tác giả:Nguyễn Việt Huy ; Fb: Huy Nguyễn

A

2

78



2

74



2

34



2

38







Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành Ox bằng

2

78



Câu 28. Trong mặt phẳng Oxy,cho hình ( )H giới hạn bởi các đường y x x y ln , 0, x 1, x e

1ln

d

x x x

Câu 30. Cho hình  H giới hạn bởi parabol y2x x 2 và trục hoành Ox Thể tích khối tròn xoay khi

hình  H quay xung quanh trục Oxbằng:



1615



1517

Thể tích của khối tròn xoay khi hình  H quay xung quanh Ox là:

quanh trục hoành là:

 

1

2 4 1

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số yf x 

đậm màu đen ở hình vẽ bên)

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành bằng

A

5

2 ln 23

V    

52ln 23

V    

  C

22ln 2

3

V    

  D

22ln 2

3

V    

Lời giải Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của y2x và

1 x

y x

x x x

2 1

2 2

1 0

3 2 1 0 2

12ln

V 

47 210

V  

2 35

V 

2 35

x x





  



x x

Vậy thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y cosx và

Câu 37. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  và 1 x  , biết rằng khi cắt 3

vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 x 3 thì được

thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x  2 2

A

1243

B V 32 2 15 

C V 32 2 15 D

1243

1

25 13

   

1243

, biết rằng thiết diện của

vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x



V

12



V

22

Câu 39. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai

đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục

và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít)

5

1

4 dy 425, 2 425, 225

Câu 40. Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều

cao của trống là 1 m Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?

A 0, 45 (m 3) B 0, 20 (m 3) C 1, 41 (m 3) D 0, 64 (m 3)

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Mạnh cường ; Fb:Cuong Nguyen

Chọn D

Xét hình phẳng (H) (hình vẽ) Thể tích khối được giới hạn bởi bề mặt của trống là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành.

Gọi phương trình Parabol đi qua 3 điểm A, B, C là ( ) : P y ax 2bx c a b c , , ,a0

Thay tọa độ các điểm A0;0,5 , B0,5;0,35 , C0,5;0,35 vào phương trình của ( )P ta

Câu 41. Một hình cầu có bán kính 6 dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và

cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình

vẽ) Tính thể tích V mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4dm

A 368  3

dm3

V  

B V 192dm3

C 736  3

dm3

V  

D V 288dm3

Lời giải Chọn C

y

Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn  C

có phương trình x2y2 36 Khi đó nửa phần trên trục hoành của  C

quay quanh trục hoành tạo ra mặt cầu tâm O bán kính bằng 6 Mặt

khác ta tạo hình phẳng  H

giới hạn bởi nửa phần trên trục hoành của  C

, trục Ox và các

đường thẳng x4,x4; sau đó quay  H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay chính là

chiếc lu trong đề bài

Ta có x2y2 36 y 36 x2  nửa phần trên trục hoành của  C là y 36 x2

Thể tích V của chiếc lu được tính bởi công thức:

2 0

V  

143

V  

403

Kí hiệu H2

là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 9 x2 , trục Ox, x 0, x 3.Phần hình phẳng giới hạn bởi các đường trên có tính đối xứng qua trục Ox, khi đó thể tích Vcần tính chính bằng thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình 2 H2

xung quanh trục Ox trừ đi thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình 1 H1

xung quanh trục Ox.

Ta có

3 2

1 4

3

x x





Do đó V V 2V1

1418

Câu 44. Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2

và 4 Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay khi quay đường cong

1

y x quay quanh trục Ox Thể tích của bình cắm hoa đó bằng

152



143

thuộc  S2

và ngược lại (xem hình vẽ) Tính thể tích phần chung V của hai khối

cầu tạo bởi ( )S và 1 ( )S 2