Định lý các điểm bất động và áp dụng vào các phương trình vi, tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ĐỊNH LÝ CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI, TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, 2000 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ĐỊNH LÝ CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI, TÍCH PHÂN CHUN NGÀNH: GIẢI TÍCH MÃ SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 1996 LUẬN VĂN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn: PTS LÊ HỒN HỐ Khoa Tốn, Đại học Sư Phạm, TP Hồ Chí Minh Người nhận xét: PTS DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa Toán, Đại học Sư Phạm, TP Hồ Chí Minh PTS TRƯƠNG MỸ DUNG Khoa Tốn, Đại học Tổng hợp TP Hồ Chí Minh LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI: HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGÀY THÁNG NĂM 1996 LỜI CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn thầy cơ: PTS Lê Hồn Hố PTS Dương Lương Sơn PTS Trương Mỹ Dung Cùng thầy khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh bạn bè giúp đỡ tơi hồn thành luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 3  MỤC LỤC .4  MỞ ĐẦU 5  CHƯƠNG ĐỊNH LÝ DIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG 6  CHƯƠNG II: ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ MỘT TẬP LÀ COMPACT TƯƠNG ĐỐI 14  CHƯƠNG III: ÁP DỤNG 19  KẾT LUẬN 68  TÀI LIỆU THAM KHẢO 69  MỞ ĐẦU Định lý điểm bất động công cụ để chứng minh tồn nghiệm phương trình Trong báo [1], [2], [3], [4] vân vân, định lý kiểm soát bất động loại Krasnoselskii không gian Banach phương trình vi phân hàm loại đ ối số chậm loại trung hồ khơng gian Banach (kể vơ hạn chiều) có dạng: x  t   A  t  xt  g  t , x  Và ,t   x(t )  A(t ) x(t  r )]'  g  t, xt  ,t   Trên sở giảng chương trình Cao học thạc sĩ tài liệu tham khảo kể trên, Luận văn trình bày nghiệm (sự tồn phụ thuộc theo điều kiện ban đầu) đoạn   r ,  )   r ,  ) phương trình vi phần loại đối số chậm loại trung hồ khơng gian Banach (có thể vơ hạn chiều) có dạng: n n i 1 i 1 x ' (t )   Ai (t ) xti   gi (t , xti ) t   ' n n      x ( t ) A ( t ) x ( t r ) gi (t , xti ) t    i i   i 1   i 1 Trong gi ánh xạ Compact,  Ai (t ) họ ánh xạ tuyến tính liên tục (chỉ số phụ thuộc vào thời gian chậm ti > 0, i 1, n ) Công cụ chủ yếu định lý điểm bất động loại Krasnoselskii không gian lồi địa phương Chường điều kiện cho tính Compact tương đối khơng gian ánh xạ liên tục Phần trọng tâm Luận văn chương 3, trình bày tồn nghiệm, nghiêm tuần hoàn phụ thuộc nghiệm vào điều kiện ban đầu CHƯƠNG ĐỊNH LÝ DIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Trong chương giới thiệu định lý điểm bất động toán tử dạng U + C tập lồi đóng bị chặn khơng gian lồi địa phương, C toán tử hoàn toàn liên tục U thoả điều kiện (A) định nghĩa sau: Điều kiện A: Giả X không gian vectơ tôpô lồi địa phương P họ nửa chuẩn tách X, D tập X U: D  X Với a   , ta định nghĩa U a : D  X U a ( x)  U ( x)  a Toán tử U:D  X gọi thoả điều kiện (A) tập  X nếu: (A.1) Với a   , U a ( D )  D U a ( D )  D (A.2) Với a   p  P p  P , tồn ka  Z  ka  Z  với tính chất:   0, r  N  >0 cho x, y  D x, y  D ,  ap ( x, y )       ap (U ar ( x ),U ar ( y ))   ,  ap ( x, y )  max  p(U ( x ),U ( y )), i, j  0,1, 2, , ka  , N  1, 2,3,  z  N  0 z  N  0 Chúng ta sử dụng mệnh đề sau – Nguyên lý hội tụ Solomon Leader: Mệnh đề: Giả sử q : z2  1,   hàm số cho: q(m,n)  q(m,k)+q(k,k)+q(k,n) (1)  n,m,k  z Khi q(m,n)0 m, n   nếu:   0, r  N   cho với m, n  Z  , q(m, n )     ta có q(m+r, n+r) <  Định lý 1.1: Giả sử X không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D tập đầy đủ theo dãy X, U toán tử liên tục D (i.e với pn  P   , tồn   cho p(x-y)<   p(U ( x )  U ( y ))   ) Giả sử U thỏa điều kiện (A) tập  X Khi tốn tử (I-U)-1 định nghĩa tốt liên tục  Chứng minh: Ta chứng minh qua hai bước: Bước 1: Với a   , tốn tử Ua có điểm bất động D, gọi  (a ) , dãy lặp U an ( x )n hội tụ  (a ) , x  D Hơn nữa, ánh xạ a   (a ) đơn ánh Cm bước 1: Từ (A.2) ta suy với a   p  P p  P , k  Z  với tính chất:   , r  N   cho x, y  D,  ap ( x, y )       ap (U ar ( x ),U ar ( y ))   Giả sử q : Z 2  0, ) định nghĩa q(m, n )   ap (U am ( x ),U an ( y )) Khi q thỏa (1), (2) nên theo mệnh đề trên, lim q(m,n)=0 Suy lim p(U am ( x )  U an ( y ))  m ,n  Vì vậy, x, y  D dãy U an ( x )n , U an ( y )n dãy Cauchy Hơn D đầy đủ theo dãy U liên tục, nên ta suy dãy U an ( x )n hội tụ điểm bất động U a gọi  (a ) nghĩa là: U ( (a ))  a   (a ) hay ( I  U )( (a ))  a Ta nhận thấy,  (a ),  (b) hai điểm bất động Ua, Ub  ( a )   (b) Thì U ( (a )  a  U ( (b)  b  a  b Chứng tỏ  đơn ánh Vì  song ánh từ  vào  ()  D mà theo ( I  U )( (a ))  a, a   (IU)=  1 hay   ( I  U ) 1 Bước 2: (I-U)-1 liên tục  Cm bước 2: Với a , p  P ,   , theo điều kiện (A), r  N   0(   )   0(   ) cho: ap (U ar ( x ),U ar ( y ))   x, y  D với  ap ( x, y )     Vì U liên tục nên U (i  0,1, ) liên tục Suy  0,     cho: p( x  y )    p(U ( y ))   với i = 1, 2, …, k (3) Tương tự, sử dụng tính liên tục U, xây dựng họ  i  , i = 0, 1, 2, …, r – 1, cho với i = 1, 2, …, r – 1: a,   i  (1 / 2) i 1 b, p(U ( x )  U ( y ))  (1 / 2) i 1 với p( x  y )   i Nếu b   cho p(a  b)   r 1 thì, lim U brn ( ( a ))   (b) ta có: n  p ( ( a )   (b))  lim p ( ( a )  U brn ( ( a ))) n  Bằng phương pháp qui nạp ta suy ra:  ap ( (a ),U br ( (a )))     với n  N (4) Để có điều này, ta ý rằng: p( (a )  U br ( (a )))   Thực ta có p(a  b)   r 1 suy p(U a ( x )  U b ( x )  p(a  b)   r 1x  D Suy p(U (U a ( x ))  U (U b ( x )))  (1 / 2) r 2 Từ đó: p (U a2 ( x )  U b2 ( x ))  p U (U a ( x ))  U (U b ( x ))  ( a  b)  p U (U a ( x ))  U (U b ( x ))   p ( a  b)  (1 / 2) r 2  (1 / 2) r 2   r 2 Tương tự ta nhận được: p(U ar 1 ( x )  U br 1 ( x ))  1 Suy ra: p U (U ar 1 ( x ))  U (U br 1 ( x ))   (1 / 2) Nên: p(U ar ( x )  U br ( x ))  (1 / 2)  (1 / 2)   Đặc biệt lấy x   (a ) , (5) trở thành: p( (a )  U br ( (a )))   Bây giờ, ta chứng minh (4) n=1, nghĩa là:  ap ( (a ) , U br ( (a )))     Từ (3) (6) ta có: p( (a )  U (U br ( (a )))    i  0,1, 2, k  ap ( (a ) , U br ( (a )))       Để cho gọn, ta ký hiệu ap ( x, y )  ( x, y ) Giả sử (4) với n, nghĩa là:  ( (a ),U brn ( (a )))     ta có:  ( (a ) , U br ( n 1) (U br ( a 1) ( (a )))   ( (a ) , U ar (U brn ( (a )))   (U ar (U brn ( (a ))), U br ( n 1) ( (a ))) Cũng  ( (a ) , U brn ( (a )))     nên theo điều kiện (A) suy ra:  (U ar ( (a )) , U ar (U br ( (a ))))   ( (a ) , U ar (U brn ( (a ))))   (*) Thay x  U brn ( (a )) , (5) trở thành: p(U ar (U brn ( (a ))  U br ( n 1) ( (a )))   Sử dụng (3), thấy rằng: ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ĐỊNH LÝ CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI, TÍCH PHÂN CHUN NGÀNH: GIẢI TÍCH MÃ SỐ LUẬN VĂN... ĐẦU Định lý điểm bất động công cụ để chứng minh tồn nghiệm phương trình Trong báo [1], [2], [3], [4] vân vân, định lý kiểm soát bất động loại Krasnoselskii khơng gian Banach phương trình vi phân. .. ( D ) compact tương đối Khi theo định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff,  I  U  C có điểm bất 1 động D, điểm bất động U+C D 13 CHƯƠNG II: ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ MỘT TẬP LÀ COMPACT TƯƠNG