1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Phương pháp lương giác hoá

4 1,1K 24
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 4
Dung lượng 78,5 KB

Nội dung

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

GIẢI CÁC BÀI TOÁN

Cơ sở của phương pháp lượng giác để giải các bài tốn đại số:

1)Dựa vào cơng thức lượng giác :Từ cơng thức quen thuộc sin 2α + cos 2α = 1,suy ra nếu tồn tại 2 số a,b thoả mãn điều kiện a2 +b2 = 1 thì tồn tại số α với α ∈[0 ; 2 π]sao cho

b

α ,sin

cos

2)Dựa vào phương trình lượng giác cơ bản:Từ cách giải phương trình lượng giác cơ bản ,suy ra :

+Nếu số a thoả mãn điều kiện a ≤1

thì tồn tại các số α,β tương ứng duy nhất ,với

[ ] ∈− 

2

; 2

;

2

;

0 π β π π

α

,sao cho cosα =a,sinβ =b

Các cơng thức liên quan : 1 cos 2cos 2;1 cos 2sin 2;

2

+ +Với mọi số thực a,tồn tại duy nhất α với 

−

2

; 2

π π α

sao cho tgα =a

Khi sử dụng các phương trình này ,thường dùng các kết quả sau:

tgα+tgβ +tgγ =tgα.tgβ.tgγ ⇔α+β +γ =kπ,kZ

tg tg +tg tg +tg tg = ⇔ + + = k ,kZ

2 1

β β γ γ α α β γ π π

α

2 cot

cot cot cot

cot

Bài tốn 1: cho x2 + y2 =1;u2 +v2 =1;xu+yv=0

CMR :x2 +u2 =1;y2 +v2 =1;xy+uv=0

Giải:

Đặt x=cosa;y=sina,(0≤a≤2π)và u=cosb;v=sinb,(0≤b≤2π)

Từ giả thiết :

0 ) cos(

sin sin cos cos

=

a)ta cĩ :

1 ) cos(

) cos(

1

) 2 cos 2

(cos 2

1 1 2 cos 1 2

1 2 cos 1 2

1 cos

2

2

=

− +

+

=

+ +

= +

+ +

= +

=

+

b a b

a

b a

b a

b a

u

x

theo (*) vế phải đẳng thức cuối cùng bằng 1 (đpcm)

1 ) 2 cos 1 ( 2

1 sin sin2 2

2

y

c)Tương tự,ta cĩ :

Trang 2

0 ) cos(

) sin(

) 2 sin 2 (sin 2

1 sin cos sin

=

xy

Bài toán 2:Cho xy+ yz+zx=1;xyz≠0.Chứng minh :

4 1 1

1 1

1

1

=

 −

 − +

 −





 − +





 −

 −

x

x z

z z

z y

y y

y

x

x

Giải:

− < <

=

=

=

2 , , 2

;

;

;y tgb z tgc π a b c π

tga

x

Khi đó

a g tga

a tg tga

tga x

x 1 1 1 2cot 2

2

=

=

=

Tương tự ,ta có :

c g z

z b g y

y− 1 =−2cot 2 ; −1=−2cot 2

Bài toán đã cho tương đương vơi chứng minh đẳng thức :

1 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2

cot

2

cotg a g b+ g b g c+ g c g a= (*)

Từ giả thiết :

gc gb ga gc

gb ga

k c

b

a

k c

b a c a g tgb

tgb tga

tgatgc

tgb

tgatgc tgc

tga tgb tgctga

tgbtgc tgatgb

zx

yz

xy

cot cot cot cot

cot cot

2 2

2

2

2 )

( cot 1

1 ) (

1 1

= +

+

⇔ +

= +

+

+

= + +

⇔ +

=

⇔ +

=

= +

= +

+

=

+

+

π π

π π

Bài toán 3: Cho 3 số x,y,z thoả mãn điều kiện xy+yz+zx =1;x,y,z∈( )0;1

3 3 1

1

+

+

z y

y x

x

Giải:

x,y,z∈( )0;1 nên ta có thể chọn (một cách duy nhất) a ,,b csao cho

z tgc y tgb

x

∈ 4

; 0 , ,b c π

a

Khi đó từ xy+ yz+zx= ⇒tgatgb+tgbtgc+tgctga= ⇔a+b+c= +k ,kZ

2 1

Nên 2a+2b+2c=π +(2k)π,kZ

Mặt khác ta có :

c btg atg tg c tg b

tg

a

tg2 + 2 + 2 = 2 2 2 (1)

4

;

0

,

,b c π

a

nên

0 2 , 2 , 2 2

; 0 2 , 2 ,

c b

Do đó nếu đặt m=tg2a+tg2b+tg2cthì m>0 (2)

Trang 3

Theo (1) ta có tan2a.tan2b.tan2c = m

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương tan2a, tan2b, tan2c có :

2

Hay tan 2 a + tan 2 b + tan 2 c ≥ 3 3

2

3 3 1

1 1

3 3 1

2 1

2 1

2 3 3 2 2

+

+

+

+

≥ +

+

z

z y

y x

x z

z y

y x

x c

tg b

tg

a

tg

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3

3

x y z = = =

Bài toán 4:Giải phương trình : ( 1+x −1)( 1−x +1)=2x (1) Giải:

Điều kiện : −1≤x≤1

Ta thấy rằng :

1 2

1 2





 − +





 +x x

 ≤ ≤

=

=

+

2 0

, sin 2

1

; cos 2

t x

Từ đó : 1+x = 2cost; 1−x= 2sint;x=2cos2t−1

=

=

=

= +

0 1 cos 2 2 sin 2

1 cos 2

0 ) 1 cos 2 2 sin 2 )(

1 cos 2 (

) 1 cos 2 ( 2 ) 1 sin 2 )(

1 cos 2 (

t t

t

t t

t

t t

t

2 cos 1 cos

2 t= ⇒ t= ⇒x=

• 2sint−2 2cost−1=0⇔ 2sint =2 2cost+1

(Do 0≤t≤π2;sint,cost≥0

)

2 cos 0 1 cos 2 4 cos 10

cos 2 4 cos 8 1 ) cos 1 ( 2

2

2 2

=

=

− +

+ +

=

t t

t

t t

t

2 cost=−

24

=

x

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm 25

24

&

0 =−

x

Ngày đăng: 25/06/2013, 01:27

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w