(SKKN MỚI NHẤT) Một số phương pháp tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN Người thực hiện: Trần Thanh Minh Chức vụ: TTCM SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2020 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm 2.3.2 Phương pháp đổi biến số 11 2.3.3 Phương pháp tính tích phân phần 15 2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân 20 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 26 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 27 3.1 Kết luận 27 3.2 Kiến nghị 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng, phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng ứng dụng rộng rãi thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, giải tốn học,… Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 thường xuyên có mặt kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào thi mơn tốn phần tích phân u cầu rộng khó trước đặc biết tốn tích phân hàm hợp, hàm ẩn, đòi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức tích phân vững tư linh hoạt giải tốn dạng Vì lí đó, để giúp học sinh có sở khoa học, có có hệ thống kiến thức vững tính tích phân đặc biệt tích phân hàm hợp,hàm ẩn tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục , chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn” Với đề tài hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc tính tích phân nói chung tích phân hàm hợp, hàm ẩn nói riêng 1.2 Mục đích nghiên cứu - Làm rõ vấn đề mà học sinh lúng túng , mắc nhiều sai lầm chí khơng có định hướng lời giải việc tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn - Góp phần gây hứng thú học tập phần tích phân hàm hợp, hàm ẩn cho học sinh, giúp em giải phần coi khó đề thi, địi hỏi phải có tư cao - Làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán - Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chương Nguyên hàm - Tích phân chủ yếu phương pháp tính tích phân số hàm hợp, hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Các kiến thức Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số liên tục hai số thuộc Nếu nguyên hàm hiệu số gọi tích phân từ đến kí hiệu Trong trường hợp đoạn Người ta dùng kí hiệu nguyên hàm , ta gọi để hiệu số 2.1.2 Tính chất Giả sử liên tục tích phân Như Nếu ba số thuộc ; Khi ta có ; ; Chú ý với 2.1.3 Phương pháp đổi biến số Tính tích phân với Giả sử viết dạng ,trong hàm số có đạo hàm , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp xác định hai số thuộc Khi Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho Như tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức 2.1.4 Phương pháp tính tích phân phần Cơng thức tục (trong hai số thuộc có đạo hàm liên ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.2 Thực trạng đề tài Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm địi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Trong đề minh họa GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia đề thi thử trường THPT toàn Quốc , học sinh thường gặp số câu tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có thêm phương pháp, có linh hoạt việc tính tích phân nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi Trước áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2018-2019 (thông qua lớp trực tiếp giảng dạy) tốn tính tích phân hàm hơp, hàm ẩn, thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi số SL % 12B1 45 0% Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % 13,3 26 57,7 10 22,4 6,6% % % % 12B2 46 1,8 17,3 22 47,8 11 24,3 8,8% % % % % Như số lượng học sinh nắm bắt dạng khơng nhiều, có nhiều em chưa định hướng lời giải chưa có nguồn kiến thức kĩ cần thiết Thực đề tài hệ thống lại phương pháp tính tích phân học để áp dụng tính cho hàm ẩn thơng qua phương pháp cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tổng hợp đề học sinh vận dụng phương pháp học vào giải Do khn khổ đề tài có hạn nên tơi đưa bốn phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn là: Phương pháp biến đổi để đưa nguyên hàm bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần tạo bình phương cho biểu thức dấu tích phân 2.3 Các giải pháp tổ chức thực Thực đề tài chia nội dung thành bốn phần Phần Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm Phần Phương pháp đổi biến số Phần Phương pháp tính tích phân phần Phần Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân Mỗi phần thực theo bước: - Nhắc lại kiến thức sử dụng đề tài - Nêu ví dụ áp dụng - Nêu nhận xét trước đưa lời giải cho tập khó Nội dung cụ thể: 2.3.1 Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com a Kiến thức sử dụng * Nếu với * Các cơng thức đạo hàm: Với hàm có đạo hàm ; ; ; b Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số liên tục , thỏa mãn , Tính tích phân Lời giải: Ta có Do Mặt khác nên Vậy Vậy Ví dụ Cho hàm số , có đạo hàm liên tục khoảng , thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Ta có: , ta có Do đó: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy Vậy Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn đồng thời , , , Tính tích phân Lời giải: Với ta có: Suy ra: (lấy nguyên hàm hai vế) Ta lại có Do đó: Vì hàm số nghịch biến nên Hàm số thỏa giả thiết tốn Do Vậy Ví dụ 4.Cho hàm số thỏa mãn Tính tích phân khơng âm đoạn , , có đạo hàm liên tục đoạn , Lời giải: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xét đoạn , theo đề bài: Thay vào ta được: Do đó, trở thành: (vì (vì Ta có ) ) Vậy Ví dụ Cho hàm số , có đạo hàm liên tục đoạn , Tính tích phân thỏa mãn Lời giải: Ta có , Nên ta có Khi Vậy Ví dụ Cho hàm số mãn khơng âm với , có đạo hàm đồng thời thỏa Tính tích phân Lời giải: Ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Do (vì khơng âm Ví dụ Cho nên ta có ) Khi có đạo hàm liên tục Biết thỏa mãn Tính tích phân , Lời giải: Ta có , Khi Nhận xét: Nếu Đặt biểu thức cho trước ta có ta (*) Như biểu thức có dạng ta biến đổi đưa dạng tốn tổng qt cho ví dụ sau: Cho ; biểu thức biết Tìm hàm số (**) Do vế trái có dạng (*) nên ta biến đổi (**) Trong thỏa mãn chọn cho : (với biểu thức Ví dụ Cho Khi ta có nguyên hàm ) từ ta chọn có đạo hàm , thỏa mãn Tính tích phân Nhận xét : trước hết ta tìm biểu thức Ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com nên ta chọn Lời giải: Ta có , ta có lời giải sau: Khi , Vậy Ví dụ Cho có đạo hàm Biết thỏa mãn , Tính tích phân Nhận xét : trước hết ta tìm biểu thức nên ta chọn Ta có , ta có lời giải sau: Lời giải: Ta có Khi Bài tập tương tự Bài Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm đoạn , Bài Cho hàm số mãn Biết thoản mãn Tính tích phân đồng biến, có đạo hàm cấp hai đoạn , Biết thỏa , tính tích 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ Cho hàm số liên tục thỏa mãn với Tính tích phân Lời giải: Đặt , đổi cận : Ta có Bài tập tương tự Bài Cho hàm số liên tục đoạn , Bài Cho hàm số Tính tích phân liên tục đoạn , Bài Cho hàm số thỏa mãn thỏa mãn Tính tích phân liên tục đoạn thỏa mãn , Tính tích phân Bài Cho hàm số Tính tích phân liên tục thỏa mãn , Bài Cho hàm số liên tục Tính tích phân Bài Cho hàm số liên tục , thỏa mãn thảo mãn Tính tích phân Bài Cho hàm số liên tục thỏa mãn 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tính tích phân 2.3.3 Phương pháp tích phân phần a Kiến thức sử dụng Công thức tục (trong hai số thuộc có đạo hàm liên ) b Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm Tính tích phân thỏa mãn , Lời giải: Đặt Khi Vậy Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Ta có: Xét ; Đặt Vậy Vậy Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ta có , đặt Khi Xét , đặt Đổi cận: Khi Vậy Ví dụ 4.Cho hàm số có đạo hàm cấp hai , thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Đặt Suy Do Vậy Đặt suy Đặt Suy Vậy 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ Cho hàm số có đạo , thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Ta có Ta tính Đặt ; chọn mà Ta có Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm thỏa mãn Tính tích phân , Lời giải: Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta có: Từ Thay vào (1) ta Xét Đặt đổi cận: Khi Do ta có 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ta có Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm Vậy , thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Đặt Khi Ví dụ Cho hàm số chẵn liên tục, có đạo hàm , thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Ta có , đặt Đổi cận : Đặt: Do ta có hàm số chẵn nên Vậy Ví dụ Cho hàm số Khi có đạo hàm đoạn Tính tích phân thỏa mãn , Lời giải: 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xét , đặt Khi Bài tập tương tự Bài Cho hàm số có đạo hàm Tính tích phân Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục , Bài Cho hàm số cho , thỏa mãn thỏa , Tính tích phân nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn , Tính tích phân Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính tích phân Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục Bài Cho hàm số hệ thức , , thỏa mãn Tính tích phân có đạo hàm liên tục , thỏa mãn Tính tích phân 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục mãn: Bài Cho hàm số thỏa Tính tích phân có đạo hàm cấp hai , thỏa mãn Biết Tính 2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân a Kiến thức sử dụng Nếu với Hệ quả: với b Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số liên tục, có đạo hàm đoạn Biết , Tính tích phân Nhận xét : Giả thiết chứa Ta chọn , dấu "=" xảy nên ta tạo bình phương dạng cho Từ ta có lời giải Lời giải: Ta có , mà nên Khi Ví dụ Cho hàm số liên tục, có đạo hàm đoạn Tính tích phân Nhận xét : Giả thiết chứa Ta chọn Biết nên ta tạo bình phương dạng cho 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com .Từ ta có lời giải Lời giải: Ta có Khi Ví dụ Cho hàm số liên tục, có đạo hàm đoạn Biết Tính tích phân Nhận xét : Giả thiết chứa trước hết ta biến đổi nên ta chưa thể tạo bình phương, để khử cách đặt Đổi cận ta có Đến ta hai biểu thức ta chọn nên ta tạo bình phương dạng , cho Từ ta có lời giải Lời giải: Xét , đặt Đổi cận , Vì nên Ví dụ Cho hàm số Nhận xét : Giả thiết chứa Do liên tục, có đạo hàm đoạn Biết , Tính tích phân nên ta chưa thể tạo bình phương, 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com trước hết ta biến đổi để tạo biểu thức cách đặt , Đến ta hai biểu thức nên ta tạo bình phương dạng Ta chọn cho Từ ta có lời giải Lời giải: Xét , đặt Ta có mà Ta có nên ta có Vậy Ví dụ Cho hàm số liên tục, có đạo hàm đoạn Tính tích phân Biết 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nhận xét : Giả thiết chứa nên ta chưa thể tạo bình phương, trước hết ta biến đổi để đưa cách đặt , Đến ta hai biểu thức nên ta tạo bình phương dạng , ta chọn cho Từ ta có lời giải Lời giải: Xét , đặt , Ta có Mà nên Khi Vậy 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ Cho hàm số liên tục, có đạo hàm đoạn , Biết Tính tích phân Lời giải: Từ giả thiết ta có (*) Đặt Khi , vào (*) ta (**) Mà nên ta có (**) mà Khi Vậy Ví dụ Cho hàm số liên tục đoạn thỏa mãn , Tính tích phân Lời giải: Ta có Khi Vậy Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tính tích phân Lời giải: Đặt , Ta có Ta có , mà Ta có Vậy Bài tập tương tự Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Bài Cho hàm số Tính tích phân có đạo hàm liên tục Bài Cho hàm số Bài Cho hàm số , Tính có đạo hàm liên tục đoạn Bài Cho hàm số mãn Biết , thỏa mãn Tính có đạo hàm liên tục có đạo hàm liên tục ; thỏa mãn Tính Tính Bài Cho hàm số , thỏa mãn có đạo hàm liên tục đoạn , thỏa mãn Tính thỏa 26 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục , Tính thỏa mãn , 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tiễn giảng dạy trường THPT Nông Cống I năm học 2018-2019, nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 12B1, 12B2 Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng gép dạy lớp, dạy tự chọn, bồi dưỡng thấy học sinh hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học tốn nâng lên rõ rệt Sau áp dụng đề tài khảo sát lại học sinh thu kết sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12B1 11 24,6 20 44,4 10 22,2 6,6% 2,2% 45 % % % 12B2 12 26% 21 45,6 10 21,7 4,9% 1,8% 46 % % Như qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Với đề tài đưa trước tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất biến đổi việc tính tích phân hàm ẩn , tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, chủ nhân tương lai đất nước Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia rút số kinh nghiệm nêu Như với đề tài "Một số phương pháp tính tích phân hàm hơp, hàm ẩn" giúp học sinh có hệ thống kiến thức, linh hoạt việc định hướng biến đổi có kinh nghiệm việc tính tích phân nói chung tích phân hàm ẩn nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học Cuối dù cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng học hỏi đồng nghiệp song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý , bổ sung đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Đối với tổ chuyên môn : 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Cần có nhiều buổi họp thảo luận nội dung phương pháp tính tích phân Khuyến khích học sinh xây dựng tập toán liên quan đến dạng tập toán giảng 3.2.2 Đối với trường : Cần bố trí tiết thảo luận để thơng qua học sinh bổ trợ kiến thức.Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn 3.2.3 Đối với sở giáo dục : Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau năm sở tập hợp sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội để gửi trường làm sách tham khảo cho học sinh giáo viên Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan là SKKN chính bản thân mình viết, không chép nội dung của người khác Trần Thanh Minh Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) [2] Sách tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) [3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG trường nước Danh mục Sáng kiến kinh nghiệm Hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên TT Tên đề tài SKKN Phát triển tư hàm cho học sinh qua tốn phương trình vơ tỉ Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh…) Ngành GD cấp tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B Năm học đánh giá xếp loại 2015 28 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 29 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn là: Phương pháp biến đổi để đưa nguyên hàm bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần tạo bình phương cho biểu thức dấu tích phân 2.3 Các giải pháp. .. thành bốn phần Phần Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm Phần Phương pháp đổi biến số Phần Phương pháp tính tích phân phần Phần Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân Mỗi phần thực... mãn thỏa mãn Tính tích phân liên tục đoạn thỏa mãn , Tính tích phân Bài Cho hàm số Tính tích phân liên tục thỏa mãn , Bài Cho hàm số liên tục Tính tích phân Bài Cho hàm số liên tục , thỏa