Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán – Chủ đề Tỉ số thể tích

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH Giáo viên THTP Đầm Dơi Chuyên đề TỈ SỐ THỂ TÍCH ƠN THI THPT QUỐC GIA CHINH PHỤC ĐIỂM – – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG TỈ SỐ THỂ TÍCH VA ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VABC SA SB SC NGUYỄN CƠNG ĐỊNH GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI Bài tốn 1: Tỉ số thể tích hình chóp tam giác Bài tốn 2: Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác có đáy hình bình hành N.C.Đ SA SB SC SD  a;  b;  c;  d SA ' SB ' SC ' SD ' Khi : a  c  b  d V abcd A ' B 'C ' D '  VABCD 4abcd Đặt Bài toán 3: Tỉ số thể tích hình chóp lăng trụ tam giác Giả sử A'M B'N C 'P  x;  y; z A' A B'B C 'C Khi : VA ' B 'C '.MNP x  y  z  VA ' B 'C ' ABC TỈ SỐ THỂ TÍCH CHINH PHỤC ĐIỂM – – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Bài tốn 4: Tỉ số thể tích hình hộp Giả sử AM C P DN BQ x, y, z, t AA CC  DD BB Khi x  y  z  t VA ' B 'C ' D '.MNPQ VA ' B 'C ' D ' ABCD  x y  z t Hai hình chóp có chung đáy V1 h1  V2 h2 Hai hình chóp có chung đỉnh hai đáy nằm mặt phẳng NGUYỄN CƠNG ĐỊNH GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI Kiến thức khác: Tỉ số thể tích hình chóp chung đỉnh chung đáy V1 S1  V2 S N.C.Đ TỈ SỐ THỂ TÍCH CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG TỈ SỐ THỂ TÍCH Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi M trung điểm SB P điểm thuộc cạnh SD cho SP  DP Mặt phẳng  AMP  cắt cạnh SC N Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP theo V A VABCDMNP  Câu 23 V 30 B VABCDMNP  19 V 30 C VABCDMNP  V D VABCDMNP  V 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD  60o SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  45o Gọi M điểm đối xứng C qua B N trung điểm SC Mặt phẳng  MND  chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh S có V thể tích V1 , khối cịn lại tích V2 (tham khảo hình vẽ bên) Tính tỉ số V2 A Câu V1  V2 B V1  V2 V1 12  V2 D V1  V2 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi V1 , V2 thể tích khối tứ diện ACBD khối hộp ABCD ABC D Tỉ số A Câu C B V1 bằng: V2 C D Cho hình chóp S ABC có M , N , P xác định SM  MA , SN  SB , SP   SC Tính thể tích khối chóp S MNP biết SA  , SA   ABC  , tam giác ABC có cạnh A Câu B C D Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng  MNI  chia khối chọp S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích Tính tỉ số k  lần phần lại 13 IA ? IS B C D 3 Cho lập phương có cạnh a hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai A Câu mặt đối diện hình lập phương Gọi S1 tổng diện tích mặt hình lập phương, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số A Câu S2   S1 B S2   S1 C S2  S1 S2 S1 D S2  S1 Cho lăng trụ ABC ABC  Trên cạnh AA, BB lấy điểm E , F cho AA  kAE , BB  kBF Mặt phẳng (C EF ) chia khối trụ cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp (C  ABFE ) tích V1 khối đa diện (ABCEFC) tích V2 Biết V1  , tìm k V2 A k  Câu B k  C k  D k  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm AD Gọi S giao SC với mặt phẳng chứa BM song song với SA Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S BCDM S ABCD A Câu B C D Cho khối chóp S A1 A2 An ( với n  số nguyên dương) Gọi B j trung điểm   đoạn thẳng SAj j  1, n Kí hiệu V1 ,V2 thể tích hai khối chóp S A1 A2 An S B1B2 Bn Tính tỉ số A V1 V2 B C D 2n Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi V thể tích khối chóp S ABCD M , N , P trung điểm cạnh SB, SD, AD Thể tích khối tứ diện AMNP 1 1 A B V C V D V V 32 16 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Hình chiếu vng góc điểm S mặt phẳng  ABCD  trung điểm H đoạn thẳng AO Biết mặt phẳng S ABCD  SCD  tạo với mặt đáy  ABCD  góc 60 Thể tích khối chóp A 3 a B 3 a C 3 a D 3 a Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD  60 SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  45 Gọi M điểm đối xứng C qua B N trung điểm SC Mặt phẳng  MND  chia khối chóp thành hai khối đa diện, khối đa diện có đỉnh S tích V1 , khối đa diện cịn lại tích V2 Tính tỉ số A V1 12  V2 B V1  V2 V1 V2 C V1  V2 D V1  V2 Câu 13 Cho hình lăng trụ ABC.ABC  tích 48cm3 Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm cạnh CC , BC BC  Tính thể tích khối chóp A.MNP 16 A 8cm3 B 12cm3 C 24cm3 D cm Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vu ng c n B, AC  a 2, SA   ABC  , SA  a Gọi G trọng t m SBC , mp   qua AG song song với BC chia khối chóp thành hai phần Gọi V thể tích khối đa diện khơng chứa đỉnh S Tính V A 5a 54 B 2a C 4a 27 D 4a Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vu ng cạnh a , SA vng góc với đáy, SA  a B ', D ' hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng  AB ' D ' cắt SC C ' Thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' 2a 3 2a 2a 3 a3 A V B V C V D V 3 Câu 16 Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  Gọi M , N thuộc cạnh bên AA, CC  cho MA  MA; NC  NC  Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hỏi bốn khối tứ diện GABC , BBMN , ABBC ABCN , khối tứ diện tích nhỏ nhất? A Khối ABB C  B Khối ABCN C Khối BBMN D Khối GABC  Câu 17 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng  P  qua A vng góc SC cắt SB , SC , SD B , C  , D Biết C  trung điểm SC Gọi V1 , V2 thể tích hai khối chóp S ABC D S ABCD Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 C V1 V2 V1  V2 D V1  V2 Câu 18 Cho hình chóp S ABC , có đáy tam giác cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh SB, SC Biết mặt phẳng  SBC  Tính thể tích V  AMN  vng góc với mặt phẳng khối chóp A.BCNM 5a 2a 2a 5a B V  C V  D V  16 48 32 96 Câu 19 Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi E , F , G trung điểm A V  BC , BD, CD ,và M , N , P, Q trọng tâm tam giác ABC , ABD, ACD, BCD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo V A V B V C 2V D V 27 Câu 20 Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi M trung điểm SA , lấy điểm N cạnh SN SB cho  Mặt phẳng   qua MN song song với SC chia khối chóp SB thành hai phần Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh A , V2 thể tích khối đa diện cịn lại TÍnh tỉ số A V1  V2 16 B V1 V2 V1  V2 18 C V1  V2 11 D V1  V2 Câu 21 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích Gọi M , N điểm cạnh SB , SD cho MS  MB , ND  NS Mặt phẳng CMN  A 25 chia khối chóp cho thành hai phần, thể tích phần tích nhỏ B 12 C 25 D 48 Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh SA, SD Mặt phẳng   chứa MN cắt tia SB, SC P Q Đặt SP  x , V1 thể tích khối chóp S MNQP V thể tích khối chóp SB S ABCD Tìm x để V  2V1 1  41 D x  Câu 23 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi M , N , P, Q điểm thuộc A x  B x  1  33 C x  AM BN CP C ' Q  ,  ,  ,  Gọi V1,V2 lần AA ' BB ' CC ' B ' C ' V lượt thể tích khối tứ diện MNPQ khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỷ số V2 cạnh AA ', BB ', CC ', B ' C ' thỏa mãn A V1 11  V2 30 B V1 11  V2 45 C V1 19  V2 45 D V1 22  V2 45 Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Điểm K thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng  MNK  chia khối chóp S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích Tính tỉ số t  lần phần cịn lại 13 KA KS B t  C t  D t  3 Câu 25 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành, thể tích Gọi M trung điểm cạnh SA ; điểm E , F điểm đối xứng A qua B D Mặt phẳng (MEF) cắt cạnh SB, SD điểm N , P Thể tích khối đa diện ABCDMNP A B C D 3 4 Câu 26 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M , N nằm cạnh A t  A ' B ' BC cho MA '  MB ' NB  NC Mặt phẳng  DMN  chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi V H  thể tích khối đa diện chứa đỉnh A, V H ' thể tích khối đa diện cịn lại Tỉ số A 151 209 B 151 360 V H  V H ' C 2348 3277 D 209 360 Câu 27 Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABCD tích 2110 Biết AM  MA , DN  ND , CP  2C P hình vẽ Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ A 5275 B 5275 12 C 7385 18 D 8440 Câu 28 Cho khối chóp S.ABCD tích 1, đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD AD  3BC Gọi M trung điểm cạnh SA, N điểm thuộc CD cho ND = 3NC Mặt phẳng (BMN) cắt SD P Thể tích khối chóp AMBNP bằng: 5 C D 32 12 16 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình thang với hai đáy AB CD , AB  2CD A Câu 29 B Gọi E điểm cạnh SC Mặt phẳng  ABE  chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện tích Tính tỉ số 26  Câu 30 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , SA vng góc với A 10  SE SC B 2 C 1 D mặt đáy  ABC  , BC  a , góc hợp  SBC   ABC  60 Mặt phẳng  P  qua A vng góc với SC cắt SB, SC D, E Thể tích khối đa diện ABCED A 3a 40 B 3a C 11 3a 120 D 3a 60 Câu 31 Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABCD tích 2019 Thể tích phần chung hai khối ABCD ABC D 673 A B 673 C 673 D 673 Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông SA   ABCD  Trên đường thẳng vng góc với  ABCD  D lấy điểm S  thỏa mãn S D  SA S  , S phía mặt phẳng  ABCD  Gọi V1 phần thể tích chung hai khối chóp V S ABCD S  ABCD Gọi V2 thể tích khối chóp S ABCD Tỉ số V2 7 C D 18 Câu 33 Cho khối hộp ABCD ABC D , điểm M nằm cạnh CC  thỏa mãn CC   3CM Mặt A B phẳng  ABM  chia khối hộp thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh A , V2 thể tích khối đa diện chứa đỉnh B Tính tỉ số thể tích V1 V2 A 41 13 B 27 C 20 D Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên đường thẳng qua D song song với SA lấy điểm S  thỏa mãn S D  k SA với k  Gọi V1 phần thể tích chung hai khối chóp S ABCD S  ABCD Gọi V2 thể tích khối chóp S ABCD Tỉ V số V2 A 2k  k  k  1 B 3k  2  k  1 C 3k  2k  k  1 D k k 1 Câu 35 Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC , biết góc tạo SG  SBC  30 Mặt phẳng chứa BC vng góc với SA chia khối chóp cho thành hai phần tích V1 , V2 V1 phần thể tích chứa điểm S Tỉ số V1 V2 A B C D Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trong không gian lấy điểm S  thỏa mãn SS '  2BC Gọi V1 phần thể tích chung hai khối chóp S ABCD V S  ABCD Gọi V2 thể tích khối chóp S ABCD Tỉ số V2 A B C D Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trong khơng gian lấy điểm S  thỏa mãn SS   k BC với k  Gọi V1 phần thể tích chung hai khối chóp V S ABCD S  ABCD Gọi V2 thể tích khối chóp S ABCD Tỉ số V2 A 2k  k  k  1 B 3k  2  k  1 C 3k  2k  k  1 D k k 1 Câu 38 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên tạo với đường cao góc 30 , O trọng tâm tam giác ABC Một hình chóp tam giác thứ hai O ABC  có S tâm tam giác ABC  cạnh bên hình chóp O ABC  tạo với đường cao góc 60 Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có : VS BMPN 2VS BMP SM SP 1       VS ABCD 2VS BAD SA SD Câu 45 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích V Gọi M, N trung điểm A ' B ', AC P điểm thuộc cạnh CC ' cho CP  2C ' P Tính thể tích khối tứ diện BMNP theo V 2V A B V C 5V 24 D 4V Lời giải Chọn A Gọi B diện tích tam giác ABC , h độ dại đường cao hình lăng trụ, suy V  B.h Gọi Q trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ABC Gọi V1 thể tích khối chóp BMNP , V2 thể tích khối chóp MBNE với E  QC  MP Ta có PE CE PC PC PC    PC // MQ PC  PC  nên   ME QF MQ MQ CC  Ta có V1 MP 1    V1  V2 V2 ME 3 Do GC  QC , CE  2QC  GE  GC  CE  QC 3 Ta lại có V2  S BNE h Ta tính diện tích tam giác BNE theo diện tích tam giác ABC ta 8 có S BNE  S BGE  S NGE   S NQC  S BQC   SQBNC 3 S AQ AN Mà AQN    SQBCN  S ABC S BNE  SQBNC  B S ABC AB AC 4 1 2V 2V Nên V2  S BNE h  B.h   V1  V2  3 3 Câu 46 Cho tứ diện SABC có G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh V SB, SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số S AMN là? VS ABC A B Lời giải C D Chọn A Gọi E, F , G trung điểm BC , SA, EF suy G trọng tâm tứ diện SABC Điểm I giao điểm AG SE Qua I dựng đường thẳng cắt cạnh SB, SC M , N Suy  AMN  mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu toán Kẻ GK // SE,  K  SA suy K trung điểm FS  KG AK KG SI   Mà    SI AS SE SE Cách 1: Kẻ BP // MN , CQ // MN ;  P, Q  SE  Ta có: SM SI SN SI  ;  SB SP SC SQ  BEP  CEQ  E trung điểm PQ  SP  SQ  2SE (đúng trường hợp P  Q  E ) V SA SM SN SI SI AM GM SI SI  SI      Ta có: S AMN    2 VS ABC SA SB SC SP SQ  SP  SQ  SE  SE  Dấu "  " xảy SP  SQ  SE Hay P  Q  E  MN // BC Vậy tỉ số nhỏ Chọn A Cách 2: Ta chứng minh SB SC   SM SN Thật vậy, qua I kẻ đường thẳng song song SB, SC cắt SC , SB tương ứng D, L SB DB    3 NI SB 3NI IQ DI  SB IQ    Ta có: , 1  NM SM NM IQ NI  IQ SM  SM NM  SC LC    3 SC IP MI SC 3MI  Lại có: IP LI ,  2     IP MI IP SN MN SN MN   SN MN   Từ 1   ta có: SB SC MI   NI   3    SM SN  NM MN  SB SC ;y Suy x  y  SM SN V SA SM SN AM GM    Ta có: S AMN  VS ABC SA SB SC xy  x  y Đặt x  Dấu "  " xảy x  y   MN // BC Chọn A Câu 47 Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AC BC  Gọi (P) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng Vậy tỉ số nhỏ ( ANC ) Mặt phẳng (P) chia khối lăng trụ ABC ABC  thành hai khối đa diện, gọi (H) khối đa diện chứa đỉnh A Thể tích khối đa diện (H) A B C 5 Lời giải Chọn D D K G A' B' F N C' I A B M C E J Gọi khối lăng trụ ABC ABC  tích V - Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng ( ANC ) nên mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng ( ABC ),( A ' B ' C ') theo giao tuyến ME , GF ( ( E  BC , G  A ' B ', F  B ' C ') song song AN - Mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng ( AA ' C ' C ),( BB ' C ' C ) theo giao tuyến MI ( I  AA ') song song A ' C , EF song song CN Ba đường thẳng MI , FG, A ' C ' đồng quy K , ba đường thẳng MI , EF , CC ' đồng quy J - Mặt phẳng (P) chia khối lăng trụ ABC ABC  thành hai khối đa diện, gọi (T) khối đa diện khơng chứa đỉnh A Thể tích khối đa diện (T) V1  VJ C ' FK  VJ CEM  VI A'GK 1 1  SC ' FK JC ' SCEM JC  SA 'GK IA '  V  V  V  V 3 16 48 24 Câu 48 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh 2a Gọi M trung điểm BB P thuộc cạnh DD cho DP  DD Biết mặt phẳng  AMP  cắt CC  N , thể tích khối đa diện AMNPBCD A 2a B 3a 11a C Lời giải Chọn B D 9a A D O P C B K M D' A' O' B' N C' Gọi O , O t m hai hình vu ng ABCD ABC D Trong mặt phẳng  BDDB  : gọi K  OO  MP Trong mặt phẳng  ACCA : gọi N  AK  CC  Khi N  CC   AMP  Ta có OK  3a a 3a  DP  BM    a    Do CN  2OK  2 2 2 Diện tích hình thang $BMNC$ là: S BMNC  1 3a 5a  BM  CN  BC   a   2a  2  1 5a 5a Thể tích khối chóp A.BMNC là: VA.BMNC  S BMNC AB  2a  3 1  a 3a  Diện tích hình thang DPNC là: S DPNC   DP  CN  CD     2a  2a 2 2  1 4a Thể tích khối chóp A.DPNC là: VA.DPNC  S DPNC AD  2a 2a  3 Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng: V  VA.BMNC  VA.DPNC  C ú ý: Cơ g t ứ tí 5a3 4a3   3a3 3 a Cho mặt phẳng   cắt cạnh AA, BB, CC  , DD M , N , P,Q Khi đó, ta  AM BN CP DQ   AM CP           VABCD ABCD  AA BB CC  DD   AA CC   AM CP BN DQ    AA CC  BB DD có VABCD.MNPQ Áp dụ g A D P B M C A' D' N B' Áp dụng, ta có C' VABCDMNP  BM DP   1          VABCD ABC D  BB DD    AA CN BM DP    AA CC  BB DD Thể tích khối lập phương ABCD ABC D V   2a   8a Suy VABCDMNP  3a3 Câu 49 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Gọi M , N , P, Q, E, F tâm hình bình hành ABCD, A ' B ' C ' D ', ABB ' A ', BCC ' B ', CDD ' C ', DAA ' D ' Thể tích khối đa diện có đỉnh M , P, Q, E, F , N A V B V V Lời giải C D V Chọn C Gọi h chiều cao hình hộp ABCD A ' B ' C ' D '  V  h.S ABCD Thấy hình đa diện MPQEFN bát diện nên 1 VMPQEFN  2.VN PQEF  .h.S PQEF  h.S PQEF 3 1 AC ; QE  PF  BD nên 2 1 V  h .S ABCD  h.S ABCD  6 Lại có: PQEF hình bình hành có PQ  EF  S PQEF  1 S ABCD Do đó: VMPQEFN  h.S PQEF Câu 50 Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  , AD  , AC  mặt phẳng  AABB   AACC  vng góc với đáy Biết mặt phẳng tạo với góc  , thỏa mãn tan    AACC  Thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D A V  10 B V  C V  12 D V  Lời giải Chọn B B' C' D' A' M F G C B E A D Gọi M trung điểm AA Ta có AC  AB2  BC     AC Do tam giác AAC cân C Dựng AE  AC ,  AAC C  vng góc với đáy nên AE   ABCD  Lấy F  AB cho FE  AC , mà FE  AE nên FE   ACC A  , suy FE  AA Dựng EG  AA mà FE  AA nên FG  AA Do góc mặt phẳng  AAC ' C   AABB  góc EGF EF BC EF   EG  EF , mà tan EAF     EA  EF EG EA AB EF GE 2 MC     MC  2 Từ suy sin GAE  AE AC EF Ta có tan EGF  AM  AC  MC     AA  Ta có sin GAE  2 AE AE    AE  AA  Câu 51 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D V  AE AB.BC  phẳng qua AK cắt cạnh SB , SD M N Gọi V1 , V theo thứ tự thể tích khối chóp S AMKN khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ tỉ số A B Lời giải C D V1 V Chọn C S N K A D M C B SA SB SC SD  1, b  2, d  , c , có a  c  SA SM SK SN V V abcd Áp dụng cơng thức tính nhanh tỉ lệ thể tích:  S AMKN  , với a  c  b  d V VS ABCD 4abcd Đặt a  V1 3     , dấu xảy b  d  V 8bd 4bd bd  4    V SB SD   Vậy giá trị nhỏ tỉ số V SM SN Chứng minh tốn: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Các điểm A , B , C  , D  SA SB SC SD nằm cạnh SA , SB , SC , SD Đặt a  , b , c ,d SA SB SC  SD V abcd Chứng minh rằng: : S ABC D  a  c  b  d VS ABCD 4abcd Suy ra: b  d  Khi Lời giải S A' D' B' A B C' D C Ta có: ABCD hình bình hành nên: S ABCD  2SABD  VS ABCD  2VS ABD Khi đó: VS ABD SA SB SD 1    VS ABD  VS ABD  VS ABCD VS ABD SA SB SD abd abd 2abd VS BC D SB SC  SD 1    VS BC D  VS BCD  VS ABCD VS BCD SB SC SD bcd bcd 2bcd  a  c VS ABCD 1 VS ABCD  VS ABCD  2abd 2bcd 2abcd  b  d VS ABCD Chứng minh tương tự ta có: VS ABC D    2abcd Suy ra: VS ABC D  VS ABD  VS BC D  Từ 1   suy ra: a  c  b  d 1 VS ABC D   b  d VS ABCD VS ABC D VS ABCD Vậy:  b  d VS ABCD  a  b  c  d VS ABCD  2abcd 4abcd 4abcd abcd  4abcd  Câu 52 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N trọng tâm tam giác ABD, ABC E điểm đối xứng với B qua D Mặt  MNE  chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V  2a 320 B V  2a 320 C V  2a 96 D V  2a 80 Lời giải Chọn A Gọi H , K trung điểm BD, BC I  EM  AB Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AHB ta AM HE BI BI BI   1    AI  AB MH EB IA IA IA AI AN     Hai đường thẳng IN BC cắt nhau, gọi giao điểm F AB AK Gọi P  EM  AD Vì MN //CD nên áp dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Ta có PQ //EF //CD Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ADB ta AP DE BI AP AP 1 1  PD EB IA PD PD Có ABCD tứ diện cạnh a  VABCD  VAPQI VABCD  a3 12 AP AQ AI 3 27 27 27 a    VAPQI  VABCD  AD AC AB 4 80 80 80 12 2a Vậy VAPQI  320 Câu 53 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi P điểm cạnh SC cho SC  5SP Một mặt phẳng ( ) qua AP cắt hai cạnh SB SD M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị lớn V1 V A 15 B 25 25 Lời giải C D 15 Chọn C V1 VS AMPN V  VS APM V V  SP SN SP SM    S APN  S APN  S APM     V VS ABCD VS ABCD 2VS ACD 2VS ABC  SC SD SC SB  SM SN  SN SM      Đặt a  SB , b  SD ,  a, b  10  SD SB  Ta có Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng  SAC  , AP  SO  I PS AC IO IO SI 1  2  PC AO IS IS SO S SM SN  a.b Xét tam giác SBD có SMN  S SBD SB SD Xét tam giác SOC có Mặt khác, S SMN S SMI  S SNI S S  SM SI SN SI    SMI  SNI      a  b S SBD SSBD 2S SBO 2S SDO  SB SO SD SO  1 a ,  b  nên  a  b   ab , a  không thoả mãn hệ thức nên b  6 6a  V a 1 1 a  0   a  Từ đó,   a  b    a  với  a   6a  V 10 10  6a   Vậy, Xét hàm số y  f  x   x  x 1  với x   ;1 y   , y    x  1  6x 1 5   x  1  x  l 6 1 1  Ta có f    , f    , f 1  Vậy max f  x   f 1  x  1  5 5 3 x ;1 5   V Từ đó, giá trị lớn M trùng B N trùng D V 25 Cách 2: SA SB SC SD  1; b   5; d  * Đặt a  ; c SA SM SP SN * Ta có a  c  b  d    b  d  d   b V a  b  c  d 1 b    b   * S AMPN  VS ABCD 4abcd 4.1.b.5   b  b  6b ; b  1;5 (do b , d  ) * Xét f  b   b  6b 2b  f  b   ; f  b   b  b  6b   Bảng biến thiên: b f  b   25 f b 25 15 V1  V 25 Câu 54 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành, M điểm đối xứng với C qua B Kết luận: Giá trị lớn N trung điểm SC Mặt phẳng  MND  chia hình chóp thành hai khối đa diện (tham khảo hình vẻ bên) Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S V2 thẻ tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V1 ? V2 S N P A D Q A V1  V2 C B M B V1 12  V2 C V1  V2 D V1  V2 Lời giải Chọn D Ta có V1  VS ADQ  VS PQD  VS DNP Mà Và VS ADQ VS ABCD VS PQD VS BQD  d  S ,  ABCD   SAQD 3  d  S ,  ABCD   S ABCD SP.SQ.SD SP  SB.SQ.SD SB Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC với cát tuyến MPN ta có: MB.PS NC PS SP 1  suy  MC.PB NS PB SB V VS B DQ d  S ,  ABCD   SBQD VS PQD   nên S PQD  Suy  mà VS ABCD d S , ABCD S VS ABCD VS BQD    ABCD  d  S ,  ABCD   SBCD VS BCD VS PND SP.SN SD   Ta lại có:   mà VS ABCD VS BCD SB.SC.SD d  S ,  ABCD   S ABCD V Suy S PND  VS ABCD Vậy V1  V VS ABCD suy  12 V2 Câu 55 Cho lăng trụ ABC ABC  tích Gọi M , N hai điểm nằm hai BB Đường thẳng CM cắt đường thẳng AC  P đướng thẳng CN cắt đường thẳng BC  Q Thể tích cạnh AA BB cho M trung điểm AA BN  khối đa diện lồi AMPB NQ A 13 18 B 18 Lời giải 23 D C Chọn D C' A' P B' M N Q A C B Ta có: PAM  CAM  g.c.g   PA  AC  CP  2CA QB BN 2    QB  QC   QC   3BC  QC  C C 3 1 Ta có: SC PQ  C P.C Q.sin C   2C A.3BC .sin C   3SC AB 2 VC C PQ SC PQ    VC CPQ  3.VC C AB  VABC ABC   Suy ra: VC C AB SC AB Mặt khác: VABC .MNC VABC .ABC AM BN C C    1 13 13    A A B B C C     VABC .MNC  3 18 Ta có: VAMPBNQ  VC C PQ  VABC .MNC   13  Chọn D 9 Câu 56 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  cạnh đáy a , chiều cao 2a Mặt phẳng  P  qua B vng góc với AC chia lăng trụ thành hai khối Biết thể tích hai khối V1 V2 với V1  V2 Tỉ số V1 V2 23 Lời giải 11 A B C 47 D Chọn C Gọi E , I , K trung điểm AC  , AC AB Ta có: BE   ACCA   BE  AC 1 Trong  ABC  : từ B kẻ BH  AC H Trong  AAC C  : gọi F  HE  AA  BH  AC   BHF   AC  AC  BF Ta lại có   BE  AC  2 Từ 1   suy tam giác BEF thiết diện lăng trụ ABC ABC  cắt mặt phẳng  P  CK  AB  Tam giác CAB cân C , ta có CK  AB  BH  AC  BH  AC a 19 a a 19  a 5 Tam giác B ' HC vng H , ta có 9a CH  BC  BH   CH  CA  AH  HI 10 AF AH AF HAF HIE      IE IH AA V AB AE AF 1 1   VA.BEF  VA.BCA  VABC ABC  VABC ABC Khi A.BEF  VA.BCA AB AC  AA 16 16 16 48 Nên V1 VABC ABC   V 1   48 V2 47 Câu 57 Cho hình lăng trụ ABC ABC  M , N hai điểm cạnh CA, CB cho CM  k Mặt phẳng ( MNBA) chia khối lăng trụ ABC ABC  MN song song với AB CA V thành hai phần tích V1 (phần chứa điểm C ) V2 cho  Khi giá trị V2 k A k  1  B k  C k  1 D k  Lời giải Chọn A + Vì ba mặt phẳng ( MNBA),( ACC A),( BCC B) đ i cắt theo ba giao tuyến phân biệt AM , BN , CC  AM , CC  không song song nên AM , BN , CC  đồng qui S Ta có k  CM MN MN SM SN SC      CA AB AB SA SB SC  + Từ VS MNC  k 3VS ABC   V1  VMNC ABC   1  k VS ABC  + Mặt khác V VABC ABC  3CC   SC   SC     1  k   VS ABC   ABC ABC 1  k  VS A' B 'C ' SC  SC  VABC ABC   k  k  1 VABC ABC   Suy V1  1  k  1  k  3 + Vì V1 k  k 1 1    k  k 1   k  (k  0)  nên V1  VABC ABC   3 V2 Vậy k  1  ... TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI Kiến thức khác: Tỉ số thể tích hình chóp chung đỉnh chung đáy V1 S1  V2 S N.C.Đ TỈ SỐ THỂ TÍCH CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG TỈ SỐ THỂ TÍCH Câu... ĐIỂM – – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG TỈ SỐ THỂ TÍCH VA ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VABC SA SB SC NGUYỄN CÔNG ĐỊNH GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM... toán 3: Tỉ số thể tích hình chóp lăng trụ tam giác Giả sử A'M B'N C 'P  x;  y; z A' A B'B C 'C Khi : VA ' B 'C '.MNP x  y  z  VA ' B 'C ' ABC TỈ SỐ THỂ TÍCH CHINH PHỤC ĐIỂM – – 10 KÌ THI