Skkn một số phương pháp tìm tích phân của hàm hợp, hàm ẩn mức độ vận dụng vận dụng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG-VẬN DỤNG CAO Người thực hiện: Trần Thanh Minh Chức vụ: TTCM SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Trang 1.MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Phương pháp đổi biến số 2.3.2 Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm 10 2.3.3 Phương pháp tính tích phân phần 16 2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân 21 2.3.5 Một số toán liên quan đến đồ thị hàm số 26 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 31 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 32 3.1 Kết luận 32 3.2 Kiến nghị 32 skkn TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG-VẬN DỤNG CAO MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng, phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng ứng dụng rộng rãi thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, giải tốn học,… Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 thường xuyên có mặt kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào thi mơn tốn phần tích phân yêu cầu rộng khó trước đặc biết tốn tích phân hàm hợp, hàm ẩn, địi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức tích phân vững tư linh hoạt giải tốn dạng Vì lí đó, để giúp học sinh có sở khoa học, có có hệ thống kiến thức vững tính tích phân đặc biệt tích phân hàm hợp,hàm ẩn tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục , chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn mức độ vận dụng-vận dụng cao” Với đề tài hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc tính tích phân nói chung tích phân hàm hợp, hàm ẩn nói riêng 1.2 Mục đích nghiên cứu - Làm rõ vấn đề mà học sinh lúng túng , mắc nhiều sai lầm chí khơng có định hướng lời giải việc tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn - Góp phần gây hứng thú học tập phần tích phân hàm hợp, hàm ẩn cho học sinh, giúp em giải phần coi khó đề thi, địi hỏi phải có tư cao - Làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán - Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chương Nguyên hàm - Tích phân chủ yếu phương pháp tính tích phân số hàm hợp, hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Các kiến thức Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số liên tục hai số thuộc Nếu nguyên hàm hiệu số gọi tích phân từ đến kí hiệu đoạn Trong trường hợp , ta gọi tích phân Người ta dùng kí hiệu để hiệu số ngun hàm 2.1.2 Tính chất Giả sử liên tục ; Như Nếu ba số thuộc Khi ta có ; ; Chú ý với 2.1.3 Phương pháp đổi biến số với Tính tích phân Giả sử viết dạng ,trong hàm số có đạo hàm , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp xác định hai số thuộc Khi Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho Như tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức 2.1.4 Phương pháp tính tích phân phần skkn Cơng thức (trong tục hai số thuộc ) 2.1.5 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng a.Hình phẳng giới hạn có đạo hàm liên diện tích b.Hình phẳng giới hạn diện tích 2.2 Thực trạng đề tài Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Trong đề minh họa GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia đề thi thử trường THPT toàn Quốc , học sinh thường gặp số câu tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có thêm phương pháp, có linh hoạt việc tính tích phân nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi Trước áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2020-2021 (thông qua lớp trực tiếp giảng dạy) tốn tính tích phân hàm hơp, hàm ẩn, thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12B1 45 0% 13,3 26 57,7 10 22,4 6,6 % % % % 12B3 46 1,8 17,3 22 47,8 11 24,3 8,8 % % % % % Như số lượng học sinh nắm bắt dạng khơng nhiều, có nhiều em chưa định hướng lời giải chưa có nguồn kiến thức kĩ cần thiết Thực đề tài hệ thống lại phương pháp tính tích phân học để áp dụng tính cho hàm ẩn thơng qua phương pháp cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tổng hợp đề học sinh vận dụng phương pháp học vào giải Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tơi đưa bốn phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn là: Phương pháp biến đổi để đưa nguyên hàm bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần tạo bình phương cho biểu thức dấu tích phân skkn 2.3 Các giải pháp tổ chức thực Thực đề tài chia nội dung thành năm phần Phần Phương pháp đổi biến số Phần Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm Phần Phương pháp tính tích phân phần Phần Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân Phần Một số toán liên quan đến đồ thị hàm số Mỗi phần thực theo bước: - Nhắc lại kiến thức sử dụng đề tài - Nêu ví dụ áp dụng - Nêu nhận xét trước đưa lời giải cho tập khó Nội dung cụ thể 2.3.1 Phương pháp đổi biến số a Kiến thức sử dụng Tính tích phân Giả sử viết dạng ,trong hàm số có đạo hàm , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp xác định hai số thuộc Khi Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho Như tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức b Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số liên tục đoạn Tính tích phân thỏa mãn điều kiện Lời giải: Ta có Xét Đổi cận đặt ; skkn Suy Khi Vậy Ví dụ Cho tích phân Tính tích phân Lời giải: Ta có Xét , ta có Xét Đặt Đổi cận: Ta có: Vậy Ví dụ Cho hàm số , liên tục nhận giá trị dương đoạn Tính tích phân biết Lời giải: Ta có Xét tích phân Đặt Đổi cận ; skkn Khi Mặt khác Vậy Ví dụ Cho hàm số liên tục đoạn , thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Ta có Xét Khi :Đặt , ta Suy Vậy Ví dụ Cho hàm số liên tục Tính tích phân Lời giải: Đặt thỏa mãn , , đổi cận : Khi Vì nên skkn Ví dụ Cho hàm số liên tục đoạn Tính tích phân Lời giải: Đặt thỏa mãn , , đổi cận Khi Ta có Vậy Ví dụ Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Đặt Đặt Thay vào Ví dụ Cho hàm số liên tục thỏa mãn , skkn Tính tích phân Lời giải: Đặt , đổi cận : Khi Ta có Bài tập tương tự Bài Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính tích phân Bài Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính tích phân Bài Cho , hàm số liên tục Tính tích phân Bài Cho hàm số Bài Cho hàm số thỏa mãn liên tục đoạn , thỏa mãn Tính tích phân liên tục đoạn Tính tích phân Bài Cho hàm số liên tục Tính tích phân thỏa mãn thỏa mãn , , 10 skkn Ví dụ Cho hàm số hàm số chẵn liên tục, có đạo hàm thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Ta có , đặt Đổi cận : Đặt ta có Do hàm số chẵn nên Vậy Bài tập tương tự Bài Cho hàm số có Khi Tính tích phân Bài 2.Cho hàm số Bài Cho hàm số Tính tích phân Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn , Tính tích phân có đạo hàm , thỏa mãn có đạo hàm liên tục thỏa mãn , 21 skkn , Bài Cho hàm số Tính tích phân có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính tích phân Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục Bài Cho hàm số , , thỏa mãn Tính tích phân có đạo hàm liên tục , thỏa mãn hệ thức Tính tích phân Bài Cho hàm số có đạo hàm cấp hai , thỏa mãn Biết Bài Cho hàm số Tính liên tục, có đạo hàm thỏa mãn điều kiện Tính tích phân 2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân a Kiến thức sử dụng Nếu với Hệ quả: b Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số , dấu "=" xảy với có đạo hàm đoạn Biết , Tính tích phân 22 skkn Nhận xét : Giả thiết chứa Ta chọn nên ta tạo bình phương dạng cho Từ ta có lời giải Lời giải: Ta có , mà nên Khi Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm đoạn Tính tích phân Nhận xét : Giả thiết chứa Ta chọn Biết nên ta tạo bình phương dạng cho Từ ta có lời giải Lời giải: Ta có Khi Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm đoạn Biết Tính tích phân Nhận xét : Giả thiết chứa trước hết ta biến đổi nên ta chưa thể tạo bình phương, để khử cách đặt 23 skkn Đổi cận ta có Đến ta hai biểu thức ta chọn nên ta tạo bình phương dạng , cho Từ ta có lời giải Lời giải: Xét , đặt Đổi cận , Vì nên Do Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm đoạn Biết , Tính tích phân Nhận xét : Giả thiết chứa nên ta chưa thể tạo bình phương, trước hết ta biến đổi để tạo biểu thức cách đặt , Đến ta hai biểu thức nên ta tạo bình phương dạng Ta chọn cho 24 skkn Từ ta có lời giải Lời giải: Xét , đặt Ta có mà nên ta có Ta có Vậy Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm đoạn , Biết Tính tích phân Lời giải: Từ giả thiết ta có (*) Đặt Khi , vào (*) ta 25 skkn (**) Mà nên ta có (**) mà Khi Vậy Ví dụ Cho hàm số liên tục đoạn thỏa mãn , Tính tích phân Lời giải: Ta có Khi Vậy Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính tích phân Lời giải: Đặt , Ta có Ta có , mà 26 skkn Ta có Bài tập tương tự Vậy Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục , Bài Cho hàm số Tính tích phân có đạo hàm liên tục đoạn , Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục Bài Cho hàm số thỏa mãn Tính tích phân , thỏa mãn Tính tích phân có đạo hàm liên tục đoạn Tính tích phân Bài Cho hàm số Bài Cho hàm số mãn , thỏa mãn Tính tích phân Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục và thỏa Tính tích phân có đạo hàm liên tục , Biết có đạo hàm liên tục ; , thỏa mãn có đạo hàm liên tục đoạn , Tính tích phân Bài Cho hàm số thỏa mãn thỏa mãn Tính tích phân , 27 skkn Bài Cho hàm số có đạo hàm đoạn Biết Tính tích phân 2.3.5 Một số toán liên quan đến đồ thị hàm số a Kiến thức sử dụng -Hình phẳng giới hạn diện tích -Hình phẳng giới hạn b Ví dụ áp dụng diện tích Ví dụ Cho hàm số có đồ thị hàm số sánh liên tục hình bên Hãy so Lời giải: Theo đồ thị, ta có: , Từ Ví dụ 2.Cho hàm số có đồ thị cắt trục ba điểm có hồnh độ hình vẽ Hãy so sánh Lời giải: Ta có bảng biến thiên hàm số 28 skkn Ta có Vì Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm đến cấp Biết hàm số đạt cực tiểu , có đồ thị hình vẽ bên đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Tính tích phân Lời giải: Dễ thấy đường thẳng số góc Hàm số qua điểm nên suy hệ đạt cực tiểu suy Vậy 29 skkn Ví dụ 4.Cho hàm số có đạo hàm liên tục có đồ thị hình vẽ bên Tính giá trị biểu thức Lời giải: Xét Vậy Ví dụ 5.Cho hàm số với có hai giá trị cực trị phẳng giới hạn đường Lời giải: Ta có số thực Biết hàm số Tính diện tích hình Khi Giả sử Vì hai điểm cực trị hàm số và hai giá trị cực trị hàm số Phương trình hồnh độ giao điểm nên Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: 30 skkn Ví dụ 6.Cho hàm số số Đồ thị hàm hình bên Đặt Hãy so sánh Lời giải: Ta có Bảng biến thiên Suy , (1) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đường: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đường: 31 skkn Dựa vào hình vẽ, ta thấy: Suy Khi (2) Từ (1) (2) suy ra: Bài tập tương tự Bài Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên Đặt so sánh Hãy Bài Cho hàm số Đồ thị hàm số hình vẽ bên (phần cong đồ thị phần parabol ) Biết Tính giá trị biểu thức Bài Cho hàm số có đồ thị Biết đồ thị qua gốc tọa độ đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Tính giá trị biểu thức Bài Cho hàm số có đồ thị gồm phần đường thẳng phần parabol có đỉnh gốc tọa độ hình vẽ bên Tính tích phân 32 skkn Bài Cho hàm số liên tục có đồ thị hình bên Biết Tính Bài Cho hàm số có đạo hàm , đồ thị hàm số hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ Tính giá trị biểu thức Bài Cho hàm số với số thực Biết hàm số có hai giá trị cực trị phẳng giới hạn đường Tính diện tích hình Bài Cho hai hàm số Biết hàm số với có điểm cực trị – 1, 2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tiễn giảng dạy trường THPT Nông Cống I năm học 2020-2021, nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 12B1, 12B3 Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng gép dạy lớp, dạy tự chọn, bồi dưỡng thấy học sinh hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học toán nâng lên rõ rệt Sau áp dụng đề tài khảo sát lại học sinh thu kết sau: 33 skkn Lớp Sĩ Giỏi số SL % 12B1 45 11 24,6 % 12B3 46 12 26% Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % 20 44,4 10 22,2 6,6% 2,2 % % % 21 45,6 10 21,7 4,9% 1,8 % % % Như qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Với đề tài đưa trước tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất biến đổi việc tính tích phân hàm ẩn , tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, chủ nhân tương lai đất nước Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia rút số kinh nghiệm nêu Như với đề tài "Một số phương pháp tính tích phân hàm hơp, hàm ẩn mức độ vận dụng-vận dung cao" giúp học sinh có hệ thống kiến thức, linh hoạt việc định hướng biến đổi có kinh nghiệm việc tính tích phân nói chung tích phân hàm ẩn nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học Cuối dù cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng học hỏi đồng nghiệp song tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý, bổ sung đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Đối với tổ chuyên môn: Cần có nhiều buổi họp thảo luận nội dung phương pháp tính tích phân Khuyến khích học sinh xây dựng tập toán liên quan đến dạng tập toán giảng 3.2.2 Đối với trường: Cần bố trí tiết thảo luận nhiều để thơng qua học sinh bổ trợ kiến thức.Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải toán 3.2.3 Đối với sở giáo dục: 34 skkn Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau năm sở tập hợp sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội để gửi trường làm sách tham khảo cho học sinh giáo viên Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan là SKKN chính bản thân mình viết, không chép nội dung của người khác Trần Thanh Minh Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) [2] Sách tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) [3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG trường nước Danh mục Sáng kiến kinh nghiệm Hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá TT Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; (A, B, Tỉnh…) C) Phát triển tư hàm cho học Ngành GD cấp B sinh qua tốn tỉnh phương trình vơ tỉ Một số phương pháp tìm cực Ngành GD cấp B trị hàm hợp, hàm ẩn tỉnh hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Năm học đánh giá xếp loại 2015 2020 35 skkn ... nghị 32 skkn TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG-VẬN DỤNG CAO MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng, phép tính tích phân chiếm... pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn mức độ vận dụng -vận dụng cao? ?? Với đề tài hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc tính tích phân nói chung tích phân hàm hợp, hàm ẩn nói riêng... bốn phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn là: Phương pháp biến đổi để đưa nguyên hàm bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần tạo bình phương cho biểu thức dấu tích phân