Tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện trong dạy học toán 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Diễm Ly TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG DẠY HỌC TOÁN 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Diễm Ly TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG DẠY HỌC TOÁN 11 Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 14 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan nội dung luận văn công trình nghiên cứu thân Tất tham khảo từ nghiên cứu có liên quan ghi rõ nguồn gốc từ danh mục tài liệu tham khảo luận văn Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực xác TP Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 09 năm 2013 Tác giả luận văn Đoàn Thị Diễm Ly LỜI CẢM ƠN Trước hết xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, giảng viên khoa Toán trường ĐH Sài Gòn, người bỏ nhiều công sức, thời gian giúp đỡ làm quen với công việc nghiên cứu tận tình hướng dẫn, động viên hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga quý thầy cô tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu suốt thời gian tham gia lớp cao học chuyên ngành didactic Toán Xin chân thành cảm ơn TS Hamid Chaachoua, TS Alain Birebent có ý kiến đóng góp quý báu cho đề cương luận văn Xin chân thành cảm ơn: • Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh tạo thuận lợi cho suốt khóa học • Ban giám hiệu thầy cô tổ Toán trường THPT Thường Tân (Bình Dương), bạn Nguyễn Thị Tuyết Lan HS 11A1 trường THPT Tân Phước (Tiền Giang), bạn Nguyễn Thị Thùy Liên HS 11H trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Vũng Tàu), anh chị cao học viên giúp đỡ hỗ trợ cho thực nghiệm, tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến bạn học viên lớp didactic Toán khóa 22, người chia sẻ khó khăn, vui buồn với suốt năm tháng cao học Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn người thân yêu gia đình động viên, khích lệ, quan tâm giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn Đoàn Thị Diễm Ly MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Phạm vi lý thuyết tham chiếu: Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu 12 CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN 14 1.1 Phân tích chương trình 14 1.2 Các dạng PTLG thể chế I 15 1.2.1 PTLG 15 1.2.2 Phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác 18 1.2.3 Dạng phương trình bậc sinx cosx 19 1.2.4 Dạng phương trình bậc hai sinx cosx 20 1.2.5 Một số dạng PTLG không mẫu mực 20 1.2.6 Các tổ chức toán học liên quan đến PTLG 20 1.3 PTLG có điều kiện 28 1.3.1 Một số phân tích PTLG có điều kiện thể chế 28 1.3.2 Một số kỹ thuật chọn nghiệm PTLG có điều kiện 30 1.4 Kết luận chương 40 CHƯƠNG 2: MÔI TRƯỜNG SINH THÁI LƯỢNG GIÁC CỦA VIỆC CHỌN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG DẠY HỌC TOÁN 11 42 2.1 Lý thuyết góc cung lượng giác 43 2.2 Đường tròn lượng giác 44 2.3 Biểu diễn cung lượng giác, góc lượng giác ĐTLG 46 2.4 Một số công thức, tính chất đặc biệt góc lượng giác 47 2.5 Nghiệm phương trình lượng giác 48 2.6 Tính chất hàm số lượng giác 49 2.7 Kết luận chương 51 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM 53 3.1 Bài toán thực nghiệm HS 53 3.1.1 Bài toán thực nghiệm HS mục đích xây dựng 53 3.1.2 Phân tích tiên nghiệm toán thực nghiệm 56 3.1.3 Phân tích hậu nghiệm 75 3.2 Kết luận thực nghiệm 95 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 PHỤ LỤC 100 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT CÁC CHỮ VIẾT TẮT: HS: học sinh THPT: trung học phổ thông SGK: sách giáo khoa GV: giáo viên SGKNC10: sách giáo khoa Đại số Giải tích nâng cao 10 SGVNC10: sách giáo viên Đại số Giải tích nâng cao 10 SBTNC10: sách tập Đại số Giải tích nâng cao 10 SGKNC11: sách giáo khoa Đại số Giải tích nâng cao 11 SGVNC11: sách giáo viên Đại số Giải tích nâng cao 11 SBTNC11: sách tập Đại số Giải tích nâng cao 11 LG : Lượng giác ĐTLG: Đường tròn lượng giác PTLG: phương trình lượng giác ĐKXĐ: Điều kiện xác định ĐK : Điều kiện Tr : trang MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong thể chế dạy học Toán Việt Nam chương trình đại số toán học phổ thông, loại phương trình xuất đa dạng chiếm vị trí quan trọng, PTLG đặc biệt PTLG có điều kiện loại phương trình khó, gây cho học sinh nhiều khó khăn việc tiếp cận thực hành giải toán HS học loại phương trình chương trình lớp 11 thực tế chúng xuất đề thi đại học hàng năm Ở đây, dùng cụm từ “PTLG có ĐK” để nói đến PTLG có ẩn hàm số LG thức mẫu thức phương trình (hay PTLG có ĐKXĐ) Đặc biệt hơn, PTLG có nét đặc trưng riêng so với phương trình đại số thông thường khác Việc so sánh nghiệm với ĐK giải phương trình đại số thông thường tương đối đơn giản, tuý so sánh số thay hữu hạn nghiệm phương trình nhận vào điều kiện để kiểm tra Tuy nhiên việc làm PTLG có điều kiện tương đối khó khăn nghiệm PTLG hữu hạn nghiệm mà vô số nghiệm ( họ nghiệm), họ nghiệm lại có giá trị thoả mãn, có giá trị không nên thường làm cho học sinh lúng túng Dạng phương trình PTLG có ĐK xem khó, HS phải vận dụng nhiều kiến thức liên quan đến lượng giác để so sánh nghiệm ĐK nhiều phương pháp như: phương pháp hình vẽ - biểu diễn nghiệm lên ĐKXĐ, phương pháp đại số, biến đổi góc cung cho phù hợp với góc cung điều kiện hay không giải ĐK sau tìm nghiệm thay trực tiếp vào điều kiện để kiểm tra nhận loại… Với lý thực tế trên, định tìm hiểu thêm sách giáo khoa có thực nghiệm nhỏ yêu cầu học sinh giải toán liên quan đến PTLG có điều kiện thu kết ban đầu sau: + Về dạng PTLG có điều kiện xuất nhiều sách giáo khoa sách tập + Về toán thực nghiệm, thu kết làm tiêu biểu HS lớp 11 (2 HS có điểm trung bình môn Toán trường THPT Thường Tân, huyện Tân Uyên, tỉnh Bình Dương) sau: Giải phương trình: sin x + cos x = cos x HS1: Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π +k π sin x + cos x π  = ⇔ cos  x −  = cos x cos x 4  π  ⇔ cos  x − =  4  π  − + k 2π (1) x = cos x ⇔  π 2π = x (2) +k  12 π π 2π Vậy nghiệm phương trình x = − + k 2π x = (k ∈ Z ) +k HS2: ĐK: cos x ≠ ⇔ x ≠ π +k 12 π sin x + cos x 1 2⇔ sin x + cos x = cos x = cos x 2 π  cos x ⇔ cos  x −  = 4  π  x= − + k 2π (1)  π  ⇔ cos  x − =  cos x ⇔  2π π 4  = (2) x +k  12 π 2π So sánh với điều kiện, nghiệm phương trình x = (k ∈ Z ) +k 12 Dựa vào kết này, nhận thấy HS thực phép biến đổi bước giải phương trình tốt, kết luận nghiệm sai HS không so sánh nghiệm với ĐK, HS loại họ nghiệm (1) họ nghiệm (2) lại có số giá trị vi phạm điều kiện cho Vì hai HS không thực tốt việc chọn nghiệm PTLG có ĐK, kỹ thuật chọn-loại nghiệm rõ ràng Từ ghi nhận này, tự hỏi yếu tố chi phối đến trình chọn nghiệm HS toán trên? Việc HS giải PTLG có ĐK gặp khó khăn việc hình thành kỹ thuật chọn nghiệm loại phương trình có thể chế đề cập cách tường minh hay cách khác mà HS hình thành kỹ thuật chọn nghiệm? Và liệu HS vận dụng kiến thức học để giải kiểu nhiệm vụ giải PTLG có điều kiện nào? Muốn trả lời rõ ràng câu hỏi này, dẫn tới việc có nhu cầu tìm hiểu nghiên cứu đề tài "Tìm nghiệm PTLG có điều kiện dạy học toán 11", đồng thời đặt câu hỏi xuất phát sau cụ thể sau: Q’1: Các dạng PTLG PTLG có điều kiện trình bày thể chế dạy học Việt Nam nay? Việc so sánh nghiệm với ĐK loại phương trình trình bày SGK? Những điều có ảnh hưởng đến cách chọn nghiệm PTLG có điều kiện HS thực hành giải toán liên quan đến PTLG có điều kiện? Q’2: Những kiến thức toán học chi phối trực tiếp đến kĩ chọn nghiệm PTLG có điều kiện HS THPT, kiến thức ảnh hưởng lên trình giải toán PTLG có ĐK? Q’3: HS hình thành kỹ chọn nghiệm PTLG có điều kiện chủ yếu qua đường nào,và với kỹ đó, HS giải toán lượng giác đề thi Đại học nào? Giáo viên có phương án dạy học giúp HS vượt qua khó khăn chọn nghiệm PTLG có ĐK? Phạm vi lý thuyết tham chiếu: Chúng đặt nghiên cứu phạm vi Didactic toán, cụ thể “Lý thuyết nhân chủng học” khái niệm “Hợp đồng didactic” Về khái niệm Thuyết nhân học hợp đồng didactic, sách song ngữ Những yếu tố didactic toán (2009) trình bày đầy đủ, nên trình bày tóm tắt khái niệm Những khái niệm lược trích từ sách song ngữ nêu Đồng thời, cố gắng làm rõ tính thỏa đáng cho lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu 2.1 Lý thuyết nhân chủng học Theo Chevallard: “Một tri thức không tồn “lơ lửng” khoảng rỗng: tri thức xuất thời điểm định, xã hội định, cắm sâu vào nhiều thể chế” (Chevallard, 1989) Hay nói cụ thể hơn, tri thức tri thức thể chế, tri thức sống thể chế khác Mỗi tri thức muốn tồn thể chế cần phải tuân thủ theo số ràng buộc Do phải biến đổi để phù hợp với thể chế mà đứng Hay nói cách khác, đối tượng tri thức O chịu ràng buộc với cá nhân X thể chế I • Quan hệ cá nhân Một đối tượng O tồn cá nhân X Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói nó, nghĩ nó, … R(X, O) rõ cách thức mà X biết O Mỗi người cá nhân, thời điểm xác định lịch sử nó, tập hợp mối quan hệ cá nhân với đối tượng mà biết Dưới quan điểm này, học tập điều chỉnh mối quan hệ cá nhân X với O Hoặc quan hệ bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), quan hệ bị biến đổi (nếu tồn tại) Sự học tập làm thay đổi người • Quan hệ thể chế Một cá nhân X tồn lơ lửng mà luôn phải thể chế I Từ suy việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải đặt thể chế I có tồn X Hơn thế, I O phải có quan hệ xác định Đối tượng O tồn độc lập thể chế Nói cách khác, O sống mối quan hệ chằng chịt với đối tượng khác O sinh ra, tồn phát triển mối quan hệ Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) O phát triển có lý tồn (raison d’être), nuôi dưỡng quan hệ, ràng buộc Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O), để tập hợp mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trò I, … Phân tích sinh thái phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) Hiển nhiên, thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R (I, O) Việc học tập cá nhân X đối tượng tri thức O trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) Hiển nhiên, tri thức O tồn thể chể I khác (chẳng hạn thể chế dạy học Việt Nam, Pháp) có mối quan hệ khác với cá nhân X (chẳng hạn giáo viên, học sinh) Do muốn nghiên cứu quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, cần phải đặt mối quan hệ thể chế I mà cá nhân X đứng với tri thức O Một câu hỏi đặt làm để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học cung cấp cho công cụ để thực công việc • Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội Do đó, cần thiết xây dựng mô hình cho phép mô tả nghiên cứu thực tế Xuất phát từ quan điểm mà Chevallard (1998) đưa vào khái niệm praxeologie Theo Chavallard, praxeologie gồm thành phần [T, τ , θ , Θ ], đó: T kiểu nhiệm vụ, τ kỹ thuật cho phép giải T, θ công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa công nghệ công nghệ θ Một praxeologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học (organisation mathématique) Theo Bosch.M Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với đối tượng tri thức O tiến hành thông qua việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O: “Mối quan hệ thể chế với đối tượng […] định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm vị trí thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định” Hơn thế, theo Bosch M Chevallard Y, việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O cho phép ta hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X (tồn I) với O, vì: “Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói trên” Như vậy, với công cụ Lý thuyết nhân chủng học phân tích làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán Việt Nam với đối tượng tính toán đại số, đối tượng hàm số hai đối tượng có quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ 10 mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng nêu Điều cho phép trả lời câu hỏi ban đầu mà đặt 2.2 Hợp đồng didactic Để làm rõ mối quan hệ thể chế I với đối tượng O, công cụ quan trọng khái niệm hợp đồng didactic Theo G Brousseau (1980), Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng dạy- học mô hình hóa quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng “Hợp đồng tập hợp quy tắc (thường không phát biểu tường minh) phân chia hạn chế trách nhiệm thành viên, học sinh giáo viên, tri thức giảng dạy” (Bessot tác giả) Hợp đồng chi phối quan hệ thầy trò kế hoạch, mục tiêu, định, hoạt động đánh giá sư phạm Chính hợp đồng lúc vị trí tương hỗ đối tác nhiệm vụ phải hoàn thành rõ ý nghĩa sâu sắc hoạt động tiến hành, phát biểu lời giải thích Nó quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà học tập nhà trường phải trải qua Để thấy hiệu ứng hợp đồng didactic, người ta tiến hành sau: • Tạo biến loạn hệ thống giảng dạy, cho đặt thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) tình khác lạ gọi tình phá vỡ hợp đồng cách: – Thay đổi ĐK sử dụng tri thức – Lợi dụng việc HS chưa biết vận dụng số tri thức – Tự đặt lĩnh vực tri thức xét sử dụng tình mà tri thức xét giải – Làm cho GV đối mặt với ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi học sinh • Phân tích thành phần hệ thống giảng dạy tồn cách: – Nghiên cứu câu trả lời HS học – Phân tích đánh giá HS việc sử dụng tri thức – Phân tích tập giải ưu tiên SGK 11 Như vậy, việc nghiên cứu quy tắc hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng tính toán đại số nghiên cứu vấn đề hàm số cho phép “giải mã” ứng xử học sinh tìm ý nghĩa hoạt động mà họ tiến hành Tóm lại, việc đặt nghiên cứu phạm vi “Lý thuyết nhân chủng học” khái niệm “Hợp đồng didactic” theo thỏa đáng Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu lựa chọn, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Các dạng PTLG PTLG có điều kiện trình bày chương trình SGK lớp 11 hành? Có quy tắc ngầm ẩn hợp đồng didactic gắn liền với việc tìm nghiệm PTLG có điều kiện? Q2: Trong hệ thống dạy học toán THPT, kiến thức toán học lượng giác ảnh hưởng đến trình chọn nghiệm PTLG có điều kiện HS? Cách trình bày kiến thức SGK? Có quy tắc ngầm ẩn hợp đồng didactic gắn liền với kiến thức việc chọn nghiệm PTLG có điều kiện? Q3: Những ràng buộc thể chế dạy học ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân GV HS với việc thực hành giải PTLG có điều kiện? Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu 3.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt trên, cụ thể mục đích sau: • Làm rõ ảnh hưởng thể chế việc dạy học dạng PTLG trọng vào PTLG có ĐK, đặc biệt việc so sánh, loại-nhận nghiệm PTLG có ĐK Những lựa chọn sư phạm PTLG có ĐK ảnh hưởng yếu tố toán học lượng giác khác lên • Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng ảnh hưởng lựa chọn HS 3.2 Phương pháp nghiên cứu Đối với câu hỏi Q1: tiến hành phân tích chương trình sách giáo khoa toán phổ thông (cụ thể, sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11, ban nâng cao) Thông qua việc phân tích lý thuyết tổ chức toán học liên quan đến hàm số PTLG lớp 11, 12 làm rõ đặc trưng mối quan hệ thể chế với loại PTLG Toàn phần phân tích trình bày chương Thông qua việc phân tích chương trình, SGK, SGV tổ chức toán học, đưa quy tắc hợp đồng giả thuyết nghiên cứu liên quan đến việc so sánh nghiệm PTLG có ĐK, sai lầm mà học sinh hay gặp phải gặp dạng toán Nghiên cứu chương nhằm trả lời cho câu hỏi Q1 nêu Từ đó, cho phép đưa quy tắc hợp đồng giả thuyết liên quan đến câu hỏi Q3, là: lựa chọn thể chế ảnh hưởng lên mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh? Chương 2: Phân tích, tổng hợp số nghiên cứu khoa học luận, số sách tham khảo lượng giác PTLG, đặc biệt để làm rõ kiến thức ảnh hưởng đến trình giải tìm nghiệm PTLG có điều kiện HS Phân tích chương trình sách giáo khoa toán phổ thông Việt Nam để làm rõ mối quan hệ thể chế PTLG có điều kiện trả lời cho câu hỏi Q2, cụ thể phân tích SGK, SGV, SBT toán lớp 10 11 ban nâng cao nhằm làm rõ kiến thức lượng giác môi trường sinh thái việc tìm nghiệm PTLG có điều kiện, ảnh hưởng chúng lên GV HS thông qua quy tắc hành động hợp đồng Từ phân tích chương 2, tham chiếu tiến hành xây dựng giả thuyết nghiên cứu tiến hành xây dựng câu hỏi thực nghiệm Chương 3: dành để kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết hình thành chương 1; qua nghiên cứu thực nghiệm đối tượng học sinh lớp 11, vừa học xong nội dung PTLG Tìm hiểu phân tích mối quan hệ cá nhân giáo viên HS việc chọn nghiệm PTLG có điều kiện, cụ thể là: Thực nghiệm HS: tiến hành kiểm chứng quy tắc hợp đồng nêu có đủ mạnh để chi phối suy nghĩ kỹ thuật giải HS nào? Hình thức xây dựng vài toán thực nghiệm, yêu cầu HS giải kiểm tra Sau đó, quan sát, thu thập phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ ảnh hưởng quy tắc hợp đồng lên HS 13 CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN Ở chương này, nghiên cứu dạng PTLG dạy học nội dung PTLG theo chương trình hành lớp 11 ban nâng cao Chúng chọn SGK Đại số Giải tích 11 ban nâng cao SGK trình bày vấn đề hàm số PTLG đầy đủ sách giáo khoa lớp thuộc chương trình chuẩn, đối tượng HS sách HS giỏi Toán trường THPT, có nhu cầu thực tế tiếp cận với nhiều dạng toán nâng cao loại so với ban (dạng toán PTLG có điều kiện dạng toán khó HS ) Theo cách tiếp cận Thuyết nhân học didactic toán nghiên cứu quan hệ thể chế R(I, O), với O dạng PTLG, I thể chế dạy học theo chương trình toán nâng cao lớp 11 hành 1.1 Phân tích chương trình Trước HS thức học lượng giác chương trình toán 10; 11, chương trình toán lớp giai đoạn giới thiệu làm quen với lượng giác thông qua bài: hệ thức lượng tam giác vuông, giá trị lượng giác số góc đặc biệt Chương trình toán bậc trung học phổ thông hành, lượng giác đưa trực tiếp vào SGK 10, 11 chia làm hai phần sau: + Phần 1: Góc lượng giác công thức lượng giác Phần trình bày chương cuối Đại số 10 nhằm phục vụ cho việc học Vật lí, Sinh học bước đầu giới thiệu số ứng dụng Toán học vào thực tiễn Nội dung phần bao gồm vấn đề: xây dựng khái niệm lượng giác góc cung lượng giác; giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác; giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác có liên quan đặc biệt công thức lượng giác + Phần 2: Hàm số lượng giác PTLG Phần đưa tiếp vào chương Đại số Giải tích 11 chia làm với nội dung: hàm số lượng giác (trình bày khái niệm hàm số lượng giác biến số thực, khảo sát tính chất vẽ đồ thị hàm số); PTLG bản; số PTLG đơn giản Như vậy, phần lớn kiến thức lượng giác, công cụ để tính toán thực phép biến đổi lượng giác (chẳng hạn hệ thức lượng giác, công thức lượng giác) 14 nghiên cứu phần Trên sở đó, phần đề cập đến hàm số lượng giác biến số thực (khái niệm, số tính chất đặc trưng biến thiên, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, đồ thị) giải PTLG Về việc phân phối thời lượng cho hai nội dung hàm số lượng giác PTLG: Trong Tài liệu phân phối chương trình THPT áp dụng từ năm học 2008-2009 đến nay, chương trình Đại số Giải tích 11 nâng cao dành thời lượng 18 tiết cho chương (ngoài có tiết ôn tập, tiết thực hành với máy tính bỏ túi tiết kiểm tra cuối chương) Trong đó, nội dung hàm số lượng giác chiếm thời lượng tiết (3 tiết lí thuyết tiết luyện tập); tiết dành cho nội dung ôn tập công thức lượng giác để chuẩn bị cho phần PTLG học sau Phần PTLG chiếm thời lượng 12 tiết Như vậy, kể nội dung ôn tập công thức lượng giác tổng thời lượng dành cho PTLG 14/18 tiết Rõ ràng, PTLG nội dung trọng tâm chương Bên cạnh đó, việc dành thời lượng tiết để ôn tập công thức lượng giác chứng tỏ vai trò quan trọng phép biến đổi lượng giác việc giải PTLG Vấn đề đặt cho câu hỏi: Với thời lượng dành cho PTLG chiếm tỉ lệ lớn mối quan hệ cá nhân HS với thực hành giải dạng PTLG nào, đặc biệt việc tìm nghiệm, so sánh nghiệm với ĐK PTLG có điều kiện? HS hình thành phương pháp giải dạng PTLG nào, kỹ thuật so sánh nghiệm với ĐK cho trước? 1.2 Các dạng PTLG thể chế I Chúng nhắc lại, I thể chế dạy học nội dung PTLG lớp 11 theo chương trình nâng cao SGK hành 1.2.1 PTLG Theo SGVNC11, chương trình SGK đổi hành cố gắng quán triệt chủ trương: “Giảm tính lý thuyết kinh viện, tăng tính thực hành, gắn với thực tiễn đời sống góp phần đổi phương pháp dạy học, tránh áp đặt kiến thức tránh suy luận logic chặt chẽ phức tạp Hầu hết khái niệm đưa vào theo đường từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ ví dụ cụ thể đến khái niệm tổng quát ” [SGKNC11, tr.10] Do đó, trước bắt đầu vào 2, PTLG, [SGKNC11, tr.19] trình bày toán mang tính thực tiễn Con đường nhằm đem đến cho HS cách trình trực quan, sinh 15 động, hiểu khả ứng dụng vào thực tế khái niệm, kiến thức toán học Sau đó, SGK giới thiệu dạng PTLG sin x = m , cos x = m , tan x = m , cot x = m , x ( x ∈  ) ẩn số m số cho trước  Cách xây dựng “công thức nghiệm” PTLG “Công thức nghiệm” bốn PTLG sin x = m , cos x = m , tan x = m , cot x = m xây dựng dựa ĐTLG Quan điểm SGVNC11 vấn đề là: “Tận dụng tối đa phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác cách trực quan để khảo sát biến thiên hàm số lượng giác, giải phương trình lượng giác.” [SGKNC11, tr.10], “Nhằm giúp học sinh có hình ảnh trực quan xây dựng “công thức nghiệm” PTLG bản, SGK lựa chọn phương pháp dựa định nghĩa giá trị lượng giác ý nghĩa hình học chúng mà học sinh học lớp 10.” [SGVNC 11, tr.32] Với quan điểm trên, SGKNC11 tiến hành xây dựng “công thức nghiệm” PTLG theo bước Chẳng hạn phương trình sin x = m (I) + Bước 1: Tìm điểm M ĐTLG cho sin ( OA, OM ) = m (các điểm mà hình chiếu trục sin điểm K thỏa mãn OK = m ), ta điểm M1, M2 đối xứng qua trục sin (h1.19) Số đo (rađian) góc lượng giác (OA,OM1) (OA,OM2) tất nghiệm phương trình (Để HS dễ hiểu, SGKNC11 cho ví dụ cụ thể phương trình sin x = giá trị lượng giác góc quen thuộc) + Bước 2: Tìm α số đo (rađian) góc tương ứng với hai điểm M1 M2 Ta suy góc tương ứng với điểm lại π − α Do hàm số y = sin x tuần hoàn chu kì 2π nên ta có họ nghiệm phương trình là: x= α + k 2π x = π − α + k 2π ( k ∈  ) Sau SGKNC11 lưu ý sin x ≤ với x nên phương trình vô nghiệm m > có nghiệm  −π ; π  m ≤ đưa “công thức nghiệm”  2 tổng quát sau: 16 Phương trình sin x = m (I) Nếu α nghiệm phương trình (I), nghĩa sin α = m  x= α + k 2π m⇔ sin x =  x = π − α + k 2π ( k ∈ ) (*) Trong trường hợp m sin góc đặc biệt, người ta đưa khái niệm “arcsinm” Ở khái niệm hàm số ngược hàm số lượng giác không đề  π π cập đến, khái niệm “arcsinm” hiểu cung thuộc đoạn  − ;  có sin m  2 Riêng ý 3, SGK mở rộng PTLG thành sinP(x)=sinQ(x), P(x), Q(x) hai biểu thức chứa x Cách giải tương tự sinx=m, với m số thực mà đa thức chứa x, sau: ( x) Q( x) + k 2π  P= = sin P( x) sin Q( x) ⇔  π − Q( x) + k 2π  P( x) = Như vậy, SGKNC11 sử dụng ĐTLG kết hợp với tính chất tuần hoàn (tính chất giải tích) hàm số để đưa “công thức nghiệm” PTLG Sau hình thành “công thức nghiệm” phương trình sin x = m , SGKNC11 đưa nhận xét hoạt động sau: “Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đồ thị (G) hàm số y = sin x đường thẳng ( d ) : y = m hoành độ giao điểm (d) (G) (nếu có) nghiệm phương trình sin x = m H3 Trên đồ thị hàm số y = sin x (h 1.20), điểm có hoành độ khoảng ( 0;5π ) nghiệm phương trình sin x = ” [SGKNC11, tr.22] SGVNC11 giải thích ngắn gọn mục đích đưa hoạt động H3 là: “Giúp học sinh hiểu ý nghĩa hình học nghiệm PTLG” [SGVNC11, tr.36] Vậy bên cạnh công thức nghiệm, SGK dùng đồ thị để giải PTLG trình bày rõ ràng Các PTLG lại xây dựng tương tự, tức thông qua ĐTLG, 17 đặc biệt tan x = m (3) SGK nhấn mạnh cos x ≠ nhấn mạnh : “ α + kπ tất nghiệm (3), với α nghiệm (3) hiển nhiên họ nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định mà không cần thử lại” [SGKNC11, tr.25] Từ cách trình bày này, HS hiểu giải toán (3) HS không cần kiểm tra, so sánh họ nghiệm tìm với ĐKXĐ (tương tự cho phương trình cotx=m) Nhưng dạng tan P( x) = tan Q( x) : “Vấn đề không đơn giản vậy, HS phải ý đến điều kiện cos P( x) ≠ 0,cos Q( x) ≠ Tương tự cho dạng cot P ( x) = cot Q ( x) ”[SGVNC11, tr.34] Đây hai dạng PTLG có điều kiện mà SGK đề cập tới, việc đặt ĐK SGV ý cho GV, SGK không tường minh nhắc đến Từ phân tích trên, thấy vai trò quan trọng ĐTLG việc xây dựng hình thành nên nghiệm PTLG bản, bước đệm minh họa ý nghĩa hình học nghiệm PTLG Từ đó, đặt câu hỏi: Còn có dạng PTLG khác SGK trình bày nào? ĐTLG có vai trò việc giải tìm nghiệm dạng PTLG ? Để hiểu rõ câu hỏi đưa ra, tiến hành phân tích thêm SGK, tìm thêm đường đưa PTLG đến với HS tổ chức toán học thể chế I 1.2.2 Phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác - Phương trình bậc phương trình có dạng: = a sin f ( x ) + b ; = a cos f ( x ) + b ; = a tan f ( x ) + b ; = a cot f ( x ) + b ( a ≠ , f (x) đa thức bậc x) - Phương trình bậc hai phương trình có dạng: a sin x = + b sin x + c ; a cos x += b cos x + c a tan x += b tan x + c ; a cot x += b cot x + c ( a ≠ , f (x) đa thức bậc x) Hai- dạng PTLG SGK trình bày ngắn gọn, chủ yếu hướng dẫn cách giải, thực phép biến đổi đơn giản đặt ẩn phụ, chuyển vế, nhân chia, công thức lượng giác…về dạng PTLG học giải theo công thức nghiệm loại Ở đây, SGK thích thêm, rằng: 18 [...]... học theo chương trình toán nâng cao lớp 11 hiện hành 1.1 Phân tích chương trình Trước khi HS chính thức được học về lượng giác trong chương trình toán 10; 11, thì chương trình toán lớp 9 là giai đoạn giới thiệu làm quen với lượng giác thông qua bài: hệ thức lượng trong tam giác vuông, giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt Chương trình toán bậc trung học phổ thông hiện hành, lượng giác được đưa trực... SGK lớp 11 hiện hành? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn liền với việc tìm nghiệm của PTLG có điều kiện? Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở THPT, những kiến thức toán học lượng giác nào ảnh hưởng đến quá trình chọn nghiệm PTLG có điều kiện của HS? Cách trình bày các kiến thức này trong SGK? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn liền với các kiến thức trên trong việc... tích số liệu thực nghiệm để làm rõ sự ảnh hưởng của các quy tắc hợp đồng lên HS 13 CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN Ở chương này, chúng tôi nghiên cứu về các dạng PTLG trong dạy học nội dung PTLG theo chương trình hiện hành ở lớp 11 ban nâng cao Chúng tôi chọn SGK Đại số và Giải tích 11 ban nâng cao vì SGK này trình bày các vấn... học luận, một số sách tham khảo về lượng giác và PTLG, đặc biệt là để làm rõ các kiến thức ảnh hưởng đến quá trình giải và tìm nghiệm PTLG có điều kiện của HS Phân tích chương trình và sách giáo khoa toán phổ thông Việt Nam để làm rõ mối quan hệ thể chế của PTLG có điều kiện trả lời cho câu hỏi Q2, cụ thể là sẽ phân tích SGK, SGV, SBT toán lớp 10 và 11 ban nâng cao nhằm làm rõ các kiến thức lượng giác. .. SGK 10, 11 và được chia làm hai phần sau: + Phần 1: Góc lượng giác và công thức lượng giác Phần này được trình bày ở chương cuối của Đại số 10 nhằm phục vụ cho việc học Vật lí, Sinh học và bước đầu giới thiệu một số ứng dụng Toán học vào thực tiễn Nội dung phần 1 bao gồm những vấn đề: xây dựng các khái niệm cơ bản về lượng giác như góc và cung lượng giác; giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác; ... giác; giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác; giá trị lượng giác của các góc (cung) lượng giác có liên quan đặc biệt và các công thức lượng giác + Phần 2: Hàm số lượng giác và PTLG Phần này được đưa tiếp vào chương đầu tiên của Đại số và Giải tích 11 và chia làm 3 bài với những nội dung: hàm số lượng giác (trình bày khái niệm hàm số lượng giác biến số thực, khảo sát các tính chất và vẽ đồ thị hàm... “công thức nghiệm của PTLG cơ bản “Công thức nghiệm của bốn PTLG cơ bản sin x = m , cos x = m , tan x = m , cot x = m đều được xây dựng dựa trên ĐTLG Quan điểm của SGVNC11 về vấn đề này là: “Tận dụng tối đa phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác một cách trực quan để khảo sát sự biến thiên của các hàm số lượng giác, giải các phương trình lượng giác. ” [SGKNC11, tr.10], và “Nhằm giúp học sinh có hình... việc dạy học các dạng PTLG và chú trọng vào PTLG có ĐK, đặc biệt là việc so sánh, loại-nhận nghiệm PTLG có ĐK Những lựa chọn sư phạm của PTLG có ĐK và ảnh hưởng của các yếu tố toán học lượng giác khác lên nó • Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng sự ảnh hưởng của những lựa chọn trên đối với HS 3.2 Phương pháp nghiên cứu Đối với câu hỏi Q1: chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa toán. .. về lượng giác, công cụ để tính toán và thực hiện các phép biến đổi lượng giác (chẳng hạn hệ thức lượng giác, công thức lượng giác) đều đã 14 được nghiên cứu ở phần 1 Trên cơ sở đó, phần 2 đề cập đến hàm số lượng giác biến số thực (khái niệm, một số tính chất đặc trưng như sự biến thiên, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, đồ thị) và giải PTLG Về việc phân phối thời lượng cho hai nội dung hàm số lượng giác. .. chương trình chuẩn, đối tượng HS của bộ sách này là những HS khá giỏi Toán của các trường THPT, có nhu cầu và thực tế tiếp cận với nhiều dạng toán nâng cao cùng loại so với ban cơ bản (dạng toán PTLG có điều kiện cũng là một dạng toán khó đối với HS ) Theo cách tiếp cận của Thuyết nhân học trong didactic toán thì đây là một nghiên cứu về quan hệ thể chế R(I, O), với O là các dạng PTLG, I là thể chế dạy học