Bài toán tích phân hàm ẩn là dạng toán khó, vận dụng cao (VDC) về tích phân thường gặp trong các đề thi trắc nghiệm môn Toán hiện nay. Tài liệu gồm 124 trang tuyển chọn và phân dạng các bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh học tốt chương trình Giải tích 12 chương 3 và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.
TÍCH PHÂN CỦA HÀM ẨN BÀI TẬP DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM f = 2017 f ( ) = 2018 \ {1} f x thỏa mãn f ′ ( x ) = , ( ) , Câu 1: Cho hàm số ( ) xác định x −1 S= f ( 3) − f ( −1) Tính B S = ln C S = ln 4035 D S = A S = 1 Câu 2: Cho hàm số f ( x ) xác định \ thỏa mãn f ′ ( x ) = f ( ) = Giá trị 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) A + ln15 Câu 3: Câu 4: B + ln15 C + ln15 D ln15 1 Cho hàm số f ( x) xác định \ thỏa mãn f ′( x) = , f (0) = f (1) = Giá 2x −1 2 trị biểu thức f (−1) + f (3) A + ln B + ln15 C + ln15 D ln15 Cho hàm số f ( x ) xác định thỏa mãn f ′ ( x= ) x + f (1) = Phương trình = S log x1 + log x2 f ( x ) = có hai nghiệm x1 , x2 Tính tổng A S = Câu 5: B S = C S = D S = 1 2 Cho hàm số f ( x) xác định \ thỏa = mãn f ′ ( x ) = , f ( ) f = 3x − 3 3 Giá trị biểu thức f ( −1) + f ( 3) B −2 + 5ln C + 5ln f x \ {−2; 2} Cho hàm số ( ) xác định thỏa mãn = f ′( x) A + 5ln Câu 6: f ( 3) = P = f ( −4 ) + f ( −1) + f ( ) Tính giá trị biểu thức A P= + ln B P= + ln C P= + ln 25 Câu 7: Cho hàm số f ( x ) xác định \ {−2;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = x −4 D + 5ln f ( 0) = ;= f ( −3) ; D P= − ln ; f ( −3) − f ( 3) = x + x−2 Giá trị biểu thức f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) 1 A + ln B + ln 80 C + ln + ln 3 f ( ) = Câu 8: Cho hàm số f ( x ) xác định \ {−1;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = 1 f − + 2 Câu 9: D + ln ; f ( −3) + f ( 3) = x −1 1 = P f ( 0) + f ( 4) f = Tính giá trị biểu thức 2 3 3 A P= + ln B P = + ln C P = + ln D P = ln 5 5 Cho hàm số f ( x ) xác định \ {±1} thỏa mãn f ′ ( x ) = Biết f ( −3) + f ( 3) = x −1 1 1 f − + f = Giá trị T = f ( −2 ) + f ( ) + f ( ) bằng: 2 2 https://toanmath.com/ A T= + ln 9 B T = + ln C T = + ln D T = ln Câu 10: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( ) = f ′ ( x ) + ( x + ) f ( x ) = Tính f (1) + f ( ) + f ( 3) 15 11 11 B C D 15 30 15 30 Câu 11: Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục Biết f ( x ) f ′ (= x ) 12 x + 13 f ( ) = A Khi phương trình f ( x ) = có nghiệm? A B C Câu 12: Cho hàm số f ( x ) xác định thỏa mãn f ′ ( x ) = D e x + e − x − , f ( ) = 1 f ( − ln16 ) + f ( ln ) f ln = Giá trị biểu thức S = 4 31 A S = B S = C S = D f ( ) f ( ) = 2 π Câu 13: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm đoạn 0; , thỏa mãn f ( ) = 2 π f ( x )= f ′ ( x ) cos x + f ( x ) , ∀x ∈ 0; Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M 2 π π hàm số f ( x ) đoạn ; 6 2 21 A m = , M = 2 B m = , M = 2 , M = D m = , M = 2 C m = Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( x ) > , ∀x ∈ Biết f ( ) = f '( x) = − x Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai f ( x) nghiệm thực phân biệt B < m ≤ C < m < e D < m < e A m > e Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( x ) ≠ với x ∈ f ′ (= x ) ( x + 1) f ( x ) và a a f (1) = −0,5 Biết tổng f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) = ; ( a ∈ , b ∈ ) với b b tối giản Mệnh đề đúng? a 4035 A a + b =−1 B a ∈ ( −2017; 2017 ) C < −1 D b − a = b −1 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ' (= Biết tổng x ) ( x + 3) f ( x ) f ( ) = a a phân số tối giản Mệnh f (1) + f ( ) + + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với a ∈ , b ∈ * b b đề sau đúng? a a A < −1 B > b b 1010 3029 C a + b = D b − a = https://toanmath.com/ f ′′ ( x ) f ( x ) − f ′ ( x ) + xf ( x ) = Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) , ∀x ≥ , thỏa mãn Tính f ′ ( ) 0;= f ( 0) = f (1) A B C D Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương ; thỏa mãn f ( ) = ) ( f ′( x) x Khi = f ( x) x +1 hiệu T f 2 − f (1) thuộc khoảng = A ( 2;3) π Câu 19: Khi ∫ ( 0; +∞ ) ; D ( 9;12 ) C ( 0;1) B ( 7;9 ) f ( tan t ) dt = ∫ f ( x ) dx Vậy cos 2t ∫ f ( x ) dx = Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 3) = f ' ( x ) = ( x + 1) f ( x ) Mệnh đề đúng? B 2614 < f ( ) < 2615 A 2613 < f ( ) < 2614 C 2618 < f ( ) < 2619 D 2616 < f ( ) < 2617 Câu 20: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0;+ ∞ ) thỏa mãn f (1) = , f ( x) = f ′ ( x ) x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f ( ) < B < f ( ) < C < f ( ) < D < f ( ) < f ( x) 15 x + 12 x , f ′ ( x ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = ′ ( ) Giá trị f (1) = f ( ) f= Câu 21: Cho hàm số A thỏa mãn B ∀x ∈ C 10 Câu 22: Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa mãn hàm hàm số f ( x ) tập là: ∫ ( D ) f x +1 = dx x +1 ( x +1 + x+5 ) + C Nguyên + A x+3 +C ( x2 + 4) B x+3 +C x2 + C 2x + +C ( x + 1) D 2x + +C ( x + 1) DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN Câu 23: Cho 2 ∫ f ( x ) dx = 10 Kết ∫ 2 − f ( x ) dx A 34 Câu 24: Cho hàm số F ( 0) = f ( x) Tính A F ( ) = −6 https://toanmath.com/ B 36 liên tục F (9) F ( x) bằng: C 40 nguyên hàm f ( x) D 32 , biết ∫ f ( x ) dx = B F ( ) = C F ( ) = 12 D F ( ) = −12 2 f ( x ) dx ∫= I = Câu 25: Cho A ∫ f ( x ) dx = 10 Câu 26: Cho A I = B I = 15 ∫ g ( x ) dx = 16 Câu 27: Giả sử A I = 26 ∫ Câu 28: Nếu A −2 , ∫ Tính B I = 58 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = C I = −5 D I = 10 = I ∫ f ( x ) + g ( x) dx Khi đó, bằng: C I = 143 D I = 122 ∫ f ( x ) dx B Câu 29: Cho A f ( x ) dx = −1 D ∫ g ( x ) dx = =I ∫ 3 f ( x ) − g ( x ) dx ∫ f ( x ) dx = 37 f ( x ) dx = bằng: C ∫ 4 f ( x ) − 3 dx = J Khi B C D −2 B −3 ∫ f ( x ) dx Giá trị C −1 Câu 30: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0;10] D 10 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = ∫ = P 10 f ( x ) d x + ∫ f ( x ) dx A P = B P = −4 C P = Câu 31: Cho Tính ∫ f ( x ) dx = D P = 10 2 , ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ( x ) dx = ? A B Câu 32: Cho hàm số f ( x ) liên tục có ∫ f ( x ) dx = ; ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx Câu 33: Cho ∫ −1 A I = 11 B I = ∫ f ( x ) dx = −2 ; C I = ; B ∫ f ( x ) dx = Mệnh đề sau sai? D 10 ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = −5 f ( x) −2 ∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx = có f ′( x) liên tục đoạn 3 [ −1;3] , f ( −1) = https://toanmath.com/ ∫ f ′( x) dx = 10 giá trị −1 f ( 3) A −13 17 D I = ∫ f ( x ) dx = Câu 35: Cho hàm số −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = C Tính I= ∫ x + f ( x ) + 3g ( x ) dx A Câu 34: Biết −1 D I = 2 ∫ g ( x ) dx = −1 C I = 36 B I = 12 f ( x ) dx = 3 A I = D C B −7 C 13 D ∫ f ( x ) dx = Câu 36: Cho A Tính ∫ ( f ( x ) + 1) dx ? B C D Câu 37: Cho y = f ( x ) , y = g ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục [ 0; 2] 2 0 ∫0 g ( x ) f ′ ( x ) dx = ′ Tính tích phân I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx ∫ g ′ ( x ) f ( x ) dx = , B I = A I = −1 C I = Câu 38: Cho hai tích phân ∫ f ( x ) dx = −2 ∫ g ( x ) dx = B I = 13 A I = −11 D I = −2 5 Tính I = C I = 27 ∫ f ( x ) − g ( x ) − 1 dx −2 D I = Câu 39: Cho hàm số f ( x ) = x − x3 + x − x + , ∀x ∈ Tính ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx A C − B Câu 40: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn D −2 f ( x ) dx = 10 ∫ ∫ f ( x ) dx = Tính 2 giá trị biểu= thức P ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx A P = ` B P = 16 C P = Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [0; 1] có D P = 10 1 Tính ∫ f ( x ) dx ∫ 3 − f ( x ) dx = 0 A −1 B D −2 C Câu 42: Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn [0; 1], có ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân = I ∫ g ( x ) dx = −2 ∫ f ( x ) − 3g ( x ) dx A −10 B 10 D −2 C Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ln x + x + Tính tích phân I = ∫ f ' ( x ) dx ( ) B.= I ln + A I = ln C I = ln D I = ln Câu 44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn f (1) = e , ln ∫ f ' ( x ) dx= − e Tính I = f ( ln 3) A I = − 2e B I = C I = −9 D.= I 2e − Câu 45: Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn 1 0 ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx = , ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = A I = −2 https://toanmath.com/ B I = −1 Tính I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx / C I = D I = x2 ∫ f ( t ) dt = x.cos π x Tính f ( ) Câu 46: Cho hàm số f ( x ) liên tục ( 0; +∞ ) thỏa B f ( ) = A f ( ) = 123 Câu 47: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x) ∫ C f ( ) = D f ( ) = t dt = x.cos π x Tính f ( ) A f ( ) = C f ( ) = B f ( ) = −1 D f ( ) = 12 π x Câu 48: Cho hàm số = G ( x) ∫ t.cos ( x − t ) dt Tính G ' π B G ' = 2 π A G ' = −1 2 π C G ' = 2 π D G ' = 2 x2 Câu 49: Cho hàm số G ( x ) = ∫ cos t dt ( x > ) Tính G ' ( x ) A G ' ( x ) = x cos x x Câu 50: Cho hàm số G (= x) ∫ D G = ' ( x ) cos x − B G ' ( x ) = x.cos x C G ' ( x ) = cos x + t dt Tính G ' ( x ) A x 1+ x B + x Câu 51: Cho hàm số F ( x ) = x ∫ sin t dt C 1+ x D ( x + 1) x + ( x > ) Tính F ' ( x ) A sin x B sin x x C 2sin x x D sin x x Câu 52: Tính đạo hàm f ( x ) , biết f ( x ) thỏa ∫ t.e f (t ) dt = e f ( x ) A f ' ( x ) = x Câu 53: Cho hàm số C f ' ( x ) = B f ' ( x= ) x2 + y = f ( x) 0; + ∞ ) liên tục [ x D f ' ( x ) = x2 ∫ f ( t ) dt = x.sin (π x ) Tính 1− x f ( 4) A f (π ) = π −1 Câu 54: Cho hàm số B f (π ) = f ( x) π liên tục khoảng C f (π ) = ( −2; 3) Gọi F ( x) π D f (π ) = nguyên hàm = I −2; 3) khoảng ( Tính B I = 10 A I = Câu 55: Cho ∫ A I = 11 2 , biết f ( x ) dx = −1 ∫ f ( x ) + x dx −1 ∫ g ( x ) dx = −1 −1 B I = 2 F =4 F ( −1) = ( ) I = C D I = Tính I= ∫ x + f ( x ) − 3g ( x ) dx −1 C I = 17 −3 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫1 3 f ( x ) + g ( x ) dx = Câu 56: Cho , Khi đó, https://toanmath.com/ D I = 2 ∫ f ( x ) dx f ( x) 16 11 B − C D 7 7 Câu 57: Cho f ( x ) , g ( x ) hai hàm số liên tục đoạn [ −1;1] f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) A hàm số lẻ Biết ∫ f ( x ) dx = ; ∫ g ( x ) dx = Mệnh đề sau sai? 0 A ∫ f ( x ) dx = 10 B C 10 ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = −1 −1 1 10 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = D −1 ∫ g ( x ) dx = 14 −1 Câu 58: Cho f ( x ) , g ( x ) hai hàm số liên tục đoạn [ −1;1] f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) hàm số lẻ Biết ∫ f ( x ) dx = ; ∫ g ( x ) dx = Mệnh đề sau sai? 0 A ∫ f ( x ) dx = 10 B C 10 ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = −1 −1 1 10 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = D 10 ∫ f ( z ) dz = 17 Câu 59: Nếu A −15 ∫ 10 f ( t ) dt = 12 ∫ −3 f ( x ) dx C 15 B 29 Câu 60: Cho −1 A 11 , −1 D 7 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ g ( x ) dx = 14 −1 −1 Giá trị ∫ f ( z ) dz B D C Câu 61: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, dương [ 0;3] thỏa mãn I = f ( x ) dx ∫= Khi ∫ (e giá trị tích= phân K 1+ ln ( f ( x ) ) ) + dx là: A + 12e B 12 + 4e C 3e + 14 Câu 62: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm thỏa D 14 + 3e ′ ( ) 1; f ( ) f= = ) f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − 1, ∀x,y ∈ f ( x + y = Tính ∫ f ( x − 1)dx A B − Câu 63: Cho hàm số f ( x ) hàm bậc thỏa mãn C D 10 f (1) − f ( ) = ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = https://toanmath.com/ B I = C I = −12 D I = −8 Câu 64: Cho hàm số f ( x) xác định \ {0} , thỏa mãn f ′ ( x ) = f =a f −2 = b , ( ) ( ) x +x f −1 + f ( ) Tính ( ) A f ( −1) + f ( ) =−a − b B f ( −1) + f ( ) = a − b C f ( −1) + f ( ) = a + b D f ( −1) + f ( ) = b − a Câu 65: Cho hàm số f ( x) xác định \ {0} thỏa mãn f ′ ( x ) = f = a f ( −2 ) = b , ( ) , x +x f −1 − f ( ) Giá trị biểu thức ( ) A b − a B a + b C a − b D −a − b Câu 66: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) > Tính giá trị f ( ln ) 2 C f ( ln ) = D f ( ln ) = 3 định liên tục thỏa mãn đồng thời , ∀x ∈ ; f ′ ( x ) = −e x f ( x ) , ∀x ∈ f ( ) = 2 B f ( ln ) = − 9 Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) , xác A f ( ln ) = , f ′( x) điều kiện f ( x ) > ∀x ∈ = ( x f ( x ) ) , ∀x ∈ f ( ) = Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị ( C ) A = B y = C.= y x + 30 y 36 x − 30 −6 x + 30 Câu 68: Cho hàm số= y f ( x ) > xác định, có đạo hàm đoạn x g ( x ) = + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f ( x ) Tính ∫ g ( x ) dx 2019 D 505 −1;1] y = f ( x) f x > 0, ∀x ∈ Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ , thỏa mãn ( ) f ' x + f ( x) = f =1 f −1 ( ) Biết ( ) , tính ( ) A f ( −1) = B f ( −1) = C f ( −1) = D f ( −1) = e3 e −2 e4 A 1011 B 1009 D y = −36 x + 42 [0;1] thỏa mãn: C Câu 70: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ′ ( ) = = T f (1) − f ( ) f ′′ ( x ) + f ′ ( x ) − x = Tính D T= − ln + ln f ' x f x= x + x f ( 2) y = f ( x) f =2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn ( ) ( ) Biết ( ) Tính 313 332 324 323 A f ( ) = B f ( ) = C f ( ) = D f ( ) = 15 15 15 15 Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1; 4] thỏa mãn A T= + ln B T = C T= x += xf ( x ) f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1; 4= ] , f (1) Giá trị f ( ) bằng: 361 381 371 391 B C D A 18 18 18 18 y = f ( x) f ′( x) 0; +∞ ) Câu 73: Cho hàm số có liên tục nửa khoảng [ thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) =+ 3.e −2 x https://toanmath.com/ Khi đó: A e3 f (1) − f ( )= C e f (1) − f ( ) e +3 ( e + 3) = − e2 + − B e3 f (1) − f ( 0= ) 1 − e +3 D e3 f (1) − f ( )= (e 2 + 3) e + − Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f ( x ) > −1 , f ( ) = thỏa f ′ ( x ) = x + x f ( x ) + Tính f ( 3) A B C D f ( ) = − Biết a a tổng f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với ( a ∈ , b ∈ * ) phân số b b tối giản Mệnh đề sau đúng? a a 1010 3029 A < −1 B > C a + b = D b − a = b b ax + b Câu 76: Biết có hai số a b để F ( x ) = ( 4a − b ≠ ) nguyên hàm hàm số f ( x ) x+4 thỏa mãn: f= ( x ) F ( x ) − 1 f ′ ( x ) Câu 75: Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ′ (= x) ( x + 3) f ( x ) Khẳng định đầy đủ nhất? A a = , b = B a = , b = −1 C a = , b ∈ \ {4} D a ∈ , b ∈ f (1) = y = f ( x) 1; Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ ] thỏa mãn f ( x= ) xf ′ ( x ) − x − 3x Tính f ( ) B 20 C 10 D 15 A x π π Câu 78: Cho f ( x ) = − ; F ( x ) nguyên hàm xf ′ ( x ) thỏa mãn cos x 2 π π F ( ) = Biết a ∈ − ; thỏa mãn tan a = Tính F ( a ) − 10a + 3a 2 1 A − ln10 B − ln10 C ln10 D ln10 2 Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f ( x ) > , ∀x ∈ , f ′ ( x ) = −e x f ( x ) ∀x ∈ f ( ) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 = ln A x + y − ln − = B x − y − ln + = 0 C x − y + ln − = D x + y + ln − = 0 Câu 80: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] , f ( x ) f ′ ( x ) nhận giá trị 1 dương đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = , ∫ f ′ ( x ) f ( x ) + 1 dx = ∫ f ′ ( x ) f ( x ) dx 0 Tính ∫ f ( x ) dx A 15 https://toanmath.com/ B 15 C 17 D 19 Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f = ( x) f '( x) x f ( x) + f (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + Câu 82: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đồng biến ( x )) ( f ′= e f ( x ) , ∀x ∈ Tính tích phân x D 11 + thỏa mãn f ( ) = ∫ f ( x ) dx B e − C e − D e − y = f ( x) \ {0} Câu 83: Cho hàm số xác định liên tục thỏa 2 x f ( x ) + ( x − 1) f ( x= ) xf ′ ( x ) − với ∀x ∈ \ {0} f (1) = −2 Tính f ( x ) dx ∫ A e − mãn 1 A − − ln Câu 84: Cho hàm số ln B − − ln C −1 − 2 y = f ( x ) Có đạo hàm liên tục ln D − − 2 Biết f (1) = e ( x + ) f ( x ) =xf ′ ( x ) − x3 , ∀x ∈ Tính f ( ) A 4e − 4e + B 4e − 2e + C 2e3 − 2e + D 4e + 4e − Câu 85: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = Biết ∫ f ( x ) dx = A π ∫ f ′ ( x ) cos πx B π dx = 3π Tích phân C π ∫ f ( x ) dx D Câu 86: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ 0; 1] , thỏa mãn ∫= f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx = Giá trị tích phân ∫ f ( x ) π xf ( x ) dx ∫= dx B C 10 D 80 A Câu 87: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn f ( x ) > x ∈ [1, 2] Biết ∫ f ' ( x ) dx = 10 A f ( ) = −10 ( ) ∫ f ( x ) dx = ln Tính f ( ) f' x B f ( ) = 20 C f ( ) = 10 D f ( ) = −20 Câu 88: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 4;8] f ( ) ≠ với ∀x ∈ [ 4;8] Biết f ′ ( x ) 1 ∫ Tính f ( ) f ( 4) = , f (8) dx = và= 4 f x ( ) 2 B C D 8 Câu 89: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn điều A kiện f ′ ( ) = −1 f ′ ( x ) = f ′′ ( x ) Đặt= T f (1) − f ( ) , chọn khẳng định đúng? A −2 ≤ T < −1 B −1 ≤ T < C ≤ T < D ≤ T < https://toanmath.com/ Đặt u= f ( x ) ⇒ du= f ' ( x ) dx , dv = e x dx chọn v = e x ⇒ = A1 e x f ( x ) − ∫ e x f ' ( x ) dx 0 A2 Vậy A =e x f ( x ) − A2 + A2 =e x f ( x ) =e f (1) − f ( ) =e − 1 0 a = ⇒ ⇒ a 2018 + b 2018 = + = b = − Chọn D Câu 197 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 e 2018 x với x ∈ f ( ) = 2018 Tính giá trị f (1) A f (1) = 2019e 2018 B f (1) = 2018.e −2018 C f (1) = 2018.e 2018 D f (1) = 2017.e 2018 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 e 2018 x ⇔ ⇔∫ f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 2018 x e f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) 2017 d x = ∫0 2018.x dx (1) e 2018 x Xets I = ∫ f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = dx e 2018 x ∫ f ′ ( x ) e −2018 x dx − ∫ 2018 f ( x ) e −2018 x dx = u f ( x ) = du f ′ ( x ) dx ⇒ Xét I1 = ∫ 2018 f ( x ) e −2018 x dx Đặt −2018 x −2018 x d 2018.e d e v x v = = − Do đó= I1 f ( x ) ( −e −2018 x ) 1 + ∫ f ′ ( x ) e −2018 x dx ⇒ = I f (1) e −2018 x − 2018 Khi (1) ⇔ f (1) e −2018 x 2019.e 2018 − 2018 = x 2018 10 ⇒ f (1) = Câu 198 Cho hàm số y = f ( x ) với f= ae + b Tính ( ) f= (1) Biết rằng: ∫ e x f ( x ) + f ′ ( x ) dx = = Q a +b Q 22017 + A.= 2017 2017 B Q = C Q = Hướng dẫn giải Q 22017 − D.= Chọn C = u f ( x ) = du f ′ ( x ) dx ⇒ Đặt x = dx v e x dv e= 1 0 x x x x dx ef (1) − f ( )= e − ∫ e f ( x ) + f ′ ( x ) dx =e f ( x ) − ∫ e f ′ ( x ) dx + ∫ e f ′ ( x )= Do a = , b = −1 2017 Q a 2017 + b 2017 Suy ra= = 12017 + ( −1) = Vậy Q = https://toanmath.com/ Câu 199 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;5] f ( ) = 10 , 45T T T 45T ∫ xf ′ ( x ) dx = 30 ∫ f ( x ) dx Tính B −30 A 20 45T T T 45T C −20 Hướng dẫn giải 45T T D 70 T T T Chọn A u =x ⇒ du =dx Đặt = ⇒ v f ( x) dv f ′ ( x ) dx= 5 0 ( x f ( x ) ) − ∫ f ( x ) dx ⇔ 30= f ( 5) − ∫ f ( x ) dx f ′ ( x ) dx ∫ x= 0 ⇔ ∫ f ( x ) d= x f ( ) − 30 = 20 Câu 200 Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [1; 2] Biết 67 F (1) = , F ( ) = , G (1) = , G ( ) = ∫ f ( x ) G ( x ) dx = Tính 12 11 11 145 A B − C − 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u = F ( x ) du = f ( x ) dx Đặt ⇒ dv = g ( x ) dx v = G ( x ) ( x ) g ( x ) dx ∫ F= ∫ F ( x ) g ( x ) dx D 2 1 145 12 ( F ( x ) G ( x ) ) − ∫ f ( x ) G ( x ) dx = F ( ) G ( ) − F (1) G (1) − ∫ f ( x ) G ( x ) dx 67 11 = 4.2 − − = 12 12 Câu 201 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn f (1) Giá ∫ x f ′ ( x ) − 2 dx = trị I = ∫ f ( x ) dx A −2 C −1 Hướng dẫn giải B Chọn C Ta có x ) − dx ∫ x f ′ (= = ∫ xd f ( x ) − x Theo đề 1 ∫ x f ′ ( x ) dx − ∫ xdx 0 1 0 = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx −= f (1) − I − f (1) ⇒ I =−1 ∫ x f ′ ( x ) − 2 dx = https://toanmath.com/ D Câu 202 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [1; 2] theo a b = f ( ) A b − a B a − b 2 1 a Tính ∫ f ( x ) dx ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = D −a − b C a + b Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u = x − ⇒ du = dx ; dv = f ′ ( x ) dx chọn v = f ( x ) 2 ( x − 1) f ( x ) − ∫ f ( x= ) dx ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 1 Ta có 2 1 b a f ( ) − ∫ f ( x ) dx= b − ∫ f ( x ) a ⇔ b − ∫ f ( x ) dx = a ⇔ ∫ f ( x ) dx = b−a ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = Câu 203 Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( ) = 16 , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( x ) dx A I = 13 B I = 12 C I = 20 Hướng dẫn giải D I = Chọn D du = dx u = x Đặt ⇒ dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) 1 1 1 1 Khi đó, I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx 20 20 20 Đặt t = x ⇒ dt = 2dx Với x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Suy I = − ∫ f ( t ) dt = − = 40 Câu 204 Cho y = f ( x ) hàm số chẵn, liên tục biết đồ thị hàm số y = f ( x ) qua điểm M − ; ∫ f ( t ) dt = , tính I = 0 ∫π sin x f ′ ( sin x ) dx − A I = 10 B I = −2 C I = Hướng dẫn giải Chọn B Xét tích phân I = sin x f ′ ( sin x ) dx ∫= − π ∫π 2sin x f ′ ( sin x ) cos xdx − π x =− ⇒ t =− Đặt: t= sin x ⇒ dt= cos xdx Đổi cận: x = ⇒ t = 0 ⇒I= ∫ t f ′ ( t ) dt − https://toanmath.com/ D I = −1 = t u 2= du 2dt ⇒ Đăt: ′ ( t ) dt v f ( t ) = dv f= 1 − ∫ f ( t ) d t = f − − ∫ f ( t ) dt − −1 −2 Đồ thị hàm số y = f ( x ) qua điểm M − ; ⇒ ⇒ I = 2t f ( t ) 0 Hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn, liên tục ⇒ 1 f − = 2 f ( t ) dt ∫= f ( t ) dt ∫ = f ( x ) dx ∫= − − 2.3 = −2 Vậy I = π π 2 Câu 205 Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ∫ sin x f ( x ) dx = f ( ) = Tính I = ∫ cos x f ′ ( x ) dx 0 B I = A I = C I = Hướng dẫn giải D I = −1 Chọn C u= f ( x ) ⇒ du= f ′( x)dx Đặt dv =sin xdx ⇒ v =− cos x π π π 2 ⇒ ∫ sin x f ( x ) dx = ( − cos x f ( x ) ) + ∫ cos x f ′ ( x ) dx 0 π π 2 = x f ′ ( x ) dx ⇒I= ∫ cos π ∫ sin x f ( x ) dx + cos x f ( x ) 02 = − = Câu 206 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = x sin x Tính π I= ∫π f ( x ) dx ? − A 2019 B 2018 1009 Hướng dẫn giải C D 2019 Chọn D Ta có π π 2 ∫ ( f ( − x ) + 2018 f ( x ) )dx =∫ x sin xdx − ⇔ π − π π π π 2 ∫π f ( − x ) dx + 2018 ∫π f ( x ) dx = ∫π x sin xdx − − π + Xét P = ∫π x sin xdx − https://toanmath.com/ − π π ⇔ 2019 ∫ f ( x ) dx = ∫ x sin xdx (1) − π − π u = x du = 2dx ⇒ Đặt dv = sin xdx v = − cos x P= x ( − cos x ) π + sin x − π π − π = π Từ (1) suy I = ∫π f ( x ) dx = 2019 − Câu 207 Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục, có đạo hàm thỏa mãn f ′ ( ) f ′ ( ) ≠ g ( x ) f ′ (= x ) x ( x − ) e x Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) dx ? B e − A −4 D − e C Hướng dẫn giải Chọn C x ) x ( x − ) e x ⇒ g ( ) = g ( ) = (vì f ′ ( ) f ′ ( ) ≠ ) Ta có g ( x ) f ′ (= 2 0 2 0 − ∫ ( x − x ) e x dx = I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( x ) dg ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) − ∫ g ( x ) f ′ ( x ) d x = π π Câu 208 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn f = , 4 4 π f ( x) ∫ cos x dx = π π 4 ∫ sin x.tan x f ( x ) dx = Tích phân A 2+3 B ∫ sin x f ′ ( x ) dx bằng: 1+ Hướng dẫn giải D C Chọn B π x = = u sin du cos xdx ⇒ Ta có: I = ∫ sin x f ′ ( x ) dx Đặt ′ ( x ) dx v f ( x ) = dv f= π π I sin x f ( x ) − ∫ cos x f ( x = = ) dx − I1 π π π 4 ∫ (1 − cos x ) cos x dx f ( x) = ∫ sin x.tan x f ( x ) dx = ∫ sin x dx = cos x 0 π f ( x) π f ( x) d x − ∫0 cos x ∫0 cos x f ( x ) dx = − I1 2+2 ⇒ I1 = −1 ⇒ = I +1 = 2 = Câu 209 Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( ) = 16 , A I = 12 Chọn B https://toanmath.com/ B I = 112 0 x ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ xf ′ dx C I = 28 Hướng dẫn giải D I = 144 du = dx u = x Đặt x x ⇒ ′ = v f d d v f x = 2 2 Khi 4 x x x ′ dx xf − ∫ f d= I = ∫ xf = x 128 − 2I1 với I1 = ∫ 2 2 2 0 x Đặt u = ⇒ dx =2du , I1 = ∫ x f dx 2 x f ( u ) du 2= f ( x ) dx f dx = ∫= ∫ 2 0 2 I 128 − I1 = 128 − 16 = 112 Vậy= Câu 210 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ′′ ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thoả mãn = f (1) f= ( ) , f ′ ( ) = 2018 Mệnh đề đúng? 1 −2018 A ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = B ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = −1 2018 C ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = D ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = 1 0 Hướng dẫn giải Chọn A = Xét I 1 0 ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = ∫ (1 − x ) d ( f ′ ( x ) ) u = − x du = −dx ⇔ Đặt v = f ′ ( x ) dv = d ( f ′ ( x ) ) ⇔I= − f ′ ( ) + f (1) − f ( ) (1 1) f ′ (1) − f ′ ( ) + f ( x ) = (1 − x ) f ′ ( x ) + ∫ f ′ ( x ) dx =− 1 = −2018 + (1 − 1) = −2018 π Câu 211 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f = , 2 π ∫ f ′ ( x ) π dx = π π ∫π cos x f ( x ) dx = Tính f ( 2018π ) A −1 Hướng dẫn giải B C D Chọn D Bằng cơng thức tích phân phần ta có π π π π cos xf ( x ) dx sin xf ( x ) π − ∫ sin xf ′ ( x ) dx Suy ∫ sin xf ′ ( x ) dx = − ∫π = π π π 2 π π − cos x π x − sin x dx = ∫π= π 2 2 Hơn ta tính = ∫ sin xdx https://toanmath.com/ π π π π Do đó: π π π 2 0 ⇔ ∫ f ′ ( x ) + sin x dx = ∫ f ′ ( x ) dx + 2∫ sin xf ′ ( x ) dx + ∫ sin xdx = 2 π Suy f ′ ( x ) = − sin x Do f = ( x ) cos x + C Vì f = nên C = 2 Ta f ( x ) = cos x ⇒ f ( 2018π ) = cos ( 2018π ) = Câu 212 Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;2] Biết f ( ) = e f ( x ) f ( − x ) = x2 − x , với x ∈ [ 0;2] Tính tích phân I = ∫ (x − 3x ) f ′ ( x ) 16 A I = − B I = − 16 C I = − Hướng dẫn giải f ( x) 14 dx D I = − 32 Chọn B e2 x Cách 1: Theo giả thiết, ta có f ( x ) f ( − x ) = ln f ( x ) f ( − x ) = ln e x +4 x −4 x f ( x ) nhận giá trị dương nên ⇔ ln f ( x ) + ln f ( − x ) = x − x Mặt khác, với x = , ta có f ( ) f ( ) = f ( ) = nên f ( ) = Xét I = ∫ (x − 3x ) f ′ ( x ) f ( x) dx , ta có = I ∫(x − 3x ) f ′( x) dx f ( x) u= x − x = du ( x − x ) dx ⇒ Đặt f ′( x) v = ln f ( x ) dv = f x dx ( ) 2 0 − ∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx (1) Suy I =( x − x ) ln f ( x ) − ∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx = −dt Khi x = → t = x = → t = Đến đây, đổi biến x= − t ⇒ dx = ( ) ) ( − ∫ 3t − 6t ln f ( − t )( −dt ) = − ∫ 3t − 6t ln f ( − t ) dt Ta có I = 2 ( ) ( ) − ∫ x − x ln f ( − x ) dx ( ) Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên I = − ∫ x − x ln f ( x ) + ln f ( − x ) dx Từ (1) ( ) ta cộng vế theo vế, ta I = ( )( ) 16 − ∫ x − x x − x dx = − Hay I = 20 Cách (Trắc nghiệm) Chọn hàm số f ( x ) = e x − x , đó: I =∫ (x − x ) e x −2 x x2 − x ( x − 2) dx = ∫ ( x3 − x ) ( x − ) dx = −16 e Câu 213 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = e2 − x ′ Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx ∫0 f ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx = 1 https://toanmath.com/ B I = e − A I= − e C I = Hướng dẫn giải Chọn B e x e −1 du = f ′ ( x ) dx u = f ( x ) ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx Đặt d=v ( x + 1) e dx ⇒ v = xe A Xét= D I = x x 1 − e2 = Suy A xe x f ( x ) − ∫ xe x f ′ ( x ) dx = − ∫ xe x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ xe x f ′ ( x ) dx = 0 1 1 1 e2 − 1 Xét ∫ x e = dx e x − x + = 40 2 2x 2x Ta có 1 0 x 2x ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) + xe x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx + 2∫ xe f ′ ( x ) dx + ∫ x e dx = 2 Suy f ′ ( x ) + xe x = ∀x ∈ [ 0;1] (do ( f ′ ( x ) + xe ) ≥ ∀x ∈ [ 0;1] ) x ⇒ f ′( x) = − xe x ⇒ f ( x ) =− (1 x ) e x + C Do f (1) = nên f ( x )= 1 0 (1 − x ) e x x e−2 Vậy I = ( − x ) ex = ∫ f ( x ) dx = ∫ (1 − x ) e dx = Câu 214 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [1; 2] thỏa mãn − , ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = f ( ) = ∫ f ′ ( x ) A I = dx = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx B I = − C I = − Hướng dẫn giải 20 D I = 20 Chọn B Đặt u= f ( x ) ⇒ du= f ′ ( x ) dx , dv = Ta có − = − 1) f ( x ) dx ∫ ( x= ( x − 1) ( x − 1) 3 dx ⇒ v = 2 f ( x) − ∫ 1 ( x − 1) 3 ( x − 1) 3 f ′ ( x ) dx 1 3 ⇔ − = − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx ⇔ ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = ⇒ − ∫ 2.7 ( x − 1) f ′ ( x ) dx = −14 31 1 2 2 ⇒ ∫ f ′ ( x ) dx − ∫ 2.7 ( x − 1) f ′ ( x ) dx + ∫ 49 ( x − 1) dx = Tính ∫ 49 ( x − 1) dx = 2 ( x − 1) − Do f ( ) = ⇒ f ( x= ) 4 2 ( x − 1) f x d x Vậy I == ( ) ∫1 ∫1 − dx = − https://toanmath.com/ 1 3 ⇒ ∫ 7 ( x − 1) − f ′ ( x ) dx = ⇒ f ′( x) = ( x − 1) ⇒ f ( x= ) ( x − 1) +C 4 Câu 215 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = , ∫ f ′ ( x ) dx = A ∫ x f ( x ) dx = B Tích phân ∫ f ( x ) dx Hướng dẫn giải C D Chọn B Ta có: ∫ f ′ ( x ) dx = (1) - Tính ∫ x f ( x ) dx = du = f ′ ( x ) dx u =f ( x ) ⇒ Đặt x4 d v x d x = v = 1 1 x4 1 1 ′ x f ′ ( x ) dx = − x f x d x ⇒ = − x f x d x = f x ( ) ( ) ( ) ∫ 4 ∫0 ∫0 0 1 ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ 18∫ x f ′ ( x ) dx = −18 ( ) 0 1 1 x dx = - Lại có: ∫ x= ⇒ 81∫ x8dx = ( 3) 9 0 - Cộng vế với vế đẳng thức (1) , ( ) ( 3) ta được: 1 ⇔ π ∫ f ′ ( x ) + x dx = ⇔ ∫ f ′ ( x ) + x dx = ∫0 f ′ ( x ) + 18 x f ′ ( x ) + 81x dx = 0 Hay thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm = số y f ′ ( x ) + x , trục hoành Ox , đường thẳng x = , x = quay quanh Ox −9 x ⇒ f ( x ) = ⇒ f ′ ( x ) + 9x4 = ⇒ f ′( x) = − x4 + C ∫ f ′ ( x ) dx = 14 14 Lại f (1) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = − x + 5 1 14 14 ⇒ ∫ f ( x ) dx = − x + dx = − x + x = ∫ 5 0 10 0 π π Câu 216 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0; f = Biết 4 4 π π π π ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = − A I = Chọn D https://toanmath.com/ π B I = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx C I = Hướng dẫn giải D I = π = π sin x u= 2 cos xdx du ⇒ , − Đặt = v f ( x ) v f ′ ( x ) dx d= Tính 17T T ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = π ∫ π π π f ′= ( x ) sin 2xdx sin 2x f ( x ) 04 − ∫ f ( x ) cos2xdx= sin π π f − sin f ( ) − ∫ f ( x ) cos2xdx 4 π = −2 ∫ f ( x ) cos2xdx π Theo đề ta có π ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = − π π ∫ f ( x ) cos2xdx = ⇒ π Mặt khác ta lại có ∫ cos 2 xdx = π π π 4 2 ∫ f ( x ) − cos2x dx =∫ f ( x ) − 2f ( x ) cos2x + cos x dx Do 0 f ( x ) = cos x π π π π = −2 + =0 8 8 π 8 1 Ta có I ∫= cos xdx = sin x = 4 0 Câu 217 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] f ( ) + f (1) = Biết ∫ f ( x ) dx = , 2 ∫ f ′ ( x ) cos (π x ) dx = A π B π π Tính ∫ f ( x ) dx C π D Hướng dẫn giải 3π Chọn C u = cos (π x ) du = −π sin (π x ) dx Đặt ⇒ dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) 17T Khi đó: ∫ f ′ (= x ) cos (π x ) dx cos (π x ) f ( x ) + π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx 1 0 = − ( f (1) + f ( ) ) + π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx 1 ⇒ ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = Cách 1: Ta có Tìm k cho ∫ f ( x ) − k sin (π x ) dx = 0 Ta có: 1 0 2 ∫ f ( x ) − k sin (π x ) dx = ∫ f ( x ) dx − 2k ∫ f ( x ) sin (π x ) dx + k ∫ sin (π x ) dx https://toanmath.com/ nên = k2 −k + = ⇔ k = 2 ⇒ f ( x) = sin (π x ) (do f ( x ) − sin (π x ) ≥ ∀x ∈ ) ∫ f ( x ) − sin (π x ) dx = Do 2 Vậy= ∫ f ( x ) dx sin (π x ) dx ∫= π Cách 2: Sử dụng BĐT Holder b b b ≤ f x g x x f x x g ( x ) dx d d ) ) ( ( ( ) ∫ ∫ ∫ a a a Dấu “ = ” xảy ⇔ f ( x ) = k g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] 1 Áp dụng vào ta có = ≤ f x sin π x d x f x d x sin (π x ) dx =, ) ( ) ) ( ( ∫ ∫ ∫ 0 0 suy f ( x ) = k sin (π x ) , k ∈ Mà ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = Vậy= ∫ f ( x ) dx 1 ⇔ k ∫ sin (π x ) dx = ⇔ k = ⇒ f ( x ) = sin (π x ) 2 sin (π x ) dx ∫= π Câu 218 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa f (1) = , ∫ ( f ′ ( x )) π2 π dx = ∫ cos x f ( x ) dx = Tính 2 π A B π ∫ f ( x ) dx C π Hướng dẫn giải D π Chọn D du = f ′ ( x ) dx u = f ( x ) πx Đặt πx ⇒ v sin = d v cos d x = π 2 1 π Do ∫ cos x f ( x ) dx = 2 π π π ⇔ ∫ sin x f ′ ( x ) dx = − f ( x ) − ∫ sin x f ′ ( x ) dx = ⇔ sin 2 π π 2 2 0 πx π Lại có: ∫ sin 2 1 1 x dx = 2 π π ⇒ I = ∫ − f ′ ( x ) dx − − ∫ sin x f ′ ( x ) dx + ∫ sin x dx π π 0 2 2 0 2 π = ∫ − f ′ ( x ) − sin π 2 0 π2 π − + = x dx = π π 2 π Vì − f ′ ( x ) − sin 2 π x ≥ đoạn [ 0;1] nên https://toanmath.com/ 2 2 π π π π ⇔ − f ′ ( x ) =sin x ⇔ f ′ ( x ) = − sin ∫0 − π f ′ ( x ) − sin x dx = π 2 2 π π Suy f ( x ) =cos x + C mà f (1) = f ( x ) =cos x 2 2 1 = Vậy ∫ f ( x ) dx π cos x dx ∫= 2 π x Câu 219 Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện f (1) = f ( ) == Tính J f ′( x) + f ( x) +1 ∫1 x − x dx B J= − ln A J = + ln C.= J ln − Hướng dẫn giải Chọn D f ′( x) + f ( x) +1 = − Cách = 1: Ta có J ∫ dx x x2 1 1 u = du = − dx x x ⇒ Đặt dv f= ′ ( x ) dx v f ( x ) = ∫ D J= 2 1 = f ( ) − f (1) + ln x + =+ ln x 1 f ′( x) + f ( x) +1 xf ′ ( x ) − f ( x ) d x = −= + − dx Cách 2: J ∫ ∫1 x x2 x2 x x 1 2 f ( x ) ′ f ( x) 1 2 = ∫ + ln x + =+ ln dx + ∫ − dx = x x x x 1 x 1 1 Cách 3: ( Trắc nghiệm) a = f (1) = Chọn hàm số f ( x= , suy f ( x= ⇒ ) ax + b Vì ) 3x − f ( ) = b = −2 1 3x − Vậy J =∫ − dx = ln x − =ln + x x x 1 1 Câu 220 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn 2 e2 − x ′ f (1) = Tính ∫0 f ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx = 1 A e −1 2 B e ∫ f ( x ) dx C e − Hướng dẫn giải Chọn C 1 0 x x x J +K - Tính: I = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = ∫ xe f ( x ) dx + ∫ e f ( x ) dx = https://toanmath.com/ + ln 2 f ′( x) f ( x) 2 dx − ∫ dx + ∫ − dx x x x x 1 2 f ( x) f ( x) f ′( x) + f ( x) +1 2 − d x = f x + d x − d x + ( ) ∫ − dx 2 ∫1 x ∫ ∫ x x x x x x 1 1 = J D e Tính K = ∫ e x f ( x ) dx du e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) dx u = e x f ( x )= Đặt ⇒ v = x dv = dx 1 − ∫ xe f ( x ) dx − ∫ xe f ′ ( x ) dx ( f (1) = ) ( xe f ( x ) ) − ∫ xe f ( x ) + xe f ′ ( x ) dx = = ⇒K x x x x x 0 1 0 ⇒ K =− J − ∫ xe x f ′ ( x ) dx ⇒ I =J + K =− ∫ xe x f ′ ( x ) dx - Kết hợp giả thiết ta được: 1 1 2 e2 − e2 − ′ ′ = f x x d (1) = f x x d ∫ ( ) ∫ ( ) 4 0 0 ⇒ e2 − 2 xe x f ′ x dx = − e − (2) − xe x f ′ x dx = ) ( ) ( ∫ ∫ e2 − (3) - Mặt khác, ta tính được: ∫ x e x dx = - Cộng vế với vế đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ∫ ( f ′ ( x ) + xe f ′ ( x ) + x e 2x x 0 ⇔ π ∫ ( f ′ ( x ) + xe ) dx = ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) + xe ) dx = ) dx = 1 x x o o hay thể tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm = số y f ′ ( x ) + xe , trục Ox , đường thẳng x = x , x = quay quanh trục Ox − xe x ⇒ f ′ ( x ) + xe x = ⇔ f ′( x) = ⇒ f ( x) = − ∫ xe x dx = (1 − x ) e x + C - Lại f (1) =0 ⇒ C =0 ⇒ f ( x ) =(1 − x ) e x 1 0 x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ( (1 − x ) e x ) + ∫ e x dx =−1 + e x =e − ∫ (1 − x ) e dx = 1 0 Vậy ∫ f ( x ) dx= e−2 Câu 221 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = , 1 1 ∫0 f ′ ( x ) dx = ∫0 x f ( x ) dx = Tích phân ∫0 f ( x ) dx 7 A B C Hướng dẫn giải Chọn A du = f ′ ( x ) dx u =f ( x ) ⇒ Cách 1: Tính: ∫ x f ( x ) dx Đặt x3 dv = x dx v = 2 x3 f ( x ) Ta có: ∫ x = f ( x ) dx − ∫ x f ′ ( x ) dx 30 1 https://toanmath.com/ D 1 f (1) − f ( ) 1 = − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx 30 30 ∫ x f ( x ) dx = Mà Ta có ∫ f ′ ( x ) 1 1 ⇒ − ∫ x3 f ′ ( x ) dx = ⇒ ∫ x3 f ′ ( x ) dx = −1 30 3 dx = (1) 1 x7 1 = = x x d 49 x dx =.49 = (2) ⇒ ∫0 ∫ 7 1 0 3 ∫ x f ′ ( x ) dx =−1 ⇒ ∫ 14 x f ′ ( x ) dx =−14 (3) Cộng hai vế (1) (2) (3) suy ∫ f ′ ( x ) { } 1 dx + ∫ 49 x dx + ∫ 14 x3 f ′ ( x ) dx = + − 14 = 0 ⇒ ∫ f ′ ( x ) + 14 x f ′ ( x ) + 49 x dx = ⇒ ∫ f ′ ( x ) + x dx = 0 2 1 ⇒ f ′( x) = Do f ′ ( x ) + x ≥ ⇒ ∫ f ′ ( x ) + x dx ≥ Mà ∫ f ′ ( x ) + x dx = −7 x 2 0 7x 7 f ( x) = − + C Mà f (1) = ⇒ − + C = ⇒ C = 4 x4 − + Do f ( x ) = 4 Vậy ∫ x4 x5 f ( x ) dx = + x = − ∫0 − + dx = 20 1 Cách 2: Tương tự ta có: ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1 1 1 2 2 = ∫ x3 f ′ ( x ) dx ≤ ∫ ( x ) dx ⋅ ∫ f ′ ( x ) dx = ⋅ ⋅ ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx 0 0 0 0 Dấu xảy f ′ ( x ) = ax , với a ∈ 1 ax =−1 ⇒ a =−7 Ta có ∫ x f ′ ( x ) dx =−1 ⇒ ∫ x ax dx =−1 ⇒ 0 3 x4 −7 x3 ⇒ f ( x ) = − + C , mà f (1) = nên C = Suy f ′ ( x ) = 4 Do f ( x= ) (1 − x ) ∀x ∈ 1 x4 x5 + x = Vậy ∫ f ( x ) dx = − ∫0 − + dx = 20 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] https://toanmath.com/ b b b Khi đó, ta có ∫ f ( x ) g ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ⋅ ∫ g ( x ) dx a a a Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h ( x ) liên tục không âm đoạn [ a; b ] ∫ h ( x ) dx ≥ a Xét tam thức bậc hai λ f ( x ) + g ( x ) = λ f ( x ) + 2λ f ( x ) g ( x ) + g ( x ) ≥ , với λ ∈ Lấy tích phân hai vế đoạn [ a; b ] ta b b b a a a λ ∫ f ( x ) dx + 2λ ∫ f ( x ) g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ≥ , với λ ∈ (*) Coi (*) tam thức bậc hai theo biến λ nên ta có ∆′ ≤ b b b ⇔ ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) d x ∫ g ( x ) d x ≤ a a a b b b ⇔ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx (đpcm) a a a https://toanmath.com/ ... trình f ( x ) = có nghiệm ( 0;1) B Phương trình f ( x ) = có nghiệm ( 0; +∞ ) C Phương trình f ( x ) = có nghiệm (1; ) C Phương trình f ( x ) = có nghiệm ( 2;5 ) Hươngd dẫn giải Chọn C x −... Câu 99: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) ≥ x + Khẳng định sau đúng? A Phương trình f ( x ) = có nghiệm ( 0;1) D 13 − x ∀x > f (1) = −1 x2 B Phương trình f ( x ) = có nghiệm ( 0;... với giá trị thực 2 t < phương trình 2x − x = t có hai nghiệm phân biệt Vậy để phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt < m < e1 = e Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( x ) ≠ với x ∈