ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN THI THPT QUỐC GIA

B 2 : Xét sự biến thiên đồng biến, nghịch biến của hàm số và chỉ ra các điểm cực trị cực đại, cực tiểu B 3 :  Tính các giới hạn đặc biệt tại các mút của TXĐ  Tìm các tiệm cận Đối với c

ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

ÔN THI THPT QUỐC GIA

(cotgu)’ = - u2'

sin u

(sinx)’ = cosx(cosx)’ = - sinx(tgx)’ = 12 (1 tg x)2

(ln|u|)’ = uu'

'u'

2 Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)

a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b)  f ’(x)  0  x (a ; b)b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b)  f ’(x)  0  x (a ; b)

3 Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)

b) Nếu f ’(x) < 0 x  (a ; b)  f(x) giảm trong (a ; b)

 Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f ’ (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm

3) Lập bảng xét dấu của f’(x)

4) Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu:

a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó

b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đạitại điểm đó

c) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó

b) Nếu f ’’(xi) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó

CHÚ Ý:

 Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x1 và x 2 , f ’ (x) luôn giữ

nguyên một dấu

 Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số:

- Trong trường hợp điểm cực trị x0 (xCĐ , xCT) là số vô tỉ thì:

1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ f (x) U(x)V(x) thì

' 0

0

U (x ) f(x ) =

IV GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b)

- Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý:

+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x0 thì f(x0) = Max y

+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm

CHÚ Ý:  Nếu giải phương trình f ’(x) = 0 vô nghiệm 

y.u u

 Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:

 Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số

(xem chuyên đề bất đẳng thức)

 Giải phương trình f(x) = y với x  [a ; b] và

a) Nếu f ’’ (x) < 0 với mọi x  (a ; b) thì đồ thị của hàm số

b) Nếu f ’’ (x) > 0 với mọi x  (a ; b) thì đồ thị của hàm số

2 Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f

’’(x) trên khoảng (a ; b) khi đó:

a) Nếu f ’’(x) đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì M0(x0 ; f(x0)) là một điểm

uốn của đồ thị

b) Nếu f ’’(x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì điểm

M0(x0 ; f(x0))

không phải là điểm uốn của đồ thị.u u

VI TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)

1 Tiệm cận đứng

 Nếu lim f(x)x xo  thì đường thẳng x = xo là tiệm cận đứng của (C)

 Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax

x  x , b = limx  [f(x) –

ax ]

4 Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x):

- Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó

- Tính giới hạn của hàm số tại các mút

+ Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang.u u+ Nếu xlim f(x) =

B 2 : Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm

số và chỉ ra các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)

B 3 :  Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ)  Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức

+ Vẽ đồ thị+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị.u u

x x x

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì:

 Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.u u

 Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.u u

 Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định.u u

Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này.u u

Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|)

 Hàm số dạng: y = |f(x)|

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox

- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.u u

Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C ’) của y = |f(x)|

 Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng

qua Oy)

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x  0) ta có (C0)

- Lấy đối xứng phần (C0) qua trục Oy ta có (C1)

Hợp hai phần (C0)và (C1) trên lại ta có đồ thị (C ’) của y

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

A Phương pháp:

Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D.u u Viết phương trình tiếp

tuyến của (C) thoả mãn một số điều kiện cho sẵn:

1 Tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (C) có phương trình là:

y – y0 = f’(x0).(x – x0) (k = f’(x0): là hệ số góc)

 Các dạng khác nhau của đề bài:

 Cho x0 : Tính y0 = f(x0) và f’(x0)

 Cho y0 : Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 rồi tính f’(x0)

 Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:

Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 rồi tính y0 = f(x0)

2 Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x 1 ,y 1 ) bất kỳ

( M(x 1 ,y 1 ) có thể thuộc hay không thuộc (C) )

 Cách 1:  Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm

M(x1,y1) và có hệ

số góc k: y – y1 = k(x – x1) y = k(x – x1) + y1 (1)

 (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0  x0

và k là nghiệm

 Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x0)

 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0,y0) là:

Cho M  (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):

 Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:

+ M là trung điểm của AB+ Tam giác AIB có diện tích không đổi

 Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số

 IA.u uIB = const

-a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A

b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.u u

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x3 – 3x2 + 4

biết tiếp tuyến qua P(1;0).u u

Bài 5: Cho (C): y = x3 – 3x2 + 2.u u

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(

Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)

2) Chứng minh rằng:

a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì

M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi.u u

b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.u u

c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.u u

1) M là trung điểm của PQ

2) Tam giác AIB có diện tích không đổi

3) IQ.u uIP không đổi.u u

VẤN ĐỀ 2

TÍNH DƠN ĐIỆU  CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐDẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI  ĐIỂM CỰC TIỂU

Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + mx2 – m.u u Tìm m để hàm số đồng biến trong

Bài 9: Định m để hàm số y = 2

1

x x m x

 

 có các điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung (ĐS: m > 0).u u

cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.u u HD:0 m 4

Bài 13: Cho hàm số y = 2x3 3(2m 1)x2 6 (m m 1)x 1.u u Với giátrị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2

1 : 1 17

4

m HD

NC)Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y 22x 1

a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số

b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 – 2m – 5

ĐS: a) m3, b) -1 < m < 4

Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0): Thì

hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và nhỏ nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góccác tiếp tuyến tại điểm khác.u u

Bài 4: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + x – 4.u u Tìm a, b để M(2; -6) làđiểm uốn.u u

A Phương pháp:

+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng  f(x) =

f(-x)

(Hàm số chẵn đối với x)

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

2

m 

Bài 3: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4(Cm)

Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở vềhai phía của trục tung.u u (ĐS: - 3 < m < 1)

(ĐH A.u uN HN K.u uD)

Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (Cm): y = x3 – 3x2 - 2)x + m + 1

(m-đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4.u u

DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM

Cho (C): y = f(x) 2) Chứng tỏ (C) nhận I(x 0 ; y 0 ) làm tâm đối xứng (1)

1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng (2)

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có trục đối xứng// Oy

ĐS : m = 4, x = -1

Bài 3: Cho hàm số y = x4 + 4ax3 – 2x2 – 12ax (Ca)

Tìm a để (Ca) có trục đối xứng song song với Oy.u u

ĐS : a = 0, x = 0 ; a =  1, x =  1

VẤN ĐỀ 5 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

(XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN  GTNN)

VẤN ĐỀ 6

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

 (1) có nghiệm bội k  2  (C) và (C’) tiếp xúc nhau  (1) vô nghiệm  (C) và (C’) không có điểm chung.u u

Cho y = 0  x  Với (Cm): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm

chung của (Cm) với trục hoành nhờ vào dạng của (Cm) và vị trí của (Cm) đối với hệ trục.u u

 Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox:

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm 

Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.u u

Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của:

Bài 9: Cho các đường (C):

Tìm m để (Δ1)cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ2)

Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 +

Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m =

m x2  1

Bài 14: Cho phương trình: 3  x  6  x  ( 3  x )( 6  x )  m

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để PT có nghiệm

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m

2 1

x 

Bài 16: Cho phương trình: x2 x  1  x2 x  1  m

a) Giải phương trình với m = - 21

b) Tìm m để PT có nghiệm

Bài 17: Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 3

2 1 x

m

1

(Đại học Khối A – 2007)

Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

6 m x x m

x

x4  4 4  

Bài 19: Tìm m để PT sau có nghiệm:

m( 1  x 2  1  x 2  2 )  2 1  x 4  1  x 2  1  x 2(ĐH K B – 2004)

Bài 20: CMR với m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

– 2007)

Bài 21: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

1 x 2 mx

2) Tìm k để phương trình: – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

3) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của

-2) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên

2) Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và

2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1.u u Tìm m

để tiếp tuyến của

(Cm) tại M song song với đường thẳng: 5x – y = 0

2) CMR với mọi m, (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm

cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20 u u

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m.u u

Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.u u

(ĐH KD – 2006)

Bài 15: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)

(ĐH KA – 2006)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.u u

2) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =

-1

2) Tìm m để hàm số trên có cực đại và cực tiểu, đồng thời

các điểm cực trị

của (Cm) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác

vuông tại O.u u

Bài 20: Cho hàm số y = 4x3-6x2 +1 (1).u u

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).u u

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),biếtrằng tiếp tuyến đó

đi qua điểm M (-1;-9).u u

(ĐH KB-2008)

Bài 21: Cho y x 3  3x2 4 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).u u

2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1;2) với hệ

Bài 22: Cho hàm số y = x 2

2x 3



 (1).u u 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biếttiếp tuyến đó cắt

trục hoành, trục tung laµn lượt tại hai điểm phân biệt A,

B và tam giác

OAB cân tại gốc tọa độ O.u u

(ĐH KA-2009) Bài 23: Cho hàm số y 2x – 4x  4 2 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số (1).u u

2) Với các giá trị nào của m, phương trình x x 2 2  2  m cóđúng 6 nghiệm

có hoành độ nhỏ hơn 2.u u

(ĐH KD-2009)

GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH & CĐ KHÁC

Bài 25: Cho hàm số: y = mx3 – (m – 1)x2 – (2 + m)x + m – 1

(Cm)

1) Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ

được 3 tiếp tuyến đến (C1).u u

2) Tìm những điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua.u u (ĐH QG

TP HCM KD)

Bài 26: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 - 1)x – m3 (Cm)

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong

đó có đúng hai điểm có hoành độ âm

(m – 2).u u|x| - m = 0 trên đoạn [-1, 2].u u

Bài 28: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) (CĐ

H.Q)

Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.u u

2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó

đi qua A(0, 6)

Bài 34: 1) Vẽ đồ thị hàm số:

2

(x 1)y

Tìm các giá trị m để hàm số có cực trị.u u Tìm m để ycđ.u uyct đạtGTNN.u u

1) Tìm trên (C) những điểm cách đều hai trục tọa độ

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(-6, 5)

3) Tìm hai điểm trên đò

Bài 44: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2

x

 





1) Tìm trên (H1) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khách nhau mà có AB

d) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.u u