MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DÀNH CHO HS ÔN THI THPT QUỐC GIA

Để kích thích được khả năng tư duy của học sinh, tạo được hứng thú học tập của học sinh khi học các bài toán về tích phân, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Với các lí do trên tôi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho HS ôn thi THPT Quốc gia”. Tôi đã nghiên cứu, sưu tầm và xây dựng các phương pháp tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận,làm quen và thành thạo các dạng toán. Do còn nhiều hạn chế về thời gian nghiên cứu chuyên đề cũng như năng lực chuyên môn nên bài báo cáo không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức trình bày

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DÀNH CHO HS ÔN THI THPT

QUỐC GIA

MỞ ĐẦU Nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng, phát

triển trí tuệ, năng lực của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học

Bài toán tích phân của hàm số khá phong phú và đa dạng Các em học sinh thườnglúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ Do đó, các em phải biết chuyển một bàitoán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải Việc làm này đòi hỏi học sinh phảinắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán Ngoài ra, các em học sinh cònphải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học Với hình thứcthi trắc nghiệm như hiện nay có xuất hiện nhiều dạng tích phân mới như tích phân hàm

ẩn, tích phân có liên quan đến phương trình vi phân, Đòi hỏi học sinh phải được trang bị

và biết vận dụng các kiến thức từng dạng để giải được hết các câu tích phân trong đề thiTHPT Quốc Gia

Để kích thích được khả năng tư duy của học sinh, tạo được hứng thú học tập của họcsinh khi học các bài toán về tích phân, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tậpcủa học sinh ngày được nâng lên

Với các lí do trên tôi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho

HS ôn thi THPT Quốc gia” Tôi đã nghiên cứu, sưu tầm và xây dựng các phương pháp

tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếpcận,làm quen và thành thạo các dạng toán

Do còn nhiều hạn chế về thời gian nghiên cứu chuyên đề cũng như năng lực chuyên mônnên bài báo cáo không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức trình bày.Kính mong các Thầy- Cô đọc và góp ý kiến để báo cáo được hoàn chỉnh hơn

I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:

dx

e x  x 

a dx

C x

a dx b

cos( ) 1sin( ) cosudusinuC

C x

a dx b

1

tancos u dx u C



2

1

cotsin x dx x C

cotsin ax b dx a ax b C

1

cotsin u dx u C

f x dxf x



b) Với hàm số f liên tục và số thực dương a, ta có hai tính chất sau đây:

- Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn a a;  thì ( ) 0

3 Các công thức tính tích phân.

3.1 Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a b, là hai số bất kỳ thuộc K Nếu Flà một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b( )  F a( ) được gọi là tích phân của f từ a

3.3 Công thức tích phân từng phần

Nếu u x  và v x  là các hàm số liên tục có đạo hàm trên a b;  thì

b a

udv uv  vdu

II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG

1 Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa

1.1 Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa.

* Phương pháp: Biến đổi hàm số trong dấu tích phân về dạng tổng, hiệu các hàm số

có thể tìm được nguyên hàm và định nghĩa để suy ra giá trị của tích phân

1.2 Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.

*Phương pháp: Để tính  

b a

f x dx

 thì thực hiện:

- Xét dấu f x  trên a b; 

- Dùng tính chất phân đoạn của tích phân rồi tính tích phân trên đoạn

1.3 Dạng 3: Tích phân của hàm ẩn

*Phương pháp: Sử dụng định nghĩa, các tính chất tích phân

- Nếu F x ( ) f x( ) với mọi x K thì F x( )f x dx( )

- Các công thức về đạo hàm:

(trong đó G x( ) là một nguyên hàm của g x( ))

2 Phương pháp đổi biến số.

2.1 Dạng 1: Tính tích phân bằng đổi biến x t

Phương pháp này thường dùng cho tích phân chứa hàm số bậc 2 trong căn bậc 2

cossin

a tdt dx

+ Đặt x u t  sao cho u t là hàm số có đạo hàm liên tục trên  , , f u t   được xác định trên  ,  với u  a u,   b

+ Biến đổi f x dx  f u t u t dt   '  g t 

+ Tìm nguyên hàm G t suy ra    

b a

f x dx G t 







* Các dạng thường gặp:

Hàm số có chứa a2 x2 thì đặt x a sint hoặc acost

Hàm số có chứa a2x2 thì đặt x a tant hoặc acott

Hàm số có chứa x2 a2 thì đặt

cos

a x

t

 hoặc

sin

a x

t

Hàm số có chứa x k x   k0 thì đặt x k sin 2t

2.2 Dạng 2: Tính tích phân bằng đổi biến t u x  

* Dấu hiệu chung:

Nếu hàm số chứa căn  đặt t  căn

Nếu hàm số chứa mẫu  đặt t  mẫu

Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao  đặt t  biểu thức dưới số lũy thừa bậc cao

d 1

x x I

sin

d 2cos 1

3.2 Dạng 2: Tích phân dạng  

b

kx a

3.3 Dạng 3: Tích phân P x sinaxdx

3.4 Dạng 4: Tích phân dạng I e axcosbxdx

* Phương pháp: Đặt: u e ax

dvcosbx dx hoặc dvsinbx dx

Tính 2 lần, giải phương trình suy ra kết quả

4 Một số dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân

4.1 Dạng 1 Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :



Từ đó tính được f x 

4.4 Dạng 4 Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f x p x f x    h x 

5 Một số bài toán ứng dụng tích phân vào thực tế

Ứng dụng tích phân vào bài toán chuyển động

III CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

1 Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa

1.1 Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa.

Chọn đáp án A

sincos xdx x



2 2 4

0

1 coscos xdx x





4 2 0

11

4

2 0 2

1.3 Dạng 3: Tích phân của hàm ẩn

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x( ) lẻ và liên tục trên đoạn [ 2; 2]  Tích phân

2 0 0

2

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 0 2 ( ) 1 2

( )( )

Nhận xét: Từ giả thiết thay x bằng 1 x xác định biểu thức quan hệ của f 1 x; f x 

rồi kết hợp với giả thiết xác định hàm số f x 

Lời giải

Chọn đáp án A

Từ giả thiết, thay x bằng 1 x ta được 1  x2 f 1  xf x  2 1  x  1  x4

2 Phương pháp đổi biến số.

2.1 Dạng 1: Tính tích phân bằng đổi biến x t

Ví dụ 1 : Khi đổi biến x 3 tant, tích phân

1 2 0

d3

x I

d3

x I

2 0

3 1 tan

d

3 1 tan

t t t

2

0 1

dx I

2 1

2

1

x dx K

4 2

2.2 Dạng 2: Tính tích phân bằng đổi biến t u x  

Ví dụ 1: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018)

Đặt t x1  t2  x 1  x t 2 1  dx 2 dt t.

Đổi cận: x  0 t 2; x  3 t 4

Khi đó:

 (với a là số thực, b, c là các số nguyên dương và b c là phân số

tối giản) Tính giá trị của 2a 3b c

ln 1 x

dx x

 

2

2 2

12

Ví dụ 5: ( THPT QG 2019- MĐ 104) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  Biết f  3 1 và  

x f x xf x x

3 3 2 0 0

x f x xf x x

3 2 f  3  0 2 f  0  2.99

4 Một số dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân

4.1 Dạng 1 Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :

  '       

u x f x u x f x h x

* Phương pháp:

Từ phương trình vi phân u x f x  ' u x f x    h x  u x f x    h x 

h x u x f x  Khi đó ta có bài toán tổng quát cho như sau:

Bài toán: Cho A x B x( ); ( ); g x( )là các biểu thức đã biết Tìm hàm số f x thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) 

 

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x

1 ( ) ( ) ( )

1 1

d3

4.2 Dạng 2 Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :

 x x 

Ví dụ 3: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 0;1, f  0 1 và

4.4 Dạng 4 Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f x p x f x    h x 

Nhận xét: Từ giả thiêt có e f x x   3x 2e f x x    15x4 12x, biểu thức vế trái có dạng

 

u v uv   uv 

Lời giảiChọn đáp án A

5 Ứng dụng tích phân vào thực tế

Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn: tính diện tích, thể tích các hình – khối; tính lượng bê tông xây cầu, tính vận tốc, gia tốc của xe…Trong đó các em đã được học bài toán chuyển động trong vật lý chính là ứng dụng của tích phân.

Ví dụ 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Một ô tô đang chạy với

tốc độ 10 m s  thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với v t  5 10t m s, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét

A 8m B 10 m C 5m D 20 m

Nhận xét: Quãng đường S t v t dt 

Lời giảiChọn đáp án B

Khi ô tô có vận tốc 10 m/s  tương ứng với t 0 s 

Ví dụ 3: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là

“thắng” Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc là

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0)

Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0

Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là ( ) 0 40 20 0 1

2

v T    T   T Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T

Ta có v t( )s t'( ) suy ra s(t) là nguyên hàm của v(t)

Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường là :

1/2 1

Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s)  v(0) 2  C 2

Vậy vận tốc của vật sau 2s là: 3 22

2

V     (m/s)

IV CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI

Câu 6. Kết quả của

1

1

dx x

d

x I

Câu 18 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên é ùê úa b; và 2F a( )- 1 2 = F b( )

d ln 2 1

a x

b

ò với a b, là các số nguyên dương và a

b là phân sốtối giản Tínha b+

Câu 27 Biết rằng

3 2 2

1 d 1 ln

2 1

a x

b

ò với a b, là các số nguyên dương và a

b là phân sốtối giản Tínha b+

81

I =ò x x - x bằng cách đặt u=x2 - 1, mệnh đề nào dướiđây đúng?

d16

x I

d( 1)

x x J

d1

I =òx - x x và t = 4- x2 Khẳng định nào sau đây sai?

A I = 3 B

3 2

d

I =òt t D

3 3

f x =ò t - t t Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá

trị lớn nhất của hàm số f x( ) trên đoạn é ùê ú0;6 Tính M - m.

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Bài giải đúng B Sai ở bước III

C Sai từ bước II D Sai từ bước I

Câu 55 Cho tích phân ( )

3

1 2

x I

3d161

m

x

x x

=+

Câu 62 Có bao nhiêu số aÎ (0;20p)sao cho 5

Câu 64 Tính tích phân

2 6

1 sin dsin

x x x

f x =ò t - t t Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá

trị lớn nhất của hàm số f x( ) trên đoạn é ùê ú0;6 Tính M - m.

A e +2 B 2 e- C e- 2 D e.

Câu 76 Tích Phân

3 2 2

e

3

5 2 27

e +

3

8 5 27

1

d ln4 cos

Câu 94 Biết d

2 2 1

1d2

Câu 100 Biết

4

4 1

4 TÍCH PHÂN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Câu 101 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

Câu 104 Cho hàm số f x  nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên  thỏa

mãn f x   2x1 f x 2, x  và f  0  1 Giá trị của tích phân

Câu 105 Cho hàm số f x  thỏa mãn  f x 2 f x f   x 15x412 ,x x  và

Câu 108 Giả sử hàm số yf x  liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng 0;   và

thỏa mãn f  1  1, f x f x  3x1, với mọi x  Mệnh đề nào sau đây0đúng ?

f x g x

dx x

Câu 115.Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 0 và



Câu 116.Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; thỏa mãn f  0  3 và

Câu 119.Cho hàm số f x  có đạo hàm f x  liên tục trên 0;1 thỏa mãn

Câu 224.Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 1;4 thỏa mãn f 1  0 và

5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỰC TẾ

Câu 226 Cho chuyển động xác định bởi phương trình S t  3 3t2  9 ,t trong đó t đượctính bằng giây và S được tính bằng mét Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu

A 12m/s B  12m/s C  21m/s D  12m/s2

Câu 227: Một xe mô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe nhìn thấy mộtchướng ngại vật nên đạp phanh Từ thời điểm đó, mô tô chuyển động chậm dần với vậntốc v t  20 5 t , trong đó t là thời gian (được tính bằng giây ) kể từ lúc đạp phanh.Quãng đường mà mô tô đi được từ khi người lái xe đạp phanh cho đến lúc mô tô dừng lạilà

Câu 228 Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ôtô chuyển

động chậm dần đều với vận tốc v t  12t24 m/ s , trong đó t là khoảng thời giantính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng

hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A 24 m B 15 m C 20 m D 18 m

Câu 229 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t  160 10 t m s /  Tính

quãng đường S mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t0 s đến

thời điểm vật dừng lại

A S1840m B S 2560m C S2180m D S1280m

Câu 230 Một vật đang chuyển động với vận tốc 5m/s thì tăng tốc với gia tốc

Áp dụng đề tài: Đã được thực hiện tại các lớp 12A1,12A5 của trường THPT ……… kết

quả cho thấy các em học sinh đã có nhiều tiến bộ trong việc tính tích phân, đã giải được các bài tích phân trong đề thi minh học THPT Quốc gia, đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây