Giáo trình Hướng dẫn giải bài tập Cơ kỹ thuật 2 (Phần Động lực học) trình bày một số bài tập, kiến thức về các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ và vật rắn; phương pháp lực, khối lượng, gia tốc; phương pháp công, năng lượng; phương pháp xung lượng động lượng; phương pháp lagrange.
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
CƠ KỸ THUẬT 2 (PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC)
Trang 2Phần II ĐỘNG LỰC HỌC (KINETICS)
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN
I KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ
Khối tâm G của cơ hệ là một điểm mà vi ̣ tri ́ của nó được xác đi ̣nh bởi phương trình :
1
1 n
i i i
i i i n
i i i
MiềnV
Trang 3 Định lý song song
Liên hệ momen quán tính giữa hai trục song song : trục a và trục đi qua khối tâm G và song
song với trục a
I a là momen quán tính khối lượng của vật đối với trục
đi qua khối tâm và song song với trục a
m là khối lượng của vật
d là khoảng cách giữa hai trục
Momen quán tính của vật thể phức hợp
Momen quán tính của vật thể đối với một trục cho trước bằng tổng momen quán tính của
các phần của vật đối với trục đó
Momen quán tính khối lượng của một số vật rắn đồng chất
Trang 4Vành
tròn
Đi ̃a tròn
Gz
2 2 3
Trang 5CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Cơ hệ trong Hình (a) bao gồm ba vật thể đồng chất: trụ nặng 10-kg; thanh mảnh nặng 2-kg; và
khối cầu nặng 4-kg Với cơ hệ đó, tính toán:
(1) Ix, mô men quán tính khối lượng đối với trục x
(2) 𝐼 𝑣à 𝑘 , mô men quán tính khối lượng và bán kính quán tính đối với trục đi qua 𝑥
khối tâm của hệ và song song với trục x
Lời giải
Các khối tâm của trụ (G1), thanh (G2), và khối cầu (G3) được chỉ ra trong Hình (b) Do tính đối
xứng , khối tâm G của hệ nằm trên trục y, với tọa độ 𝑦 cần được xác định
Phần 1:
Trụ: Mô men quán tính của trụ đối với trục đi qua khối tâm của chính nó và song song với trục x
là
Trang 6Theo định lý trục song song, mô men quán tính của trụ đối với trục x là
Thanh mảnh: Bởi vì G2 chính là gốc của hệ trục xyz, mô men quán tính của thanh đối với trục x là
Khối cầu: Mô men quán tính của khối cầu đối với trục đi qua khối tâm của chính nó và song song
với trục x là
Sử dụng định lý trục song song, mô men quán tính của khối cầu đối với trục x là
Trang 7Cơ hệ: Mô men quán tính của cơ hệ đối với một trục bằng tổng mô men quán tính của các phần
thuộc hệ đối với trục đó Do đó, cộng các giá trị mà chúng ta tính được ở trên, ta được
Phần 2:
Theo Hình (b), tọa độ 𝑦 của tâm G là
i i i
Bởi vì 𝑦 là khoảng cách giữa trục x và trục đi qua khối tâm của cơ hệ và song song với trục x nên
Bán kính quán tính tương ứng là
Bài 2
Một chi tiết máy nặng 290-kg trong Hình (a) được tạo bởi việc khoan một cái lỗ lệch tâm đường
kính 160mm, một trụ đường kính 400mm dài 350mm Xác định:
(1) Iz (mô men quán tính của chi tiết máy đối với trục z.)
(2) 𝑘 (bán kính quán tính của chi tiết máy đối với đi qua khối tâm của nó và song song với
trục z.)
Trang 8Lời giải
Chi tiết máy trong Hình (a) có thể được xem gồm hai phần khác nhau, đó là các khối trụ đồng
chất A và B trong Hình (b) và (c) Mật độ khối lượng của chi tiết máy là
Trang 9Do đó, khối lượng của các trụ A và B là
Như một sự kiểm tra việc tính toán, chúng ta chú ý rằng m A – m B = m, như mong đợi
Phần 1
Mô men quán tính của trụ A đối với trục z, trục mà trùng với trục trung tâm z của nó là
Mô men quán tính của trụ B đối với trục trung tâm z của nó là
Bởi vì khoảng cách giữa trục z và trục trung tâm z của vật B là d =0.11m, mô men quán tính của B
đối với trục z được tính từ định lý trục song song:
Do đó, mô men quán tính của chi tiết máy đối với trục z là
Phần 2
Do tính đối xứng, tọa độ x và z của khối tâm của phần máy là 𝑥 = 0 𝑣à 𝑧 = −0.175𝑚 Tọa độ y
được tính như sau
Trang 10Mô men quán tính của chi tiết máy đối với trục trung tâm z của nó (trục đi qua khối tâm của nó
và song song với trục z) có thể được tính từ định lý trục song song:
Bán kính quán tính tương ứng là
Trang 11ĐỘ NG LỰC HỌC
PHƯƠNG PHÁP LỰC – KHỐI LƯỢNG – GIA TỐC
I PHƯƠNG PHÁP LỰC – KHỐI LƯỢNG – GIA TỐC ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM
m
F a
Các bước áp dụng:
Vẽ FBD của chất điểm (gồm tất cả các lực tác dụng lên chất điểm)
Lực hoạt động: lực cho trước và trọng lực (nếu có)
Phản lực liên kết: lực do các vật đỡ gây ra, gồm cả lực ma sát (TH chuyển độngF ms k N),
lực cản (nếu có)
Vẽ MAD cho chất điểm (thể hiện véc tơ ma)
Chọn hệ trục tọa độ
Sử dụng phần động học (bài 2) để phân tích phương, chiều của véc tơ gia tốc a Nếu chiều
của a chưa biết thì chúng ta giả thiết chiều của mỗi thành phần gia tốc a hướng theo chiều
dương của các trục tọa độ
Thể hiện véc tơ ma trên hình vẽ
Từ hai sơ đồ FBD và MAD viết phương trình chuyển động cho chất điểm
Sử dụng liên hệ giữa gia tốc, vận tốc và vị trí (phần động học chất điểm), thực hiện các phép tính
đạo hàm hoặc tích phân để xác định các đại lượng được yêu cầu
BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Khối A trọng lượng 300N trong hình M2.5a đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang, khi một lực P
tác dụng tại thời điểm t=0 Tìm vận tốc và vị trí của khối khi t=5s Hệ số ma sát động lực là 0.2
(a)
Lời giải
Sử dụng phương pháp Lực – Khối lượng – Gia tốc
Trang 12- Lực cho trước: P =200N
- Trọng lực: W =mg
- Phản lực liên kết: phản lực NA và lực ma sát FA =µkNA
Vẽ MAD (hình (b))
- Chọn hệ trục tọa độ xy như trong hình (b)
- Chuyển động là chuyển động thẳng theo phương ngang nên ay =0
Trang 13Trong đó C1 và C2 là các hằng số tích phân có thể được tìm ra từ các điều kiện đầu Như đã biết
ban đầu v =0 Tuy nhiên, chúng ta có nhiều lựa chọn gốc tọa độ x Lựa chọn thuận lợi nhất là đặt
x =0 khi t =0 Do đó điều kiện đầu là:
Hình (a) biểu diễn một kiện hàng khối lượng m nằm yên trên sàn thùng của một chiếc xe tải Hệ
số ma sát tĩnh giữa hai bề mặt là 0.64 Để cho kiện hàng trượt xuống thì sàn thùng có vị trí như
hình vẽ, xe tải phải chuyển động có gia tốc sang phải Xác định gia tốc a nhỏ nhất để kiện hàng
bắt đầu trượt Biểu diễn đáp án theo gia tốc trọng trường g
Lời giải
(a)
Trang 14 Sử dụng phương pháp Lực – Khối lượng – Gia tốc
Vẽ FBD (hình (b))
- Trọng lực: W =mg
- Phản lực liên kết: phản lực N và lực ma sát F =0.64N (do kiện hàng ở trạng thái sắp
trượt, F bằng với giá trị ma sát tĩnh lớn nhất sN)
Vẽ MAD (hình (b))
- Chọn hệ trục tọa độ xy như trong hình (b)
- Do kiện hàng và xe tải có cùng gia tốc trước khi sự trượt xuất hiện, véctơ lực quán tính
của kiện hàng là ma, hướng theo phương ngang
Trang 15Bài 3
Một quả bóng trong hình (a) có trọng lượng 1.5N và được ném lên với vận tốc ban đầu 20m/s
Tính toán chiều cao lớn nhất mà quả bóng đạt được nếu (1) bỏ qua sức cản không khí; và (2) khi
không khí sinh ra lực cản FD được biết như là ảnh hưởng khí động học, ngược với vận tốc Giả
thiết rằng F D =cv 2 trong đó c=2.10-3N.s2/m2
Lời giải
Phần 1
Khi sức cản không khí được bỏ qua, chỉ có trọng lực tác dụng lên quả bóng
trong suốt quá trình chuyển động, được chỉ ra trong hình (b) Do chuyển
động là thẳng nên giá trị của véctơ quán tính là ma x =ma, như chỉ ra trong
hình MAD trong hình (b) Áp dụng định luật II Newton (pp Lực – Khối lượng – Gia tốc) ta có:
x
F ma mg ma
từ đó ta có thể tìm ra: a g 9.8m/s2 (1)
Sử dụng liên hệ động học giữa gia tốc với vận tốc và tọa độ vị trí theo thời gian, ta xác định được
vận tốc và vị trí như sau:
1 2
Các hằng số tích phân có thể được tính toán dựa vào các điều kiện đầu x =0 và v =0 khi t =0 kết
quả là:C =20m/s, C =0 Do đó vận tốc và vị trí của quả bóng được xác định là:
Hình (a)
Trang 169.8 20 (4)4.9 20 (5)
Khi kể đến ảnh hưởng của sức cản khí động học, FBD và MAD của quả bóng trong quá trình bay
lên được chỉ ra trong hình (c)
Quan sát thấy rằng lực FD, luôn ngược chiều vận tốc, tác dụng hướng xuống
dưới bởi vận tốc theo chiều dương là hướng lên Từ định luật II Newton,
chúng ta có các phương trình chuyển động:
ln( ) 2
Trang 17Sử dụng điều kiện đầu: v =20m/s khi x =0, ta tìm được C3 =31.86m Do đó:
Vật A khối lượng 12kg trong hình (a) trượt không ma sát trong một máng nửa hình tròn bán kính
R=2m Vật A bắt đầu chuyển động từ vị trí có góc 0
- Gia tốc của vật gồm hai thành phần: gia tốc tiếp và gia tốc pháp
- Các véc tơ ma n(chiều hướng về tâm của quỹ đạo) và ma t (vẽ theo chiều dương của
trục tiếp tuyến) được thể hiện trong hình vẽ
Trang 18 Viết PT chuyển động của chất điểm từ FBD và MAD
Phân ly biến số, PT (3) trở thành gRcos d vdv Tích phân hai vế phương trình này sử dụng
điều kiện đầuvv0 4m / skhi 0
Trang 19
39.2sin 3.62
12 9.8sin
2352.8sin 21.7
Một vật B khối lượng 100g như trong hình (a) trượt dọc theo tay quay OA Hệ số ma sát động
giữa B và OA là k 0 2. Tại vị trí như hình vẽ, R 1m / s,5rad / s và 2
3rad / s
Tại vị trí này, xác định R, gia tốc tương đối của B so với OA
Lời giải
Sử dụng phương pháp Lực – Khối lượng – Gia tốc
Vẽ FBD (hình (b))
- Trọng lực: W =mg =(0.1)(9.8) =0.98N
- Phản lực liên kết: phản lực NB và lực ma sát F =0.2NB , chiều của F ngược với chiều của
R, vận tốc tương đối của B so với thanh OA
Trang 21II PHƯƠNG PHÁP LỰC – KHỐI LƯỢNG – GIA TỐC ĐỐI VỚI CƠ HỆ
Phương trình chuyển động của khối tâm
m
trong đó Flà tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ, m là tổng khối lượng của các chất điểm thuộc
hệ, a là gia tốc khối tâm của hệ
Các bước áp dụng:
Cách 1
- Vẽ FBD và MAD cho từng chất điểm thuộc hệ Từ đó , viết các phương trình chuyển
động cho từng chất điểm
- Biểu diễn liên hệ động học giữa các chất điểm
- Giải các đại lượng được yêu cầu
Cách 2
- Vẽ FBD của toàn hệ (chỉ vẽ các ngoại lực tác dụng lên hệ)
- Viết phương trình chuyển động khối tâm của hệ:Fma
- Vẽ FBD, MAD và viết phương trình chuyển động cho một số chất điểm của hệ nếu cần
thiết
BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Người đàn ông trong hình (a) đi từ đầu cuối bên trái sang đầu cuối bên phải của một tấm ván
đồng chất Ban đầu tấm ván ở trạng thái nghỉ trên mặt băng Xác định dịch chuyển của người khi
anh ta đến đầu cuối bên phải Trọng lượng của người và tấm ván tương ứng là 60kg và 15kg Bỏ
qua ma sát giữa tấm ván và mặt băng
Trang 22Lời giải
Sơ đồ vật thể tự do của hệ gồm người và tấm ván được biểu diễn trong hình (b) Các lực xuất
hiện trong FBD này là trọng lượng của người, trọng lượng của tấm ván và phản lực N Phản lực
pháp tuyến và lực ma sát giữa người và tấm ván không xuất hiện trong FBD, bởi vì chúng là các
nội lực của hệ
Từ FBD trong hình (b), chúng ta thấy rằng không
có lực tác dụng lên hệ theo phương x Do đó, theo
phương trình Fma, khối tâm G của hệ vẫn đứng ở
một chỗ như được chỉ ra trong các hình (c) và (d)
Tiếp theo chúng ta tính x , toạ độ-x của điểm G,
khi người đàn ông ở đầu cuối bên trái của tấm ván
Theo hình (c), chúng ta có
60 15 60 01 15 2
n
i i i
Phương trình này cho x 0.4 m Lặp lại các bước trên với thời điểm người đàn ông ở đầu cuối
bên phải của tấm ván, như biểu diễn trong hình (d), chúng ta có
60 15 x 60d15d2
Phương trình này cho d x 0.4 Thay x 0.4 m(nhắc lại rằng x không đổi khi người di chuyển
dọc theo tấm ván), chúng ta có
d = 0.8 m
Quan sát thấy rằng mỗi bước đi của người dẫn đến kết quả là người dịch chuyển sang phải và
tấm ván dịch chuyển sang trái Độ lớn của các dịch chuyển này ở một tỉ lệ thích hợp để đảm bảo
rằng khối tâm của hệ không di chuyển theo phương ngang
Trang 23Chúng ta cũng có thể giải bài toán này bằng cách chú ý rằng khoảng cách giữa người và
khối tâm G phải như nhau trong hình (c) và (d), do sự đối xứng của hai cấu hình Nói cách khác,
, hay 2
Bài 2
Dây cáp trong hình A được vắt qua ròng rọc, một đầu dây buộc vào vật A nặng 60N, đầu kia chịu
tác dụng của lực 90N Trong hình (b), lực 90N được thay bằng vật B nặng 90N Bỏ qua khối lượng
của ròng rọc, xác định gia tốc của vật A và sức căng trong dây cáp với hai trường hợp trên
Lời giải
Hệ trong hình (a)
Hình (c) biểu diễn sơ đồ vật thể tự do (FBD) của vật A Vì khối lượng của ròng rọc được bỏ qua,
sức căng của dây cáp là như nhau dọc theo dây cáp Ta có
T = 90 N
Hình (c) cũng biểu diễn sơ đồ khối lượng – gia tốc
Định luật hai Newton cho
g
Trang 24Hệ trong hình (b)
FBD và MAD của các vật A và B được biểu diễn trong hình (d) Vì dây cáp không dãn, gia tốc của
vật A bằng gia tốc của vật B về độ lớn, nhưng ngược hướng Chúng ta giả thiết gia tốc của A
hướng lên Do đó phương trình chuyển động của vật A là
6060
72 N
1.96 m/s 5
Chú { rằng sự tác dụng lực 90N vào đầu cuối dây cáp không tương đương với việc buộc
dây với trọng lượng 90N
Bài 3
Hình (a) biểu diễn một hệ gồm ba khối hộp được liên kết bằng một dây cáp không dãn vắt qua
bốn ròng rọc Khối lượng của các khối hộp A, B, và C tương ứng l à 60kg, 80kg, và 20kg Sử dụng
các toạ độ đã chỉ ra và bỏ qua khối lượng của các ròng rọc , hãy tìm gia tốc của mỗi khối hộp và
sức căng T trong dây cáp
Lời giải
Trang 25Chúng ta sẽ dùng phương pháp lực – khối lượng – gia tốc để rút ra phương trình chuyển động
của mỗi khối hộp
Phân tích động học
Đặt L là chiều dài của dây cáp vắt qua các ròng rọc trong hình (a), chúng ta có
1
2 A 2 B C
L y y y C
trong đó C1 là hằng số được tính từ chiề u dài các đoạn cáp quấn quanh các ròng rọc và hai đoạn
cáp ngắn đỡ hai ròng rọc phía trên Bởi vì chiều dài L là không đổi, đạo hàm phương trình trên ta
được
2v A2v Bv C 0 Đạo hàm phương trình liên hệ vận tốc theo thời gian, ta được liên hệ gia tốc giữa các khối hộp:
2a A2a Ba C 0 (a)
Phân tích động lực học
Hình (b) biểu diễn sơ đồ vật thể tự do của khối hộp A và B (cùng với ròng rọc khối lượng không
đáng kể m à chúng được gắn vào ), và khối hộp C Chú { rằng sức căng T là hằng số từ đầu đến
cuối dây cáp Các sơ đồ khối lượng – gia tốc tương ứng cũng được biểu diễn trong hình (b) Áp
dụng định luật hai Newton F y ma đối với từng khối hộp, các phương trình chuyển động là
Trang 26294 N02.45 m/s4.9 m/s
A B C
T a a a
Trang 27III PHƯƠNG PHÁP LỰC – KHỐI LƯỢNG GIA TỐC ĐỐI VỚI VẬT RẮN, HỆ VẬT RẮN
Phương trình chuyển động của vật chuyển động phẳng
Vật chuyển động phẳng tổng quát
Vật chuyển động tịnh tiến (ω = 0, α = 0)
Vật quay quanh một trục cố đi ̣nh
Các bước áp dụng phương pháp Lực – Khối lượng – Gia tốc
Vẽ FBD của vật: thể hiện tất cả các lực, ngẫu lực tác dụng lên vật
Sử dụng động học, xác định mối liên hệ giữa a và
Vẽ MAD: thể hiện véc tơ quán tính ma tác dụng tại khối tâm và ngẫu lực quán tính
I (sử dụng kết quả của bước hai)
Viết phương trình chuyển động của vật bằng cách cân bằng hai sơ đồ FBD và MAD
Lưu ý: Nếu bài toán gồm một hệ các vật rắn , thì ta áp dụng phương pháp Lực – Khối lượng –
Gia tốc cho từng vật rắn thuộc hệ, hoặc áp dụng cho toàn hệ vật (các nội lực
Với A là điểm bất kì
Với A là điểm nằm trên trục quay
MAD
Trang 28CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Thanh đồng chất trong Hình (a) có khối lượng m và chiều dài L Thanh, quay tự do quanh bản lề
tại O trong mặt phẳng thẳng đứng, được thả ra từ trạng thái nghỉ tại vị trí θ=0 Tìm gia tốc góc α
của thanh khi θ=600
Lời giải
Hình (b) thể hiện FBD và MAD của thanh khi θ=600 FBD chứa trọng lực W của thanh, tác dụng
tại khối tâm G của nó (vị trí trung điểm của thanh) và các thành phần của phản lực tại bản lề O
Trong MAD, ngẫu quán tính I được vẽ với giả thiết rằng cùng chiều kim đồng hồ, và sử
/ 12
I mL Các thành phần của véc tơ quán tính ma được tìm từ chú ý rằng quĩ đạo của
G là đường tròn có tâm tại O Do đó, các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của 𝒂 là
2
( / 2)
n
a L và a t ( / 2)L Chiều của a n hướng về O bất chấp chiều của ω Chiều của a t phù
hợp với chiều giả thiết của α
Trang 29Chúng ta chú ý rằng có tổng cộng là bốn đại lượng chưa biết trong Hình (b): Ox, Oy, α, và
ω Bởi vì chỉ có ba phương trình chuyển động độc lập, chúng ta không thể xác định được tất cả
các đại lượng chưa biết đó bằng việc chỉ sử dụng FBD và MAD L{ do đó là ω phụ thuộc vào lịch
sử chuyển động: dtC Do đó, các phương trình chuyển động tại một vị trí cụ thể của
thanh sẽ không xác định được vận tốc góc tại vị trí đó Tuy nhiên, xem xét kỹ FBD và MAD thấy
rằng có thể xác định được gia tốc góc α, bởi vì nó là đại lượng chưa biết duy nhất xuất hiện trong
phương trình mô men khi O được sử dụng là tâm mô men Theo các sơ đồ trong Hình (b),
phương trình mô men là
từ đó chúng ta tìm được
Trang 30
Bài 2
Một vật thể trong Hình (a) bao gồm thanh đồng chất 1 được gắn cứng với quả cầu đồng chất 2
Vật thể đang quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh bản lề tại O Khi vật có vị trí mà góc
θ=300, vận tốc góc của nó là ω=1.2rad/s cùng chiều kim đồng hồ Tại vị trí này, hãy xác định gia
tốc góc α và độ lớn của phản lực tại bản lề O
Lời giải
FBD và MAD của vật thể tại vị trí θ=300 được thể hiện trong Hình (b) Trong các sơ đồ đó, thanh
và quả cầu được coi là các vật riêng lẻ, mỗi vật có ngẫu quán tính và véc tơ quán tính của nó
(Một dạng tương đương của MAD có thể thu được bởi việc thể hiện ngẫu quán tính và véc tơ
quán tính của cả hệ) Các chi tiết của các sơ đồ được mô tả như ở bên dưới
Sơ đồ vật thể tự do: Các lực On và Ot là các thành phần của phản lực bản lề theo các trục n
và t được thể hiện trên hình vẽ Các trọng lực W1 và W2 của thanh và quả cầu tác dụng tại khối
tâm của chúng là G1 và G2 tương ứng Các khoảng cách r1 0.4m và r2 1.0m, được đo từ O tới
các khối tâm
Sơ đồ khối lượng gia tốc: Trong MAD, chúng ta giả thiết rằng gia tốc góc α, được tính
bằng rad/s2, cùng chiều kim đồng hồ Sử dụng thực tế rằng vật thể quay quanh điểm cố định O,
Trang 31phân tích động học giúp chúng ta biểu diễn các gia tốc của G1 và G2 theo α và ω của vật thể Các
thành phần quán tính xuất hiện trong MAD được tính toán theo cách sau đây
Với thanh mảnh:
Với quả cầu:
Trong MAD, chiều của các thành phần tiếp tuyến của véc tơ quán tính (chứa α) phù hợp với
chiều kim đồng hồ, chiều giả thiết của α Các thành phần pháp tuyến của véc tơ quán tính (chứa
ω2) hướng về tâm quay O, bất chấp chiều của ω
Trang 32Từ Hình (b) chúng ta thấy rằng có hai đại lượng chưa biết trong FBD (On và Ot) và một đại lượng
chưa biết (α) trong MAD Do đó, tất cả có thể xác định từ việc xây dựng và giải ba phương trình
Trang 33Dây cáp nối với vật nặng B trong Hình (a) quấn chặt vòng quanh đĩa A, đĩa có thể quay tự do
quanh trục tại khối tâm G của nó Khối lượng của A và B là 60-kg và 20-kg, và k 400mm đối với
đĩa Xác định gia tốc góc của đĩa A và sức căng trong dây cáp
Lời giải
Các sơ đồ vật thể tự do và khối lượng gia tốc của hệ được thể hiện trong Hình (b) FBD chứa các
trọng lực WA=60(9.8)=588N và WB=20(9,8)=196N cùng với các phản lực chưa biết tại bản lề G
Sức căng trong dây cáp, là một lực trong, không xuất hiện trong sơ đồ FBD đó
MAD thể hiện ngẫu quán tính của đĩa và véc tơ quán tính của vật nặng Không có véc tơ
quán tính của đĩa bởi vì khối tâm của đĩa không chuyển động Gia tốc góc α của đĩa được giả
thiết có chiều kim đồng hồ Ngẫu quán tính tương ứng của đĩa là
cũng có chiều kim đồng hồ Bởi vì dây cáp không trượt trên đĩa, gia tốc của vật nặng là a B =Rα,
tạo nên véc tơ quán tính
Trang 34
Có ba đại lượng chưa biết trên FBD và MAD: hai thành phần phản lực bản lề tại G và gia tốc góc α
của đĩa Bởi vì số phương trình độc lập từ FBD và MAD là ba, tất cả các đại lượng đó có thể được
xác định
Gia tốc góc α có thể được tìm bởi việc cân bằng mô men tổng đối với G trong FBD và
MAD
Để tìm sức căng trong dây cáp, chúng ta phân tích riêng vật nặng (cũng có thể xác định
sức căng trong dây cáp bằng cách phân tích chuyển động riêng của đĩa) FBD và MAD của vật
nặng được thể hiện trong Hình (c), với T là sức căng của dây cáp
Tổng các lực theo phương y dẫn đến
Trang 35Bài 4
Bánh xe mất cân bằng trong Hình (a) đang lăn không trượt dưới tác dụng của ngẫu lực ngược
chiều kim đồng hồ C0=20Nm Khi bánh xe ở vị trí đã cho, vận tốc góc của nó là ω=2rad/s cùng
chiều kim đồng hồ Tại vị trí đó, tính gia tốc góc α và các lực tác dụng lên bánh xe tại C bởi mặt
phẳng ngang nhám Bán kính quán tính của bánh xe đối với khối tâm G là k 200mm
Lời giải
Sơ đồ vật thể tự do và sơ đồ khối lượng gia tốc cho bánh xe được thể hiện trong Hình (b)
Sơ đồ vật thể tự do: FBD bao gồm ngẫu lực tác dụng C0, trọng lực W =40(9.8)=392N, và lực pháp
tuyến và lực ma sát tác dụng tại điểm tiếp xúc C, được ký hiệu bởi NC và FC Quan sát thấy rằng FC
được giả thiết hướng sang phải
Trang 36Sơ đồ khối lượng gia tốc: Trong MAD của bánh xe, gia tốc góc α, đo bằng rad/s2, được giả thiết
cùng chiều kim đồng hồ Ngẫu quán tính tương ứng được thể hiện trong sơ đồ đó là
Bởi vì bánh xe lăn không trượt, gia tốc của tâm O là aO =Rα =0.250α m/s2, hướng sang
phải Áp dụng quan hệ gia tốc giữa G và O, chúng ta thu được (đơn vị của mỗi số hạng là m/s2)
0.120 /
y
với m=40-kg, các thành phần của véc tơ quán tính trở thành ma x 1019.2N, hướng sang
phải, và ma y 4.8 N, hướng xuống dưới
Trang 37FBD và MAD trong Hình (b) bây giờ chỉ chứa ba đại lượng chưa biết: NC, FC, và α, chúng có
thể được xác định bằng việc sử dụng ba phương trình chuyển động độc lập
Bởi vì NC và FC tác dụng tại C, thật thuận tiện khi sử dụng một phương trình mô men đối
với C:
Giải phương trình này ta được
Bởi vì α là dương, chiều của nó cùng chiều kim đồng hồ, như đã giả thiết
Các lực tại C bây giờ có thể được tìm từ các phương trình hình chiếu:
và
dẫn đến
Bởi vì các lực đều dương, chiều của nó như đã thể hiện trong FBD
Trang 38ĐỘ NG LỰC HỌC
PHƯƠNG PHÁP CÔNG – NĂNG LƯỢNG
I CÔNG CỦA LỰC VÀ NGẪU LỰC
Trang 39Nếu F = const thì
U1 2 F R 2R1
Công của lực lò xo
trong đó δ1 và δ2 tương ứng là độ biến dạng của lò xo tại các vi ̣ tri ́ 1 và 2
2 Công của ngẫu lực
Công vi phân
dU C dθ
Trường hợp đặc biệt (chuyển động phẳng):
C và dθsong song với nhau
Trang 402 1
2 k k
T m v
Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến
2 1 2
T mv
Động năng của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định đi qua A
2 1
Các bước áp dụng:
Vẽ FBD của chất điểm tại vị trí bất kz: thể hiện tất cả các lực tác dụng lên chất điểm
Tính tổng công của các lực trên dịch chuyển của chất điểm từ vị trí 1 sang vị trí 2 (phản lực N nếu
cần xác định thường được tìm từ PT hình chiếu lên phương pháp tuyến của PT Fma)
Tính động năng của chất điểm tại các vị trí 1 và 2
Một vòng đai A khối lượng m = 1.8kg được thể hiện trong
hình (a) trượt trên thanh dẫn không ma sát Thanh dẫn
nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Một sợi dây được gắn
vào A và được vòng qua một ròng rọc tại B Lực P nằm