Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy. I-Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác: ( ) x k k≤ > [ ] x kc α α π = ∈ x k π π α α = ∈ − x∈ ¡ x π π α α = ∈ − ÷ !"# ( ) a x b y c a b c+ = > # [ ] c c x y c a b α α α π = = ∈ $%&" x y z xyz+ + = xy yz zx+ + = '( x y z α β γ = = = )* π π α β γ ∈ − ÷ +,"-(./01# Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị của biến x a+ x a α = π π α ∈ − ÷ a x− x ac x a α α = = [ ] a π ∈ π π α ∈ − x a− a x c α = ! π π α π ∈ ∪ ÷ ÷ x y xy + − x y xy − + x y α β = = π π α β ∈ − ÷ II-Ứng dụng của phương pháp: 1. Chứng minh các hệ thức đại số: Bài toán 1:(Đại học Dược Hà Nội 1995) 2%&3)45 xy yz zx+ + = 678(.# ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y z z x x y M x y z x y z + + + + + + = + + + + + Giải:9 x y z π α β γ α β γ = = = ∈ ÷ :;4 π α β β γ γ α α β γ + + = ⇒ + + = : ( ) ( ) ( ) ( ) y z c x x c c c β γ α α α α α β γ β γ + + + + = = = + + ( ) c c c yz c c c c β γ β γ β γ β γ β γ β γ + − = = = − = − :/<=(.>?@/A# B C B C B C ! B C M yz zx xy xy yz zx= − + − + − = − + + = Bài toán 2:2a, b, c > 045ab+bc+ca=1.2.D# ( ) ( ) ( ) bc a ca b ab c abc a b c + + = + + + + + + Giải:9 a b c π α β γ α β γ = = = ∈ ÷ :E4# π α β β γ γ α α β γ + + = ⇒ + + = :# ( ) ( ) c bc a β γ α β γ α = = + + :/<=(.>?@/A) ( ) ( ) c c c α β γ α α β β γ γ α β γ α β γ = + + = + + $ c α β γ α β γ = BF' α β γ π + + = C c abc a b c α β γ α β γ = = + + + B1C Một số bài tập tự luyện: Bài 1:2%G%&G&H 2.D# C $x y y z z x x y y z z x − − + − − + − − = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ C ( ) ( ) ( ) !x y z xyz x y z y z x z x y+ + − = + + + + + Bài 2:2 x y z x y z xyz> + + + = 2.D# ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xyz x y x y x z z x y+ = − − + − − + − − Bài 3:2 x y z xy yz zx xyz xyz+ + + + + = + ≠ 2.D# ( ) ( ) ( ) $ x y z x y z x y z xyz − − − − − − + + = Bài 4:2 B C x y z x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + = ≠ − − − − − − 2.# ( ) ( ) ( ) ( ) BC x y xy z z x y + − − = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) BC xy x y z z x y − − + = + + + Bài 5:2%&3)45 x y z xy yz zx xyz+ + + + + = + 2.D ( ) ( ) % G% s z y z yz + − + − + = ∑ 2. Bất đằng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Bài toán 1:(Đại học kiến trúc TP.HCM 1993).2. x < )?"-=I?*<' # ( ) ( ) BC n n n x x+ + − < Giải:F' x < I ( ) x c π = ∈ ( ) ( ) BC n n n c c⇔ + + − < :# ( ) ( ) n n n n t t c c c + + − = + ÷ F' t t c π < < ⇒ < < I n t t t t c c< < n n n n t t t t c c ⇒ + < + < ÷ ÷ ⇒ 1 Bài toán 2:2 $ $ x y x y+ − − + = 2.D# ( ) ( ) ! ! $ ! ! $ ! x y xy x y − + − + + − − + ≤ Giải::# ( ) ( ) $ $ x y x y x y + − − + = ⇒ − + − = 9 ( ) x y c x y c α α α π α α − = − = ∈ ⇒ = + = + ( ) ( ) ! ! $ ! ! $ ! J A x y xy x y π α = − + − + + − − + = − ÷ K% A ≤ B1C Bài toán 3:2 ( ) L i a i n n≤ ≤ = ∈¥ 2.D# ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n a a a a a a+ + + + − − − ≤ Giải:9 i i i a α π α = ≤ ≤ ÷ )' ( ) c i n α ≥ = I(I# ( ) ( ) ( ) BCc c c c c c α α α α α α + + + ≥ + :% i i c α α α − = + %)BC n n i i i i i i a a a a = = − − + ≥ + ÷ + + ∏ ∏ M% ( ) ( ) n n n i i i i a a = = + + − ≤ ∏ ∏ B1C 9N.4% n a a a⇔ = = = = Bài toán 4::O P Q R ?< Q S Q ) P Q R T S Q T I T / Q # xyy xxy P CJB ++ + = )< Q %? P U Q / R %U T ) P T V I R / Q =+ yx (Đề thi tuyển sinh Đa ̣ i ho ̣ c, Cao đẳng 2008 – Khối B) Giải: MI R / Q =+ yx Q 1 Q ?I/< T I Q U/ Q ?/< R Q # =+ uu FO P )S R %W R #H%H X/< Q O P / Q ?/< R Q Q # uuu uuu P CJB ++ + = J ++ +− = uu uu P BLC 9I T O P I P Q R T YI Q U T BLC P # BYZJCGBYGCHZY BLLC 9I P I R Q I R T 1/<O P BLLC? P # ( ) ( ) ( ) J PPP −≥++− !JJ ≤−+⇔ PP !J ≤≤−⇔ P FS R % Q R ?< Q S Q T YW P ! Q R T S Q T YW P ZJ Bài toán 5: :O P Q R ?< Q S Q ) P Q R T S Q T I T / Q # + +−= xyP )< Q %? P U Q / R %U T ) P T V I R / Q # [J!J =+ yx Giải: \I Q U T [J!J =+ yx )I P ] R # ! $ ! J = + yx ! :O V I Q )I R W R # = = ⇒ = = uy ux u y u x $ ! ! $ ! J ^ Q ]/< Q ] R ?/< R Q O P #YH + $ ! +− uu K/ T ] R S Q W T / Q # baubuaba +≤+≤+− :%# YH $ + J [ + =++ YH $ ++ J [ + =+− Bài toán 6: :O P Q R ?< Q S Q ) P Q R T S Q T P U Q # $! yx xyy P + − = Giải: \I Q U T P Y)I P ] R # + + − + = $! yx y yx x yx y P ) P Q % Q W P # ! ! +−= uu IW R # yx x u yx y u + = + = _ Q Q P U Q Y]/< Q O P / Q ?/< R Q ? P # Y H! Z$ ! ! +−= uu ` Q 1] R S Q W T / Q # baubuaba +≤+≤+− :/< R # YH$ YHa Bài toán 6: 2%? P U Q ]/<%U T T V #G%H :O P Q R T S Q T I T / Q # y y x x P − + − = $ Giải: F< Q %3) P G%HIW R # = = uy ux << π u _ Q Q YH uu uu u u u u !! + =+ 9W R H H $ ≤≤ + tu π O Q ! CB ! − −− == t tt tfP ( ) ! CBb $ < − + −= t t tf IcBC R I Q I de FS R %# CB == fP Bài toán 7: :')-# + + = x bax y @7?*fD$7gfDa Giải: X-%7)*h)=8@?/AG I(?/A6D #H α ^-%i# ααα α α ba ba y += + + = bba y ++= αα j1]kU.# baubuaba +≤+≤+− :/A# ba b y ++= ba b y +−= 9S%)')g%Ilm%))41/<'# + = − ∨ = = ⇔ −=+− =++ ! $ ! $ $ b a b a ba b ba b Bài toán 8: 2%&g5#G%G&H%&)%& ! ! ≠ :O Q #YH ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! z zz y yy x xx z zz y yy x xx − − − − − − − − − + − − + − − Giải: 2f@8@?/A1l(.lO Q n1n?I/i U.?/A# a a aa ! ! ! ! = − − BC F'#H%H&H ^#Yi# YH!G!G!Z! ! ! ,# accbba cbacba cba CB −−− −++ =++ BC :;U.?/A HGG :EBC%# BGGCH :EBC%# B!G!G!CH )EBC%#YH!G!G!Z! ! !H Bài toán 9:2%? P U Q / R %U T :O P Q R ?< Q S Q ) P Q R T S Q T P U Q # ( )( ) ( )( ) yx xyyx P ++ −+ = Giải: :/ P I P I R % o ∈ ) P / R Q W R T I T / Q #G ) P G% W R # = = vy ux _ Q Q Y< T P #YH ( )( ) ( )( ) vu vuvu ++ −+ J H vu vu vu vu vu CB − + HBG)CBG)C H ( ) vu + K%# YH ) P YHa Bài toán 10: 2? P U Q ]/<%U T ?U T I P I R # GGH :O P Q R ?< Q S Q T I T / Q ! cba P + + + − + = Giải: 2 Q ? R W R 1 Q I T / Q ] R #G m Q O V I Q )I R )I Q ? R T I Q P # ac ca b − + = BU Q O P / Q T U/ Q # yx yx yx CB − + =+ C 2IW R #HH% << π yx 'HBG%C) P /< R # yyxx P ! CB + + ++ − + = yyxx !CB ++−= HZBG%CG! % HBG%C %G!Z! % H CB ! !CB ! CB! yxyxyyxy ++++−++− H CB ! !CB ! ! yxyxy +++ +−− ! ! ! =+≤ XS Q W T / Q T %) P O T # = =+ ⇔ =+ =+− ! CB CB CB ! ! y yx yx yxy p ⇔ ( ) Zk y kx ∈ = +−= ! ! $ π π FS R % Q R ?< Q S Q T Y? P # ! Bài tập tự luyện: Bài 1:2.)* x y z∀ ∈ ¡ # x y x z z y x y x z z y − − − ≤ + + + + + + + Bài 2:2 a b c ∈ ¡ )45 a b c ab bc ca < < + + = :',8(.# a b c S a b c = + + − − − Bài 3: C 2%&4 x y z+ + = :',8 A xy yz zx= + + C 245 [ [ Ja b c k+ + + = B?D-]/<C :'7?*f8(. [ [ JB ab ac bc = + + + Bài 4:(Vietnam MO 1998).qr-=]/<45 abc a c b+ + = :'7?* f8(. ! P a b c = − + + + + Bài 5:2!-= ! a a a U" 2.Ds@- ( ) ! j k a a j k≤ ≤ # ! ! j k i k a a a a − − < < + + Bài 6:2--=]/< 2,o#?Us@-%# ! x y x y xy − ≤ < − + + + Bài 7::O P Q R ?< Q SQ) P Q R T SQ T P UQ# xyx yxy u CB ++ + = )< Q ]IPI R =+ yx Bài 8::O P Q R ?< Q SQ) P Q R T SQ T I T / Q #YHB ! G% ! CZ!% )< Q %? P UQ/ R T V ]IPI R =+ yx (Đề tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D – 2008) Bài 9: :O P Q R ?< Q SQ) P Q R T SQ T I T / Q #YH xyyx +++ )< Q %? P UQ/ R T V ]IPI R =+ yx Bài 10::O P Q R ?< Q SQ) P Q R T SQ T I T / Q #YH [[ xyyx −+− Bài 11:2%? P UQ/ R US%U T :O P Q R ?< Q SQ) P Q R T SQ T I T / Q # ( )( ) ( ) ( ) yx xyyx P ++ −− = (Đề tuyển sinh Đa ̣ i ho ̣ c, Cao đẳng khối D – 2008) Bài 12:2%? P UQ/ R %U T :O P Q R ?< Q SQ) P Q R T SQ T P UQ# ( )( ) ( ) ( ) yx yxyx P ++ −− = Bài 13::O P Q R ?< Q SQ) P Q R T SQ T P UQ# ( ) $ x x y + + = t Bài 14::O P Q R ?< Q SQ T I T / Q #YHGIQWP%) T V IPI R # ≥+ =+ =+ !+ + ! yuxv vu yx (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987) 3. Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình: Bài toán 1:u41/<'# ( ) ( ) ! x x x x − − = − i4BC Giải:F* ( ) x∈ x c= t π ∈ ÷ ^1/<'# ( ) ( ) ! a c c t c − = − ! c t t c t c⇔ = − t $ at Hat c t c t c⇔ = − ⇔ = − ⇔ ( ) p t t [ t k c t k k t k π π π = ⇔ = ⇔ = ± + ⇔ ∈ = ¢ ^A1)* t π < < /A $ p [ [ t t t π π π = = = Fv%81/<'?# $ p [ [ x c x c x c π π π = = = Bài toán 2:(Vô định quốc gia 1984).u41/<' ( ) ( ) ( ) ! ! BCx x x x+ − + − − = + − Giải:9^# x x x + ≥ ⇔ − ≤ ≤ − ≥ 9 x c= t π ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ! ! BC t c c t⇔ + + − − = + ( ) ! ! G H H t t t c c t t t t t t c c c t t t c t t c t c x ⇔ + − = + ÷ ÷ ⇔ + − + = + ÷ ÷ ÷ ⇔ − + = + ⇔ = + ÷ ÷ ⇔ ⇔ ⇒ = Fv%1/<'5]%f x = Bài toán 3:u41/<' ( ) ( ) ! ! x x + = − + BLC Giải:vrD ( ) ( ) + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ! x x x x− + = + − = + 9 ( ) ( ) x t t+ = > ^1/<'# ! $ ! $ ! t t t t = + ⇔ − = BC Xw].1Ix [ ] t ∈ − I [ ] ( ) t c α α π = ∈ ( ) ! ! $ ! $ ! ! [ ! t t c c c k k π π α α α α ⇒ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ ¢ F' [ ] + p [ [ [ π π π α π α ∈ ⇒ ∈ ⇒ 1BC! + p [ [ [ t c c c π π π ∈ ^81BLC? + p ? ? ? [ [ [ x c c c π π π + + + ∈ ÷ ÷ ÷ [ Một số bài tập tự luyện: Bài 1#(Đề thi Olympic 30-4-1994).u41/<'# x x a a a a + − − = ÷ ÷ Bài 2:(Đề thi Olympic 30-4-2000).97(1/<'# ( ) ( ) $ ! ! ! $ m x m x m− + + − − + − = Bài 3:(Thi HSG trường PTNK-ĐHQGTPHCM 2000) u41/<'# x x x x+ − + − = Bài 4:(IMO 1976) 2 B C f x x= − 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x f f x f x f f x − = = 2.D1# ( ) n f x = n n 1S Bài 5:(Đề nghị Olympic 30-4-2000, tinh Tiền Giang).u41/<'# ( ) ( ) ( ) ! ! ! ! ! ! ! ! ! x x y x y y z y z z x z − = − − = − − = − Bài 6:(Đề dự tuyển IMO 1995, Hoa Kì) 2-=]/<5%'-%&# ( ) $ x y z a b c xyz a x b y c z abc + + = + + − + + = Bài 7:u41/<'# ! $ + x y z x y z xy yz zx + = + = + ÷ ÷ ÷ + + = 4. Tính giới hạn của dãy số Bài toán 1:(Đề nghị Olympic 30-4-2000, tỉnh Đồng Tháp) 2]5%-/A7/# n n x x x n + = = + ∀ ∈ ¥ :' ? n n x →+∞ Giải:: ! $ $ x c x x c c π π π = = = + = + = ÷ Dm%@1./AD G n x c π = ^ G ? ? n n n x c c π →+∞ →+∞ = = = ÷ Bài toán 2:2]5%-y z# ( ) n n n u u u n u + + − = = = − + :6 u Giải:9 u π ϕ ϕ = = ∈ ÷ )n{D t π − = ^ t t t u π ϕ π ϕ π ϕ + = = + ÷ − ! t t t t t u π π ϕ π ϕ π π ϕ + + ÷ = = + ÷ − + ÷ \Dm%@1./A ( ) t n u n n π ϕ = + − ∀ ≥ ÷ Fv%I ( ) t [ ! t t t u π ϕ π π ϕ ϕ π ϕ + + − = + = + = = = + ÷ ÷ − − − Bài tập tự luyện: Bài 1:2]5%-y z)y) z7/# n n n n v u u u n v v v v + + = = − − ∀ ∈ + − = = ¥ 2,o# n n n n u v π + + < < Bài 2:(Vietnam MO 1989).2]5%y z n x∈ ≤¥ ) ( ) ! ! n n n x x x + = − + − C 2lI'-)* x (]5%y zs-]/< . Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số học, sau đây. yuxv vu yx (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987) 3. Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình: Bài toán 1:u41/<'#