Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC VŨ THỊ MỪNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC VŨ THỊ MỪNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Học viên Vũ Thị Mừng Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Một số kiến thức 1.1 1.2 Các hàm số lượng giác 1.1.1 Hàm số y = sin x y = cos x 1.1.2 Hàm số y = tan x y = cot x 1.1.3 Bài tập Đa thức lượng giác 12 Một số loại phương trình lượng giác 2.1 2.2 2.3 15 Phương trình lượng giác 16 2.1.1 Phương trình lượng giác 16 2.1.2 Các ví dụ 17 2.1.3 Bài tập áp dụng 23 Phương trình a cos x ± b sin x = c 24 2.2.1 Phương pháp giải 24 2.2.2 Các ví dụ 24 2.2.3 Bài tập áp dụng 28 Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng sin x cos x 28 2.4 2.5 2.3.1 Phương pháp giải 28 2.3.2 Các ví dụ 30 2.3.3 Bài tập áp dụng 35 Phương trình đẳng cấp sin x cos x 35 2.4.1 Phương pháp chung 35 2.4.2 Các ví dụ 36 2.4.3 Bài tập áp dụng 41 Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 42 2.5.1 Tổng hạng tử không âm 42 2.5.2 Phương pháp đánh giá hai vế 45 Một số ứng dụng lượng giác đại số 54 3.1 Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số 54 3.2 Chứng minh toán đẳng thức bất đẳng thức 64 3.3 Bài toán cực trị 70 3.4 Xác định công thức tổng quát dãy số 74 KẾT LUẬN 82 Tài liệu tham khảo 83 Tài liệu tham khảo 83 LỜI NÓI ĐẦU Hiện với việc đổi toàn diện cách kiểm tra đánh giá lực Bộ Giáo Dục Đào Tạo Chủ trương giảm tải chương trình sách giáo khoa với việc đổi cách thức tổ chức kì thi quốc gia Thì việc trọng rèn luyện phương pháp tự học cần thiết Đối với môn Toán công việc giáo viên hướng dẫn học sinh công thức để học sinh tự giải tập phát huy tính tích cực học tập học sinh Đối với chương trình toán trung học phổ thông phương trình lượng giác nội dung quan trọng kỳ thi tuyển sinh đại học năm có câu giải phương trình lượng giác Việc giảng dạy lượng giác đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học phổ thông, phần kiến thức phương trình lượng giác chiếm vai trò trọng tâm Kèm theo học toán lượng giác giúp học sinh mở rộng tư lượng giác có nhiều cách giải Số lượng công thức lượng giác cần nhớ nhiều đòi hỏi học sinh phải làm nhiều tập để nhớ kiến thức Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp chương trình phổ thông, không nêu đầy đủ chi tiết tất dạng toán phương trình Vì học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán nâng cao phương trình lượng giác đề thi Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo lượng giác với nội dung khác nhau, chưa có chuyên đề riêng khảo sát phương trình cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng toán đại số lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít với nhau, tách rời Nhiều toán lượng giác cần có trợ giúp đại số, giải tích ngược lại, ta dùng lượng giác để giải số toán phương trình hệ phương trình đại số thông qua cách đặt ẩn phụ hàm lượng giác Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục, luận văn "Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng" nhằm hệ thống kiến thức phương trình lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương trình theo phương pháp giải chúng Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương Một số kiến thức - Nhắc lại kiến thức hàm số lượng giác - Nhắc lại khái niệm đa thức lượng giác số tính chất Chương Một số loại phương trình lượng giác - Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải - Một số ví dụ cho phương pháp - Bài tập ứng dụng Chương Một số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày số ví dụ ứng với dạng toán - Một số tập tương tự Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Học viên Vũ Thị Mừng Chương Một số kiến thức 1.1 Các hàm số lượng giác Nhiều tượng tuần hoàn đơn giản thực tế mô tả hàm lượng giác Chương cung cấp kiến thức hàm số lượng giác, đa thức lượng giác Hình 1.1: Đường tròn lượng giác Hàm số y = sin x y = cos x 1.1.1 a) Định nghĩa 1.1.1 • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sin x • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với côsin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số côsin, kí hiệu y = cos x Nhận xét • Hàm số y = sin x hàm số lẻ sin(−x) = − sin x với x thuộc R • Hàm số y = cos x hàm số chẵn cos(−x) = cos x với x thuộc R b) Tính tuần hoàn Ta biết, với số nguyên k, số k2π thỏa mãn sin(x + k2π) = sin x với x Ngược lại, chứng minh số T cho sin(x + T ) = sin x với x phải có dạng T = k2π, k số nguyên Rõ ràng, số dạng k2π(k ∈ Z), số dương nhỏ 2π Vậy hàm số y = sin x, số T = 2π số dương nhỏ thỏa mãn sin(x + T ) = sin x với x Hàm số y = cos x có tính chất tương tự Ta nói hai hàm số hàm số tuần hoàn với chu kì 2π c) Tập giá trị tập xác định - Hàm số y = sin x, y = cos x xác định với x ∈ R nghĩa tập xác định hàm số y = sin x, y = cos x D = R - Khi x thay đổi, hàm số y = sin x hàm số y = cos x nhận giá trị thuộc đoạn [−1; 1] Ta nói tập giá trị hàm số y = sin x y = cos x đoạn [−1; 1] d) Vài giá trị đặc biệt 0o x 90o π 180o π 270o 3π 360o 2π cos x -1 sin x -1 1.1.2 Hàm số y = tan x y = cot x a) Định nghĩa 1.1.2 π • Với số thực x mà cos x = 0, tức x = sin x định số thực tan x = Đặt D1 = R\ cos x Quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D1 với + kπ (k ∈ Z), ta xác π + kπ|k ∈ Z sin x số thực tan x = cos x gọi hàm số tang, kí hiệu y = tan x • Với số thực x mà sin x = 0, tức x = kπ (k ∈ Z), ta xác định cos x số thực cot x = Đặt D2 = R\{kπ|k ∈ Z} sin x cos x Quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D2 với số thực cot x = sin x gọi hàm số côtang, kí hiệu y = cot x Nhận xét • Hàm số y = tan x hàm số lẻ x ∈ D1 −x ∈ D1 tan x = − tan x • Hàm số y = cot x hàm số lẻ x ∈ D2 −x ∈ D2 cot x = − cot x b) Tính chất tuần hoàn Có thể chứng minh T = π số dương nhỏ thỏa mãn tan (x + T ) = tan x với x ∈ D1 , T = π số dương nhỏ thỏa mãn cot (x + T ) = cot x với x ∈ D2 Ta nói hàm số y = tan x y = cot x hàm số tuần hoàn với chu kì π c) Tập xác định Hàm số Xác định tan x x= cot x π + kπ Tập xác định D = R\{ π2 + kπ, k ∈ Z} D = R\{kπ, k ∈ Z} x = kπ d) Vài giá trị đặc biệt 0o tan x 90o π || cot x || x 180o 360o 270o 3π || || || π 2π Nhận xét • Khi tan x = cot x không xác định đảo lại: • Khi cot x = tan x không xác định 1.1.3 Bài tập Bài 1.1.1 Tính sin x, cos x, tan x, cot x với cung x 390o , −420o , 810o Lời giải Phương hướng chung để giải tập ta đưa cung x dạng x = x0 + k360o với k ∈ Z |x0 | < 180o , từ tìm vị trí đầu cung x tính giá trị lượng giác cần tìm a) Ta có: x = 390o = 30o + 1.360o Vậy: • sin x = sin 30o = √ • tan x = tan 30o = √ √ • cot x = cot 30o = • cos x = cos 30o = b) Ta biểu diễn x dạng sau: x = −420o = −60o − 1.360o Vậy: √ − • sin x = sin(−60 ) = • cos x = cos(−60o ) = √ • tan x = tan(−60o ) = − o −1 • cot x = cot(−60o ) = √ c) Ta có: x = 810o = 90o + 2.360o Vậy: • sin x = sin 90o = • cos x = cos 90o = • tan x không xác định • cot x = 10 Bài 1.1.2 Xác định x (rađian) để hàm số sau xác định: π a) y = tan − 2x ; π + b) y = cot2 x + π − 2x xác định khi: π cos − 2x = Lời giải a) Hàm số y = tan −π π −k 12 π −π π Vậy hàm số y = tan − 2x xác định x = − k , k ∈ Z 12 Tức x = cot2 x + b) Hàm số y = Hàm số cot x + Tức sin x + Hay x = π π xác định = −π + kπ Vậy hàm số y = π + xác định cot2 x + π −π + xác định x = +kπ, k ∈ 6 Z Bài 1.1.3 Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hoàn, tìm chu kì xét tính chẵn lẻ hàm số: a) y = cos2 x − sin2 x; b) y = cos2 x + sin2 x Lời giải a) Ta có y = cos2 x − sin2 x = cos 2x hàm số tuần hoàn với chu kì π Nó hàm số chẵn b) Ta có y = cos2 x + sin2 x = với x 11 nên y hàm hằng, với số T ta có cos2 (x + T ) + sin2 (x + T ) = cos2 x + sin2 x với x hàm số tuần hoàn chu kì (trong số T dương số T nhỏ nhất) Hàm hàm số chẵn 1.2 Đa thức lượng giác Định nghĩa 1.3 Hàm số có dạng An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx, an bn không đồng thời (tức a2n + b2n > 0), , bj ∈ R với i = 0, 1, 2, , n; j = 0, 1, 2, , n gọi đa thức lượng giác bậc n(n ∈ N ∗ ) Khi tất = với i = 1, 2, , n ta có Định nghĩa 1.1.4 Hàm số có dạng Sn (x) = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx (bn = 0), gọi đa thức lượng giác bậc n theo sin Tương tự tất bj = với j = 1, 2, , n ta có Định nghĩa 1.1.5 Hàm số có dạng Cn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an cos nx (an = 0), gọi đa thức lượng giác bậc n theo cosin Sau ta liệt kê số tính chất đơn giản đa thức lượng giác Tính chất 1.1 Tổng hai đa thức lượng giác An Bm đa thức lượng giác có bậc nhỏ max{n, m} Tính chất 1.2 Tích hai đa thức lượng giác An Bm đa thức lượng giác có bậc n + m Tính chất 1.3 Nếu đa thức lượng giác 12 An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx, đồng với x ∈ R tất hệ số 0, tức a0 = a1 = b1 = a2 = b2 = · · · = an = bn = Ví dụ 1.2.1 Chứng minh hàm số f (x) = sin2p x (p số tự nhiên) đa thức lượng giác theo cosin Lời giải Từ công thức eix = cos x + i sin x dễ dàng suy eix − e−ix eix + e−ix sin x = ; cos x = 2i Do 2p sin x= eix − e−ix 2i 2p , suy p (−1) f (x) = 2p 2p k k (−1) C2p eikx e−i(2p−k)x k=0  p (−1) = 2p  p−1  2p (−1) k k C2p e2ikx−2ipx + k=0 (−1) (−1) k k C2p e 2i(k−p)x +e −2i(k−p)x k=0 p p−1 (−1) = 2p−1 (−1) k=0 k C2p e2i(k−p)x  k=p+1 p p−1 (−1) = 2p k k k C2p cos 2(k p C2p + 2p p C2p + 2p p C2p − p)x + 2p Vậy f (x) đa thức lượng giác bậc 2p theo cosin Ví dụ 1.2.2 Biểu diễn hàm số sinn x cosn x dạng đa thức lượng giác Lời giải Giả sử z = cos t + i sin t Khi −1 z −1 = (cos t + i sin t) Do 13 = cos t − i sin t cos t = z + z −1 sin t = z − z −1 2i Ta có z + z −1 = n = z n + Cn1 z n−1 z −1 + Cn2 z n−2 z −2 + · · · + Cnn−1 zz −n+1 + z −n  n  (z n + z −n ) + Cn1 z n−2 + z −(n−2) + · · · + Cn2 (nếu n chẵn) n−1  (z n + z −n ) + C z n−2 + z −(n−2) + · · · + Cn z + z −1 n (nếu n lẻ) Và z − z −1 = n n = z n − Cn1 z n−1 z −1 + Cn2 z n−2 z −2 + · · · + (−1) z −n  n n  (z n + z −n ) − Cn1 z n−2 + z −(n−2) + · · · + (−1) Cn2 n−1 n−1  (z n + z −n ) − C z n−2 − z −(n−2) + · · · + (−1) Cn z + z −1 n Vậy  1 n   n−1 cos nx + Cn1 cos (n − 2) x + · · · + Cn2 cosn x = n−1   1 cos (n − 2) x + · · · + C cos x cos nx + C n n 2n−1 (n chẵn) (n lẻ)  n n  n (−1)  2  cos nx − 2C cos (n − 2) x + · · · + (−1) C  n n n sinn x = n−1  n−1 n−1  (−1)  2  sin nx − 2iC sin (n − 2) x + · · · + (−1) C sin x n n 2n 14 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2008), Chuyên đề chọn lọc: Dãy số áp dụng [2] Tạp chí Toán học tuổi trẻ [3] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), Lượng giác, NXB Giáo dục [4] Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo (1998), Phương pháp giải toán lượng giác luyện thi vào đại học, NXB Trẻ [5] Vũ Thế Hựu (2002), Phương pháp lượng giác hóa, NXB Giáo dục [6] http://luanvan.net.vn/luan-van/luan-van-mot-so-phuong-phap-giaiphuong-trinh-va-bat-phuong-trinh-luong-giac-51715/ 83 ... "Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng" nhằm hệ thống kiến thức phương trình lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương trình. .. số loại phương trình lượng giác - Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải - Một số ví dụ cho phương pháp - Bài tập ứng dụng Chương Một số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày... NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC VŨ THỊ MỪNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người