SKKN Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu 1.1 Lý chọn đề tài : Thống kê thi THPT Quốc gia năm gần Số câu hỏi có nội dung liên quan tới tích phân : Năm Mã đề Số câu hỏi 2017 101 102 103 2018 101 102 103 2019 101 102 103 Hệ thống câu hỏi đề xếp theo thứ tự độ khó tăng dần Các câu liên quan tới tích phân đề thường hỏi dạng hàm số dấu tích phân hàm số ẩn, tích phân có lien quan đến phương trình vi phân… Bài tốn tích phân hàm số phong phú đa dạng Các em học sinh thường lúng túng bế tắc gặp phải câu hỏi lạ Do đó, em phải biết chuyển toán lạ toán quen thuộc biết cách giải Việc làm đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết phương pháp giải dạng toán Với lí tơi chọn chun đề: “ Mợt sớ phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia” Tôi nghiên cứu, sưu tầm xây dựng phương pháp tính tích phân theo dạng tốn điển hình, từ dễ đến khó để học sinh bước tiếp cận,làm quen thành thạo dạng toán Hy vọng tài liệu giúp ích cho giáo viên em học sinh việc dạy - học, ôn tập để kiểm tra đánh giá thi THPT Quốc Gia đạt kết cao 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm Cập nhật kiến thức, dạng toán đề thi THPT Quốc gia năm gần Tìm hiểu phương pháp tính tích phân, xây dựng theo hệ thống kiến thức, tập có phân theo mức độ phù hợp đối tượng học sinh 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu *Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp tính tích phân: Phương pháp tính tích phân định nghĩa, đởi biến số, tích phân phần, phương pháp tính tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia *Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phở thơng, có mở rộng phù hợp với nội dung chương trình thi trung học phở thơng quốc gia năm 2020 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại tài liệu Phân tích, đề xuất phương án giải tốn Thực nghiệm sư phạm qua cơng tác ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia cá nhân thời gian từ tháng năm 2019 đến tháng năm 2020 Tên sáng kiến “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia” Tác giả sáng kiến Họ tên: Trần Thị Hương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu- xã Trung Nguyên- huyện Yên Lạctỉnh Vĩnh Phúc Số điện thoại: 0974 361 811 Emai: tranthihuong.c3dongdau@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến Họ tên: Trần Thị Hương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu- xã Trung Nguyên- huyện Yên Lạctỉnh Vĩnh Phúc Số điện thoại: 0974 361 811 Emai: tranthihuong.c3dongdau@vinhphuc.edu.vn Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lĩnh vực: Phương pháp tính tích phân Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Một số phương pháp tính tích phân dành cho Học sinh ơn thi THPT Quốc Gia Ngày sáng kiến áp dụng Chuyên đề : “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia” dạy thực nghiệm tháng /2017 trường THPT Đồng Đậu Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Cơ sở lý luận 7.1.1 Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm: (Ta tạm hiểu hàm số sơ cấp( HSSC) mở rộng từ HSSC ta thay biến x ax + b) Nguyên hàm HSSC Nguyên hàm HSSC mở rộng Nguyên hàm hàm thường gặp số hợp (với u = u(x) ) thường gặp ∫ dx = x + C α ∫ x dx = x α +1 +C α +1 ∫ du = u + C α ∫ (ax + b) dx = 1 (ax + b) α +1 +C a α +1 ∫ x dx = ln x + C ∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C ∫e ∫x x dx = e x + C x ∫ a dx = ax +C ln a ax + b α ∫ u du = dx = ∫ u du = ln u + C ∫e ax+b e +C a a px+ q +C p ln a px+ q ∫ a dx = u α +1 +C α +1 u du = e u + C u ∫ a du = au +C ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C ∫ sin udu = − cos u + C dx = tan x + C 1 ∫ cos2 ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C ∫ cos x ∫ sin x ∫ cos udu = sin u + C 1 1 2 u ∫ sin u dx = tan u + C dx = − cot u + C 7.1.2 Tích phân f 7.1.2 Định nghĩa: Cho hàm số Nếu F liên tục f nguyên hàm K K a, b hai số thuộc K F (b) − F (a) hiệu số gọi tích phân b f từ a đến b ∫ f ( x)dx a kí hiệu f tích phân b đoạn Trong trường hợp [ a; b ] Người ta dùng kí hiệu nguyên hàm K a , ta gọi F (b) − F (a) để hiệu số Như Nếu b f ∫ f ( x)dx b F ( x) a ab a ò f ( x ) dx + Nếu - Tích phân không phụ thuộc vào biến số: b b b b ò f ( x) dx = ò f ( t ) dt = ò f ( u ) du = a a a 7.1.2.2 Tính chất: f,g a) Giả sử liên tục a 1) K ∫ b f ( x )dx = 2) a ∫ a a , b, c ba số thuộc a b ∫[ a 3) b ; 4) b f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx ∫ a b b c b a a a b b a a 5) ∫ kf ( x)dx =k ∫ f ( x )dx Chú ý: với c f ( x) dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x) dx ; - Nếu Khi ta có ; f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx F ′( x) = f ( x) K x∈K F ( x) = ∫ f ( x) dx với k∈R b ∫ ( f ( x) ) ′ dx = f ( x) b a a - Ta có: f b) Với hàm số liên tục số thực dương a , ta có hai tính chất sau đây: a f - Nếu hàm số lẻ đoạn [ −a ; a ] ∫ f ( x)dx = −a a f - Nếu hàm số chẵn đoạn [ −a ; a ] ∫ −a a f ( x) dx = ∫ f ( x) dx 7.1.3 Các công thức tính tích phân f 7.1.3.1 Định nghĩa: Cho hàm số Nếu F liên tục f nguyên hàm K a, b K hai số thuộc từ a đến b hiệu số gọi tích phân a f tích phân b ∫ f ( x)dx kí hiệu đoạn Trong trường hợp [ a; b ] Người ta dùng kí hiệu nguyên hàm K ∫ f ( x)dx a , ta gọi F (b) − F (a) để hiệu số b f a