C đề * Đề cĩ 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khĩ ⇒ cĩ 3 1
15 105C C C đề.
* Đề cĩ 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khĩ ⇒ cĩ 2 1 2
15 10 5
C .C .C đề.* Đề cĩ 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khĩ ⇒ cĩ 3 1 1 * Đề cĩ 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khĩ ⇒ cĩ 3 1 1
15 10 5C .C .C đề. C .C .C đề. Vậy tất cả cĩ: 2 2 1 15 10 5 C .C .C + 2 1 2 15 10 5 C .C .C + 3 1 1 15 10 5 C .C .C = 23625 + 10500 + 22750= 56875 đề. 102
Một đội thanh niên tình nguyện cĩ 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đĩ về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh cĩ 4 nam và 1 nữ.
Bài giải
Cĩ 1 4 3 12
C C cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì cĩ 1 4
2 8
C C cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai, thì cĩ 1 4
1 4
C C cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba. Vậy tất cả cĩ: 1 4 3 12 C C . 1 4 2 8 C C . 1 4 1 4 C C = 207900 cách phân cơng. 104
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
Bài giải Gọi x = a a a a a a1 2 3 4 5 6 là số cần lập. YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 ⇒ a3, a4, a5∈ {1, 2, 5} hoặc a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5} • Cĩ 6 cách chọn a1 • Cĩ 5 cách chọn a2 • Cĩ 3! cách chọn a3, a4, a5 • Cĩ 4 cách chọn a6 ⇒ Cĩ: 6.5.6.4 = 720 số x. b) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4}, tương tự ta cũng cĩ 720 số x. Vậy tất cả cĩ: 720 + 720 = 1440 số x. 106
Một đội văn nghệ cĩ 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một nhĩm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhĩm đĩ phải cĩ ít nhất 3 nữ
Bài giải Ta cĩ các trường hợp: • 3 nữ và 5 nam: cĩ 3 5 5 10 C C = 2520 cách. • 4 nữ và 4 nam: cĩ 4 4 5 10 C C = 1050 cách. • 5 nữ và 3 nam: cĩ 5 3 5 10 C C = 120 cách. Vậy tất cả cĩ: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách. 108
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải cĩ 2 chữ số 1, 5.
Bài giải
• Cách 1: Gọi x = a a a a a1 2 3 4 5 là số cần lập.
Trước tiên ta cĩ thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: cĩ 2 5
A = 20 cách. Sau đĩ, ta cĩ 5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí cịn lại đầu tiên.
4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí cịn lại thứ hai. 3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí cịn lại thứ ba. Vậy tất cả cĩ: 20.5.4.3 = 1200 số.
• Cách 2:
* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: cĩ 2 5
A = 20 cách. * Bước 2: cĩ 3
5
A = 60 cách xếp 3 trong 5 số cịn lại vào 3 vị trí cịn lại. Vậy cĩ 20.60 = 1200 số.
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc khơng quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn như vậy?
Bài giải
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: 4 12
C = 495
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp cĩ ít nhất một em được tính như sau: • Lớp A cĩ 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh.
⇒ Số cách chọn là: 2 1 1 5 4 3
C C C = 120
• Lớp B cĩ 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh: ⇒ Số cách chọn là: 1 2 1
5 4 3
C C C = 90
• Lớp C cĩ 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh: ⇒ Số cách chọn là: 1 1 2
5 4 3
C C C = 60
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp cĩ ít nhất một học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.
Từ một nhĩm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho cĩ ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
Bài giải
• Số cách chọn 2 học sinh khối C là: 2 5
C = 10
• Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B. Số cách chọn bất kì là: 13 25
C = 5200300 5200300
Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là: 4 9 15 10
C C
Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là: 3 10 15 10
C C
⇒ Số cách chọn sao cho cĩ nhiều nhất 4 học sinh khối A là:
4 915 10 15 10
C C + 3 10
15 10
C C = 13650 + 455 = 14105
⇒ Số cách chọn sao cho cĩ ít nhất 5 học sinh khối A là:
( )
− +
13 4 9 3 1025 15 10 15 10 25 15 10 15 10
C C .C C .C = 5186195
• Vậy số cách chọn sao cho cĩ ít nhất 5 học sinh khối A là:
( ) − + 2 13 4 9 3 10 5 25 15 10 15 10 C C C .C C .C = 51861950 114
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đĩ chữ số 0 cĩ mặt đúng 2 lần, chữ số 1 cĩ mặt đúng 1 lần và hai chữ số cịn lại phân biệt?
Bài giải Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: cĩ 2 4 C cách. Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: cĩ 3 cách. Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí cịn lại: cĩ cách. Vậy tất cả cĩ: 2 4 C .3. 2 8
A = 1008 số thoả yêu cầu đề bài.
Bài 67.(CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số đĩ.
Bài giải
• Gọi ab là số tự nhiên phải tìm ⇒ a ≠ 0 Do ab chẵn nên b ∈ {0, 2, 4, 6, 8} Cĩ 2 trường hợp: * Nếu b = 0 thì a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⇒ cĩ 9 cách chọn a. ⇒ cĩ 9 số a0 * Nếu b ≠ 0 thì b ∈ {2, 4, 6, 8} ⇒ cĩ 4 cách chọn b. Khi đĩ cĩ 8 cách chọn a. ⇒ cĩ 4.8 = 32 số ab Vậy tất cả cĩ: 9 + 32 = 41 số cần tìm. • Đặt S là tổng của 41 số đĩ. S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88) = 45.10 98+2 – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210.