(SKKN HAY NHẤT) phương pháp giúp học sinh giải quyết bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm hợp, hàm ẩn tại trường THCS và THPT nghi sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT BÀI TỐN TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN TẠI TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Anh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm .3 2.1.1 Tính đơn điệu hàm số 2.1.1.1 Định nghĩa: 2.1.1.2 Định lí 1: .4 2.1.1.3 Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu ) 2.1.1.4 Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu ) 2.1.2 Đạo hàm hàm hợp 2.1.2.1 Hàm số hợp 2.1.2.2 Đạo hàm hàm số hợp 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.2.1 Dạng 1: Xác định khoảng đơn điệu hàm số biết đồ thị bảng biến thiên hàm số 2.2.2 Dạng 2: Xác định khoảng đơn điệu hàm số biết đồ thị bảng biến thiên hàm số 2.2.3 Dạng 3: Xác định khoảng đơn điệu hàm số dựa vào đồ thị bảng biến thiên hàm số 11 2.2.4 Dạng 4: Tính đơn điệu hàm hợp có chứa tham số 13 2.3 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 17 2.4.1 Hiệu kinh tế 17 2.4.2 Hiệu mặt xã hội .17 Kết luận, kiến nghị 17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị .18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm 2017 mơn tốn kì thi THPT Quốc Gia áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Trong đề thi thường xuất số dạng tốn tính đơn điệu hàm số liên quan đến hàm hợp, hàm ẩn Khi xuất dạng toán thường mức độ vận dụng thấp vận dụng cao, gây lúng túng định cho học sinh, chí giáo viên Một số dạng toán thường xuất đề thi như: Xét tính đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số sơ cấp Sau nhiều năm dạy khóa học sinh lớp 12 thi THPT Quốc Gia, nhận thấy cần phải đúc rút số dạng toán cách giải cách đơn giản phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm kì thi Do mạnh dạn viết sáng kiến “Phương pháp giúp học sinh giải tốn xét tính đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn kì thi THPT Quốc Gia trường THCS THPT Nghi Sơn” để giúp giải số khó khăn mắc phải học sinh gặp dạng tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh lớp 12 tiếp cận khai thác triệt để số dạng toán hàm số hợp hàm số ẩn Nhằm nâng cao tính tự nhiên tiếp cận kiến thức thi THPT QG phần hàm số nâng cao chất lượng thi học sinh trường THCS THPT Nghi Sơn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số dạng tốn tính đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin; Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Tính đơn điệu hàm số 2.1.1.1 Định nghĩa:1 Gọi K khoảng đoạn xác định K nửa khoảng hàm số Hàm số đồng biến (tăng) Hàm số nghịch biến(giảm) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K Tài liệu tham khảo [4] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.1.1.2 Định lí 12: Cho hàm số có đạo hàm  Nếu hàm số đồng biến  Nếu hàm số nghịch biến 2.1.1.3 Định lí : (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu ) Cho hàm số có đạo hàm  Hàm số trình đồng biến có hữu hạn nghiệm thuộc phương  Hàm số nghịch biến phương trình có hữu hạn nghiệm thuộc (Chú ý: Dấu xảy điểm “rời nhau”) 2.1.1.4 Định lí 3:4 (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu )  Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng liên tục nửa đoạn đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng liên tục nửa đoạn đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng liên tục đoạn đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn 2.1.2 Đạo hàm hàm hợp5 2.1.2.1 Hàm số hợp Cho hàm số có tập xác định , tập giá trị hàm số có tập xác định chứa tập Khi với giá trị ta có giá trị xác định cho Khi ta nói hàm số theo biến số với Hàm số gọi hàm số hợp hàm số theo thứ tự 2.1.2.2 Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số Đặt Tài liệu tham khảo [4] Tài liệu tham khảo [4] Tài liệu tham khảo [4] Tài liệu tham khảo [4] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.2.1 Dạng 1: Xác định khoảng đơn điệu hàm số biết đồ thị bảng biến thiên hàm số Phương pháp giải: - Bước 1: Tìm nghiệm phương trình ( giao điểm đồ thị trục hoành) - Bước 2: Xét dấu ( phần đồ thị nằm phía mang dấu dương, phần đồ thị nằm phía mang dấu âm) - Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số Suy kết luận Ví dụ :Cho hàm số có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề sai A Hàm số khoảng B Hàm số khoảng C Hàm số khoảng D Hàm số khoảng Lời giải: nghịch biến đồng biến nghịch biến đồng biến Cách 1: Từ đồ thị hàm số với trục hoành) với trục hoành) Từ ta suy hàm số ta thấy (phần đồ thị hàm số nằm phí (phần đồ thị hàm số nằm phía đồng biến khoảng nghịch biến khoảng Chọn đáp án B Cách 2: Ta có (trong nghiệm kép) Ta chọn Từ suy bảng biến thiên hàm số là: Tài liệu tham khảo số [2] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án B Bình luận: + Khi quan sát đồ thị nhiều học sinh hấp tấp nên nhầm lẫn đồ thị hàm số đồ thị hàm số Vì giáo viên nên lập bảng biến thiên để khắc phục nhầm lẫn cho học sinh + Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh vấn đề mối liên quan dấu đồ thị hàm số Ví dụ 28: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số đồng biến khoảng A B C Lời giải Ta có Hàm số đồng biến Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Chọn đáp án D 2.2.2 Dạng 2: Xác định khoảng đơn điệu hàm số biết đồ thị bảng biến thiên hàm số Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số hỏi tính đơn điệu hàm hợp  Đọc đồ thị hàm số đề cho xác định D Suy  Tính đạo hàm ;  Giải bất phương trình (Quan sát đồ thị suy miền nghiệm);  Lập bảng biến thiên , suy kết tương ứng (Có thể thay bước giải phương trình dựa vào Tài liệu tham khảo [1] Ví dụ tác giả LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com bảng biến thiên đồ thị hàm cho để xét dấu trực tiếp biểu thức ) Ví dụ 39: Cho hàm số có bảng xét dấu hình bên Hàm số A nghịch biến khoảng B C D Lời giải Từ bảng biến thiên cho ta Tính đạo hàm hàm Giải bất phương trình Lập bảng biến thiên Kết luận từ bảng biến thiên suy đáp án B Cách khác: Dựa vào bảng biến thiên có nghiệm bội lẻ ) Chọn Tính đạo hàm hàm (các nghiệm phương trình đổi dấu liên tiếp qua môc Tài liệu tham khảo [2] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bảng xét dấu Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến khoảng Bình luận: + Ví dụ cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm có cách giải Từ bảng biến thiên từ đồ thị suy miền âm hay dương hàm để từ suy miền âm hay dương Ví dụ 4: Cho hàm số có đạo hàm đồ thị hàm số hình vẽ Hàm số đồng biến khoảng đây? A B C D Lời giải Từ đồ thị hàm số Ta có: Tìm cho ta thấy Lập bảng biến thiên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D Cách Dựa vào đồ thị có (Trong nghiệm kép) Chọn Tinh đạo hàm Cho (Trong có nghiệm kép) Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D Bình luận: + Căn vào đồ thị hàm số có dạng đồ thị hàm đa thức bậc cắt trục hoành điểm tiếp xúc điểm nên ta chọn hàm Khi hàm số hàm đa thức ta xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu hàm dạng tích thương đa thức Ví dụ Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hàm số nghịch biến khoảng khoảng sau ? A B C D Lời giải Ta có Dựa vào đồ thị, suy Tính đạo hàm Giải phương trình Lập bảng biến thiên ta chọn A Bình luận: 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Với có chứa nên ta chọn cách giải thứ cách giải thứ giải nhiều bất phương trình chứa phức tạp + Hàm hàm dạng tích thương đa thức làm để xét dấu biểu thức khoảng cụ thể? Cách xét dấu sau: Ví dụ xét khoảng ta chọn dựa vào đồ thị Khi ta thấy Các nghiệm phương trình nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu hàm phức tạp ta nên thử tương tự tất khoảng 2.2.3 Dạng 3: Xác định khoảng đơn điệu hàm số dựa vào đồ thị bảng biến thiên hàm số Tìm khoảng đơn điệu biết đồ thị hàm Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số , hỏi tính đơn điệu hàm số ,  Tính ;  Căn đồ thị hàm Các điểm cực trị hàm Xét phần đồ thị hàm Nếu nằm hàm số đồng biến, nằm hàm số nghịch biến  Lập bảng biến thiên hàm số trực tiếp xác định khoảng đồng biến nghịch biến dựa vào đồ thị suy kết toán Ví dụ Cho hàm số với đạo hàm Hàm số mệnh đề sau? A Hàm số B Hàm số C Hàm số có đồ thị hình vẽ Chọn mệnh đề đồng biến khoảng đồng biến khoảng đồng biến khoảng 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com D Hàm số Lời giải Ta có: Giải phương trình nghịch biến khoảng Xét tương giao hai đồ thị hàm số: Quan sát đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số đồ thị hàm số cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: chọn đáp án C Bình luận: Khi vẽ đồ thị ta để ý đến điểm đặc biệt mà đồ thị ban đầu cho tọa độ cụ thể Ví dụ Cho mà đồ thị hàm số hình bên Hàm số đồng biến khoảng A B C D Lời giải 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tính đạo hàm hàm Khi Hàm số đồng biến Đặt trở thành: Quan sát đồ thị hàm số hình vẽ Khi ta thấy với thẳng Suy Với hệ trục tọa độ đồ thị hàm số nằm đường Do hàm số đồng biến Chọn đáp án A Bình luận: + Đối với tốn cho bảng biến thiên hàm số ta dựa vào điểm đồ thị để xác định vị trí tương đối đường cong để suy dấu đạo hàm + Đối với toán cho bảng xét dấu đạo hàm ta thử trực tiếp dấu biểu thức 2.2.4 Dạng 4: Tính đơn điệu hàm hợp có chứa tham số “Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng ”: Phương pháp giải + Tính đạo hàm hàm số + Bài tốn trở thành: Tìm m để bất phương trình (hoặc Bước 1: Cô lập tham số m, nghĩa đưa bất phương trình (hoặc ) dạng (hoặc ) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số khoảng Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy giá trị cần tìm tham số m 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Cho hàm số tham số có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị để hàm số nghịch biến khoảng Hướng dẫn giải: + Từ đồ thị hàm số xuống khoảng ; ta có dấu Cụ thể đồ thị có dáng , lên hai khoảng nên + Tính đạo hàm hàm : + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng cho trước kỹ thuật lập m, giải tốn tìm m để bất phương trình nghiệm với Lời giải  Từ đồ thị hàm số ta có   Dễ thấy có hữu hạn nghiệm, nên hàm số nghịch biến  Hàm số đồng biến [0;1] nên hệ tương đương Vậy thỏa mãn u cầu tốn Binh luận: + Từ đồ thị hàm số , ta thấy bất phương trình suy nghiệm + Ta tương tự hóa dạng học sinh học đến hàm mũ, logarit,… + Nếu hàm số có , dấu xảy hữu hạn hàm số đồng biến khoảng 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 9: Cho hàm số hàm hình vẽ sau: có đạo hàm Tìm tất giá trị tham số biến khoảng Lời giải   Hàm số bảng xét dấu đạo để hàm số nghịch ? nghịch biến khoảng Vậy Ví dụ 10: Cho hàm số có đạo hàm tất giá trị tham số để hàm số nghịch biến khoảng Hướng tiếp cận: Với dạng tập ta thực theo bước sau: + Tính + Thay giả thiết Tìm đạo hàm ta có + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng cho trước kỹ thuật cô lập m, giải tốn tìm m để bất phương trình nghiệm với Lời giải Ta có Hàm số nghịch biến khoảng (dấu xảy hữu hạn điểm khoảng đúng) 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số Bảng biến thiên: Ta có Từ bảng biến thiên ta có Bàn luận: + Vì hàm số liên tục đơn điệu đoạn biến thiên, ta diễn đạt: nên không lập bảng + Ta tương tự hóa dạng học sinh học đến hàm mũ, logarit Ví dụ 11: Cho hàm số có đạo hàm Tìm tất giá trị tham số để hàm số nghịch biến Lời giải Trên ta có Hàm số Xét hàm số nên hàm số nghịch biến nghịch biến , có Mà suy 2.3 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước lĩnh hội phương pháp, em học sinh chưa có cách để tiếp cận giải tốn hàm ẩn, hàm hợp khó đề thi Với học sinh trung bình, top dưới, phương pháp không làm thay đổi lực giải toán hàm hợp em Điều dễ hiểu dạng khó Kết khảo sát chưa áp dụng SKKN đối tượng học sinh lớp 12A7 trường THCS THPT Nghi Sơn 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết khảo sát Số lượng Giỏi % Khá 37 2,7 % 13,5 TB 17 % 46 Yếu 13 % 35,1 Kém % 2,7 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu kinh tế Sau thực thành công đề tài SKKN trường THCS THPT Nghi Sơn, đề tài nêu khơng lãng phí thời gian giáo viên học sinh, tạo điều kiện thuận lợi việc thúc đẩy nâng cao chất lượng dạy học mang lại giá trị mặt kinh tế Với cách làm học kì I vừa qua tiến thành thực nghiệm sử dụng phương pháp SKKN tỉ lệ học sinh trung bình yếu cải thiện kết Kết khảo sát sau áp dụng SKKN với đối tượng học sinh lớp 12A7 trường THCS THPT Nghi Sơn sau: Kết khảo sát Số lượng Giỏi % Khá % TB % Yếu % Kém % 37 13,5 17 46 10 27 13,5 0 2.4.2 Hiệu mặt xã hội Đối với học sinh: Hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học cho học sinh THPT Học sinh yếu tiếp thu cách làm giúp em giải nhanh xác tập trắc nghiệm chương I – giải tích 12 tạo hứng thú học tập đem lại hiệu quả, đồng thời giúp em hệ thống hóa kiến thức.Giúp đỡ em học sinh thích học tốn chất lượng tăng lên rõ rệt, giúp em tự tin bước vào kỳ thi THPT QG tới Đối với nhà trường: Góp phần tạo tin tưởng quan lãnh đạo với chuyên môn nhà trường, với chun mơn nhóm tốn Đối với phụ huynh xã hội: Tạo tâm lí tư tin cho phụ huynh học sinh trước kì thi THPT QG quan trọng Gây dựng dư luận tốt đẹp lịng nhân dân cơng đổi phương pháp dạy học Góp phần đưa nhà trường địa giáo dục đáng tin cậy địa phương Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Thực tế giảng dạy, áp dụng lớp 12 trường THCS THPT Nghi Sơn Tôi thu kết khả quan, không giúp cho học sinh nắm vững kiến thức hàm hợp, hàm ẩn chương trình chương giải tích 12, giúp học sinh tránh sai lầm việc giải tốn Ngồi ra, học sinh cịn phát hiện, tìm tịi cách giải hay việc giải toán sách giáo khoa sách tập giúp em tự tin học làm thi trắc nghiệm 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.2 Kiến nghị Nhà trường cần tổ chức nhiều buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho toàn thể cán giáo viên Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên công bố rộng rãi Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Qua việc nghiên cứu vấn đề nhỏ tơi hy vọng đồng nghiệp góp phần nhỏ cải tiến, đổi phương pháp giảng dạy môn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 17 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Ngọc Anh 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán - Trần Phương ( chủ biên)Nhà xuất Hà Nội, 2006 [2] Phương pháp giải toán - Lê Hồng Đức ( chủ biên) - Nhà xuất Hà Nội, 2005 [3] Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Mơn Tốn – Trần Tuấn Điệp( Chủ biên)- Nhà xuất Hà Nội, 2012 [4] Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao – Đồn Quỳnh ( tổng chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 [5] Sách tập Giải tích 12 Nâng cao - Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 [6] Tham khảo số tài liệu mạng internet 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thi THPT QG phần hàm số nâng cao chất lượng thi học sinh trường THCS THPT Nghi Sơn 1.3 Đối tượng nghi? ?n cứu Một số dạng tốn tính đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương. .. cách giải cách đơn giản phù hợp với hình thức thi trắc nghi? ??m kì thi Do tơi mạnh dạn viết sáng kiến ? ?Phương pháp giúp học sinh giải tốn xét tính đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn kì thi THPT Quốc Gia trường. .. thiên hàm số Tìm khoảng đơn điệu biết đồ thị hàm Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số , hỏi tính đơn điệu hàm số ,  Tính ;  Căn đồ thị hàm Các điểm cực trị hàm Xét phần đồ thị hàm Nếu nằm hàm