Giáo trình Hướng dẫn giải bài tập Cơ kỹ thuật 2 (Phần Động lực học)

Giáo trình Hướng dẫn giải bài tập Cơ kỹ thuật 2 (Phần Động lực học) trình bày một số bài tập, kiến thức về các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ và vật rắn; phương pháp lực, khối lượng, gia tốc; phương pháp công, năng lượng; phương pháp xung lượng động lượng; phương pháp lagrange.

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT (PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC) GV Nguyễn Thị Kim Thoa PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT Phần II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC ĐỘNG LỰC HỌC (KINETICS) CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN I KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ Khối tâm G củ a hệ là mộ t điểm mà vi ̣ tri ́ củ a nó đượ c xác ̣nh bở i phương trình : r n  miri m i 1 Hệ n chât́ điểm n  x   mi xi  m i 1   n  y   mi yi m i 1   n z    mi zi m i 1  v n  mi vi m i 1 a n  miai m i 1 II MOMEN QUÁN TÍNH KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT RẮN  Định nghĩa Momen quán tính khối lượ ng củ a vật đối vớ i trụ c a đượ c ̣nh nghi ̃a là Miền  Bán kính quán tính Bán kính quán tính của vật đối với trục a đượ c ̣nh nghi ̃a là ka  Ia m GV Nguyễn Thị Kim Thoa hay I a  mka2 V HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC  Định lý song song Liên hệ momen quán tính giữ a hai trụ c song song : trục a và trục qua khối tâm G và song song vớ i trụ c a I a  I a  md a Ia Ia d Trong đó  I a là momen quán tính khối lượng của vật đối với trục G a  I a là momen quán tính khối lượng của vật đối với trục qua khối tâm và song song vớ i trụ c a  m là khối lượng của vật d là khoảng cách giữa hai trục  Momen quán tính của vật thể phức hợp Momen quán tính của vật thể đối với trục cho trước tổng momen qn tính của phần củ a vật đới với trục  Momen qn tính khới lượng của số vật rắn đồng chất z z l /2 Thanh mảnh Thanh mảnh l /2 A l y G y x I Gy  I Gz  GV Nguyễn Thị Kim Thoa ml 12 x I Ay  I Az  ml HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC z Vành z Đi ̃a trò n R R C G tròn C G y x y x IGz  mR ; I Gx  I Gy  mR 2 I Gz  mR mR ; I Gx  I Gy  z Khối cầu Khối trụ x I Gx  I Gy  I Gz  2mR ; I Gz mR ;  I Gx  I Gy  Khối z m(3R  h ) 12 Khối hộ p chữ nhật nón I Gz  mR ; 10 I Gx  I Gy  GV Nguyễn Thị Kim Thoa m(4 R  h ) 80 I Gx  m(b  c ) m(c  a ) ; I Gy  ; 12 12 I Gz  m(a  b ) 12 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CÁC BÀI TẬP MẪU Bài Cơ hệ Hình (a) bao gồm ba vật thể đồng chất: trụ nặng 10-kg; mảnh nặng 2-kg; khới cầu nặng 4-kg Với hệ đó, tính toán: (1) Ix, mơ men qn tính khới lượng đối với trục x (2) 𝐼𝑥 𝑣à 𝑘, mô men qn tính khới lượng và bán kính quán tính đới với trục qua khối tâm của hệ song song với trục x Lời giải Các khối tâm của trụ (G1), (G2), khối cầu (G3) được Hình (b) Do tính đới xứng , khới tâm G của hệ nằm trục y, với tọa độ 𝑦 cần được xác định Phần 1: Trụ: Mô men qn tính của trụ đới với trục qua khới tâm của song song với trục x GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Theo định lý trục song song, mơ men qn tính của trụ đối với trục x Thanh mảnh: Bởi G2 gớc của hệ trục xyz, mơ men qn tính của đới với trục x Khối cầu: Mơ men qn tính của khới cầu đới với trục qua khới tâm của song song với trục x Sử dụng định lý trục song song, mơ men qn tính của khới cầu đối với trục x GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Cơ hệ: Mơ men qn tính của hệ đối với trục tổng mô men qn tính của phần thuộc hệ đới với trục Do đó, cộng giá trị mà tính được trên, ta được Phần 2: Theo Hình (b), tọa độ 𝑦 của tâm G y m y m i i  i 10  0.24       0.27   0.0825m 10   Bởi 𝑦 khoảng cách giữa trục x trục qua khối tâm của hệ song song với trục x nên Bán kính quán tính tương ứng Bài Một chi tiết máy nặng 290-kg Hình (a) được tạo việc khoan lỗ lệch tâm đường kính 160mm, trụ đường kính 400mm dài 350mm Xác định: (1) Iz (mơ men qn tính của chi tiết máy đới với trục z.) (2) 𝑘 (bán kính qn tính của chi tiết máy đới với qua khới tâm của song song với trục z.) GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Lời giải Chi tiết máy Hình (a) được xem gồm hai phần khác nhau, là các khới trụ đồng chất A B Hình (b) (c) Mật độ khối lượng của chi tiết máy GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Do đó, khới lượng của trụ A B Như kiểm tra việc tính tốn, ý mA – mB = m, mong đợi Phần Mơ men qn tính của trụ A đới với trục z, trục mà trùng với trục trung tâm z của Mơ men qn tính của trụ B đới với trục trung tâm z của Bởi khoảng cách giữa trục z trục trung tâm z của vật B d =0.11m, mô men quán tính của B đới với trục z được tính từ định lý trục song song: Do đó, mơ men quán tính của chi tiết máy đối với trục z Phần Do tính đối xứng, tọa độ x z của khối tâm của phần máy 𝑥 = 𝑣à 𝑧 = −0.175𝑚 Tọa độ y được tính sau GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Mơ men qn tính của chi tiết máy đới với trục trung tâm z của (trục qua khới tâm của song song với trục z) được tính từ định lý trục song song: Bán kính quán tính tương ứng GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Nghiệm Bài Đĩa đồng chất nặng 4-kg Hình (a) đứng yên lực 30-N tác dụng tại khối tâm của đĩa thời gian 1.5-s, sau đó lực tác dụng bằng không Trong thời gian 1.5s, ma sát là không đủ để ngăn đĩa trượt Xác định thời gian sự trượt dừng lại vận tốc góc tương ứng của đĩa Hệ số ma sát động giữa đĩa và mặt đường nằm ngang 0.2 Lời giải Sơ đồ vật thể tự do: Hình (b) thể hiện FBD của đĩa tại thời gian t bất kỳ thời gian trượt Bởi khơng có gia tớc theo phương y, lực pháp tuyến tại điểm tiếp xúc C thu được từ phương trình NC=mg Bởi vì đĩa trượt, lực ma sát FC=µkmg GV Nguyễn Thị Kim Thoa F y  , dẫn đến HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Biểu đồ động lượng cuối cùng: Biểu đồ động lượng cuối của đĩa tại thời điểm tức thời (t=t2) sự trượt dừng lại cũng được thể hiện Hình (b) Biểu đồ thể hiện động lượng góc đối với khối tâm G: I 2  (mR / 2)2 , và đợng lượng tún tính của đĩa: mv2  m( R2 ) , với v2  R2 là điều kiện đợng học để lăn khơng trượt Phân tích xung lượng – động lượng: Chúng ta bắt đầu bằng việc áp dụng phương trình xung lượng – động lượng góc đối với khối tâm G của đĩa, thời gian từ t1=0 (lúc lực 30-N tác dụng) đến t2 (khi không trượt) Theo Hình (b), có: Do đó, Phương trình xung lượng – động lượng tuyến tính theo hướng x dẫn đến GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Chú ý rằng P(t) =30N 0< t 2 bậc tự do)  Tính lực suy rộng qua  Nếu hệ chịu tác dụng của lực (trọng lực, lực đàn hồi của lò xo) Qi   V , i  1, n qi  Nếu hệ chịu tác dụng của lực lực khơng Qi   GV Nguyễn Thị Kim Thoa V  Qi* , i  1, n qi HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC V của hệ, Qi* lực suy rộng tương ứng với lực khơng phải lực Để tính Qi* , ta dùng phương pháp tính lực suy rộng qua cơng khả dĩ (chỉ tính cơng khả dĩ của lực khơng phải lực có thế) III PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI d  T  dt  qi đó:  T  Qi , i  1, 2, , n   q i  T là động của hệ qi tọa độ suy rộng đủ qi vận tốc suy rộng Qi lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng qi n = số bậc tự của hệ Các bước viết phương trình vi phân chuyển động hệ sử dụng PT Lagrange  Xác định số bậc tự của hệ Chọn tọa độ suy rộng đủ  Viết dạng thức của các phương trình Lagrange theo các tọa độ suy rộng đã chọn (số PT số bậc tự do)  Phân tích lực hoạt động tác dụng lên hệ (coi phản lực liên kết mà U  lực hoạt động)  Tính động của hệ, biểu diễn theo tọa độ suy rộng vận tớc suy rộng  Tính lực suy rộng Qi  Tính các đạo hàm vế trái của phương trình Lagrange  Thay kết quả đã tính được vào phương trình Lagrange GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CÁC BÀI TẬP MẪU Bài Con lắc elliptic tạo thành bởi trượt A có khới lượng m1 trượt theo đường thẳng nằm ngang quả cầu nhỏ có kích thước không đáng kể khối lượng m2 nối với trượt nhờ mảnh có độ dài l Người ta tác dụng lên trượt lực F hướng dọc theo trục Ox Tìm hệ phương trình vi phân chủn đợng của lắc Lời giải - Cơ hệ khảo sát bao gồm trượt, nối quả cầu Cơ hệ chịu liên kết lý tưởng Hệ có hai bậc tự do, ta chọn toạ độ suy rộng x  OA , góc  lập bởi và phương thẳng đứng - Áp dụng phương trình Lagrange loại 2, ta có hai pt: d T T   Qx dt x x x F O d T T   Q dt   P1 - Tính động  B T  Tct  Tqc  1 m1v12  m2 v22 , 2 y đó v1 , v2 vận tốc của trượt quả cầu Ta có v  x,0 hay v1  x , v  x B , y B  , xB  x  l sin  , x B  x  l cos  , y B  l cos  , y B  l sin  yB  l sin  v22  x B2  y B2  x  2lx cos   l 2 1 T  m1 x  m2 ( x  2lx cos   l 2 ) 2 GV Nguyễn Thị Kim Thoa P2 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT T PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 1 (m1  m2 ) x  m2 (2lx cos   l 2 ) 2 - Các lực hoạt động P1 , P2 , F - Tính lực suy rợng U  Fx  P2y B  Fx  P2l sin  Do đó Qx  F , Q   P2l sin  - Tính các đạo hàm T  0, x T  (m1  m2 ) x  m2l cos  , x T  m2lx sin  ,  T  m2lx cos   l 2 ,  d T  (m1  m2 ) x  m2l cos   m2l sin  , dt x d T  m2lxcos   m2lx sin   m2l 2 dt  Thay kết quả đã tính được ở vào phương trình Lagrange, ta được (m1  m2 ) x  m2l cos   m2l sin   F m2lxcos   m2lx sin   m2l 2  m2lx sin    P2l sin  Sau đơn giản ta được (m1  m2 ) x  m2l cos   m2l sin   F x cos   l   g sin  GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Bài Rôbôt tay máy chuyển động mặt phẳng thẳng đứng hình vẽ Khâu có khới lượng m1 , mơmen quán tính đới với khới tâm C1 của I1 Khâu có y F t  C2 M(t) khối lượng m2 , mômen quán tính đối với khới tâm C2 của I2 Khâu có thể chuyển động tịnh tiến thẳng C1 đối với khâu Ngẫu lực điều khiển M =M(t) đặt lên khâu quay lực điều khiển F(t) tác dụng lên khâu a  s x Bỏ qua ma sát lực cản Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động của rô bốt Lời giải - Cơ hệ khảo sát rô bốt gồm khâu Chọn toạ độ suy rộng  , s  đó  góc lập bởi trục của khâu với phương Ox , s khoảng cách từ khối tâm của khâu đến gốc O - Áp dụng phương trình Lagrange loại hai cho rô bốt - Tính động T  T1  T2  1 I1  m1a    m2vC2  I 2  2 Do xC  s cos  , yC   s  sin  , nên vC2  xC2  yC2  s2  s 2 Thay kết quả vào biểu thức của động ta được T 1 1 I1  I  m1a  m2 s    m2 s2   I  m2 s    m2 s2 ,  2 2 đó I  I1  I  m1a  const - Các lực hoạt động gồm P1 , P2 , F, M - Tính lực suy rợng Cho di chuyển khả dĩ   0,  s   , ta có GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 1U  M   m1 ga cos   m2 gs cos    M  m1 ga cos   m2 gs cos     Q  Cho di chuyển khả dĩ   0,  s    2U   F  m2 g sin    s  Qs s Vậy, ta có lực suy rộng Q  M   m1a  m2 s  g cos  Qs  F  m2 g sin  - Tính các đạo hàm T   I  m2 s    d T   I  m2 s    2m2 ss dt  T  m2u s d T  m2 s dt s T  m2u s T   Thay biểu thức vào công thức cho các phương trình Lagrange loại hai, ta được  I  m s   2m ss  M t    m a  m s  g cos 2 m2 s  m2 s  F  t   m2 g sin  GV Nguyễn Thị Kim Thoa ... I Gy  ; 12 12 I Gz  m(a  b ) 12 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CÁC BÀI TẬP MẪU Bài Cơ hệ Hình (a) bao gồm ba vật thể đồng chất: trụ nặng 10-kg; mảnh nặng 2- kg; khới... nhận được GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 39.2sin   3. 62   N A  12  9.8sin       3 52. 8sin   21 .7 N Bài Một vật B khới lượng 100g hình... các phương trình chuyển động là GV Nguyễn Thị Kim Thoa HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT   60  9.8   2T  60a A   80  9.8   2T  80a A   20  9.8   T  20 a A PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC (b)