Hướng dẫn giải bài tập cơ kỹ thuật 2

Hướng dẫn giải bài tập cơ kỹ thuật 2 của trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên Biên soạn ThS. Đặng Văn HiếuThái Nguyên, 2017Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiên cứu quy luật chung nhất về chuyển động, nghiên cứu chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây ra chuyển động., sự tương tác của các lực trong không gian theo thời gian.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

CƠ HỌC KỸ THUẬT 2

(2 Tín chỉ)

Biên soạn ThS Đặng Văn Hiếu

Thái Nguyên, 2017

2

3

4

5

Chương 1 Giới thiệu về động lực học

Nội dung chính:

1 Giới thiệu về động lực học

2 Định nghĩa vị trí, vận tốc, gia tốc của chất điểm

3 Các khái niệm và định luật cơ bản của động lực học

Các bài tập giải mẫu:

Bài tập mẫu 1.1: Chuyển đổi 1.5km/h sang mm/s

Lời giải:

Với phương trình (a), để đồng nhất thứ nguyên, thứ nguyên của mỗi số hạng bên vế phải của phương trình phải là [L/T2], giống với thứ nguyên của a Do đó, thứ nguyên của số hạng thứ nhất bên vế phải của phương trình (a) trở thành

Giải phương trình (b), chúng ta được thứ nguyên của A

6

Trong hệ SI, đơn vị của A là m-2s-3

Thực hiện phân tích thứ nhguyen tương tự đối với số hạng thứ hai bên vế phải của phương trình (a), chúng ta được

Giải phương trình (c), chúng ta được thứ nguyên của B

Trong hệ SI, đơn vị của B là s-3

Bài tập mẫu 1.3: Tính lực hấp dẫn gây ra bởi trái đất lên một người đàn ông nặng 70kg

ở độ cao trên bề mặt của trái đất bằng bán kính của trái đất Khối lượng và bán kính của trái đất là = 5.9742 × 10 kg và = 6378

Lời giải:

Xét vật thể khối lượng m đặt tại một khoảng cách 2Re từ tâm của trái đất khối lượng Me Định luật vạn vật hấp dẫn, từ phương trình (1.17), chỉ ra rằng vật thể bị hấp dẫn bởi trái đất với một lực F được tính bởi

với = 6.67 × 10 /( ∙ ) là hằng số hấp dẫn Thay giá trị của G và các thông

số đã cho, lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên người đàn ông nặng 70kg là

Các bài tập tự giải:

B1.1 Một người nặng 30 N trên mặt trăng, với g = 1.6 m/s2 Xác định (a) khối lượng của người; và (b) trọng lượng của người trên trái đất

B1.4 Cân bằng định luật 2 của Newton và định luật hấp dẫn và sau đó rút ra đơn vị của hằng số hấp dẫn

B1.5 Khi một vật rắn có khối lượng m chuyển động phẳng, động năng của nó (KE) là

với v là vận tốc của khối tâm, k là hằng số, và ω là vận tốc góc của vật tính bằng rad/s Biểu diễn đơn vị của KE và k theo các đơn vị cơ bản của hệ đo lường SI

B1.6 Trong một ứng dụng cụ thể, gia tốc a và tọa độ vị trí x của chất điểm liên hệ với nhau

với g là gia tốc trọng trường, k là hằng số, và W là trọng lượng của chất điểm Chỉ ra rằng phương trình đó phù hợp về thứ nguyên nếu thứ nguyên của k là [F/L]

Các trường hợp đặc biệt: Chuyển động thẳng, chuyển động phẳng

2 Động học chất điểm trong hệ tọa độ quĩ đạo (hệ tọa độ tiếp tuyến và pháp tuyến):

Vị trí của chất điểm:

s(t): Tọa độ quĩ đạo

9

Vận tốc của chất điểm:

0;

v  v   v s: Vận tốc tiếp tuyến với quĩ đạo

Gia tốc của chất điểm:

an: gia tốc pháp tuyến; at: gia tốc tiếp tuyến

Quan hệ vận tốc, gia tốc và tọa độ quĩ đạo:

Chuyển động đặc biệt: Chuyển động tròn:

3 Động học chất điểm trong tọa độ cực:

10

Vị trí của chất điểm: R=R(t), θ=θ(t)

Vận tốc của chất điểm:

Gia tốc của chất điểm:

Các bài tập giải mẫu:

Bài tập mẫu 2.1

Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương trình

2

x   3t  12t36( m ), trong đó t tính bằng giây Trong khoảng thời gian từ t=0 tới t=3s,

(1) Vẽ biểu đồ vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi được; và (3) xác định dịch chuyển của chất điểm

11

Giải

Phần 1

Do chuyển động là thẳng, véc tơ vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau:

Các hàm này được biểu diễn trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới

t=3s Chú ý đồ thị của x là paraboll, nên có đạo hàm là hàm bậc nhất đối với vận tốc và

hằng số đối với gia tốc Thời gian để giá trị của x lớn nhất có thể được xác định bằng

cách cho dx/dt=0, hoặc ứng dụng phương trình v=-6t+12=0, ta có kết quả t=2s thay

t=2s vào phương trình (a) ta tìm được

max

Phần 2

12

Biểu đồ (d) chỉ ra chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới

t=3s khi t=0, chất điểm dời điểm A (x=-6m) chuyển động sang phải Sau đó nó chuyển

động sang trái, tới C (x=3m) khi t=3s Do đó quãng đường đi được bằng khoảng cách

mà điểm dịch chuyển sang phải (AB) cộng với khoảng nó di chuyển sang trái (BC), ta

có

d  AB  BC  12 3 15m  Phần 3

Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban đầu

tới vị trí cuối cùng của nó Véc tơ này được minh họa như là ∆r trong biểu đồ (d) là

 r = 9 i

Quan sát rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) là lớn hơn so với giá trị của véctơ dịch chuyển (9m) do hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã cho

Bài tập mẫu 2.2

Chốt P tại điểm cuối của ống lồng nhau trong sơ đồ (a)

trượt dọc theo rãnh cố định dạng parabol có phương trình

là y2  40 x trong đó x và y được đo bằng mm Tọa độ

y của P thay đổi theo thời gian t (được đo bằng giây) với

phương trình y  4t2  6t Khi y=30mm, tính toán (1)

véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của điểm P

Giải

Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là:

Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm ra t=2.090s Thay giá trị này vào

trong các phương trình (c) và (d) ta có:

Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là

Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây cũng như trong hình (b)

Bằng việc đánh giá độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận

tốc được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo

Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là:

Biểu diễn véctơ a là:

thời điểm t=2s chúng ta tìm ra được

Do và  là dương, chiều của chúng là cùng chiều với chiều dương của  đó là ngược

chiều kim đồng hồ

Từ công thức (3.10) giá trị của vận tốc của A là :

Các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của A là, sử dụng công thức (3.11):

Do đó giá trị của gia tốc của điểm A là

Phần 2

Khi thay t=2s vào trong biểu thức của ( )t chúng ta tìm ra rằng góc xác định vị trí của

thanh ở thời điểm t=2s là

Véctơ vận tốc của điểm cuối của A được biểu diễn trong hình (Hình M3.1b) Giá trị của véctơ v là 4.00m/s, như đã tính trong phần 1, và véctơ là tiếp tuyến với quỹ đạo tròn, hướng của nó xét cùng với hướng của 

(d)

Từ phương trình (3.11) thành phần gia tốc pháp tuyến tại B là

19

Hướng về phía tâm của quỹ đạo cong (điểm O), như chỉ ra trong hình (M3.2b)

Giá trị của gia tốc tại B là

Với hướng như hình (M3.2b)

R t  m , trong đó thời gian được tính bằng giây Xác định các véctơ vận tốc và

gia tốc của con trượt tại thời điểm t=0.5s

Lời giải

Chúng ta bắt đầu xác định các giá trị của tọa độ cực của con trượt A và hai đạo hàm đầu

tiên của nó ở thời điểm t=0.5s:

20

Các thành phần của tọa độ cực của véctơ vận tốc có thể được tính toán từ công thức :

Do đó, véctơ vận tốc ở thời điểm t=0.5s là :

Kết quả này được thể hiện trong hình (M2.5b), trong đó giá trị của véctơ v và góc giữa véctơ v và tay quay được tính toán như sau:

Các thành phần của gia tốc có được từ công thức :

véctơ gia tốc của con trượt ở thời điểm t=0.5s là

Với t tính bằng giây Xác định vận tốc lớn nhất của viên đạn và cao độ tương ứng

B2.2 Khi một vật được ném thẳng lên bề mặt của một hành tinh, chuyển động tiếp theo trong điều kiện không có sức cản của không khí có thể được mô tả bởi:

= −1

Với g và là các hằng số (a) Xác định biểu thức của vận tốc và gia tốc của vật Sử dụng kết quả đó để chỉ ra rằng là tốc độ ban đầu của vật và g là gia tốc trọng trường (b) Xác định độ cao lớn nhất mà vật đạt được và tổng thời gian bay của vật (c) Tính kết quả của phần (b) với = 90 /ℎ và g=9.81m/s2 (bề mặt của trái đất)

Hình M2.6c

22

B2.3 Vị trí của một chất điểm chuyển động trên trục x được mô tả bởi:

= − 108

Với t là thời gian tính bằng giây Trong khoảng thời gian từ t=0 đến t=10s, (a) Vẽ đồ thị

vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (b) Tìm dịch chuyển của chất điểm; và (c) Xác định quãng đường đi được của chất điểm

B2.4 Vị trí của chất điểm di chuyển trên trục x được cho bởi:

B2.6 Một vật được thả ra từ trạng thái nghỉ tại A và rơi tự do Do ảnh hưởng của sức cản của không khí, vị trí của vật là hàm của thời gian :

Với và là các hằng số (a) Xác định biểu thức của tốc độ v của vật Sử dụng kết quả

để giải thích tại sao được gọi là vận tốc ban đầu (b) Xác định biểu thức của gia tốc a của vật là hàm của thời gian t và là hàm của vận tốc v

B2.18 Viên đạn được bắn ra từ O theo quĩ đạo parabol, được cho dưới dạng tham số

24

Hình B2.9

B2.10 Vị trí của một chất điểm trong chuyển động phẳng được xác định bởi:

với a>b, và ω là hằng số (a) Chỉ ra rằng quĩ đạo của chất điểm là một ellip (b) Chứng minh rằng véc tơ gia tốc luôn hướng về tâm của ellip

B2.11 Chiếc xe di chuyển trên đoạn AB của đường cong S với tốc độ không đổi, giảm tốc trên đoạn BC, và tăng tốc trên đoạn CD Chỉ ra hướng xấp xỉ của véc tơ gia tốc của xe tại mỗi điểm đã chỉ ra

Hình B2.11 B2.12 Chiếc xe chuyển động xung quanh một cung tròn bán kính 200m, trong khi tăng tốc với tỉ lệ không đổi 0.8m/s2 Tại thời điểm xác định, độ lớn của véc tơ gia tốc là 1.5m/s2 Tốc độ của xe tại thời điểm đó bằng bao nhiêu km/h?

B2.13 Tên lửa bay xung quanh bề mặt trái đất Xác định bán kính cong của quĩ đạo tại thời điểm tức thời nếu tốc độ của tên lửa là 200m/s Chú ý rằng gia tốc của tên lửa có hai thành phần – gia tốc do lực đẩy của động cơ và gia tốc do trọng trường

Hình B2.13

25

B2.14 Chiếc xe chuyển động với tốc độ không đổi qua chỗ trũng của con đường Bán kính cong của đường tại A, đáy của chỗ trũng là 500m Tốc độ của xe bằng bao nhiêu km/h để gia tốc của xe có độ lớn bằng 0.2g khi xe qua A?

Hình B2.14 B2.15 Quả bóng được bắn ra từ một cannon tại A với vận tốc ban đầu vA hướng nghiêng góc θ so với phương ngang Xác định biểu thức của bán kính cong tại B- điểm cao nhất của quĩ đạo của quả bóng

Hình B2.15

B2.16 Một chất điểm chuyển động xung quanh một đường tròn bán kính 4m, thay đổi tốc độ với tỉ lệ không đổi Tại một điểm A xác định, tốc độ là 3m/s Sau đó di chuyển một phần tư vòng tròn đến điểm B, tốc độ của nó tăng lên 6m/s Xác định độ lớn của gia tốc của chất điểm tại B

B2.17 Thanh OB quay theo chiều kim đồng hồ quanh O với tốc độ góc không đổi 30 vòng/phút trong khi con trượt A trượt tới B với tốc độ không đổi 1m/s, tương đối so với thanh Khi con trượt A có vị trí R=0.2m, θ=0, tính (a) véc tơ vận tốc của A; và (b) véc tơ gia tốc của A

26

Hình B2.17, B2.18 B2.18 Chuyển động của thanh OB được mô tả bởi θ= t  , với α=1.2rad/s2

là gia tốc góc không đổi của thanh Vị trí của con trượt A trên thành là R=v0t, với v0=0.8m/s là tốc độ thoát không đổi tương đối so với thanh Tính véc tơ vận tốc và gia tốc của con trượt là hàm của thời gian

B2.19 Chuyển động phẳng của một chất điểm được mô tả bởi tọa độ cực θ=ωt, =

√ , với ω và b là các hằng số Khi θ=π, xác định (a) véc tơ vận tốc của chất điểm; và (b) véc tơ gia tốc của chất điểm

2 Động học của chuyển động ràng buộc:

Các thuật ngữ sau đây được sử dụng thường xuyên để miêu tả động học của hệ chất điểm:

 Số bậc tự do: Số toạ độ độc lập về mặt hình học mà được đòi hỏi để miêu tả đầy

đủ cấu hình của hệ chất điểm

Các bài tập giải mẫu:

Bài tập mẫu 3.1

Hai máy bay A và B đang bay với vận tốc không đổi ở cùng độ cao Vị trí của hai máy

bay tại t = 0 được biểu diễn trong hình (a) (hệ quy chiếu xy là cố định trong không gian)

Hãy xác định (1) vận tốc tương đối của máy bay A so với máy bay B; (2) Véc tơ định vị tương đối của A so với B như là hàm của thời gian; và (3) khoảng cách nhỏ nhất giữa hai máy bay và thời điểm điều đó xảy ra

Lời giải

Phần 1

Từ hình (a), vận tốc của các máy bay là

Quỹ đạo tương đối của A

tơ hằng, quỹ đạo tương đối của A đối với hệ toạ độ tính tiến x y  là một đường thẳng như biểu diễn trong hình (b)

trong đó t tính bằng giờ và r0 là hằng số tích phân Từ điều kiện đầu, rA B/  30 kmj Do

đó, véc tơ định vị tương đối trở thành

Chú ý: Các kết quả trong phần 3 cũng có thể nhận được từ hình (b) Khoảng cách nhỏ

nhất giữa hai máy bay xảy ra khi máy bay đến vị trí C Từ tam giác ABC, chúng ta có

A B

AC t v

Bài tập mẫu 3.2

Hình (a) biểu diễn một hệ gồm hai khối hộp A và B được nối với nhau bởi một dây không giãn vắt qua hai ròng rọc Xác định liên hệ động học giữa vận tốc và gia tốc của các khối hộp

31

Lời giải

Cơ hệ trong hình (a) có một bậc tự do vì một toạ độ (chẳng hạn, y A hoặc x B), xác định cấu

hình của hệ Để thuận tiện, ta đánh số các ròng rọc và ký hiệu khoảng cách cố định, h, như đã chỉ ra trên hình (b) Đặt L là chiều dài của dây, chúng ta có

L = y A + (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 1) + (y A – h)

+ (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 2) + x B

Vì L, h, và chiều dài của đoạn dây cáp quấn quanh mỗi ròng

rọc là không đổi, đạo hàm hai vế của phương trình trên theo

32

B3.2 Tại thời điểm t=0, hai tàu hỏa cách nhau 4km và chuyển động với vận tốc như đã cho Tốc độ của tàu A tăng với tỉ lệ 0.5m/s2, trong khi tốc độ của tàu B là không đổi Xác định gia tốc, vận tốc, vị trí tương đối của tàu B so với tàu A theo t Khoảng cách giữa hai tàu khí t=120s là bao nhiêu?

Hình B3.2

B3.3 Tại vị trí đã cho, tốc độ của xe B là 16m/s và tăng tốc Với hành khách trong xe A, gia tốc của xe B bằng không Hỏi gia tốc của xe A tại vị trí đó bằng bao nhiêu?

Hình B3.3

B3.4 Tốc độ so với gió của máy bay là 560km/h, hướng về phía bắc Nếu tốc độ cua gió

là 60km/h có hướng đã cho, xác định tốc độ so với đất và chiều (góc θ) của máy bay

33

Hình B3.4

B3.5 Chiếc thuyền với tốc độ tuần tiễu (tốc độ tương đối của thuyền so với nước) là 24km/h đang cắt qua một con song có tốc độ dòng chảy là 10km/h (a) Tìm hướng, xác định bởi góc θ, mà thuyền phải hướng theo để chuyển động trên đường thẳng từ A đến C (b) Tìm thời gian cần thiết để thuyền sang được sông

Hình B3.5

B3.6 Hai quả bóng bi a A và B, ban đầu đứng yên, bị đánh cùng thời điểm và lăn dọc theo các đoạn AC và BC Nếu vận tốc của các quả bóng như đã cho trên hình vẽ, xác định góc θ nếu quả bóng va vào nhau (Gợi ý: vA/B phải hướng từ A đến B)

34

Hình B3.6

B3.7 Khi chiếc xe đứng yên trong gió, đường tạo bởi các hạt nước mưa trên các cửa bên nghiêng góc θ=150 so với phương thẳng đứng Khi chiếc xe di chuyển với tốc độ 30km/h trong gió, góc θ tăng lên 750 Tìm tốc độ của xe so với hạt nước mưa

Hình B3.7

B3.8 Hai xe A và B chuyển động với cùng vận tốc tại các vị trí đã cho khi t=0 Xác định (a) vận tốc của A tương đối so với B; (b) véc tơ vị trí của A tương đối so với B theo thời gian; và (c) khoảng cách nhỏ nhất giữa hai xe và thời gian khi điều đó xảy ra

37

Hình B3.13

Chương 4 Động học vật rắn trong không gian hai chiều

38

Nội dung chính:

1 Chuyển động tịnh tiến: Quĩ đạo, vận tốc, gia tốc mọi điểm thuộc vật là như nhau

2 Chuyển động quay quanh trục cố định:

Ví trí của vật : θ=θ(t) – góc quay

39

Vận tốc góc, gia tốc góc:

Vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật:

+ Công thức vô hướng:

+ Công thức véc tơ:

3 Chuyển động phẳng tổng quát: