Một vài áp dụng của phép biến đổi laplace trong phương trình vi tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− TRƯƠNG THỊ BÍCH VÂN MỘT VÀI ÁP DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN Chun ngành: Cử Nhân Tốn - Tin KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH Đà Nẵng, 5/2013 Mục lục Lời nói đầu Cơ sở lý thuyết 1.1 Phép biến đổi Laplace 7 1.2 1.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 1.2.1 1.2.2 Tính chất tuyến tính Tính chất vị tự 1.2.3 1.2.4 Tính chất trễ 10 Tính chất dịch chuyển ảnh 10 1.2.5 1.2.6 Ảnh đạo hàm 11 Ảnh tích phân 12 1.2.7 1.2.8 Đạo hàm tích phân 12 Tích chập 13 1.2.9 Công thức Duhamel 14 Phép biến đổi Laplace ngược 15 1.3.1 Tính chất tuyến tính phép biến đổi Laplace ngược 15 1.3.2 1.3.3 Định lí dịch chuyển thứ 16 Định lí dịch chuyển thứ hai 17 1.3.4 1.3.5 Đạo hàm ảnh 17 Tích phân ảnh 19 Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi tích phân 21 2.1 Phương trình vi phân 21 −2− 2.2 Phương trình tích phân 26 2.3 Phương trình vi tích phân 30 Áp dụng phép biến đổi Laplace phương trình vi phân có chậm 3.1 Phương trình dạng y (t) = αy(t − h) + f (t) 33 33 3.2 3.3 Phương trình dạng y (t) = α.y(t − h) + f (t) 36 Phương trình dạng y (t) = αy(t) + βy(t − h) + f (t) 39 3.4 Phương trình dạng t K(s)y(t − s)ds + f (t) y (t) = αy(t − h) + 41 3.5 Phương trình dạng y (t) = αy(t) + βy(t − h) + f (t) 44 3.6 Phương trình dạng t y (t) = αy(t) + βy(t − h) + K(s)y(t − s)ds + f (t) 46 Phụ lục 50 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 −3− Lời nói đầu Tốn học ngành khoa học khơng phục vụ cho nó, mà đặc biệt trở thành cơng cụ hữu ích cho việc phát triển ngành khoa học khác Phương trình vi phân, phương trình tích phân nội dung nghiên cứu mơn tốn giải tích, đặc biệt phương trình tốn - lý Mặc dù có lịch sử phát triển hàng trăm năm, cịn nhiều tốn cần giải quyết, việc giải phương trình vi phân thu hút quan tâm mạnh mẽ nhà toán học nhà nghiên cứu ứng dụng Biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân với biến đổi Fourier hai phép biến đổi hữu ích thường sử dụng giải toán vật lý Qua biến đổi Laplace, phép tốn giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành phép tính đại số Vì đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất tốn vật lý, phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hịa, hệ học Bởi qua biến đổi Laplace phương trình chuyển thành phương trình đại số đơn giản Giải nghiệm hàm ảnh, dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc Nhờ tính chất có lợi phép biến đổi Laplace, người ta áp dụng để giải phương trình hàm, phương trình vi phân thường, phương trình sai phân, đạo hàm riêng Cùng quan điểm vậy, khóa luận áp dụng phép biến đổi Laplace để tiếp cận đến cách giải phương trình vi phân có chậm (hay phương trình vi sai phân) Cho đến nay, −4− việc giải phương trình vi phân có chậm ln thơi thúc nhà tốn học nghiên cứu tìm cách giải Việc sử dụng phép biến đổi Laplace phương trình vi phân có chậm cách tiếp cận thú vị Ví dụ, giải phương trình đơn giản sau: y (t) = y(t − 1) + t Với tính chất trễ phép biến đổi Laplace, ta có: L(y(t − h), p) = e−ph L(y(t), p) Giá trị hàm thời gian trước đó, y(t − h), đưa giá trị hàm thời điểm t y(t) Khi đó, phương trình quy hàm cần tính y(t), khơng cịn phụ thuộc vào y(t − h) Và việc giải phương trình trở nên đơn giản Nói cách khác, với phép biến đổi Laplace, việc giải phương trình vi phân có chậm trở thành việc giải phương trình đại số tốn tử Laplace Sau đó, ta tìm nghiệm tốn phép biến đổi Laplace ngược Bố cục khóa luận bao gồm chương phụ lục • Chương Cơ sở lý thuyết định nghĩa, tính chất phép biến đổi Laplace phép biến đổi Laplace ngược • Chương Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân, phương trình tích phân • Chương Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân có chậm với dạng cụ thể • Phụ lục trình bày bảng biến đổi Laplace Sau cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Hồng Thành người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin tỏ lòng cám ơn đến ban chủ nhiệm, thầy cán khoa Tốn, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường −5− Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên thực khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận góp ý ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 27 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trương Thị Bích Vân −6− Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Phép biến đổi Laplace Định nghĩa 1.1 Ta gọi hàm phức tùy ý f (t) biến thực t hàm gốc thỏa mãn điều kiện sau: (i) f (t) = t < (ii) f (t) đạo hàm cấp cao liên tục toàn trục trừ điểm gián đoạn loại I số điểm hữu hạn [a, b] với a, b ∈ R (iii) Tăng không nhanh, ∃M > 0, s ≥ 0, ∀t, |f (t)| < M.es.t Định nghĩa 1.2 Hàm F (p) biến phức p = a + ib với Rep = a > 0, a > s xác định bởi: ∞ F (p) = e−pt f (t).dt gọi hàm ảnh f (t) ∞ Kí hiệu: L(f (t), p) := F (p) = e−pt f (t).dt Ánh xạ ứng với hàm thuộc lớp hàm nói với hàm phức biến p là: f −→ L(f, p) gọi phép biến đổi Laplace −7−  0 khit < Ví dụ 1.1 f (t) = 1 khit ≥ ∞ L(f, p) = −pt e ∞ a→∞ e −p a dt = lim a→∞ 0 −pa = lim e f (t).dt = −pt + e−pt dt 1 = p p Ví dụ 1.2 f (t) = eat ∞ L(f, p) = e−pt f (t).dt = b→∞ e a−p e−pt eat dt = lim − b b→∞ 0 (a−p)b = lim ∞ e(a−p)t dt a−p e(a−p)b Vì lim = nên L(f, p) = b→∞ a − p p−a 1.2 Các tính chất phép biến đổi Laplace 1.2.1 Tính chất tuyến tính ∀α, β ∈ R+ , ta có: L(α.f + β.g, p) = α.L(f, p) + β.L(g, p) Chứng minh ∞ e−pt (α.f (t) + β.g(t)).dt L(α.f (t) + β.g(t), p) = ∞ ∞ e−pt f (t).dt + β = α e−pt g(t).dt = α.L(f (t), p) + β.L(g(t), p) = α.L(f, p) + β.L(g, p) −8− Ví dụ 1.3 f (t) = eat + ∞ L(f, p) = ∞ = e−pt f (t).dt = e−pt eat dt + ∞ ∞ e−pt (eat + 1)dx e−pt dt = 0 1.2.2 Tính chất vị tự 1 + p−a p ∀α ∈ R+ , ta có: p L(f (α.t), p) = L(f (t), ) α α Chứng minh x Đặt x = α.t ⇒ t = ⇒ dt = dx α α ∞ e−pt f (α.t).dt L(f (α.t), p) = ∞ = α e ∞ = α −p x α f (x).dx p x e α f (x).dx − p L(f (x), ) α α p = L(f (t), ) α α = e− p Ví dụ 1.4 L(f (t), p) = p −3 e− p3 p 1e p = L(f (2t), p) = L(f (t), ) = 2 p p −9− 1.2.3 Tính chất trễ ∀β ∈ R, β > : L (f (x − β), p) = e−pβ L (f (x) , p) Chứng minh Đặt : t = x − β ⇒x=t+β ⇒ dx = dt ∞ e−px f (x − β) dx L (f (x − β), p) = ∞ e−p(t+β) f (t) dt = ∞ = e−pβ e−pt f (t) dt = e−pβ L (f (x) , p) Ví dụ 1.5 f (t) = sin(2t) = ⇒ L(f (t), p) = 2 p + 22 p2 + L(f (t − 1), p) = e−p L(f (t), p) = e−p 1.2.4 p2 + Tính chất dịch chuyển ảnh L (f (t) , p + q) = L e−qt f (t) , p Chứng minh ∞ L(f (t), p + q) = = L (e −qt −(p+q)t e ∞ f (t).dt = e−pt e−qt f (t).dt f (t) , p) − 10 − ⇒ L(y(t)) = p3 p − e−p − p2 e−p p 1− + p p ∞ n e−p + = p n=0 p p = = p ∞ n n=0 k=0 ∞ n −pk ke Cn k p Cnk e−pk =4 n=0 k=0 ∞ y(t) = L−1 n n=0 k=0 ∞ n =4 n=0 k=0 Cnk e−pk p3n−3k p3n+4−2k p3n+4−2k − k)3n+3−2k (3n + − 2k)! (t Cnk uk (t) Bài tập 3.12 Giải phương trình sau: t sy(t − s)ds + e2t , y(t) = 0, t ≤ y (t) = 2y(t − 1) + Giải: ⇒ L(y(t)) = (p − 2) p − 2e−p − p2 Mặt khác: L(e2t ) = ∞ p−2 n L n=0 k=0 − k)3n−2k (3n − 2k)! (t Cnk 2k uk (t) = p − 2e−p − Theo cơng thức tích chập, ta có: − 43 − p2 (p − 2)(p − 2e−p − ) p2 = L e2t ∗ ∞ n n=0 k=0 Cnk 2k (t − k)3n−2k (3n − 2k)! Suy ra: ∞ y(t) = n − k)3n−2k ∗ e2t (3n − 2k)! (t Cnk 2k uk (t) n=0 k=0 3n−2k n k k (s − k) Cn e2(t−s) ds (3n − 2k)! n=0 k=0 t ∞ = 3.5 Phương trình dạng y (t) = αy(t) + βy(t − h) + f (t) Cách giải: Lấy Laplace hai vế phương trình trên, ta được: L(y (t)) = αL(y(t)) + βL(y(t − h)) + L(f (t)) ⇔ p2 L(y(t)) − py(0) − y (0) = αL(y(t)) + βe−ph L(y(t)) + L(f (t)) ⇔ (p2 − α − βe−ph )L(y(t)) = L(f (t)) + py(0) + y (0) L(f (t)) + py(0) + y (0) ⇒ L(y(t)) = p2 − α − βe−ph Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm y(t) Bài tập 3.13 Giải phương trình sau: y (t) = y(t) + y(t − 1) + t, y(t) = y (t) = 0, t ≤ Giải: p2 (p2 − e−p − 1) = e−p p 1− − p p ⇒ L(y(t)) = − 44 − = p = p ∞ e−p + p2 p2 n=0 ∞ n −pk ke Cn 2k p n=0 k=0 n e−pk Cnk 2n+4 p n=0 k=0 n p2n−2k ∞ = ⇒ y(t) = L −1 ∞ n n=0 k=0 ∞ n = n=0 k=0 Cnk e−pk p2n+4 − k)2n+3 (2n + 3)! (t Cnk uk (t) Bài tập 3.14 Giải phương trình sau: y (t) = 2y(t) + y(t − 1) + cos(t), y(t) = y (t) = 0, t ≤ Giải: ⇒ L(y(t)) = Mặt khác: L(cos(t)) = p (p2 + 1) (p2 − − e−p ) p p2 + − n)2n+1 L = (2n + 1)! p − − e−p n=0 k=0 Theo công thức tích chập, ta có: ∞ n (t − n)2n+1 k (n−k) =L ∗ cos(t) Cn uk (t) (p2 + 1)(p − − e−p (2n + 1)! n=0 k=0 Suy ra: ∞ n (t − k)2n+1 y(t) = Cnk 2(n−k) uk (t) ∗ cos(t) (2n + 1)! n=0 k=0 t ∞ n (s − n)2n+1 k (n−k) Cn cos(t − s)ds = uk (t) (2n + 1)! n=0 k=0 ∞ n (t Cnk 2(n−k) uk (t) Bài tập 3.15 Giải phương trình sau: y (t) = y(t) + 2y(t − 1) + e2t , y(t) = y (t) = 0, t ≤ − 45 − Giải: ⇒ L(y(t)) = (p − 2) (p2 − − 2e−p ) Mặt khác: L(e2t ) = p−2 (t − k)2n+1−k = (2n + − k)! p − − 2e−p n=0 k=0 Theo cơng thức tích chập, ta có: ∞ n (t − k)2n+1−k k k )=L ∗ e2t Cn uk (t) 2 −p (p + 1)(p − − 2e (2n + − k)! n=0 k=0 Suy ra: ∞ n (t − k)2n+1−k k k y(t) = Cn uk (t) ∗ e2t (2n + − k)! n=0 k=0 t ∞ n (s − n)2n+1−k 2(t−s) = Cnk 2k uk (t) e ds (2n + − k)! n=0 k=0 ∞ L 3.6 n Cnk 2k uk (t) Phương trình dạng t y (t) = αy(t) + βy(t − h) + K(s)y(t − s)ds + f (t) Cách giải: Lấy Laplace hai vế phương trình cho, ta được: L(y (t)) = αL(y(t)) + βL(y(t − h)) + L(K(t))L(y(t)) + L(f (t)) ⇔ pL(y(t))−y(0) = αL(y(t))+βe−ph L(y(t))+L(K(t))L(y(t))+L(f (t)) ⇔ (p − α − βe−ph − L(K(t)))L(y(t)) = L(f (t)) + y(0) L(f (t)) + y(0) ⇒ L(y(t)) = p − α − βe−ph − L(K(t)) Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm y(t) Bài tập 3.16 Giải phương trình sau: t y (t) = y(t) + y(t − 1) + y(t − s)ds + 1, y(t) = 0, t ≤ 0 − 46 − Giải: ⇒ L(y(t)) = p p − − e−p − = −p p2 − = p = p = p p2 ∞ n=0 ∞ e 1 − − p p p −p e 1 + + p p p n e−pk Cnk k p n=0 k=0 ∞ n n−k n 1 + p p i Cnk Cn−k n−k e−pk pk p2i pn−k−i n=0 k=0 i=0 n n−k e−pk i Cnk Cn−k pn+i+2 n=0 k=0 i=0 ∞ = ∞ n n−k ⇒ y(t) = n=0 k=0 i=0 − k)n+i+1 (n + i + 1)! (t i Cnk Cn−k uk (t) Bài tập 3.17 Giải phương trình sau: t y(t − s)ds + t, y(t) = 0, t ≤ y (t) = y(t) + 2y(t − 1) + Giải: − 47 − ⇒ L(y(t)) = p2 p − − 2e−p − p = e−p − − p p p e−p 1 + + p p p p3 − ∞ = p n=0 ∞ = p n −pk k ke Cn k p n=0 k=0 ∞ n n−k = p n n−k 1 + p p −pk k i ke Cn Cn−k k p n=0 k=0 i=0 n n−k −pk k i k e Cn Cn−k n+i+3 p n=0 k=0 i=0 1 p2i pn−k−i ∞ = ∞ n n−k ⇒ y(t) = n=0 k=0 i=0 i Cnk Cn−k uk (t)2k (t − k)n+i+2 (n + i + 2)! Giải phương trình sau: t y(t − s)ds + t2 , y(t) = 0, t ≤ y (t) = 2y(t) − y(t − 1) + Bài tập 3.18 Giải: ⇒ L(y(t)) = p3 p − + e−p − p = −p p4 + = p ∞ n=0 e − − p p p e−p − + + p p p − 48 − n = p = p ∞ n −pk k ke Cn (−1) k p n=0 k=0 ∞ n n−k + p p −pk k i ke Cn Cn−k (−1) k p n−k 2n−k−i p2i pn−k−i n=0 k=0 i=0 n n−k −pk k i n−k−i+1 k e Cn Cn−k (−1) n+i+4 p n=0 k=0 i=0 ∞ = ∞ n n−k ⇒ y(t) = n=0 k=0 i=0 − k)n+i+3 (n + i + 3)! (t i Cnk Cn−k uk (t)2n−k−i (−1)k − 49 − Phụ lục Một số hàm sử dụng bảng: erf (t) := √ π t e−t dt erf c(t) := − erf (t) (−1)n tm+2n Jm (t) := m+2n hàm Bessel bậc m n=0 n!(m + n + 1) ∞ γ : Hằng số Euler-Mascheroni  +∞ t = δa (t) := : Hàm Dirac 0 t=0  1 t ≥ a ua (t) := : Hàm bậc thang Heaveside 0 t < a − 50 − Bảng 3.1: BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG TT f(t) F(p) 1 ,p > p t ,p > p2 tn eat ,p < a p−a e−at , p > −a p+a t.eat ,p > a (p − a)2 te−at , p > −a (p + a)2 tn eat n! , p > a, n số tự nhiên (p − a)n+1 tn e−at n! , p > −a, n số tự nhiên (p + a)n+1 10 cos(at) 11 sin(at) 12 t cos(at) n! pn+1 , p > 0, n số tự nhiên p2 p + a2 p2 a + a2 p − a2 (p2 + a2 )2 − 51 − TT f(t) F(p) 13 t sin(at) 14 eat sin(bt) b (p − a)2 + b2 15 eat cos(bt) p−a (p − a)2 + b2 16 cosh(at) 17 sinh(at) 18 eat sinh(bt) b (p − a)2 − b2 19 eat cosh(bt) p−a (p − a)2 − b2 20 t sinh(at) 21 t cosh(at) p + a2 (p2 − a2 )2 22 teat sin(bt) 2b(p − a) [(p − a)2 + b2 ]2 (p2 2ap + a2 )2 p2 p , p > |a| − a2 p2 a , p > |a| − a2 (p2 2pa − a2 )2 23 te cos(bt) (p − a)2 − b2 [(p − a)2 + b2 ]2 24 teat sinh(bt) 2b(p − a) [(p − a)2 − b2 ]2 at − 52 − TT f(t) F(p) 25 teat cosh(bt) (p − a)2 + b2 [(p − a)2 − b2 ]2 26 − cos(at) a2 p(p2 + a2 ) 27 eat − a p(p − a) 28 eat − ebt a−b , (a = b) (p − a)(p − b) 29 aeat − bebt p(a − b) , (a = b) (p − a)(p − b) 30 (1 + at)eat (p − a)2 31 e− a − e− b a−b 32 eat − at − a2 33 eat − ebt t t 34 35 36 t (ap + 1)(bp + 1) − a) p2 (p ln e−at √ πt √ sin(2 at) √ πa √ cos(2 at) √ πa p−b p−a √ p+a a e− p √ p p a e− p √ p − 53 − TT 37 38 f(t) F(p) √ sinh(2 at) √ πa √ cosh(2 at) √ πa a ep √ p p a ep √ p 39 eat (1 + 2at) √ πt 40 [t], t > 41 δ(t) 42 sin(at) − at cos(at) 2a3 (p2 + a2 )2 43 sin(at) + at cos(at) 2ap2 (p2 + a2 )2 44 cos(at) − at sin(at) p3 (p2 + a2 )2 45 cosh(at) + at sinh(at) p3 (p2 − a2 )2 46 sinh(at) + at cosh(at) p2 (p2 − a2 )2 47 √ πt √ p 48 t π √ 49 √ √ at ae erf ( at) − 54 − p (p − a) − 1) p(ep p p √ p(p − a) TT f(t) F(p) 50 √ √ erf ( at) a √ p p+a 51 a erf c( √ ) t 52 J0 (at) 53 δa (t) e−ap ; (a > 0) 54 ua (t) e−ap ; (a > 0) p 55 t a e−ap = p(eap − 1) p(1 − e−ap ) 56 a[t] ep − 1 − e−p = p(ep − a) p(1 − ae−p ) 57 a[t] − a−1 e−p = ; (a = 1) p(ep − a) p(1 − ae−p ) 58 e−bt − e−at t 59 log(t) −(log(p) + γ) p 60 −(log(t) + γ) log(p) p 61 ab Jb (at) 62 √ ea t erf c(a t) √ e−a p p ; (a > 0) √ s2 log( ( + a2 p+a ) p+b p2 + a2 − p)b p + a2 √ √ p( p + a) − 55 − Kết luận Khóa luận thực cơng việc sau: • Tổng hợp kiến thức hàm phức tìm hiểu phép biến đổi Laplace • Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải số loại phương trình khác phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, • Đặc biệt, sử dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân có chậm Do thời gian thực khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận cịn nhiều thiếu sót Hướng nghiên cứu đề tài tìm cách giải phương trình vi phân có chậm khác, chẳng hạn dạng sau: • y (t) = αy (t) + βy(t − h) + f (t) • y (t) = αy (t) + βy(t) + γy(t − h) + f (t) t • y (t) = αy (t) + βy(t) + γy(t − h) + K(s)y(t − s)ds + f (t) − 56 − Tài liệu tham khảo [1] Clement E.Falbo, Some Elementary Methods for Sloving Functional Differential Equations, Sonoma State University [2] Doetch, Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transform, Springer, 1970 [3] Joe L.Schiff, The Laplace Transform, Springer, 1999 [4] Marc R.Roussel, Delay differential equations, 2005 [5] Dỗn Tam Hịe, Phương trình vi phân, Nxb Giáo Dục, Hà Nội, 2005 [6] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, 2000 [7] Phan Bá Ngọc, Hàm biến phức phép biến đổi Laplace, Nxb Giáo Dục, 1996 [8] Nguyễn Trọng Thái, Đỗ Xuân Lôi, Nguyễn Phú Trường, Bài tập chuyên đề toán giải sẵn, Trường đại học Bách Khoa Hà Nội, Hà Nội, 1972 [9] Nguyễn Kim Đính, Phép biến đổi Laplace, Nxb Khoa học Kĩ thật,1998 [10] Võ Đăng Thảo, Hàm phức toán tử Laplace, Trường đại học Kĩ Thuật TP.Hồ Chí Minh, 2000 [11] Vũ Tuấn, Đồn Văn Ngọc, Phương trình vi phân, Nxb Giáo Dục, Hà Nội, 1992 − 57 − ... phép biến đổi Laplace phép biến đổi Laplace ngược • Chương Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân, phương trình tích phân • Chương Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương. .. Chương Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi tích phân Phép biến đổi Laplace ứng dụng để giải nhiều loại phương trình khác phương trình sai phân, phương trình vi sai phân, phương. .. Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi tích phân 21 2.1 Phương trình vi phân 21 −2− 2.2 Phương trình tích phân 26 2.3 Phương trình vi