MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DÀNH CHO HS ÔN THI THPT QUỐC GIA

Để kích thích được khả năng tư duy của học sinh, tạo được hứng thú học tập của học sinh khi học các bài toán về tích phân, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Với các lí do trên tôi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho HS ôn thi THPT Quốc gia”. Tôi đã nghiên cứu, sưu tầm và xây dựng các phương pháp tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận,làm quen và thành thạo các dạng toán. Do còn nhiều hạn chế về thời gian nghiên cứu chuyên đề cũng như năng lực chuyên môn nên bài báo cáo không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức trình bày

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DÀNH CHO HS ÔN THI THPT QUỐC GIA MỞ ĐẦU Nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh nhằm bồi dưỡng, phát triển trí tuệ, lực học sinh nhiệm vụ trọng tâm trình dạy học Bài tốn tích phân hàm số phong phú đa dạng Các em học sinh thường lúng túng bế tắc gặp phải câu hỏi lạ Do đó, em phải biết chuyển toán lạ toán quen thuộc biết cách giải Việc làm đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết phương pháp giải dạng tốn Ngồi ra, em học sinh phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải cách khoa học Với hình thức thi trắc nghiệm có xuất nhiều dạng tích phân tích phân hàm ẩn, tích phân có liên quan đến phương trình vi phân, Đòi hỏi học sinh phải trang bị biết vận dụng kiến thức dạng để giải hết câu tích phân đề thi THPT Quốc Gia Để kích thích khả tư học sinh, tạo hứng thú học tập học sinh học tốn tích phân, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Với lí tơi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho HS ôn thi THPT Quốc gia” Tôi nghiên cứu, sưu tầm xây dựng phương pháp tính tích phân theo dạng tốn điển hình, từ dễ đến khó để học sinh bước tiếp cận,làm quen thành thạo dạng tốn Do nhiều hạn chế thời gian nghiên cứu chuyên đề lực chuyên môn nên báo cáo không tránh khỏi thiếu sót nội dung hình thức trình bày Kính mong Thầy- Cơ đọc góp ý kiến để báo cáo hồn chỉnh I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ: Bảng tóm tắc cơng thức ngun hàm: (Ta tạm hiểu hàm số sơ cấp( HSSC) mở rộng từ HSSC ta thay biến x ax + b) Nguyên hàm HSSC Nguyên hàm HSSC mở rộng Nguyên hàm hàm thường gặp số hợp (với u = u(x) ) thường gặp ∫ dx = x + C α ∫ x dx = ∫ du = u + C x α +1 +C α +1 ( ax + b) α +1 +C a α +1 1 ∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C ax +b ax + b ∫ x dx = a e + C a px + q px + q a dx = +C ∫ p ln a α ∫ (ax + b) dx = ∫ x dx = ln x + C ∫e x dx = e x + C x ∫ a dx = ax +C ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C ∫ cos 2 x ∫e du = e u + C au +C ln a ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C dx = − cot x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C u u ∫ a du = 1 u α +1 +C α +1 ∫ u du = ln u + C dx = tan x + C x ∫ sin α ∫ u du = u ∫ sin 2 u dx = tan u + C dx = − cot u + C Tích phân Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân f từ a b đến b kí hiệu ∫ b f ( x)dx Trong trường hợp a < b , ta gọi a ∫ f ( x)dx tích phân f a đoạn [ a; b ] b Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để hiệu số F (b) − F (a) Như Nếu F nguyên b hàm f K ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a) a Lưu ý: Quy ước: + Nếu - a=b a ò f ( x ) dx = a b a + Nếu a > b ò f ( x) dx =a ò f ( x) dx b - Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số: b b b ò f ( x) dx = ò f ( t ) dt = ò f ( u ) du = a a a 2.2 Tính chất: a) Giả sử f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có a 1) ∫ f ( x)dx = ; a 4) 2) b a a b ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx =∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ; 3) b c c a b a ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx b b a a ; 5) ∫ kf ( x) dx =k ∫ f ( x) dx với k ∈ R Chú ý: - Nếu F ′( x ) = f ( x ) với x ∈ K F ( x) = ∫ f ( x)dx b - Ta có: ∫ ( f ( x) ) ′ dx = f ( x) b a a b) Với hàm số f liên tục số thực dương a , ta có hai tính chất sau đây: - Nếu f hàm số lẻ đoạn [ − a ; a ] a ∫ f ( x )dx = −a - Nếu f hàm số chẵn đoạn [ − a ; a ] a ∫ −a a f ( x )dx = ∫ f ( x )dx Các công thức tính tích phân 3.1 Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân f từ a b đến b kí hiệu ∫ b f ( x)dx Trong trường hợp a < b , ta gọi a ∫ f ( x)dx a đoạn [ a; b ] tích phân f b Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để hiệu số F (b) − F (a) Như vậy, Nếu F nguyên b hàm f K ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a) a b u( b) a u( a) ∫ f [ u ( x)] u '( x)dx = ∫ 3.2 Công thức đổi biến số: f (u )du Trong đó: u = u ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục K, hàm số y = f ( u ) liên tục cho hàm số hợp f u ( x )  xác định K a, b thuộc K 3.3 Cơng thức tích phân từng phần Nếu u ( x ) v ( x ) hàm số liên tục có đạo hàm [ a; b ] b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu a b a II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa 1.1 Dạng 1: Tính tích phân định nghĩa * Phương pháp: Biến đổi hàm số dấu tích phân dạng tởng, hiệu hàm số tìm ngun hàm định nghĩa để suy giá trị tích phân 1.2 Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối b *Phương pháp: Để tính ∫ f ( x ) dx thực hiện: a - Xét dấu f ( x ) [ a; b ] - Dùng tính chất phân đoạn tích phân tính tích phân đoạn 1.3 Dạng 3: Tích phân hàm ẩn *Phương pháp: Sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân - Nếu F ′( x) = f ( x ) với x ∈ K F ( x) = ∫ f ( x)dx - Các công thức đạo hàm: 1) u ′.v + u.v′ = ( uv ) ′ ; 3) u′ = u ( u )′ ; 2) u′v − uv′  u ′ = ÷; v2 v 4) nu n −1u ′ = ( u n ) ′ ; 5) − u ′  ′ = ÷ u2  u  - Giải công thức giải nhanh ( có) kx + f ′ ( x ) = kf ( x ) ( k ∈ ¡ ) ⇒ f ( x ) = Ce + f ′ ( x ) g ( f ( x ) ) = k ( x ) ⇒ ∫ f ′ ( x ) g ( f ( x ) ) dx = ∫ k ( x ) dx G( x ) G( x) G( x ) + f ′( x) + g ( x) f ( x) = k ( x) ⇔ e f ′( x) + g ( x) e f ( x ) = k ( x ) e ( ⇔ eG ( x ) f ( x ) ) ′ = k ( x ) e ( ) ⇒ e ( ) f ( x ) = ∫ k ( x ) e ( ) dx ⇔ f ( x ) = e ( ) ∫ k ( x ) e ( ) dx G x G x G x −G x G x (trong G ( x) nguyên hàm g ( x) ) Phương pháp đổi biến số 2.1 Dạng 1: Tính tích phân đởi biến x = ϕ ( t ) Phương pháp thường dùng cho tích phân chứa hàm số bậc bậc * Dấu hiệu Dấu hiệu Nếu hàm f ( x ) có chứa a − x Nếu hàm f ( x ) có chứa Nếu hàm f ( x ) có chứa a + x x − a Nếu hàm f ( x ) có chứa a+x a−x Đặt dx = d ( a sin t ) = a cos t dt x = a sin t → đặt  2 2  a − x = a − a sin t = a cos t adt  dx = d ( a tan t ) = cos t  đặt x = a tan t →   a + x = a + a tan t = a  cos t −a cos tdt  dx =  sin t a  → đặt x = sin t  x − a = a cos t  sin t dx = d ( a cos 2t ) = −2a sin 2tdt  đặt x = a cos 2t →  a + x + cos t cos t = =  − cos t sin t  a−x * Phương pháp: + Đặt x = u ( t ) cho u ( t ) hàm số có đạo hàm liên tục [ α , β ] , f u ( t )  xác định [ α , β ] với u ( α ) = a, u ( β ) = b + Biến đổi f ( x ) dx = f u ( t )  u ' ( t ) dt = g ( t ) + Tìm nguyên hàm G ( t ) suy b β ∫ f ( x ) dx = G ( t ) α a * Các dạng thường gặp: Hàm số có chứa a − x đặt x = a sin t acost Hàm số có chứa a + x đặt x = a tan t acott Hàm số có chứa x − a đặt x = Hàm số có chứa x ( k − x) a a x = cos t sin t ( k > ) đặt x = k sin t 2.2 Dạng 2: Tính tích phân đởi biến t = u ( x ) * Dấu hiệu chung: Nếu hàm số chứa ⇒ đặt t = Nếu hàm số chứa mẫu ⇒ đặt t = mẫu Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao ⇒ đặt t = biểu thức số lũy thừa bậc cao * Dấu hiệu cụ thể: Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ Có t= I =∫ Có (ax + b)n t = ax + b I = ∫ x ( x + 1) 2018 dx Đặt t = x + Có a f ( x ) t = f ( x) I =∫4 dx ln x Có x t = ln x f ( x) f ( x) x dx Đặt t = x + x +1 −1 π biểu thức chứa ln x t = e x biểu thức e I =∫ I =∫ e tan x +3 dx Đặt t = tan x + cos x + 3ln x ln x dx Đặt t = + 3ln x x ln x e 4e x − 3.dx Đặt t = 4e x − Có e dx Có sin xdx t = cos x I =∫3 Có cos xdx t = sin xdx I = ∫ sin x cos xdx Đặt t = sin x x Có dx cos x chứa e x π π sin x dx Đặt t = 2cos x + 2cos x + π I =∫ t = tan x Đặt t = tan x π 1 dx = ∫ (1 + tan x) dx cos x cos x π dx Có sin x I = ∫π4 t = cot x π ecot x ecot x dx = ∫π4 dx Đặt t = cot x − cos x 2sin x *Phương pháp: - Đặt t = u ( x ) , biểu thị f ( x ) dx theo u du hay f ( x ) dx = g ( u ) du - Tìm nguyên hàm G ( u ) g ( u ) : b u( b) a u( a ) ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( u ) dx = G ( u ) Phương pháp tính tích phân từng phần b k 3.1 Dạng 1: Tích phân dạng ∫ P ( x ) ln u ( x ) dx a u = ln k u ( x ) * Phương pháp: Đặt   dv = P ( x ) dx Tùy theo bậc ln ( u ( x ) ) thực nhiều lần b kx 3.2 Dạng 2: Tích phân dạng ∫ P ( x ) e dx a u = P ( x ) * Phương pháp: Đặt  kx  dv = e dx Tùy theo bậc P(x) thực nhiều lần β β α α 3.3 Dạng 3: Tích phân ∫ P ( x ) sin axdx ∫ P ( x ) cos axdx u = P ( x )  dv = sin axdx *Phương pháp: Đặt  hoăc dv = cos axdx Tùy theo bậc P(x) thực nhiều lần β β ax 3.4 Dạng 4: Tích phân dạng I = ∫ e cos bxdx J = ∫ e sin bxdx ax α α * Phương pháp: Đặt: u = e ax dv = cos bx dx dv = sin bx dx Tính lần, giải phương trình suy kết Một sớ dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân u( b) u( a ) 4.1 Dạng Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng : u ( x ) f ' ( x ) + u′ ( x ) f ( x ) = h ( x ) * Phương pháp: Từ phương trình vi phân u ( x ) f ' ( x ) + u ′ ( x ) f ( x ) = h ( x ) ⇔ u ( x ) f ( x ) ′ = h ( x ) ′ ⇒ ∫ u ( x ) f ( x )  dx = ∫ h ( x ) dx ⇔ u ( x ) f ( x ) = H ( x ) + C Trong đó: ∫ h ( x ) dx = H ( x ) + C 4.2 Dạng Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng : f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x ) , ∀x ∈ D * Phương pháp: Từ phương trình vi phân : f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x ) Do e x ≠ 0, ∀x ∈ D , nhân hai vé phương trình : f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x ) , ∀x ∈ D x x x cho e x ta : e f ' ( x ) + e f ( x ) = e g ( x ) , ∀x ∈ D ⇔ e x f ( x ) ′ = e x h ( x ) , ∀x ∈ D ′ ⇒ ∫ e x f ( x )  dx = ∫ e x h ( x ) dx ⇔ e x f ( x ) = H ( x ) + C Trong đó: ∫ e h ( x ) dx = H ( x ) + C x 4.3 Dạng Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′ ( x ) − f ( x ) = h ( x ) * Phương pháp: −x −x −x Nhân hai vế với e− x ta e f ′ ( x ) − e f ( x ) = e h ( x ) ⇔  e− x f ( x ) ′ = e− x h ( x ) −x −x Suy e f ( x ) = ∫ e h ( x ) dx Từ tính f ( x ) 4.4 Dạng Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′ ( x ) + p ( x ) f ( x ) = h ( x ) * Phương pháp: p x dx p x dx p x dx Nhân hai vế với e ∫ p( x ) dx ta f ′ ( x ) e ∫ ( ) + p ( x ) e ∫ ( ) f ( x ) = h ( x ) e ∫ ( ) ⇔  f ( x ) e ∫  Suy f ( x ) e ∫ p ( x ) dx p ( x ) dx ′ = h x e ∫ p( x ) dx ( )  = ∫ e∫ p ( x ) dx h ( x ) dx Một sớ toán ứng dụng tích phân vào thực tế Ứng dụng tích phân vào tốn chuyển động III CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa 1.1 Dạng 1: Tính tích phân định nghĩa Ví dụ 1: ( THPT QG 2019-MĐ 102 ) Biết 1 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −4 A −7 ∫  f ( x ) + g ( x )  dx C −1 B D Lời giải: Chọn đáp án C 1 0 Ta có ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = − = −1 Ví dụ 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần năm 2017-2018) π Tích phân tan xdx ∫ A I = − π B I = C I = ln Lời giải: Chọn đáp án A π π π π x   Ta có: I = tan xdx = sin x dx = − cos ∫0 ∫0 cos x ∫0 cos2 x dx = ∫0  cos2 x − 1÷ dx = ( tan x − x ) π = 1− π Ví dụ ( Đề thi minh họa THPT QG 2018-2019-BGD ) D I = π 12 xdx ∫ ( x + 2) Cho = a + b ln + c ln với a , b , c số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c A −2 B −1 C D Lời giải: Chọn đáp án B ∫ ( x + 2) ( x + ) − dx = dx − 2dx ∫0 x + ∫0 ( x + ) ( x + 2) xdx =∫ = ln ( x + ) ( x + 2) − −1 −1 = ln − ln + − = − − ln + ln 3 Vậy a = − ; b = −1; c = ⇒ 3a + b + c = −1 Ví dụ 4: ( THPT QG 2019- MĐ 101 ) Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f ′ ( x ) = cos x + , ∀x ∈ ¡ , π ∫ f ( x ) dx A π2 +4 16 B π + 14π 16 π + 16π + 16 C D π + 16π + 16 16 Lời giải Chọn đáp án C Ta có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 2cos x + 1) dx = ∫ ( + cos x ) dx = x + sin x + C 2 Theo f ( ) = ⇔ 2.0 + sin + C = ⇔ C = Suy f ( x ) = x + sin x + Vậy: π ∫ π π    π + 16π + cos x     π f ( x ) dx = ∫  x + sin x + ÷dx =  x − + 4x ÷ =  + π ÷−  − ÷ = 16     16   4 0 1.2 Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối 2 Ví dụ 1: Giá trị I = ∫ x − 3x + dx là: 10 Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Bài giải B Sai bước III C Sai từ bước II D Sai từ bước I dx Câu 55 Cho tích phân I = ò x + 2x + Đặt t = 2x + 3, ta ) ( I =ò m dt (vi m, n ẻ Â ) Tớnh T = 3m + n t +n A T = B T = C T = m Câu 56 Cho m số thực dương thỏa mãn ò x ( 1+ x ) dx = D T = 16 Mệnh đề sau đúng? ỉ 7ư ÷ ÷ ữ ữ ố 2ứ ỗ3; A m ẻ ỗ ỗ ổ3 ữ ;3ữ ỗ C m ẻ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ổ 3ữ ữ ữ ố 2ữ ứ ỗ0; B m ẻ ỗ ỗ ổ ữ ;5ữ ỗ D m ẻ ç ÷ ç è ÷ ø Câu 57 Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ Biết ò f ( x ) xdx = 1, tính I = ò f ( x) dx A I = 2 B I = C I = D I = C a = ln2 D a = ln3 a Câu 58 Tìm a để A a = ex ò ex + 1dx = ln B a = 53 a ex dx = ln Câu 59 Tìm a để ò x e +1 A a = B a = C a = ln2 Câu 60 Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ Biết D a = ln3 ò f ( x ) xdx = 1, tính I = ò f ( x) dx A I = 2 B I = C I = D I = b Câu 61 Biết ò dx = 2, a,b số dương Tính tích phân x a A I = ln2 B I = C I = ln2 eb ò x ln xdx ea D I = MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 62 Có số a Ỵ ( 0;20p) cho a ò sin A 20 B 19 x sin2xdx = C Câu 63 Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn D 10 e ò sau đúng? A ò f ( x) dx = 1 B 0 e C ò f ( x) dx = ò f ( x) dx = e e D ò f ( x) dx = e 54 f ( ln x) x dx = e Mệnh đề p 1- sin3 x dx ta kết a + b + c vi a,b,c ẻ Ô Cõu 64 Tính tích phân ò sin2 x p Khi tởng a + b + c bằng: A B - Câu 65 Cho tích phân I = ò D C 2 dx = a + bln với a , b số nguyên 3 + 2x + Mệnh đề đúng? A a + b = B a - b = D a + b = C a - b = x Câu 66 Cho hàm số f ( x) = ò( 4t - 8t) dt Gọi m , M giá trị nhỏ nhất, giá ù Tính M - m trị lớn hàm số f ( x) đoạn é ê ë0;6ú û A 18 B 12 C 16 Câu 67 Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục, nhận giá trị dương ( 0;+¥ D ) thỏa mãn f ( 1) = 1, f ( x) = f ¢( x) 3x + 1, với x > Mệnh đề sau đúng? A < f ( 5) < B < f ( 5) < C < f ( 5) < D < f ( 5) < Câu 68 Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục, nhận giá trị dương ( 0;+¥ ) thỏa mãn f ( 1) = 1, f ( x) = f ¢( x) 3x + 1, với x > Mệnh đề sau đúng? A < f ( 5) < B < f ( 5) < C < f ( 5) < D < f ( 5) < 55 3, TỪNG PHẦN MỨC ĐỘ THƠNG HIỂU p Câu 69 Tích phân I = x cosxdx bằng: ò A p - B p - C p - D p - C 2p2 - D 2p2 + p Câu 70 Tích phân I = ò x2 sin xdx bằng: A p2 - B p2 + Câu 71 Tích phân K = ò(2x - 1)ln xdx bằng: 1 2 A K = 3ln2 + B K = C K = 3ln2 D K = 2ln2 - ln2 - x Câu 72 Tích phân I = ò xe dx bằng: A ( 1- ln2) 2 Câu 73 Tích phân I = ò A ( 1+ ln2) B ( ln2 - 1) D ( 1+ ln2) lnx dx bằng: x2 ( 1+ ln2) B C ( 1- ln2) C ( ln2 - 1) D ( 1+ ln2) x +1dx có giá trị là: Câu 74 Tích phân I = ò xe A e2 + e B e2 + e C Câu 75 Tích phân I = ò( 1- x) exdx có giá trị là: 56 e2 - e D e2 - e A e + B - e C e- D e C 3ln3 - D - 3ln3 Câu 76 Tích Phân I = ò ln(x - x)dx : A 3ln3 B 2ln2 Câu 77 Giá trị tích phân I = ò x2e3xdx A 8e3 + 27 B 5e3 - 27 C 5e3 + 27 D 8e3 - 27 p Câu 78 Tích phân I = x.cosxdx : ò A p + B C p + + D p + - MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 79 Biết I = ò ln( 3x + 1) dx = a ln2 + b , (với a , b ẻ Ô ) Tớnh S = 3a - b A S = B S = 11 C S = D S = e Câu 80 Tích phân I = ò x ln xdx bằng: 1 A I = B I = e2 - C e2 + D e2 - e- Câu 81 Tính K = ò ( x + 4) ln( x + 4) dx - e2 - A K = Câu 82 Biết p x e2 - B K = p 1 C K = ò cos x dx = a + b ln4 Tính P = a + b 57 e2 + D K = A P = Câu 83 Biết B P = C P = D P = p ò x cos2xdx = a + bp , với a,b số hữu tỉ Tính S = a + 2b A S = B S = C S = D S = 2xdx Câu 84 Tính tích phân I = ò 3xe A 3e2 + 16 B 2e2 + ( C 3e2 + D e2 + ) Câu 85 Tính giá trị K = ò x ln + x dx C K = ln2 + A K = ln2 - B K = ln2 - 2 D K = - ln2 + Câu 86 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ò( x + 1) f ¢( x) dx = 10 2f( 1) - ( 0) = Tính ò f ( x) dx A I = - 12 B I = Câu 87 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn C m = D I = - ò( x + 1) f ¢( x) dx = 10 2f( 1) - ( 0) = Tính ò f ( x) dx A I = - 12 B I = C m = e- Câu 88 Tính K = ò ( x + 4) ln( x + 4) dx - 58 D I = - A K = e2 - B K = e2 - 2 C K = D K = e2 + MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 89 Biết ò ln( x + 1) dx = a ln3 + bln2 + c với a , b , c số nguyên Tính S = a +b +c A S = B S = C S = ò ln( x + 1) dx = a + lnb , ( a,b ẻ Â) Tớnh ( a + 3) Câu 90 Cho b D S = - A 25 B Câu 91 Cho hàm số f ( x) liên tục C 16 é- 1; + ¥ ê ë ) D òf ( ) x + dx = Tính I = ò x.f ( x) dx A I = B I = f ( x) ò 1+ Câu 92 Cho x C I = 16 dx = hàm số y = f ( x) hàm số chẵn D I = é- 1;1ù, lúc ê ú ë û - 1 ò f ( x) dx -1 A B 16 C D 22017 C 2017 22018 D 2018 x2016 dx có giá trị là: x e + - Câu 93 Tích phân I = ò A 22018 B 2017 59 Câu 94 Biết ln x òx dx = b b + a ln2 (với a số thực, b,c số nguyên dương c c phân số tối giản) Tính giá trị 2a + 3b + c A B - D C p xf x d x = ( ) Câu 95 Cho biết ò Tính tích phân I = ò sin2xf ( sin x) dx p p A I = 2 B I = C I = D I = MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO e + b ; với a , b số ngun Câu 96 Ta có tích phân I = 4ò x ( 1+ ln x) dx = ae Tính M = ab + 4(a + b) A M = - B M = - C M = D M = - 2017 2016 x Câu 97 Tính giá trị K = ò( x + 2017x ) e dx A K = e2017 C K = e - D K = e + B K = e p Câu 98 Tính giá trị K = ( + tan x + tan2 x) exdx ò A K = p B K = C K = e4 D K = e ỉ 2x + 1ư ÷ ÷ exdx = ae + be , với a , b l cỏc s nguyờn Tớnh ữ ữ ỗ2 x ứ ố ỗ Cõu 99 Bit K = ũỗ ỗ S = a3 + b3 A S = B S = C S = 60 D S = ỉ 2x + 1ư ÷ ÷ exdx = ae + be , với a , b số ngun Tính ÷ ữ ỗ2 x ứ ố ỗ Cõu 100 Bit K = ũỗ ỗ S = a3 + b3 B S = A S = C S = D S = TÍCH PHÂN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 101 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + xf ′ ( x ) ≥ 673 x 2017 với x ∈ [ 0;1] Giá trị nhỏ tích phân ∫ f ( x ) dx A B 3.2017 C 3.2018 D 3.2019 Câu 102 Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục nửa khoảng [ 0; +∞ ) thỏa mãn x f ′( x) = với ( x + 1) f ( x ) x≥0 f ( ) = 1, f ( 1) = a + b với a, b số nguyên Tính P = a.b A P = −3 B P = −66 C P = D P = −36 Câu 103 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ f ( ) = Tích phân ∫ f ( x ) dx A ( e − 1) B ( 2e − 1) C ( e − 1) D ( 2e − 1) Câu 104 Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị khơng âm có đạo hàm liên tục ¡ thỏa f ′ ( x ) = ( x + 1)  f ( x )  , ∀x ∈ ¡ mãn ∫ f ( x ) dx A − f ( ) = −1 Giá trị tích phân B − ln C − 61 2π D − π Câu 105 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  f ′ ( x )  + f ( x ) f ′′ ( x ) = 15 x + 12 x, ∀x ∈ ¡ f ( ) = f ′ ( ) = Giá trị f ( 1) A B C 10 D Câu 106 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ′ ( ) = −1 f ′′ ( x ) =  f ′ ( x )  Giá trị biểu thức f ( 1) − f ( ) B − ln A ln C ln 2 D − ln Câu 107 Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ′ ( x ) = −e x f ( x ) với x ∈ ¡ f ( ) = A ln + B Tính f ( ln ) C 2 D ln + Câu 108 Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục nhận giá trị dương khoảng ( 0; + ∞ ) thỏa mãn f ( 1) = , f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + , với x > Mệnh đề sau ? A < f ( ) < B < f ( ) < C < f ( ) < D < f ( ) < Câu 109 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương khoảng ( 0; + ∞ ) thỏa mãn f ( 3) = f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) Mệnh đề ? A 2613 < f ( ) < 2614 B 2614 < f ( ) < 2615 C 2618 < f ( ) < 2619 D 2616 < f ( ) < 2617 Câu 110 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′( x) liên tục ¡ f ( x ) f ′ ( x ) = 3x + x Biết f ( ) = , tính f ( ) 2 2 A f ( ) = 144 B f ( ) = 100 C f ( ) = 64 D f ( ) = 81 62 thỏa mãn Câu 111 Cho hàm số f ( x ) < 0, ∀x > có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục khoảng ( 0; +∞ ) 2 thỏa mãn f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) , ∀x > f ( 1) = − Giá trị biểu thức f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2018 ) A = − 2010 2019 2017 2018 B − C − 2016 2017 D − 2018 2019 Câu 112 Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 4] thỏa mãn f ( 1) + g ( 1) = 9e f ( x ) = − x g ′ ( x ) ; g ( x ) = − x f ′ ( x ) , ∀x ∈ [ 1; 4] Tích phân ∫ f ( x) + g ( x) dx x2 A ( ( ) e− e e ) B e − e C ( ) e e− e D e− e Câu 113 Cho hai hàm số y = f ( x ) ; y = g ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 4] thỏa mãn f ( 1) + g ( 1) = f ( x ) = − xg ′ ( x ) ; g ( x ) = − xf ′ ( x ) Tích phân ∫  f ( x ) + g ( x ) dx A 8ln B 3ln C 6ln D ln Câu 114.Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục nửa khoảng [ 0; +∞ ) thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = e − x x + 1, ∀ x ≥ Mệnh đề sau đúng? A e f ( ) − f ( ) = 26 26 B e f ( ) − f ( ) = − 3 C e f ( ) − f ( ) = 4 D e f ( ) − f ( ) = − Câu 115 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = xf ( x ) + f ′ ( x ) = x ( x − 1) với x ∈ [ 0;1] Tích phân 63 ∫ xf ( x ) dx e−4 8e A B C D e−4 4e Câu 116 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0; π ] thỏa mãn f ( ) = f ( x ) f ′ ( x ) = cos x + f A + 11π π ( x ) , ∀x ∈ [ 0; π ] Tích phân ∫ f ( x ) dx B + 7π C 7π − D 11π − Câu 117 Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn x g ( x ) = + 2018∫ f ( t ) dt , ∀x ∈ [ 0;1] g ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ 0;1] Tính tích phân g ( x ) dx ∫ A 1011 B 1009 C 2019 D 505 Câu 118 Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn x g ( x ) = + 2018∫ f ( t ) dt , ∀x ∈ [ 0;1] g ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ 0;1] Tính tích phân ∫ g ( x ) dx A 2021 B 2021 C 2019 D 2019 Câu 119 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn 2018 f ( x ) + xf ′ ( x ) ≥ x 2019 , ∀x ∈ [ 0;1] Giá trị nhỏ tích phân A 1 B C 4037 2018 × 4037 2019 × 4037 64 D 2020 × 4037 ∫ f ( x ) dx Câu 220.Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0;1] liên tục [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = f ( x ) = ( f ′ ( x ) ) , ∀x ∈ [ 0;1] Tính A B 19 12 C ∫ f ( x ) dx D Câu 221.Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn cos x f ( x ) + sin x f ′ ( x ) = π  f  ÷ = 2 Tích phân 4  A ln 1 +  19 π π  , ∀ x ∈  ;  cos x 6 3 π ∫ f ( x ) dx bằng: π 3 ÷ ÷   B ln 1 +  2  − 1÷ ÷   3 ÷ ÷  2  − 1÷ ÷   C ln  D ln  Câu 222 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ( ) = , f ′ ( x ) x + = x f ( x ) + , ∀ x ∈¡ f ( x ) > −1 , ∀ x ∈¡ Tính f B A 12 ( 3) C D Câu 223 Cho hàm số f ( x ) liên tục đồng biến đoạn [ 1;4] , f ( 1) = x + xf ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀ x ∈ [ 1;3] Đặt I = ∫ f ( x ) dx Mệnh đề đúng? A < I < B < I < C < I < 12 D 12 < I < 16 Câu 224.Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm [ 1; 4] thỏa mãn f ( 1) = x + 2xf ( x ) =  f ' ( x )  A I = , ∀x ∈ [ 1; 4] Tính tích phân I = ∫ ( f ( x ) + 1) dx B I = 1023 C I = D I = Câu 225 Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm [ 1; 2] thỏa mãn f ( 1) = 65 ' f ( x ) = xf ( x ) − 2x − 3x , ∀x ∈ [ 1; ] Tính giá trị f ( ) A f ( ) = B f ( ) = 20 C f ( ) = 15 D f ( ) = 10 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỰC TẾ Câu 226 Cho chuyển động xác định phương trình S = t − 3t − 9t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc thời điểm gia tốc triệt tiêu B −12 m/s A 12 m/s C −21 m/s D −12 m/ s Câu 227: Một xe mơ tơ chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật nên đạp phanh Từ thời điểm đó, mơ tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 20 − 5t , t thời gian (được tính giây ) kể từ lúc đạp phanh Quãng đường mà mô tô từ người lái xe đạp phanh lúc mô tô dừng lại A 40 m B 80 m C 60 m D 20 m Câu 228 Một ôtô chạy người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −12t + 24 ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ơtơ di chuyển mét? A 24 m B 15 m C 20 m D 18 m Câu 229 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) Tính quãng đường S mà vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm vật dừng lại A S = 1840m B S = 2560m C S = 2180m D S = 1280m Câu 230 Một vật chuyển động với vận tốc 5m/s tăng tốc với gia tốc a (t ) = 2t + t (m/s ) Tính quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 210 m B 48 m C 30 m 66 D 35 m V- KẾT QUẢ THỰC HIỆN: Áp dụng đề tài: Đã thực lớp 12A1,12A5 trường THPT ……… kết cho thấy em học sinh có nhiều tiến việc tính tích phân, giải tích phân đề thi minh học THPT Quốc gia, đề thi THPT Quốc gia năm gần 67 ... dụng tích phân vào thực tế Ứng dụng tích phân vào tốn chuyển động III CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa 1.1 Dạng 1: Tính tích phân định nghĩa Ví dụ 1: ( THPT. .. Một số dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân 4.1 Dạng Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng : u ( x ) f ' ( x ) + u′ ( x ) f ( x ) = h ( x ) * Phương pháp: ... II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa 1.1 Dạng 1: Tính tích phân định nghĩa * Phương pháp: Biến đổi hàm số dấu tích phân dạng tởng, hiệu hàm số tìm