Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỷ

Bài Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ BÀI PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ I CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ THÔNG DỤNG Dạng tích phân ∫ f ( x, a −x ∫ f ( x, x −a ∫ f ( x, x +a ∫ Đổi biến số 2 ) dx x = a sin t 2 ) dx x= 2 ) dx x = a tg t  a+x f  x,  dx a−x   ∫ f ( x, Điều kiện biến số t ∈ − π , π   2  t ∈ 0, π ∪  π, 3π   a cos t ) t ∈ 0, π )  t ∈ ( 0, π ) x = a cos 2t ( x − a ) ( b − x ) ) dx ) t ∈  0, π    x = a + ( b − a ) sin t II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: Dạng 1: ∫ x3 12 π2 ⇒ I1 = ∫ π6 ∫ (1 − sin t ) (1 − cos2 t ) = 32 ∫ cos t dt sin t cos4 td ( cos t ) π2 dx Đặt x = sin t ;t ∈  − π , π  ⇒  2  x 1/2 t π/6 π/2 dx π6 = ) ( − x )3 • I1 = a − x dx Đặt x = a sin t ; t ∈  − π , π   2  ∫ f ( x, ∫ = sin t ∫ (1 − u ) u du  (1 + u ) + (1 − u )    du −  (1 + u ) (1 − u )  32 ∫ = ∫ + u2 32 ∫ = π6 − (1 − u (1 − u ) du = 1− u  1 1 1+ u =  − − 3ln + 4u  1 − u + u 1− u 0 π2 cos t dt π6 = π2 ) 32 ∫ π2 cos t dt sin t du = ∫ costdt cos td ( cos t ) ∫ =− sin t π6 du (1 − u ) 2   +   du −  1− u + u  • I2 = ∫ ( − x2 ) − x2 dx Đặt u = 32 ∫ 1+ u 1− u 1+ u2 1− u du du 2+ 3 3 = − ln + =  − ln ( + )  2− 2 u ∫ − sin t ;t ∈  − π , π  ⇒  2  189 Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương t du π6 − 3sin2 t ( cos t ) dt = ∫ ( cos π6 ∫ t ) dt = = π6  + cos 2t    dt =   + cos 4t    + cos 2t +  dt =   ∫ ∫ 3cos t 3cos2 t ( cos t ) dt π6 =9 cos t dt π6 ∫ (3 − 3sin t ) Khi đó: I2 = π/6 π6 ∫ (1 + cos 2t + cos t ) dt π6 ∫ ( + cos 2t + cos 4t ) dt π6 = 9 9π  9π 81  3t + sin 2t + sin 4t  =  + 3+ + =  8 82  16 64 0 • I3 = ∫ (4 − x dx ) − x2 π6 π6 ∫ = ∫ • I4 = x π6 cos t dt dt = t ) − sin t = cos t π6 t π/6 ∫ 2costdt cos t dt ∫ cos 2 t cos t π6 π 1  d ( tg t ) =  tg t  = tg = 4 0 u a t π/2 du ∫ ∫a 0 ∫ π2 a sin t ( a cos t ) ( a cos t ) dt = a ∫ π2 a = ∫ (1 − cos 4t ) dt = a 2 sin t a − a sin t ( a cos t ) dt π2 acostdt π2 a Khi đó: I = x a − x dx = 190 a − x dx ; ( a > 0) Đặt u = a sin t ;t ∈  − π , π  ⇒  2  = u du ∫ ( − sin Khi đó: I3 = a Đặt u = sin t ;t ∈  − π , π  ⇒  2  a4 sin t cos t dt = π2 4 a π πa   t − sin 4t = ⋅ =   16  0 π2 ∫ sin 2t dt Bài Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ ∫ • I5 = dx -1 + − x (1 + x ) ∫ = 12 dx −1 = − 1+x ( 1+ ∫ 2+ I5 = π2 ∫ J= cos t dt dt = + cos t tg t = arctg 3 π2 1/2 t π/2 π2 1− = t 2 = arctg ( x − 1) 1− π2 ∫ ∫ cos 3 ( t + tg t + 2 + 2x − x ( x − 1) 1− Đặt u = sin t ;t ∈  − π , π  ⇒  2  −π I6 = ∫ −π (1 + sin t ) cos t dt = sin t cos t −π ∫ −π = − ( x − 1) − t −π/3 −π/4 2costdt (1 + sin t ) dt sin t −π −π ∫ ∫ ( ) − u du ∫ xdx ∫ = ) = d tg t 2 t + tg (9 − ) π π π − 2⋅ = 18 3 ⇒ I13 = 1− 2 π2 dt π = Khi ta có:  dt π π  = − 2J 1 −  dt = − 2 + cos t  + cos t  0 xdx ∫ ∫ − u2 1+ (costdt)/2 π2 dt ∫ + cos • I6 = ∫ = − sin t cos t dt = + cos t π2 0 du π2 du ∫ u Đặt u = sin t ;t ∈  − π , π  ⇒  2  π2 ) 2 ∫ − ( u + 1) du u2 − u2 − Khi ta có: −π −π dt 1  =  cotg t  + 4  −π −π sin t ∫ −3 sin t dt −3 d ( cos t ) − 1 + cos t = + = − = − ln 2 12 −π − cos t 12 −π − cos t 12 − cos t = −π −π  −3 1 2+ −3 3+2 −  ln − ln  = − ln 12 4 2− 12  12 • I7 = x dx ∫ ( − x )5 π6 ⇒ I7 = ∫ Đặt u = sin t ;t ∈  − π , π  ⇒  2  du π6 sin t cos t dt (1 − sin t ) u t = ∫ π6 sin t dt cos t = ∫ 0 1/2 π/6 costdt π6 tg t d ( tg t ) = tg t = 191 Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương ∫ f ( x, Dạng 2: π3 ∫ π4 cos t ∫ = cos t dt ∫ cos t π4 = −1 cos t sin t dt ∫ cos t π4 = tg t π3 ) π3 x dx π3 π3 sin t dt cos t ) t dx π3 π3 ∫ ∫ x −1 π3 = = ∫ π4 2 π/4 π/3 sintdt/cos2 t x ) t dx 2 π/4 π/3 sintdt/cos2 t ⋅ sin t dt π sin t dt π 2 cos t cos t = cos t = cos t dt −1 sin t π cos t π4 2 cos t cos t ∫ t) ∫ π3 d ( sin t ) ∫ (1 − sin π4 ) sin t dt π π π = dt = − = cos t tg t π 4 12 π4 Đặt x = ; t ∈  , π ∪  π , 3π ⇒  2 cos t  x −1 ⇒ I2 = ) x dx ∫ • I2 = ) Đặt x = ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒  2 cos t  x x −1 ⇒ I1 = a ; t ∈  , π ∪  π , 3π   cos t x dx ∫ • I1 = ) x − a dx Đặt x =  (1 + sin t ) + (1 − sin t )  = d ( sin t ) π  (1 + sin t ) (1 − sin t )  ∫ π3  1   1  = + + + d ( sin t )   d ( sin t ) =  2 π  − sin t + sin t  π  (1 − sin t ) (1 + sin t ) − sin2 t  ∫ ∫ π3 1 1 + sin t  1 2 2+  =  − + ln =  − + ln −   − sin t + sin t − sin t  π 4  − + −  − 1 2 2+  3− 7−4 − + ln + ln  = 42− 2+ 2 3−2 2 −  • I3 = x2 − 16 dx Đặt x = ; t ∈ 0, π ∪  π, 3π ⇒   cos t x ) ∫ π3 ⇒ I3 = ∫ π3 =4 ∫ 192 ) x t π/3 4sintdt/cos2t dx sin t dt 16  12 − 1 ⋅ π3 π3 2 16 tg t ⋅ sin t dt  cos t  cos t = = tg t dt cos t 0 cos t ∫ ∫ π3 π  (1 + tg t ) − 1 dt =  d ( tg t ) − dt  = ( tg t − t ) π =  − π      3    ∫ ∫ Bài Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ ∫ (x • I4 = ⇒ I4 = −a ) x −a ⋅  2   a  − 1 a  − 1 2  cos t   cos t  dt 2 = cos t tg t ε.a a ;t ∈ , π ∪ π , π 2 cos t ( ) ( ) (a > 0) Đặt x = ∫ ∫ ε.a = dx ∫ cos t dt sin t = cos t = asintdt ε.a ∫ a tg t dt ∫ ε⋅a d ( sin t ) = sin t 3 cos t tg t −1 +c ε.a sin t ε = tgt > ε = −1 tgt < 2a ) ∫ • I5 = a π3 ∫ ⇒ I5 = x2 − a2 dx Đặt x = a ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒   cos t x π4 ) x a 2a t π/4 π/3 asintdt/cos2t dx a sin t dt a  12 − 1 ⋅ π3 π3 2 a tg t ⋅ sin t dt  cos t  cos t = = a tg t dt a cos t π4 π4 cos t ∫ ∫ π3 π  (1 + tg t ) − 1 dt = a  d ( tg t ) − dt  = a ( tg t − t ) π = a  − − π    π4 π  12   π4 π4   π3 =a ∫ ∫ 2a ∫ • I6 = a π3 ⇒ I5 = π3 = ∫ ∫ π3 x −a dx Đặt x = a ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒  cos t  x ) ) x a 2a t π/4 π/3 asintdt/cos2t dx a sin t dt a  12 − 1 ⋅  cos t  cos t π4 ( ) π3 sin t cos t π4 ∫ cos t a cos t dt = = ∫ 2 ∫ (1 − sin t) π3 a tg t ⋅ sin t dt a cos t π4 sin t π4 π3 π3 = sin t ∫ cos π4 dt t  (1 + sin t ) − (1 − sin t )  d ( sin t ) π  (1 + sin t ) (1 − sin t )  d ( sin t ) = ∫ π3  1   1  = − + − d ( sin t )   d ( sin t ) =  2 π  − sin t + sin t  π  (1 − sin t ) (1 + sin t ) − sin2 t  ∫ ∫ π3 1 1 + sin t  1 2 +  − ln ( + 3) =  − − ln =  − − ln =  1 − sin t + sint − sin t  π 4  − + 2−  193 Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương ∫ dx Đặt x = tg t ;t ∈  0, π ⇒  ) ∫ π4 0 ∫ x + 2x + 2dx = -1 u t 0 du dt cos t = cos t ∫ dt π/4 π4 = ∫  (1 + sin t ) + (1 − sin t )   (1 + sin t ) (1 − sin t )  d ( sin t ) =   ∫ π4 ∫ tg t + π4 π6 ∫ π4 u + du = dt cos t −1 ( − 128) = 128 − 7 −1 = dx π/4 ( x + 1)2 + d ( x + 1) = u + du ∫ ) ∫ = Đặt u = tg t ;t ∈  , π ⇒  I2 = π4 sin t ∫ π/6 ∫ ( sin t )−8 d ( sin t ) = − π6 • I2 = t ∫ π6 ∫ (1 + tg t ) π   dt2 π cos t dt π d ( sin t ) cos t =  cos t  cos t = = 8 8 tg t tg t sin t π6 π6 π sin t dt π4 = ) x x8 ⇒ I1 = ) ( + x )5 • I1 = x + a dx Đặt x = a tg t ; t ∈  , π  ∫ f ( x, Dạng 3: dt Khi ta có: π4 = cos t π4 ∫ ∫ cos t dt π4 ∫ = cos t d ( sin t ) (1 − sin t )2   +   d ( sin t ) − sin t + sin t   π4 1  1 1 + sin t   d ( sin t ) =  + + − + ln ( 2  1 − sin t + sin t − sin t   − sin t ) (1 + sin t ) − sin t  1 2 2+  =  − + ln + ln + 2 =  − 2 + 2 −  12 • I3 = 1+ x 1+ x u2 − 4udu dx Đặt u = ⇒x= ; dx = 1− x 1− x u +1 ( u + 1)2 ∫ ⇒ I3 = ∫ (u 4u du + 1) π3 ⇒ I3 = ∫ π4 194 ( ) t ∫ π4 (1 − cos 2u ) du =  u − sin 2u   π/4 π/3 dt/cos2 t du π3 sin u du = u Đặt u = tg t;t ∈ , π ⇒ π3 π4 = π +1− Bài Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ -2 ∫ • I4 = −1 −2 dx ( x + ) ( x + 4x + ) u t π/4 π/3 ) du π3 ∫ ⇒ I4 = π4 cos3 t tg t π3 dt ⋅ ∫ = cos t cos3 t π4 = ( x + 2)2 ( x + 2)2 + 1 −1 Đặt u = tg t ;t ∈  , π ⇒  dx ∫ = ∫ du u2 ( u2 +1)3 Khi ta có: dt cos t π3 ∫ dt = sin t − sin t  sin t sin t π4  −1  − sin t  d ( sin t ) =  π3 π4  −2   −2  −7 −7 = − − + = − =   2  2  • I5 = x − x − 2x + ∫ x+ = x − 2x + x − 2x + 2 u +1− u +1 ∫ π4 ⋅ π4 ∫ π4 ∫ ( x − 1) + ( x − 1) + 1 ) 2 tg t + − tg t + tg t + + tg t + cos   π4 dt ⋅ π dx ⋅ du π4 = ∫x+ u t π/4 du dt cos t sin t + cos t − ∫ sin t + cos t + dt t ( tg t + 1) = π4 dt π ∫ 1 − sin t + cos t +  dt = − ∫ sin t + cos t + = − 2J = J= x − ( x − 1) + Đặt u = tg t ;t ∈  , π ⇒  u +1 u +1 ∫ u +1+ ⇒ I5 = = 2 1 dx ⋅ dt = sin t + cos t + ( ) π4 ∫ d tg t = ln + tg t t + tg dt = t t t sin cos + cos 2 π4 π4 ∫ cos dt ( t + tg t 2 ) π π = ln + tg π = ln ⇒ I12 = − ln = − ln 4 ) ( • I = ∫ x x − 2x + dx = ∫ x ( x − 1) + dx = ∫ ( u + 1) u + du 0 Đặt u = tg t ;t ∈  , π ⇒  ) −1 u −1 t −π/4 du Khi ta có: dt/cos2 t 195