phương pháp lượng giác hóa

Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy.. tan 1 tan c Tương tự c

Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy

I-Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác:

1/ Nếu biến x tham gia trong bài toán có điều kiện x ≤k (k>0), ta đặt x=kcosα α, ∈[ ]0,π hoặc

2 2

2 2

3/ Nếu hai biến tham gia bài toán có ràng buộc: 2 2 2 2 2 ( )

, , 0

a x +b y =c a b c>

ta đặt : x csin , y c cos , [0,2 ]

4/ Nếu ba biến x, y, z tham gia bài toán có ràng buộc x+ + =y z xyz hoặc xy+yz+zx=1 thì có thể đặt

tan , tan , tan

2 2

π π

α β γ∈ − 

5/ Một số biểu thức thường gặp khác:

Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị của biến

2 2

2 2

π π

α∈ − 

2 2

α

=



 =



[ ]0,

;

2 2

π π

α∈ − 

2 2

x −a

os

a x

α∈ ∪π 

1

xy

+

− hoặc 1

xy

− +

tan tan

x y

α β

=





=

π π

α β∈ − 

II-Ứng dụng của phương pháp:

1 Chứng minh các hệ thức đại số:

Bài toán 1: (Đại học Dược Hà Nội 1995)

Cho x, y, z > 0 và thoả mãn xy+yz+zx=1, tính giá trị của biểut thức:

( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)

Giải: Đặt tan , tan , tan , , , 0;

2

  Theo giả thiết ta có tan tan tan tan tan tan 1

2

π

α β+ β γ + γ α = ⇒α β γ+ + =

x

( )

os os os sin sin

1 tan tan 1

os os os os

yz

Tương tự cho hai biểu thức còn lại, ta được:

M = −yz + −zx + −xy = − xy+yz+zx =

Bài toán 2: Cho a, b, c > 0 thoả mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng :

Giải: Đ ặt tan , tan , tan , , 0;

2

  Từ giả thiết ta có :

tan tan tan tan tan tan 1

2

π

Ta có:

cot cot os

1 tan tan 1 tan c

Tương tự cho các biểu thức còn lại, ta được vế trái

cot cot cot tan os tan os tan os cot cot cot sin 2 sin 2 sin 2

2

1

cot cot cot 4 os cos cos

2 α β γ c α β γ

2

2 cot ot cot cos cos cos

1 1 1

c

Một số bài tập tự luyện:



Bài 1: Cho xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng :

4

−  −   + −  − + − − =

3



Bài 2: Cho x y z, , >0 , x2+y2+ +z2 2xyz=1 Chứng minh rằng:

1 +xyz=x (1 −y2)(1 −x2)+y (1 −x2)(1 −z2)+z (1 −x2)(1 −y2)



Bài 3: Cho x+ + +y z xy+yz+zx= +1 xyz, xyz≠0 Chứng minh rằng :

( 2)( 2)( 2)

4



x y z

1/ ( )( )

2 2

(1) 1

z

= +

2/ ( ) ( )

2

(2) 1

z

= +



Bài 5: Cho x, y, z > 0 và thoả mãn x+ + +y z xy+yz+zx= +1 xyz Chứng minh rằng

( )(2 2) 2 2

ym

0

s

yz

=

∑

2 Bất đằng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Bài toán 1: (Đại học kiến trúc TP.HCM 1993) Chứng minh nếu x <1 và n là một số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: (1+x) (n+ −1 x)n<2n (1)

Giải: Vì x <1 nên ta đặt x=cost , t∈( )0;π , khi đó (1)⇔ +(1 cost) (n+ −1 cost)n <2n

Ta có : (1 ost) (1 ost) 2 os 2n sin 2

c

π

n

2 os sin 2 os sin 2

⇒ đpcm

Bài toán 2: Cho x2+y2−2x−4y+ =4 0 Chứng minh rằng :

2 2 2 3 2 1 2 3 4 2 3 3 4 3 2

Giải: Ta có: 2 2 ( ) (2 )2

x +y − x− y+ = ⇒ x− + y− =

Đặt x− =1 sinα , y− =2 cosα α, ∈(0;2π)⇒x= +1 sin ,α y= +2 cosα

2 2

6

Suy ra A ≤2 (đpcm)

0≤ ≤a i 1,i=1, 2, ,n n∈ℕ Chứng minh rằng:

( 2)( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 2)

Giải: Đặt tan 0

i

 , vì cos α ≥ i 0 (i= 1,n) nên hiển nhiên ta có:

(1+cosα1)(1+cosα2) ( 1+cosαn)≥ +1 cosα1 osc α2 osc αn (1)

Thay

2

i

2

1 tan

2 os

1 tan

2

i

i c

α

+

thay vào (1) ta có

n

Đẳng thức xảy ra ⇔ =a1 a2 = =a n =1

Bài tập tự luyện:



Bài 1: Chứng minh với ∀x y z, , ∈ℝ, ta có:

1 1 1 1 1 1



Bài 2: Cho a b c, , ∈ℝ và thoả mãn 0 , , 1

1

a b c

ab bc ca

< <





S



Bài 3:

a) Cho x,y,z thoả x2+y2+z2 =1 Tìm Max của A=xy+yz+2zx

b) Cho a, b, c thoả mãn a2+9b2+9c2+ =6 k2 (k là hằng số dương) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B= + ab+ ac+ bc



Bài 4: (Vietnam MO 1998) Xét các số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc+ + =a c b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P



Bài 5: Cho 13 số thực a a1, 2, ,a13 khác nhau đôi một Chứng minh rằng tồn tại hai số a j, a k (1≤ j k, ≤13)

i k

a a

a a

Bài 6: Cho bốn số thực dương CMR: luôn tồn tại hai số x, y sao cho: 0 2 3

−

3 Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình:

Bài toán 1: Giải phương trình sau: ( 2 )( 2 )2 1

x

− − = − ở trong khoảng (0;1)

Giải: Với x∈( )0;1 , đặt x=cost, 0;

2

t  π

  Khi đó ta có phương trình:

32 ost cos t -1 2 os 1 1

ost

c

32 os sin os 2c t t c t 1 cost

8sin 2 os 2t c t 1 cost 2sin 4t 1 cost 1- cos8t =1-cost

2 7 os8t cost 8t 2

2 9

π



=



 =



ℤ

Kết hợp với 0

2

Vậy các nghiệm của phương trình là : os2 , os2 , os4

Bài toán 2: (Vô định quốc gia 1984) Giải phương trình 2( ( )3 ( )3) 2

1 + 1 −x 1 +x − 1 −x = + 2 1 −x (1)

Giải: ĐK: 1 0

1 1

1 0

x

x x

+ ≥



⇔ − ≤ ≤



− ≥



(1)⇔ 1 sin+ t 1+cost − 1−cost = +2 sint

2

t

os sin os sin 2 2 2 sin

t

os sin os sin 1 os sin 2 2 2 sin

1

os sin 1 sin 2 2 2 sin 2 ost 2 + sint 2 sin

2 ost = 1 cost =

2

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2

2

x=

Bài toán 3: Giải phương trình (3 2 2 + ) (x= 2 1 − )x+ 3 (*)

Giải: Nhận xét rằng ( 2 1 + )( 2 1 − =) 1, ( ) ( ) (2 ) ( )

Đặt ( 2 1) 2 ( 0)

x

t t

t

Dễ dàng chứng minh pt trên chỉ nghiệm t∈ −[ ]1;1 , nên ta đặt t=cos ,α α( ∈[ ]0;π )

t t c α c α c α α π k π k

π π π

os ; os ; os

Khi đó nghiệm của pt (*) là

log 2 os ; log 2 os ; log 2 os

Một số bài tập tự luyện:



Bài 1: (Đề thi Olympic 30-4-1994) Giải phương trình : 2 2

1

a a

a a

 +  − −  =



Bài 2: (Đề thi Olympic 30-4-2000) Định m để phương trình sau có nghiệm:

(4m−3) x+ +3 (3m−4) 1− + − =x m 1 0



Bài 3: (Thi HSG trường PTNK-ĐHQGTPHCM 2000) Giải phương trình:

2x + 1− +x 2x 1−x =1



Bài 4: (IMO 1976) Cho f x( )=x2−2 Đặt f2( )x = f (f x( ) ); f n( )x = f(f n−1( )x )

Chứng minh rằng pt : f n( )x =0 có đúng 2n nghiệm phân biệt



Bài 5: (Đề nghị Olympic 30-4-2000, tinh Tiền Giang) Giải phương trình: ( )

3 3 1

3 3 1

3 3 1

x x y x

y y z y

z z x z











Bài 6: (Đề dự tuyển IMO 1995, Hoa Kì) Cho các số thực dương a, b, c, hãy tìm các số x, y, z sao cho :

4

x y z a b c xyz a x b y c z abc

+ + = + +









Bài 7: Giải hệ phương trình: 3 1 4 1 5 1

1



4 Tính giới hạn của dãy số

Bài toán 1: (Đề nghị Olympic 30-4-2000, tỉnh Đồng Tháp) Cho dãy số được xác định như sau:

x0 = 2 ,x n+1= 2+x n ,∀ ∈n ℕ Tìm lim n

Giải: Ta có

n+2

2 os

2

n

x = c π Khi đó

n+2

2

n

Bài toán 2: Cho dãy số {un} :

2 1

n n

n

u

u

+

Giải: Đặt

2

 , và chú ý rằng 2 1 tan

8

π

2

tan tan

8

1 tan tan

8

u

π

ϕ π

ϕ

−

,

3

tan tan

tan 2.

8

1 tan tan

u

ϕ

ϕ

Bằng quy nạp ta chứng minh được tan ( 1) , 1

8

n

Vậy nên

2010

tan tan

8

1 tan tan

8

u

π ϕ

ϕ

Bài tập tự luyện:



Bài 1: Cho hai dãy số {u} và {v} xác định như sau:

2

1,

n n

v

n v

v

+

+







∀ ∈



+ −





Bài 2: (Vietnam MO 1989) Cho dãy {xn}, n∈ℕ, x ≤1 và 1 ( )

1

3 3 2

a) Cần có thêm điều kiện gì đối với x1 để dãy {xn} gồm toàn số dương

b) Dãy số này có tuần hoàn hay không? Vì sao?



Bài 3: Cho dãy số xác định bởi: 1

2 1

1

, 1, 2,

2 1 1 2

u

n

=





=





Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số A sao cho dãy số {vn} : n ,

n

u

A

5 Ứ ng dụng trong các bài toán tích phân:

Dạng tích phân Đổ i biến số Đ iều kiện biến số

,

2 2

,

∫

ost

a x c

t  π  π π 

∈  ∪ 

,

f x x +a dx

2

∈  

, a x

2

t= π

sin

2

t  π

Bài thí dụ: Tính

1 2

0

1 1

x

x

+

=

−

Giải: Đặt x=cost⇒dx = -sintdt, đổi cận 1

x= ⇒t=π x= ⇒t=π

2

2 2

2 os

2

t c

t c

( ) / 2

/ 3

3