Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:
Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều cĩ em được chọn (số cách phải tìm).
Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối (lưu ý là số em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên khơng cĩ cách chọn nào mà cả 8 em thuộc cùng một khối). Bộ phận II cĩ thể chia thành ba loại:
• 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: cĩ 8 13
C cách. • 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 10: cĩ 8
12
C cách. • 8 em được chọn từ khối 11 hoặc 10: cĩ 8
11C cách. C cách. Vậy số cách phải tìm là: 8 18 C – ( 8 13 C + 8 12 C + 8 11 C ) = 41811 cách. 84
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số cĩ 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
Bài giải
Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đĩ chỉ cĩ 5 phần tử là 0, 1, (2; 3), 4, 5. Số hốn vị của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở vị trí đầu gồm P4
trường hợp. Chú ý rằng đối với phần tử kép, ta cĩ thể giao hốn nên số trường hợp sẽ được nhân đơi. Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) = 192 số.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số cĩ 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đĩ tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị.
Bài giải
Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số đã cho cĩ dạng:
1 2 3 4 5 6a a a a a a (ai ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) a a a a a a (ai ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1 ⇔ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 ⇔ 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 ⇔ a4 + a5 + a6 = 11 ⇒ a1 + a2 + a3 = 10 (1)
Vì a1, a2 a3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ cĩ thể thoả mãn trong 3 khả năng sau: • a1, a2, a3 ∈ {1; 3; 6}
• a1, a2, a3∈ {1; 4; 5} • a1, a2, a3∈ {2; 3; 5}
Mỗi bộ số a1, a2, a3 nêu trên tạo ra 3! hốn vị, và mỗi hốn vị đĩ lại được ghép với 3! hốn vị của bộ số a4, a5, a6 . Vì vậy tổng cộng số các số tự nhiên gồm 6 chữ số thoả mãn yêu
cầu đề bài là: 3.3!.3! = 108 số.
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đĩ số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn như vậy?
Bài giải Cĩ 3 khả năng: • 5 nam và 1 nữ: cĩ 5 1 5 7 C .C cách • 4 nam và 2 nữ: cĩ 4 2 5 7 C .C cách • 3 nam và 3 nữ: cĩ 3 3 5 7 C .C cách Vậy tất cả cĩ: 5 1 5 7 C .C + 4 2 5 7 C .C + 3 3 5 7 C .C = 7 + 5.21 + 10.35 = 462 cách. 90
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
Bài giải
Các số phải lập là chẵn nên phải cĩ chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc 2, 4, 6, 8.
• Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số cịn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử. Do đĩ cĩ 6
8
A số thuộc loại này.
• Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ số cịn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số cĩ chữ số 0 đứng đầu). Vậy số các số loại này là: 4.(A68−A57).
Vậy tất cả cĩ: 6 8
A + 4.(A68−A57) = 90720 số.
1. Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt. b) 6 đường trịn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nĩi trên.
Bài giải
1. a) Hai đường thẳng phân biệt cĩ tối đa 1 giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là 2
10
C = 45 điểm.
b) Hai đường trịn phân biệt cĩ tối đa 2 giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa của 6 đường trịn phân biệt là 2. 2
6
C = 30 điểm.
2. Vì 1 đường thẳng và 6 đường trịn cĩ tối đa 12 giao điểm. Do đĩ số giao điểm tối đa giữa 10 đường thẳng và 6 đường trịn là: 10.12 = 120.
Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là: 45 + 30 + 120 = 195 điểm.
Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác cĩ số đường chéo gấp đơi số cạnh.
Bài giải
Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác tương ứng một tổ hợp chập 2 của n phần tử ⇒ Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là: 2
n
C
Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác hoặc là cạnh hoặc là đường chéo
⇒ 2 n C = n + 2n ⇔ n(n 1)2− = 3n ⇔ n2 – n = 6n ⇔ n2 – 7n = 0 ⇔ =n 7n 0= (loại) Vậy n = 7. 96
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245.
Bài giải Gọi số cần tìm là: x = a a a1 2 3 Vì x < 245 nên a1 = 1 hoặc a1 = 2 • a1 = 1: x = 1a a2 3 a2, a3 là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 2, 3, 4, 5 ⇒ Cĩ: 2 4 A = 4.3 = 12 số • a1 = 2: x = 2a a2 3 a2 cĩ 2 khả năng: * a2 < 4 ⇒ a2 ∈ {1, 3} ⇒ a2 cĩ 2 cách chọn, a3 cĩ 3 cách chọn trong 3 số cịn lại ⇒ Cĩ 2.3 = 6 số * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 ⇒ a3 cĩ 2 cách chọn ⇒ Cĩ 2 số ⇒ Cĩ 6 + 2 = 8 số x = 2a a2 3
Vậy cĩ tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài.
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
Bài giải Số cần tìm cĩ dạng: a a a a1 2 3 4. Chọn a4 từ {1, 5, 9} ⇒ cĩ 3 cách chọn. Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} ⇒ cĩ 3 cách chọn. Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} ⇒ cĩ 3 cách chọn. Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} ⇒ cĩ 2 cách chọn. Vậy tất cả cĩ: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài.
Trong một mơn học, thầy giáo cĩ 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khĩ, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đĩ cĩ thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải cĩ đủ 3 loại câu hỏi (khĩ, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2.
Bài giải
Mỗi đề kiểm tra cĩ số câu dễ là 2 hoặc 3, nên cĩ các trường hợp sau: * Đề cĩ 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khĩ ⇒ cĩ 2 2 1
15 10 5
C .C .C đề.* Đề cĩ 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khĩ ⇒ cĩ 2 1 2