(SKKN 2022) một số phương pháp tìm tích phân của hàm hợp, hàm ẩn mức độ vận dụng vận dụng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG-VẬN DỤNG CAO Người thực hiện: Trần Thanh Minh Chức vụ: TTCM SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC Trang 1.MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Phương pháp đổi biến số 2.3.2 Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm 10 2.3.3 Phương pháp tính tích phân phần 16 2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân 21 2.3.5 Một số toán liên quan đến đồ thị hàm số 26 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 31 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 32 3.1 Kết luận 32 3.2 Kiến nghị 32 TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG-VẬN DỤNG CAO MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng, phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng ứng dụng rộng rãi thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, giải tốn học,… Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 thường xuyên có mặt kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào thi mơn tốn phần tích phân u cầu rộng khó trước đặc biết tốn tích phân hàm hợp, hàm ẩn, địi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức tích phân vững tư linh hoạt giải tốn dạng Vì lí đó, để giúp học sinh có sở khoa học, có có hệ thống kiến thức vững tính tích phân đặc biệt tích phân hàm hợp,hàm ẩn tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục , chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn mức độ vận dụng-vận dụng cao” Với đề tài hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc tính tích phân nói chung tích phân hàm hợp, hàm ẩn nói riêng 1.2 Mục đích nghiên cứu - Làm rõ vấn đề mà học sinh lúng túng , mắc nhiều sai lầm chí khơng có định hướng lời giải việc tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn - Góp phần gây hứng thú học tập phần tích phân hàm hợp, hàm ẩn cho học sinh, giúp em giải phần coi khó đề thi, địi hỏi phải có tư cao - Làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán - Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chương Nguyên hàm - Tích phân chủ yếu phương pháp tính tích phân số hàm hợp, hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Các kiến thức Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học 2.1.1 Định nghĩa f Cho hàm số f nguyên hàm K liên tục trên K a, b hiệu số hai số thuộc F (b) − F (a ) đến kí hiệu f đoạn [ a; b] Trong trường hợp a −1 Theo đồ thị, ta có: a diện tích hình bên Hãy so f ( ) − f ( −1) = f ( ) − f ( −1) = ¡ b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx ∫ −1 ⇒ f ( ) > f ( −1) ( 1) , f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx < 0 ⇒ f ( −1) > f ( ) ( 2) 34 Từ ( 1) ( ) ⇒ f ( ) > f ( −1) > f ( ) Ví dụ 2.Cho hàm số cắt trục Ox y = f ( x) có đồ thị ba điểm có hồnh độ f ( a) , f ( b) hình vẽ Hãy so sánh y = f ′( x) a f a ( ) ( ) ( ) ∫ a y = f ( x) Ví dụ Cho hàm số ¡ có đạo hàm đến cấp y = f ( x) Biết hàm số đạt cực tiểu hình vẽ bên đường thẳng thị hàm số điểm x=2 D x =- , có đồ thị tiếp tuyến đồ 35 I = ị f ¢¢( x - 2) dx Tính tích phân Lời giải: Dễ thấy đường thẳng số góc D D ( 0; - 3) qua điểm Vậy nên D : y = 3x - suy hệ đạt cực tiểu ị f ¢¢( x - v k = ị f Â( 2) = y = f ( x) Hàm số ( 1;0) x =- f ¢( - 1) = suy 2) dx = f ¢( x - 2) = f ¢( 2) - f ¢( - 1) = - = y = f ( x) Ví dụ 4.Cho hàm số có đạo hàm liên tục có đồ thị hình vẽ bên 0 ¡ I = ∫ f ' ( x − ) dx + ∫ f ' ( x + ) dx Tính giá trị biểu thức Lời giải: 4 0 0 I = ∫ f ' ( x − ) dx + ∫ f ' ( x + ) dx = ∫ f ' ( x − ) d ( x − ) + ∫ f ' ( x + ) d ( x + ) Xét = f ( x − ) + f ( x + ) =  f ( ) − f ( −2 )  +  f ( ) − f ( )  = f ( ) − f ( −2 ) = − ( −2 ) = 0 Vậy I = f ( x ) = x + ax + bx + c Ví dụ 5.Cho hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) với có hai giá trị cực trị y= phẳng giới hạn đường a, b, c f ( x) g ( x) + y =1 số thực Biết hàm số −5 Tính diện tích hình 36 Lời giải: Ta có f ′′′ ( x ) = ¢ ¢( x ) = f ¢( x ) + f ¢¢( x ) + g ¢( x ) = f ¢( x ) + f ¢¢( x ) + f ¢ Khi x1 , x2 ( x1 < x2 ) Giả sử g ( x) hai điểm cực trị hàm số lim g ( x ) = +Ơ Vỡ xđ+Ơ v v g ( x) hai giá trị cực trị hàm số nên ïìï g ( x1 ) = í ïï g ( x2 ) =- ỵ y= Phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) =1 g ( x) + Û g ( x) + = f ( x ) ⇔ f ( x ) + f ( x) g ( x) + y =1 f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + = f ( x ) éx = x1 Û f ¢( x ) + f ¢¢( x ) + = Û ê êx = x2 ë Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: x2 S =ị x1 x2 = f ( x) - dx = g ( x) + x2 ị x1 f ¢( x) + f ¢¢( x ) + dx g ( x) + g ¢( x ) ị g ( x) + dx = ln g ( x) + x1 Ví dụ 6.Cho hàm số số y = f ′( x) Đặt y = f ( x) x1 = ln g ( x2 ) + - ln g ( x1 ) + = ln = 3ln Đồ thị hàm hình bên g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) g ( −3) , g ( 1) x2 Hãy so sánh g ( 3) 37 Lời giải: x = g′( x ) = ⇔ f ′( x ) = x +1 ⇔  g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1)  x = ±3 Ta có Bảng biến thiên Suy Gọi S1 g ( −3) < g ( 1) , g ( 3) < g ( 1) (1) diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = f '( x), y = x + 1, x = −3, x = Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường: Dựa vào hình vẽ, ta thấy: Suy S1 > S2 > y = x + 1, y = f '( x ), x = 1, x = ⇒ ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx − ∫ ( x + 1) − f ′ ( x )  dx > S1 − S > −3 1 3 −3 −3 ⇒ ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx + ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > ⇒ ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > 38 g ( 3) − g ( −3) = Khi Từ (1) (2) suy ra: Bài tập tương tự Bài Cho hàm số 3 −3 −3 ∫ g ′ ( x ) dx = ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > (2) g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) y = f (x) y = f ′(x) Đồ thị g( x) = f ( x) + x hàm số hình bên Đặt so sánh g ( −3) , g ( 1) Bài Cho hàm số y = f ′( x) [ −3; 2] g ( 3) f ( x) Đồ thị hàm số hình vẽ bên (phần cong đồ thị phần parabol Biết f ( −3) = Hãy y = ax + bx + c ) Tính giá trị biểu thức P = f ( −1) + f ( 1) Bài Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ ) thị ( C) Biết đồ thị đồ thị hàm số y = f '( x) Tính giá trị biểu thức ( C) có đồ qua gốc tọa độ cho hình vẽ bên P = f (4) − f (2) 39 y = f ( x) Bài Cho hàm số có đồ thị gồm phần đường thẳng phần parabol có đỉnh gốc tọa độ I= O hình vẽ bên Tính tích phân ∫ f ( x ) dx −3 Bài Cho hàm số hình bên Biết −1 ∫ f ( x ) dx = −3 f ( x) liên tục có đồ thị F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ −5; 2] 14 Tính Bài Cho hàm số F ( ) − F ( −5 ) y = f ( x) có đạo hàm ¡ , đồ thị hàm số y = f ( x) hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ Tính giá trị biểu T = ∫ f ′ ( x + 1) dx + ∫ f ′ ( x − 1) dx + ∫ f ( x − ) dx thức 40 Bài Cho hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị y= phẳng giới hạn đường Bài Cho hai hàm số a, b, c, m, n ∈ ¡ với a, b, c f ( x) − g ( x) + f ( x) = ax + bx3 + cx + x Biết hàm số y = f ( x) − g ( x) tích hình phẳng giới hạn hai đường số thực Biết hàm số −6 10 Tính diện tích hình y = g ( x ) = mx + nx − x ; với có điểm cực trị – 1, 2, Tính diện y = f ′( x ) y = g ′( x) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tiễn giảng dạy trường THPT Nông Cống I năm học 2020-2021, nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 12B1, 12B3 Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng gép dạy lớp, dạy tự chọn, bồi dưỡng thấy học sinh hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học toán nâng lên rõ rệt Sau áp dụng đề tài khảo sát lại học sinh thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12B1 11 24,6 20 44,4 10 22,2 6,6% 2,2 % % % % 12B3 12 26% 21 45,6 10 21,7 4,9% 1,8 % % % Như qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Với đề tài đưa trước tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất biến đổi việc tính tích phân hàm ẩn , tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 41 Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, chủ nhân tương lai đất nước Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia rút số kinh nghiệm nêu Như với đề tài "Một số phương pháp tính tích phân hàm hơp, hàm ẩn mức độ vận dụng-vận dung cao" giúp học sinh có hệ thống kiến thức, linh hoạt việc định hướng biến đổi có kinh nghiệm việc tính tích phân nói chung tích phân hàm ẩn nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học Cuối dù cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng học hỏi đồng nghiệp song tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý, bổ sung đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Đối với tổ chun mơn: Cần có nhiều buổi họp thảo luận nội dung phương pháp tính tích phân Khuyến khích học sinh xây dựng tập tốn liên quan đến dạng tập toán giảng 3.2.2 Đối với trường: Cần bố trí tiết thảo luận nhiều để thơng qua học sinh bổ trợ kiến thức.Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn 3.2.3 Đối với sở giáo dục: Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau năm sở tập hợp sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội để gửi trường làm sách tham khảo cho học sinh giáo viên Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN thân viết, khơng chép nội dung người khác Trần Thanh Minh Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) 42 [2] Sách tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) [3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG trường nước Danh mục Sáng kiến kinh nghiệm Hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên T T Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; (A, B, Tỉnh…) C) Phát triển tư hàm cho học Ngành GD cấp B sinh qua toán tỉnh phương trình vơ tỉ Một số phương pháp tìm cực Ngành GD cấp B trị hàm hợp, hàm ẩn tỉnh hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Năm học đánh giá xếp loại 2015 2020 43 ... pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn mức độ vận dụng -vận dụng cao? ?? Với đề tài hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc tính tích phân nói chung tích phân hàm hợp, hàm ẩn nói riêng... bốn phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn là: Phương pháp biến đổi để đưa nguyên hàm bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần tạo bình phương cho biểu thức dấu tích phân. .. 32 TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG-VẬN DỤNG CAO MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng, phép tính tích phân chiếm vị trí