(SKKN mới NHẤT) SKKN một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT quốc gia

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu 1.1 Lý chọn đề tài : Thống kê thi THPT Quốc gia năm gần Số câu hỏi có nội dung liên quan tới tích phân : Năm 2017 2018 2019 Mã đề 101 102 103 101 102 103 101 102 103 Số câu hỏi 3 5 5 5 Hệ thống câu hỏi đề xếp theo thứ tự độ khó tăng dần Các câu liên quan tới tích phân đề thường hỏi dạng hàm số dấu tích phân hàm số ẩn, tích phân có lien quan đến phương trình vi phân… Bài tốn tích phân hàm số phong phú đa dạng Các em học sinh thường lúng túng bế tắc gặp phải câu hỏi lạ Do đó, em phải biết chuyển toán lạ toán quen thuộc biết cách giải Việc làm đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết phương pháp giải dạng toán Với lí tơi chọn chun đề: “ Mợt sớ phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ơn thi THPT Quốc Gia” Tôi nghiên cứu, sưu tầm xây dựng phương pháp tính tích phân theo dạng tốn điển hình, từ dễ đến khó để học sinh bước tiếp cận,làm quen thành thạo dạng toán Hy vọng tài liệu giúp ích cho giáo viên em học sinh việc dạy - học, ôn tập để kiểm tra đánh giá thi THPT Quốc Gia đạt kết cao 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm Cập nhật kiến thức, dạng toán đề thi THPT Quốc gia năm gần Tìm hiểu phương pháp tính tích phân, xây dựng theo hệ thống kiến thức, tập có phân theo mức độ phù hợp đối tượng học sinh 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu *Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp tính tích phân: Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa, đổi biến số, tích phân từng phần, phương pháp tính tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia download by : skknchat@gmail.com *Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phổ thơng, có mở rộng phù hợp với nội dung chương trình thi trung học phổ thông quốc gia năm 2020 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại tài liệu Phân tích, đề xuất phương án giải toán Thực nghiệm sư phạm qua công tác ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia cá nhân thời gian từ tháng năm 2019 đến tháng năm 2020 Tên sáng kiến “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ơn thi THPT Quốc Gia” Tác giả sáng kiến Họ tên: Trần Thị Hương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu- xã Trung Nguyên- huyện Yên Lạctỉnh Vĩnh Phúc Số điện thoại: 0974 361 811 Emai: tranthihuong.c3dongdau@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến Họ tên: Trần Thị Hương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu- xã Trung Nguyên- huyện Yên Lạctỉnh Vĩnh Phúc Số điện thoại: 0974 361 811 Emai: tranthihuong.c3dongdau@vinhphuc.edu.vn Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lĩnh vực: Phương pháp tính tích phân Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Một số phương pháp tính tích phân dành cho Học sinh ôn thi THPT Quốc Gia Ngày sáng kiến áp dụng Chuyên đề : “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ơn thi THPT Quốc Gia” dạy thực nghiệm tháng /2017 trường THPT Đồng Đậu Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Cơ sở lý luận 7.1.1 Bảng tóm tắc cơng thức ngun hàm: download by : skknchat@gmail.com (Ta tạm hiểu hàm số sơ cấp( HSSC) mở rộng từ HSSC ta thay biến x ax + b) Nguyên hàm Nguyên hàm HSSC mở rộng Nguyên hàm hàm HSSC thường gặp thường gặp số hợp (với u = u(x) ) ∫ dx= x+C ∫ du=u+C α +1 α +1 ( ax+b ) ∫ (ax+ b) dx= 1a α +1 ∫ x dx= αx +1 +C α α 1 α +1 ∫ u α du= αu +1 +C +C 1 ∫ x dx=ln|x|+C ∫ (ax +b ) dx = a ln|ax +b|+C ∫ e x dx=e x +C ∫ x ax+b dx = a e ax+b+C ∫ u du=ln|u|+C ∫ e u du=e u+C ax ∫ a dx =ln a +C ∫a ∫ cos xdx =sin x+C ∫ cos (ax +b )dx= a sin( ax+b)+C ∫ sin xdx=−cos x+C ∫ sin( ax+b)dx=− a cos(ax+b)+C x px+q au ∫ a du=ln a +C px+q 1a dx= +C p ln a u ∫ cosudu=sin u+C ∫ sin udu=−cosu+C 7.1.2 Tích phân 7.1.2 Định nghĩa: Cho hàm số Nếu nguyên hàm từ đến tích phân kí hiệu đoạn hai số thuộc hiệu số Trong trường hợp để hiệu số gọi tích phân , ta gọi Người ta dùng kí hiệu nguyên hàm liên tục Như Nếu download by : skknchat@gmail.com Lưu ý: - Quy ước: + Nếu + Nếu thì - Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số: 7.1.2.2 Tính chất: a) Giả sử liên tục ba số thuộc ; Khi ta có ; ; với Chú ý: với - Nếu - Ta có: b) Với hàm số liên tục số thực dương - Nếu hàm số lẻ đoạn - Nếu hàm số chẵn đoạn , ta có hai tính chất sau đây: 7.1.3 Các công thức tính tích phân 7.1.3.1 Định nghĩa: Cho hàm số Nếu nguyên hàm liên tục trên hiệu số hai số thuộc gọi tích phân download by : skknchat@gmail.com từ đến tích phân kí hiệu Trong trường hợp đoạn Người ta dùng kí hiệu nguyên hàm , ta gọi để hiệu số Như vậy, Nếu 7.1.3.2 Cơng thức đổi biến số: Trong đó: là hàm số có đạo hàm liên tục K, hàm số cho hàm số hợp liên tục và xác định K và a, b thuộc K 7.1 3.3 Công thức tích phân từng phần Nếu và là các hàm số liên tục có đạo hàm thì 7.2 Thực trạng Một số em giải tốn tích phân cịn gặp khó khăn việc biến đổi cịn sai sót q trình giải cịn lúng túng khơng biết cách giải tốn tích phân hàm ẩn, tích phân có liên quan đến phương trình vi phân Xuất phát từ tình hình thực tế đó, tơi cảm thấy cần thiết hệ thống lại lý thuyết phương pháp giải học sinh nắm vững điều quan trọng Cho nên đề tài cần nghiên cứu phát triển cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia 7.3 Các biện pháp tiến hành Để học sinh làm tốt dạng tập tích phân có đề thi THPT QG cần phải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho tốn tích phân dựa vào kiến thức sau: Thứ nhất: Học sinh phải nhớ bảng công thức đạo hàm Thứ hai: Học sinh biết công thức nguyên hàm hàm số thường gặp download by : skknchat@gmail.com Thứ ba: Học sinh phải luyện cho cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, biết dạng tích phân dễ dàng biết cách tính Để nhận dạng tích phân cần tính, nên tạo thành thói quen tự đặt cho câu hỏi hàm số dấu tích phân theo thứ tự sau: STT Câu hỏi Phương pháp tính câu hỏi đặt Chỉ việc áp dụng công thức Có phải dạng khơng Có phân tích, biến đổi đại số, biến Chỉ việc phân tích, biến đổi, áp dụng công đổi lượng giác,… đưa dạng thức khơng? Có tương tự dạng bản, sai khác số sai khác hệ Dùng phương pháp đổi biến số số biến số khơng? Có thừa số biểu thức đạo hàm gần (chỉ sai khác hệ số) biểu thức Dùng phương pháp đổi biến số khác hàm số dấu tích phân khơng? Có thuộc loại tích phân hữu tỷ Dùng phương pháp tích phân hàm hữu tỷ không? học download by : skknchat@gmail.com Có thuộc loại tích phân hàm số Dùng phương pháp tích phân hàm lượng lượng giác khơng? giác học Có thuộc loại tích phân hàm vơ Dùng phương pháp tích phân hàm vơ tỷ tỷ khơng? học Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số, Ngồi loại trên? khơng được, nên nghĩ đến việc dùng phương pháp tích phân phần Giáo viên tóm tắt lý thuyết phương pháp giải, cho ví dụ minh hoạ để học sinh tham khảo Sau dạng tốn có phần tập tự luyện tổng hợp để học sinh làm Đối với dạng tốn tính tích phân, tơi chia thành dạng sau : 7.3.1 Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa 7.3.1.1 Dạng 1: Tính tích phân bản bằng định nghĩa a, Phương pháp: Biến đổi hàm số dấu tích phân về dạng tổng, hiệu các hàm số có thể tìm được nguyên hàm và định nghĩa để suy giá trị của tích phân b, Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: ( THPT QG 2019-MĐ 102 ) Biết  f  x  dx   g  x  dx  4 A 7   f  x   g  x   dx B C 1 D Lời giải: Chọn đáp án C Ta có 1 0   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx    1 Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục đoạn có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường trịn hình vẽ Tính giá trị download by : skknchat@gmail.com A B C D Lời giải: Chọn đáp án B Ta có: Ví dụ ( Đề thi minh họa THPT QG 2018-2019-BGD ) Cho với , , A B số hữu tỷ Giá trị C D Lời giải: Chọn đáp án B Vậy Ví dụ 4: ( THPT QG 2019- MĐ 101 ) Cho hàm số Biết , , download by : skknchat@gmail.com A B C D Lời giải: Chọn đáp án C Ta có Theo Suy Vậy: 7.3.1.2 Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối a, Phương pháp: Để tính - Xét dấu thì thực hiện: - Dùng tính chất phân đoạn của tích phân rồi tính tích phân đoạn b, Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Biết A Giá trị B C Lời giải: Chọn đáp án D Để ý rằng nguyên hàm của lnx là Do đó: Vậy download by : skknchat@gmail.com D Ví dụ 2: Biết A Khi B C D Lời giải: Chọn đáp án A Khi 7.3.1.3 Dạng 3: Tích phân hàm ẩn a, Phương pháp: Sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân - Nếu với - Các cơng thức đạo hàm: ; ; ; ; - Giải cơng thức giải nhanh ( có) + + + (trong nguyên hàm ) b, Các ví dụ minh họa: 10 download by : skknchat@gmail.com Vậy Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục A Cho giá trị B Nhận xét: thỏa mãn điều kiện C Từ giả thiêt có D , biểu thức vế trái có dạng Lời giải Chọn đáp án D Ta có: Nhân hai vế với ta Lấy nguyên hàm hai vế Suy Mặt khác Vậy Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục , Mệnh đề đúng? A B C Nhận xét: Từ giả thiêt có D , biểu thức vế trái có dạng Lời giải Chọn đáp án D Ta có Do Vậy 56 download by : skknchat@gmail.com 7.3.4.4 Dạng Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân a, Phương pháp: Nhân hai vế với ta Suy b, Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục A Giá trị B C thỏa mãn Nhận xét: Từ giả thiêt có D , biểu thức vế trái có dạng Lời giải Chọn đáp án B Ta có Nhân hai vế với ta Lấy nguyên hàm hai vế Suy Mặt khác Vậy Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục Biết thỏa mãn: Tích phân 57 download by : skknchat@gmail.com A B C D Nhận xét: Từ giả thiêt có , biểu thức vế trái có dạng Lời giải Chọn đáp án A Ta có Nhân hai vế với ta Lấy nguyên hàm hai vế Suy Mặt khác Vậy 7.3.4.5 Bài tập tự giải: Tính tích phân có liên quan đến phương trình vi phân Câu Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn với thỏa mãn Giá trị nhỏ tích phân A B C 58 download by : skknchat@gmail.com D Câu Cho hàm số nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục nửa khoảng thỏa mãn với với A số nguyên Tính B C D Câu Cho hàm số thỏa mãn Tích phân A Câu B Cho hàm số C D nhận giá trị khơng âm có đạo hàm liên tục mãn thỏa Giá trị tích phân A Câu B Cho hàm số Câu B Cho hàm số D thỏa mãn Giá trị A C C có đạo hàm cấp hai liên tục đoạn Giá trị biểu thức 59 download by : skknchat@gmail.com D thỏa mãn A Câu B Cho hàm số C D nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục mãn A với B Tính C thỏa D Câu Giả sử hàm số liên tục nhận giá trị dương khoảng thỏa mãn , , với Mệnh đề sau ? A Câu B Cho hàm số mãn C D liên tục, nhận giá trị dương khoảng thỏa Mệnh đề ? A B C D Câu 10 Cho hàm số có đạo hàm Biết A B Câu 11 Cho hàm số liên tục , tính C thỏa mãn D có đạo hàm thỏa mãn liên tục khoảng thức 60 download by : skknchat@gmail.com Giá trị biểu A B Câu 12 Cho hai hàm số phân D thỏa Tích B Câu 13 Cho hai hàm số mãn có đạo hàm liên tục đoạn mãn A C C D có đạo hàm liên tục đoạn thỏa Tích phân A Câu 14 Cho hàm số B C có đạo hàm D liên tục nửa khoảng mãn thỏa Mệnh đề sau đúng? A .B C Câu 15 Cho hàm số D có đạo hàm liên tục đoạn với A B thỏa mãn Tích phân C 61 download by : skknchat@gmail.com D Câu 16 Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn Tích phân A B Câu 17 Cho hàm số C D nhận giá trị dương liên tục đoạn thỏa mãn Tính tích phân A B Câu 18 Cho hàm số C D nhận giá trị dương liên tục đoạn thỏa mãn Tính tích phân A B Câu 19 Cho hàm số C có đạo hàm liên tục D thỏa mãn Giá trị nhỏ tích phân A B C D 62 download by : skknchat@gmail.com Câu 20 Cho hàm số mãn có đạo hàm Tính A B Câu 21 Cho hàm số C D , bằng: A B C D Câu 22 Cho hàm số có đạo hàm liên tục , A Câu 24 Cho hàm số C Đặt , Tính liên tục đồng biến đoạn , B thỏa mãn , B Câu 23 Cho hàm số thỏa thỏa mãn Tích phân A liên tục D , Mệnh đề đúng? C D liên tục có đạo hàm thỏa mãn Tính tích phân A B C 63 download by : skknchat@gmail.com D Câu 25 Cho hàm số liên tục có đạo hàm thỏa mãn Tính giá trị B A C D  GV kiểm tra học sinh hình thức phát phiếu học tập để HS làm nhanh 15 phút GV thu bài, chấm, kiểm tra đánh giá, thống kê PHIẾU HỌC TẬP Đề kiểm tra 15 phút Câu 1: Cho , B A Câu2: Biết C hàm số liên tục D Khi A B Câu 3: Cho hàm số Giá trị có đạo hàm liên tục đoạn D , A B Câu 4: Cho hàm số A C C liên tục Biết B C D hãy tính D 64 download by : skknchat@gmail.com Câu 5: Cho hàm số liên tục Tích phân bằng: A B C Câu 6: Cho D Khi A B Câu 7: Cho hàm số A C liên tục hàm số chẵn, biết B Câu 8: Cho hàm số A Câu 9: Cho hàm số D C Tính D thỏa mãn Tính B C liên tục đoạn D , biết Tích phân A B Câu 10: Cho hàm số A 1C 2A 3B C D có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn Tích phân : B C Đáp án đề kiểm tra D 4D 5B 6B 7B 8D Những thông tin cần bảo mật (nếu có) Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 65 download by : skknchat@gmail.com 9A 10C - Đối với lãnh đạo cấp sở: Cần quan tâm, sát trước vấn đề đổi ngành giáo dục; trang bị đầy đủ phương tiện, thiết bị, đồ dùng dạy học…để giáo viên tích cực lĩnh hội áp dụng đổi hình thức nội dung dạy học - Đối với giáo viên: Trước hết giáo viên cần phải nắm vững nội dung chương trình; đơn vị kiến thức toán bản, nâng cao phần liên hệ thực tế, liên mơn Chủ động tìm hiểu lĩnh hội vấn đề nhằm đáp ứng yêu cầu giáo dục tình hình đất nước Đồng thời để dạy học theo phương pháp tích cực giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy theo phương pháp thụ động, giáo viên phải có trình độ tìm hiểu tài liệu định - Giáo viên cần có thời gian để xây dựng nội dung chuyên đề định hướng hoạt động - Đối với học sinh: Trong trình học tập, học sinh phải tham gia vào hoạt động mà giáo viên tổ chức, đồng thời tự lực thực nhiệm vụ mà giáo viên đưa thể tính sáng tạo lực tư thân Ngoài học sinh cần có kết hợp nắm vững kiến thức lí thuyết với việc thực hành, liên hệ thực tế để vận dụng kiến thức vào thực tiễn 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Sau học xong học, phát phiếu học tập cho học sinh trả lời nhanh vào phiếu, thu kết sau: BẢNG THỂ HIỆN LÀN ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA GV VỀ HỌC SINH Làn điểm ->7,75 ->8,75 Số lượng 39 33 % 48,75 41,3 9,95 Sau tiến hành dạy lớp 12A1, 12A3 với tổng số học sinh 80, tiến hành khảo sát theo mẫu phiếu sau để đánh giá khả hiệu đề tài Như vậy, sau thực dự án dạy học , qua q trình khảo sát, tơi thấy đa số học sinh hiểu phát triển kỹ tích cực phục vụ cho sống 66 download by : skknchat@gmail.com Đặc biệt mức độ hứng thú với mơn tốn tăng lên đáng kể Các em khơng cịn sợ học cịn em thấy “ chán” với môn học - Khi áp dụng sáng kiến q trình soạn, giảng mơn tốn học lớp 12; để tìm nội dung hay, gần gũi với học sinh Tôi thấy thân phải đầu tư cho chất lượng giảng mình, ln cập nhật vấn đề nóng mơi trường, để lồng ghép vào giảng - Khi áp dụng sáng kiến vào giảng mơn hóa học lớp 12A1; 12A3, trường THPT Đồng Đậu Tôi nhận thấy học sinh học tập hứng thú hơn, sôi bàn luận vấn đề môi trường có liên quan đến nội dung học, học sinh chịu khó đọc sách sưu tầm kiến thức - Mỗi giáo viên phải thường tự học, tự bồi dưỡng, tự rèn luyện để không ngừng trau dồi kiến thức, kỹ giải pháp làm giúp học sinh học tập  tốt 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân Hướng dẫn học sinh rèn luyện kĩ phân tích, tìm kiếm kiến thức mạng, quan sát thực tế hoạt động nhóm Qua lí luận kết kiểm chứng, dự kiến sáng kiến xác định tính khả thi việc dạy học mơn Tốn học trường THPT Đồng Đậu, góp phần quan trọng vào việc đổi nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Đồng Đậu 11 DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC, CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG THỬ NGHIỆM HOẶC ĐÃ ÁP DỤNG LẦN ĐẦU Số Tên tổ chức/cá nhân Địa TT Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 67 download by : skknchat@gmail.com Trần Thị Hương Toán học 12 Lớp 12A1 Giáo viên mơn Tốn trường THPT Đồng Đậu Giáo viên mơn Tốn trường THPT Đồng Đậu Trường THPT Đồng Đậu Nguyễn Thị Minh Chúc Lớp 12A3 Trường THPT Đồng Đậu Mơn Tốn học n Lạc, ngày tháng 02 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) , ngày tháng năm 2020 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Tốn học 12 Mơn Toán học Yên Lạc, ngày 10 thán năm 2020 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Trần Thị Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tập Đại số giải tích lớp 12 Giải tốn đại số giải tích 12(Lê Hồng Đức- Nhóm cự môn) Các đề thi cao đẳng, đại học hàng năm 68 download by : skknchat@gmail.com Mạng internet: Thư viện đề thi; mathtoan ` MỤC LỤC Lời giới thiệu 1.1 Lý chọn đề tài : 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu: .2 69 download by : skknchat@gmail.com Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Cơ sở lý luận 7.1.1 Bảng tóm tắc cơng thức ngun hàm: 7.1.2 Tích phân 7.1.3 Các công thức tính tích phân 7.2 Thực trạng 7.3 Các biện pháp tiến hành 7.3.1 Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa 7.3.2 Phương pháp đổi biến số 21 7.3.3 Phương pháp tính tích phân từng phần 32 Những thông tin cần bảo mật (nếu có) .61 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 61 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) .61 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả 61 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân .62 11 DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC, CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG THỬ NGHIỆM HOẶC ĐÃ ÁP DỤNG LẦN ĐẦU 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO .64 70 download by : skknchat@gmail.com ... phân Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Một số phương pháp tính tích phân dành cho Học sinh ôn thi THPT Quốc Gia Ngày sáng kiến áp dụng Chuyên đề : “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho. .. công tác ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia cá nhân thời gian từ tháng năm 2019 đến tháng năm 2020 Tên sáng kiến “ Mợt sớ phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc. .. khơng? học download by : skknchat@gmail.com Có thuộc loại tích phân hàm số Dùng phương pháp tích phân hàm lượng lượng giác khơng? giác học Có thuộc loại tích phân hàm vơ Dùng phương pháp tích phân