Phương pháp lương giác hoá

PHệễNG PHAP LệễẽNG GIAC HOA GIAI CAC BAỉI TOAN C s ca phng phỏp lng giỏc gii cỏc bi toỏn i s: 1)Da vo cụng thc lng giỏc :T cụng thc quen thuc 1cossin 22 =+ ,suy ra nu tn ti 2 s a,b tho món iu kin 1 22 =+ ba thỡ tn ti s vi [ ] 2;0 sao cho ba == sin,cos 2)Da vo phng trỡnh lng giỏc c bn:T cỏch gii phng trỡnh lng giỏc c bn ,suy ra : +Nu s a tho món iu kin 1 a thỡ tn ti cỏc s , tng ng duy nht ,vi [ ] 2 ; 2 ;2;0 ,sao cho ,sin= =osc a b Cỏc cụng thc liờn quan : ; . 2 sin2cos1; 2 cos2cos1 22 ==+ +Vi mi s thc a,tn ti duy nht vi 2 ; 2 sao cho atg = Khi s dng cỏc phng trỡnh ny ,thng dựng cỏc kt qu sau: Zkktgtgtgtgtgtg =++=++ , Zkktgtgtgtgtgtg =++=++ , 2 1 . Zkkgggggg +=++=++ , 2 cot.cot.cotcotcotcot Bi toỏn 1: cho 0;1;1 2222 =+=+=+ yvxuvuyx CMR : 0;1;1 2222 =+=+=+ uvxyvyux Gii: t )20(,sin;cos == aayax v )20(,sin;cos == bbvbu T gi thit : 0)cos(sinsincoscos0 ==+=+ bababayvxu (*) a)ta cú : ( ) ( ) 1)cos()cos(1 )2cos2(cos 2 1 12cos1 2 1 2cos1 2 1 coscos 2222 =++= ++=+++=+=+ baba bababaux theo (*) v phi ng thc cui cựng bng 1 (pcm) b) 1)cos()cos(1)2cos1( 2 1 )2cos1( 2 1 sinsin 2222 =+=+=+=+ babababavy c)Tng t,ta cú : 0)cos()sin()2sin2(sin 2 1 sincossincos =−+=+=+=+ babababbaauvxy Bài toán 2:Cho 0;1 ≠=++ xyzzxyzxy .Chứng minh : 4 111111 =       −       −+       −         −+         −       − x x z z z z y y y y x x Giải: Đặt       <<−=== 2 ,, 2 ;;; ππ cbatgcztgbytgax Khi đó ag tga atg tga tga x x 2cot2 1 11 2 −= − =−=− Tương tự ,ta có : cg z zbg y y 2cot2 1 ;2cot2 1 −=−−=− Bài toán đã cho tương đương vơi chứng minh đẳng thức : 12cot2cot2cot2cot2cot2cot =++ agcgcgbgbgag (*) Từ giả thiết : gcgbgagcgbgakcba kcbacagtgb tgbtga tgatgc tgb tgatgctgctgatgbtgctgatgbtgctgatgbzxyzxy cot.cot.cotcotcotcot2222 2 )(cot 1 1)(11 =++⇔+=++⇔ +=++⇔+=⇔ + − =⇔ −=+⇔=++⇔=++ ππ π π Bài toán 3: Cho 3 số x,y,z thoả mãn điều kiện ( ) 1;0,,;1 ∈=++ zyxzxyzxy Chứng minh : 2 33 111 222 ≥ − + − + − z z y y x x Giải: Vì ( ) 1;0,, ∈ zyx nên ta có thể chọn (một cách duy nhất) cba ,, sao cho ztgcytgbxtga === ;; với       ∈ 4 ;0,, π cba Khi đó từ Zkkcbatgctgatgbtgctgatgbzxyzxy ∈+=++⇔=++⇒=++ , 2 11 π π Nên Zkkcba ∈+=++ ,)2(222 ππ Mặt khác ta có : cbtgatgtgctgbtgatg 222222 =++ (1) vì       ∈ 4 ;0,, π cba nên 02,2,2 2 ;02,2,2 >⇒       ∈ ctgbtgatgcba π Do đó nếu đặt ctgbtgatgm 222 ++= thì 0 > m (2) Theo (1) ta có tan2a.tan2b.tan2c = m Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương tan2a, tan2b, tan2c có : 2 3 3 tan 2 tan 2 tan 2 3 tan 2 .tan 2 tan 2 3 327 3a b c a b c m m m m+ + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Hay tan 2 tan 2 tan 2 3 3a b c+ + ≥ 2 33 111 33 1 2 1 2 1 2 33222 222222 ≥ − + − + − ⇒≥ − + − + − ⇒≥++ z z y y x x z z y y x x ctgbtgatg Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 3 x y z= = = Bài toán 4:Giải phương trình : xxx 2)11)(11( =+−−+ (1) Giải: Điều kiện : 11 ≤≤− x Ta thấy rằng : 1 2 1 2 1 22 =         − +         + xx Do đó ta đặt       ≤≤= − = + 2 0,sin 2 1 ;cos 2 1 π tt x t x Từ đó : 1cos2;sin21;cos21 2 −==−=+ txtxtx     =−− = ⇔ =−−−⇔ −=+−⇔ 01cos22sin2 1cos2 0)1cos22sin2)(1cos2( )1cos2(2)1sin2)(1cos2((1) 2 tt t ttt ttt • 0 2 2 cos1cos2 =⇒=⇒= xtt • 1cos22sin201cos22sin2 +=⇔=−− tttt (Do 0cos,sin; 2 0 ≥≤≤ ttt π ) 10 2 cos01cos24cos10 cos24cos81)cos1(2 2 22 =⇒=−+⇔ ++=−⇔ ttt ttt (Loại nghiệm 2 2 cos −= t ) 25 24 −=⇒ x Vậy phương trình (1) có hai nghiệm 25 24 &0 −== xx . x ctgbtgatg Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 3 x y z= = = Bài toán 4:Giải phương trình : xxx 2)11)(11( =+−−+ (1) Giải: Điều kiện : 11 ≤≤− x Ta thấy rằng. cos24cos81)cos1(2 2 22 =⇒=−+⇔ ++=−⇔ ttt ttt (Loại nghiệm 2 2 cos −= t ) 25 24 −=⇒ x Vậy phương trình (1) có hai nghiệm 25 24 &0 −== xx