(SKKN 2022) một số dạng toán nguyên hàm, tích phân hàm ẩn

1 Phần MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong xu đổi đất nước nhằm phục vụ cho mục tiêu cơng nghiệp hóa, đại hóa, đổi giáo dục mục tiêu hàng đầu Một nội dung đổi giáo dục đổi kiểm tra đánh giá Năm 2017 năm Bộ GD & ĐT tổ chức thi THPT QG (nay TN THPT) môn Tốn theo hình thức trắc nghiệm Trong đề thi mơn Tốn thức có 50 câu trắc nghiệm khách quan, thí sinh làm thời gian 90 phút Trong đề thi THPT QG trước đây, hay đề thi TN THPT câu hỏi số phức tương đối quan trọng, học sinh dễ tích lũy điểm số Tuy nhiên câu hỏi số phức, câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức tương đối khó, thường xuyên xuất câu thuộc mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao đề thi Do dạng tốn thường làm cho học sinh điểm học sinh học lực trở xuống gây nhiều khó khăn cho học sinh học lực giỏi Đây dạng tốn khó, học sinh tiếp cận chủ yếu qua việc tự học, tự tìm hiểu có hướng dẫn giáo viên, sách giáo khoa hành không đề cập đến Hiện tài liệu tham khảo dạng tập cịn đầu sách dạng tập, đầu tư nội dung cịn khiêm tốn Việc có tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng cách khoa học nhu cầu cấp thiết giáo viên học sinh Xuất phát từ lí q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 12, ôn thi TN THPT trường THPT Bá Thước, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy giúp em học sinh đạt kết cao kỳ thi, nên viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện số phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức cho học sinh khối 12 trường THPT Bá Thước” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Tạo hứng thú học tập, thay đổi cách tư học sinh toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến mơđun số phức Từ giúp học sinh đạt kết cao kỳ thi TN THPT - Trao đổi chuyên môn đồng nghiệp tổ mơn, góp phần nâng cao kết mơn học mơn Tốn 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Sử dụng phương pháp: phương pháp đại số, phương pháp hình học để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến mơđun số phức thơng qua dạng tốn xuất đề thi tham khảo, đề thi thức Bộ GD&ĐT, đề thi thử trường toán sưu tầm qua mạng internet 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Các tài liệu lí luận dạy học, phương pháp kĩ thuật dạy học theo hướng phát triển lực mơn Tốn 2 - Nghiên cứu thực trạng dạy học mơn Tốn trường THPT Bá Thước - Đưa hệ thống ví dụ dạng tốn thường gặp đề thi TN THPT - Dự đồng nghiệp - Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung “Rèn luyện số phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức cho học sinh khối 12 trường THPT Bá Thước” - So sánh kết đạt học sinh chưa áp dụng đề tài sau áp dụng đề tài Phần NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Toán học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Tuy nhiên, mơn học khó địi hỏi người học phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh kiến thức cho Phải có nhìn tổng thể, có kỹ khai thác toán Trong đề thi THPT Quốc gia, TN THPT câu hỏi số phức nói chung câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức chiếm vị trí quan trọng, hay hút người học Sau số kiến thức liên quan: Khái niệm số phức £ • Tập hợp số phức kí hiệu z = a + bi • Số phức biểu thức có dạng : a, b∈ ¡ a b i = −1 z i ( ; phần thực, phần ảo ; đơn vị ảo, ) ( b = 0) ⇔ z z • số thực phần ảo ( a = 0) ⇔ z z số ảo phần thực a + bi = c + di ⇔ a = c b= d • Hai số phức : Biểu diễn hình học z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) M ( a; b ) • Số phức biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ • Một số quỹ tích cần nhớ Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M ax + by + c = Đường thẳng Đường trung trực đoạn z − a − bi = z − c − di với ( x − a) 2 Đường tròn tâm + ( y − b ) ≤ R2 Hình trịn tâm z − a − bi ≤ R r ≤ z − a − bi ≤ R x2 y + =1 a b2 , với  MF1 + MF2 = 2a   F1F2 = 2c < 2a Trong ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c) + ( b − d) i • Số đối z = a + bi • , bán kính − z = −a − bi k(a + bi ) = ka + kbi, (k ∈ ¡ ) 2a R , trục bé a = b2 + c , ( a > b > ) Nhân hai số phức ( a + bi ) ( c + di ) =  ( ac − bd) + ( ad + bc) i • I ( a; b ) Là elip với trục lớn 2c tiêu cự Cộng, trừ số phức ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c) + ( b + d) i • R Parabol z − c + z + c = 2a • , bán kính Hình vành khăn giới hạn hai đường I ( a; b ) trịn đồng tâm , bán kính r, R y = ax + bx + c, a ≠ hay I ( a; b ) r2 ≤ ( x − a) + ( y − b) ≤ R2 AB A ( a ; b ) , B ( c; d ) + ( y − b ) = R2 z − a − bi = R ( x − a) ∆: ax + by + c = 2b Ta có Phép chia số phức z1 = a + bi, z2 = c + di z1 ≠ Cho hai số phức , với z2 c + di ( c + di ) ( a − bi ) ac + bd ad − bc = = = + i z1 a + bi ( a + bi ) ( a − bi ) a + b a + b Số phức liên hợp • Số phức liên hợp số phức • Tính chất: z = a + bi z = a − bi z z z = z; z ± z′ = z ± z′; z.z′ = z.z′;  ÷ = ; z.z = a + b , ( z = a + bi )  z ′  z′ Môđun số phức M ( a; b ) Oxy z = a + bi biểu diễn điểm mặt phẳng uuuu r z OM z Độ dài véctơ gọi mơđun số phức Kí hiệu z = a + bi = a + b = OM Ta có: - Tính chất: z ≥ 0, ∀z ∈ £ , z = ⇔ z = z = a + b = z z • ; • ; - Số phức • • z z ' = z z ' ; • kz = k z , k ∈ ¡ z z = ,( z ' ≠ 0) z' z' ; ( ; • z = z = z = z.z - Các bất đẳng thức mơđun số phức • • • • • z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 z1 + z2 ≤ z1 + z2 z1 − z2 ≤ z1 + z2 z1 + z2 ≥ z1 − z2 z1 − z2 ≥ z1 − z2 Dấu xảy Dấu xảy Dấu xảy Dấu xảy Căn bậc hai số thực âm ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ ) ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ ) ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ ) ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ ) ; ; ; ; ) a a ± a i = ± − a.i Cho số thực âm Hai bậc hai Phương trình bậc hai với hệ số thực az + bz + c = 0, ( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ ) Cho phương trình bậc hai ∆ = b − 4ac b z=− 2a ∆=0 • Khi , phương trình có nghiệm thực • Khi • Khi ∆>0 ∆ b > a b2 13 z + − 5i = z + − i z Ví dụ Trong số phức thỏa mãn điều kiện z trị nhỏ 10 10 26 5 A B C , tìm giá D 26 Lời giải Đặt z = x + yi ⇒ z = x − yi diễn M ( x; y ) , mặt phẳng tọa độ z z + − 5i = z + − i ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 3) + ( y + 1) ⇔ x + 3y − = Do nên Ví dụ Cho số phức P = z −i + z −4 A , nên tập hợp điểm z = d ( O, ∆ ) = z = OM có điểm biểu Ta có Oxy z M đường thẳng −4 12 + 32 = 10 ∆ : x + 3y − = Chọn đáp án B z = z + 2i thỏa mãn B Giá trị nhỏ biểu thức C 3 D Lời giải Gọi biểu M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z z = z + 2i ⇔ y + = 0, Ta có tức y + = diễn hình học số phức thỏa mãn giả thiết đường thẳng Xét điểm P = z − i + z − = MA + MB A(0;1) B (4;0) A, B Dễ thấy phía với y +1= A′(0; −3) MA + MB BA′ đường thẳng nên nhỏ đối y + = A xứng với qua đường thẳng 14 Do MA + MB nhỏ Ví dụ 10 Cho hai số phức Tìm giá trị nhỏ A BA′ = z1 , z2 Chọn đáp án A thỏa mãn z1 + = z2 + − 3i = z2 − − 6i , z1 − z2 B C D Lời giải Đặt z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i, ( x1 , y1 , x2 , y2 ∈ ¡ ) z1 + = ⇔ ( x1 + ) + y1i = ⇔ ( x1 + ) + y12 = 25 Ta có Do tập hợp điểm đường tròn ( C ) : ( x + 5) M mặt phẳng + y = 25 tâm I ( −5;0 ) Oxy biểu diễn cho số phức , bán kính R=5 z1 z2 + − 3i = z2 − − 6i ⇔ ( x2 + 1) + ( y2 − 3) i = ( x2 − 3) + ( y2 − ) i ⇔ ( x2 + 1) + ( y2 − 3) = ( x2 − 3) + ( y2 − ) ⇔ x2 + y2 − 35 = 2 2 Oxy z2 N Do tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức ∆ :8 x + y − 35 = đường thẳng Khi ta có z1 − z2 = MN 15 d ( I ,∆) = Do không cắt ( C) 8.( −5) + 6.0 − 35 82 + = 15 >R nên ∆ Suy z1 − z2 = MN = d ( I , ∆ ) − R = 15 −5= 2 Chọn đáp án A Ví dụ 11 (Trích đề tham khảo năm 2017) Xét số phức z + − i + z − − 7i = z −1+ i A C Tính Gọi m, M thỏa mãn giá trị nhỏ giá trị lớn P = m + M P = 13 + 73 P = + 73 P= B P= Lời giải z Gọi điểm biểu diễn số phức , E ( −2;1) , D ( 4;7 ) N ( 1; −1) AE + AD = z + − i + z − − 7i = Từ ED = A ED nên ta có thuộc đoạn thẳng N H ED Gọi hình chiếu lên , ta có  3 H − ; ÷  2 + 73 P = NH + ND = Suy Chọn đáp án B A z D + 73 + 73 16 z = a + bi ( a, b ∈ ¡ Ví dụ 12 (Trích đề tham khảo năm 2018) Xét số phức thỏa mãn z − − 3i = A P =8 Tính P =a+b B P = 10 z + − 3i + z − + i C P=4 ) đạt giá trị lớn D P=6 Lời giải Gọi M ( a; b ) z điểm biểu diễn số phức Theo giả thiết ta có: 2 z − − 3i = ⇔ ( a − ) + ( b − 3) = ⇒ z Tập hợp điểm biểu diễn số phức I ( 4;3) đường trịn tâm bán kính R= A ( −1;3) , B ( 1; −1) Gọi ⇒ Q = z + − 3i + z − + i = MA + MB Gọi E trung điểm AB , kéo dài EI cắt đường tròn D Q = MA2 + MB + 2MA.MB ⇔ Q ≤ MA2 + MB + MA2 + MB = ( MA2 + MB ) Vì ME trung tuyến ∆MAB MA2 + MB AB AB 2 2 ⇒ ME = − ⇒ MA + MB = 2ME + 2 AB   ⇒ Q ≤  2ME + = 4ME + AB ÷   Mặt khác ( ) 2 ⇒ Q ≤ + 20 = 200 ME ≤ DE = EI + ID = + = 17  MA = MB ⇒ Q ≤ 10 ⇒ Qmax = 10 ⇔  M ≡ D uur uur 4 = 2( xD − 4)  xD = ⇔ EI = ID ⇔  ⇔ ⇔⇒ M ( 6;4 ) ⇒ P = a + b = 10 2 = 2( yD − 3)  yD = Chọn đáp án B Ví dụ 13 (Trích đề minh họa năm 2021) Xét hai số phức z1 = 1; z2 = A C z1 − z2 = − 19 −5 + 19 Giá trị lớn B D + 19 z1 + z2 − 5i z1; z2 thỏa mãn + 19 Lời giải z1 B z2 điểm biểu diễn số phức ; điểm biểu diễn số phức ; M = ( 0;5 ) w = 3z1 + z2 C điểm biểu diễn số phức ; điểm uuur uuu r uuu r OA2 + OB − AB 2 2 OC = 3OA + OB ⇒ OC = 9OA + OB + = 19 Gọi A Ta có: ⇒ w = 19 MC ≤ OM + OC Ta nhận thấy P = 3z1 + z2 − 5i ⇔ O, M , C ⇔ MC O Lúc lớn lớn thẳng hàng ( nằm M MaxP = OM + R = + 19 C ) Suy Chọn đáp án B Ví dụ 14 Cho số phức S =a+b lớn Tính ? S = −3 A z = a + bi ( a, b ∈ ¡ B S =5 ) thỏa z + + z − = 10 C Lời giải S = −5 D z−6 S = 11 18 Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) z − + z + = 10 ⇔ ( a − ) + bi + ( a + ) + bi = 10 ⇔ Xét ( a − 4) F1 ( −4;0 ) Suy Ta có: M ( a + 4) + b2 + F2 ( 4;0 ) thuộc Elip có z−6 = ( a − 6) 2 + b2 = 10 ( *) Khi ( *) ⇔ MF1 + MF2 = 10 c = ⇒ b = a2 − c2 =  2a = 10 ⇒ a = + b = IM , I ( 6;0 ) , suy max z − = IA1 hay điểm M ≡ A1 ( −5;0 ) ⇒ z = −5 + 0i ⇒ S = −5 Chọn đáp án C S Ví dụ 15 (Trích đề minh họa năm 2022) Gọi tập hợp tất số phức z w= cho số phức thỏa mãn z1 − z2 = | z | −z có phần thực Xét số phức , giá trị lớn A 16 P = z1 − 5i − z2 − 5i B 20 Lời giải Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) C 10 z1 , z2 ∈ S D 32 19 w= = | z | −z Ta có = ( x2 + y − x 2( x2 + y ) − 2x x2 + y số phức ( w= | z | −z ) ) ) ( x + y ) − 2x x + y 2 ( i x2 + y2 − x = 1⇔ x2 + y2 − 2x x2 + y2 8 ( có phần thực ( x2 + y2 − x + y y + ⇔8 x +y −x =2 x +y = x + y − x − yi x + y − x + yi )  x2 + y2 − x = ( l ) x +y −x ⇔ ⇔ x2 + y2 = 16  x2 + y2 =  2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức ) z đường tròn tâm O ( 0;0 ) , bán kính R=4 M,N Gọi z1, z2 điểm biểu diễn số phức z1 − z2 = ⇔ MN = Gọi A( 0;5) Ta có , suy A điểm biểu diễn cho số phức z1 − 5i = MA, z2 − 5i = NA 5i uuur uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r P = MA2 − NA2 = MA − NA = MO + OA − NO + OA ( Do đó: ) ( ) uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuuu r uuur = MO2 + OA2 + 2MO.OA − NO2 − OA2 − 2NO.OA = 2OA MO − NO ( uuu r uuuu r uuu r uuuu r = 2OA.MN = 2.OA.MN.cos OA, MN ≤ 2OA.MN = 20 ( ) ) Ta có 20 uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r cos OA, MN = 1⇔ OA, MN = 00 ⇔ OA, MN Dấu xảy ( ) ( ) hướng Chọn đáp án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu Cho số phức w = 2z + − i phức z z −1 = z − i thỏa mãn Tìm mơđun nhỏ số A 2 B C 2 D Đáp án C z − + 4i = z z Câu Trong số phức thỏa mãn , biết số phức P = a2 − b z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) có mơđun nhỏ Khi đó, giá trị A B − C − D Đáp án A Câu Cho số phức z thoả mãn z =1 Gọi M m giá trị lớn P = z +1 + z2 − z +1 giá trị nhỏ biểu thức A Đáp án A 13 Câu Cho số phức 5−2 A Đáp án B B z Tính 39 thỏa mãn B C z − − 2i = −1 3 D z −i Số phức C M m +1 13 có mơđun nhỏ D 5+2 21 Câu Cho số phức z − + z + = 20 z thỏa mãn M −n z môđun lớn nhỏ Tính M −n=2 M −n=4 A B C M −n=7 D M − n = 14 Gọi M , n Đáp án A z − − 3i = z Câu Cho số phức thoả mãn 13 + 13 + A B C 13 + 13 + D z +1+ i Tìm giá trị lớn Đáp án C z − + i = z + − 2i z Câu Trong số phức thỏa mãn đun nhỏ có phần ảo 3 10 A B z , số phức − C có mơ 10 − D Đáp án D Câu Cho hai số phức z1 − z2 nhỏ 2 A Đáp án A z1 , z2 B z,w thỏa mãn z1 − i z +i = 1; = z1 + − 3i z2 − + i C z −3 = 2 −1 D w − 2i = 2 Câu Cho hai số phức thỏa mãn , z−w 3z0 − w0 z = z0 w = w0 đạt giá trị nhỏ , Tính 2 A B C Đáp án D Giá trị Biết D 22 Câu 10 Gọi z = a + bi , ( a,b∈ R) số phức thỏa mãn điều kiện z − − 2i + z + − 3i = 10 A có mơđun nhỏ Tính B C S = 7a + b? D −12 Đáp án A 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.4.1 Kết thăm dò thực nghiệm phương pháp Qua hai năm học 2020 - 2021 ; 2021 - 2022 giáo viên học sinh tiến hành áp dụng nội dung sáng kiến kinh nghiệm vào việc dạy học thơng qua nhiều hình thức lớp, nhà Kết học sinh có hứng thú môn học, say mê nắm kiến thức hơn, đặc biệt câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức, số học sinh làm tốt tăng lên rõ rệt Kết thu tích cực, cụ thể sau: * Năm học: 2020 - 2021 Lớp chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%) 12A4 39 0% 10 25.6% 25 64.1% 04 10.3% Lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp 12A8 Sĩ số 35 Giỏi (%) 23.9% Khá (%) 20 57.1% Trung bình ( %) 20.0% * Năm học: 2021 – 2022 Lớp chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) 12A7 40 0% 13 32.5 24 60.0% Yếu (%) 0% Yếu (%) 7.5% Lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp 12A9 Sĩ số 37 Giỏi (%) 10 27.0% Khá (%) 23 62.2% Trung bình ( %) 10.8% Yếu (%) 0.0% 2.4.2 Đối với chất lượng giảng dạy giáo dục học sinh - Đối với học sinh Qua q trình giảng dạy ơn thi tốt nghiệp THPT trường THPT Bá Thước, khả tiếp thu vận dụng phương pháp để giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức mang lại kết đáng mừng Số học sinh hiểu vận dụng giải tập có hiệu cao dần thể điểm thi TN THPT ngày tăng Đa số học sinh tỏ tự tin giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun 23 số phức tiếp cận với phương pháp giải nêu sáng kiến kinh nghiệm - Đối với giáo viên + Bản thân thơng qua việc tìm hiểu nắm vững lí luận dạy học, từ triển khai biện pháp vận dụng nguyên tắc phát huy tính tích cực học sinh vào thực tiễn giảng dạy trường THPT Bá Thước + Trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm thông qua thực tiễn giảng dạy đơn vị cho đồng nghiệp, đúc rút nhiều kinh nghiệm nhằm nâng cao hiệu mơn Tốn trường phổ thơng 2.4.3 Khả ứng dụng triển khai sáng kiến kinh nghiệm - Có khả ứng dụng cho đối tượng học sinh lớp 12 trường THPT - Giáo viên cần xây dựng hệ thống tập nêu vấn đề để học sinh tự giải quyết, từ em nắm vững kiến thức vận dụng vào giải tập Đặc biệt giáo viên rèn luyện cho học sinh phương pháp nghiên cứu học tập độc lập để em có tư giải vấn đề phát sinh Phần KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Trong trình dạy học, tốn nói chung tốn số phức nói riêng, giáo viên biết tìm sở lý thuyết, đưa phương pháp giải hợp lý hướng dẫn học sinh vận dụng cách linh hoạt tạo hứng thú học tập học sinh Khi dạy học sinh giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức yêu cầu học sinh tìm mối liên hệ giả thiết toán Giáo viên cần xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó để nâng cao khả tư kỹ làm học sinh Là giáo viên tơi xác định cho phải ln tạo cho học sinh niềm hứng thú, say mê trình học tập; cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho dạy Sau thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy số toán liên quan trường THPT Bá Thước, thân nhận thấy kinh nghiệm phù hợp với tốn tìm GTLN, GTNN liên quan đến môđun số phức với tiết dạy học theo hướng đổi Học sinh có hứng thú học tập hơn, tích cực chủ động học tập Tôi hy vọng với việc áp dụng đề tài học sinh đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức đa dạng Trong viết tơi đưa số ví dụ toán hay gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử trường nước nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết, với mong muốn giúp cho học sinh có định hướng tốt gặp tốn này, tơi mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp để viết tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 24 3.2 KIẾN NGHỊ * Đới với Nhà trường Nên có đầu tư khuyến khích giáo viên đổi phương pháp dạy học nhiều hình thức khác * Đới với giáo viên -Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao lực chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm, đổi phương pháp dạy học -Phải ln tìm tịi, sáng tạo để bước cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với tiết học, học với đối tượng học sinh khác -Phải thực tâm huyết, tận tình với cơng việc, u nghề, có tinh thần trách nhiệm cao trước học sinh Chỉ thực yêu nghề, giáo viên vượt qua khó khăn, thực tốt nhiệm vụ “trồng người” XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Như Quân ... niệm số phức £ • Tập hợp số phức kí hiệu z = a + bi • Số phức biểu thức có dạng : a, b∈ ¡ a b i = −1 z i ( ; phần thực, phần ảo ; đơn vị ảo, ) ( b = 0) ⇔ z z • số thực phần ảo ( a = 0) ⇔ z z số. .. = c b= d • Hai số phức : Biểu diễn hình học z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) M ( a; b ) • Số phức biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ • Một số quỹ tích cần nhớ Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M ax... cần lưu ý bài, dạng toán Sau xin đưa số giải pháp nhằm giúp học sinh nâng cao kỹ giải số câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức 2.3.1 Phương pháp đại số z Phương pháp: