Định lý Goingup và định lý Goingdown

ệ ì ì ị P ị ệ ì ì ị P ị ị số ữớ ữợ ệ ệ ử tự Pờ tổổ rs rở t ữỡ ổ ữỡ õ ổ ỳ s ổ ổ t ữỡ t tổổ m ỵ ỵ ợ t ỵ ỵ ỵ ỗ ỵ rở ỵ rở t t é r t ổ ữủ tt õ ỡ f : A B ởt ỗ ợ ộ tố q B t p = f (q) := q A õ p ởt tố A q ữủ tr r p õ ỵ ú ố ợ ợ tố t ý p p A s p p ợ tố t ý q B tr p tỗ t ởt tố q B tr p s q q ữỡ tỹ t õ ỵ ú ố ợ ợ tố t ý p p A s p p ợ tố t ý q B tr p tỗ t ởt tố q B tr p s q q r số ỵ tữớ ữủ sỷ rở tố rở õ ú tữớ ữủ ũ s s ởt số ỳ s tr ởt trữớ ợ ởt õ tr õ ỵ ỵ ú tr ởt số trữớ ủ ữ B tr A ởt ỗ r trữớ ủ B tr A ỵ ữủ t ữợ sỷ A B B tr A p1 p2 pn ởt tố tr A q1 q2 qm ởt tố tr B s qi A = pi (1 i m) õ q1 q2 qm õ t rở t q1 q2 qn s qi A = pi (1 i n) ỵ ữủ t ữợ sỷ A B A õ B tr A p1 p2 pn ởt tố tr A q1 q2 qm ởt tố tr B s qi A = pi (1 i m) õ q1 q2 qm õ t rở t q1 q2 qn s qi A = pi ợ i n õ rt t ỵ ỵ ỹ t t q t tờ ủ tứ õ tr ỵ õ tr t t ữủ tr tr ữỡ ữỡ tự r ữỡ ú tổ tr ởt số số ỡ s tr ữỡ r ú tổ ỏ tr ởt số t q õ ữợ ỳ ử ự s ữỡ ỵ ỵ r ữỡ ú tổ tr ỵ ỵ ỹ t ú tổ s tr ỳ s ợ t ỵ ỵ ỵ ỵ ỗ ỵ rở ỵ rở ữủ t t rữớ ữợ sỹ ữợ ổ ữủ tọ ỡ s s ổ t t ữợ t t ủ t tr sốt q tr t ụ ỡ ỗ õ tr t t tr trồ ỷ ỡ tợ t ổ tr ổ số Pỏ t rữớ ú ù t t õ ởt ổ trữớ t tốt t t ủ t ì r ữỡ ú tổ tr ởt số tự số ỡ s tr ữỡ r ú tổ ỏ tr ởt số t q õ ữợ ỳ ử ự sr t ữủ õ ỡ = Pờ tổổ rs I tỹ sỹ R õ I ữủ tố ợ x , y R xy I t x I y I I ữủ ỹ ổ tỗ t J = R I = J I J ứ tr t s r I tố tữỡ R/I I ỹ tữỡ R/I ởt trữớ tt tố R ữủ SpecR ợ ộ I R t V (I) = {p SpecR | p I} R t s ú I J R õ V (IJ) = V (I J) = V (I) V (J) ú ỳ V ( jS V (Ij ) ợ S t số tũ ỵ Ij ) = jS V (I) = V (J) I= J V (0) = SpecR V (R) = ữ t ủ V (I) ợ I R t t t õ tr ổ tổổ õ SpecR tr t ởt ổ tổổ ợ t õ V (I) tr õ I R ổổ ữủ tổổ rs ổ tổổ SpecR ữủ R ộ t ủ V (I) ữủ t số I ởt ổ tổổ X ữủ ổ tr t õ tr X ứ ú ỵ r R tr t SpecR ổ tổổ tr f : A B ởt ỗ õ ợ ộ q SpecB t f (q) SpecA a f : SpecB SpecA a f (q) = f (q) tử ởt t õ tr ởt ổ tổổ ữủ t q õ ổ t t ủ t õ tỹ sỹ R F ởt t õ X = SpecR õ F t q F = V (p) ợ ởt tố p õ p t ữủ tờ qt r t F r ởt ổ tổổ X ộ t õ Z õ ởt t t t ủ ỳ t õ t q Z = Z1 Z2 .Zr Zi Zj ợ i = j t õ Zi ữủ t t q Z sỷ tỹ sỹ õ V (I) õ t t ởt tỷ ỹ t t q P tỷ ỹ t tr tr ữủ tố ỹ t tr r r I tố ỹ t ự rở t f : R R ởt ỗ J ởt R J c = f (J) õ J c ởt R ữủ t J tr R ỗ f I ởt R I e =< f (I) > s f (I) õ I e ởt R rở I tr R ỗ f ú ỵ r p tố R p c = R t p c tố R p tố R t pe õ t ổ tố R f : A B ởt ỗ p ởt tố A õ p t ởt tố B pec = p ữỡ R ữủ ữỡ R õ t ởt ỹ ộ trữớ ởt ữỡ õ t ởt ỹ ộ ụ tứ tự K[[x]] = x i | K i=0 ữỡ ợ ỹ t ổ ữỡ õ R S ởt t R ủ S ữủ t õ R S ợ a, b S t ab S S t õ R r t R ì S = {(r, s) | r R, s S} t q ổ ữ s (r, s) (r , s ) t S : t(rs r s) = t ởt q tữỡ ữỡ tr R ì S õ R ì S ữủ t ợ tữỡ ữỡ (r, s) = {(r , s ) R ì S | (r , s ) (r, s)} r/s t (r, s) S R = R ì S/ = {r/s | r R, s S} t tữỡ R ì S t q tữỡ ữỡ r S R tr t õ S R tr t ởt tữỡ R t t õ S ú ỵ R, m ởt ữỡ R m R õ ỗ tỹ R R t t ỵ tr õ tọ ỵ õ ợ ộ tố p R ộ tố ỹ t q pR t õ q R = p ỵ rở rữợ t ú tổ tr rở A ởt B x B õ r tỷ x tr A tỗ t n N a1 , a2 , , an A s xn + a1 xn1 + + an1 x + an = õ x ởt tự ỡ ợ tỷ tr A tỷ a A t ý tr A a tự f (x) = x a A[x] x = r/s Q tr Z tr õ r, s Z, s = 0, (r, s) = t rn + a1 rn1 s + + an1 rsn1 + an sn = ợ Z õ õ s t rn (r, s) = s = r x Z ởt ổ ữủ tr t õ tỷ õ õ s A B sỷ b B b tr A M ởt Aổ ỳ s M ụ A[b]ổ tr t I A s bM IM õ b ởt tự f (x) = xn + a1 xn1 + + an1 x + an ợ tỷ tr I A B b B õ s tữỡ ữỡ b tr A A[b] Aổ ỳ s A[b] ữủ ự tr ởt C B s C Aổ ỳ s ỗ t ởt A[b]ổ tr t M s M ụ Aổ ỳ s ự (i) (ii) b tr A t b ởt tự ợ số tr A õ tỗ t A, i = 1, n s bn + a1 bn1 + + an1 b + an = ợ m n t õ bm = (a1 bm1 + + an bmn ) ũ q t õ t r r bm ởt tờ ủ t t 1, b, , bn1 r tỷ f (b) A[b] ởt tờ ủ t t 1, b, , bn1 õ {1, b, , bn1 } ởt s A[b] tr A A[b] Aổ ỳ s (ii) (iii) C = A[b] C B C Aổ ỳ s (iii) (iv) M = C y A[b] s yM = t y = y.1 = õ M A[b]ổ tr t M Aổ ỳ s (iv) (i) ợ I = A q A B sỷ b1, b2, , bn B b1 , b2 , , bn tr A t A[b1 , b2 , , bn ] Aổ ỳ s ự ự q t n ợ n = q ữủ s r trỹ t tứ ợ n > sỷ A[b1 , b2 , , bn ] Aổ ỳ s õ A[b1 , b2 , , bn ] = A[b1 , b2 , , bn1 ][bn ] bn tr A bn v tr A[b1 , b2 , , bn1 ] A A[b1 , b2 , , bn1 ] õ A[b1 , b2 , , bn1 , bn ] A[b1 , b2 , , bn1 ]ổ ỳ s r A[b1 , b2 , , bn1 , bn ] Aổ ỳ s q sỷ A B C B ỗ ỳ tỷ tr A ởt B ự A ự x, y C õ x, y tr A s r A[x, y] tr A s r x y, xy A[x, y] tr A xy x y C C ởt B ự A C tr q tr ữủ õ A tr B C = A t A ữủ õ tr C = B t B ữủ tr A ữ B tr A tỷ B tr A A ộ tỷ a A tự x a A[x] a tr A A rở tr õ tỷ số tỹ R tr số ỳ t Q R rở Q tỷ Q tr Z Z õ Z õ tr Q ữ Z ổ õ tr trữớ số ự C i C\Z tr Z A ởt B S t õ A C õ A tr B t S C õ S A tr S B ự t tỷ b/s S B tr S A ợ s S, b B õ t õ ữỡ tr (b/s)n + (a1 /s1 )(b/s)n1 + + (an1 /sn1 )(b/s) + (an /sn ) = (), ợ A si S i = 1, n t u = s1 s2 sn S ữỡ tr () ợ (us)n t ữủ (ub)n + (a1 s2 sn s)(ub)n1 + + (an1 s1 sn2 sn s)(ub) + (an s1 sn1 s) = r (ub)n + a1 (ub)n1 + + an1 (ub) + an = ợ A, i = 1, n õ tỗ t v S s v(un bn + a1 un1 bn1 + + an1 ub + an ) = ứ õ t õ vub tr A vub C b/s = vub/vus S C S C õ S A tr S B q s t rở õ t t q A B C tọ A B C sỷ B tr A C tr B õ C tr A ự sỷ C tr B B tr A c C c tr B c ởt tự f (x) = xn + b1 xn1 + + bn1 x + bn B[x]; bi B, i = 1, n t B = A[b1 , b2 , , bn ] b1 , b2 , , bn tỷ tr A B Aổ ỳ s t f (x) A[b1 , b2 , , bn ][x] c tỷ tr B = A[b1 , b2 , , bn ] r B [c] B ổ ỳ s t s r B [c] = A[b1 , b2 , , bn ][c] = A[b1 , b2 , , bn , c] Aổ ỳ s õ c tỷ tr A C tr A q A B C õ A tr B õ C õ tr B ự x B tr C t t rở t õ x tr A õ x C s t t t ữủ t q ữỡ õ A ởt B B tr A õ S t õ A t S B tr S A ự t tỷ x/s t ý tở S B ợ x B s S õ x tr A tỗ t A(i = 1, n) tọ ữỡ tr xn + a1 xn1 + + an1 x + an = r (x/s)n + (a1 /s)(x/s)n1 + + (an1 /sn1 )(x/s) + (an /sn ) = x/s tỷ tr S A õ S B tr S A s t t t ữủ t q tữỡ A B B tr A b ởt tỹ sỹ B a = bc = A b ởt A õ B/b tr A/a ự t tữỡ ự f : A/a B/b x + a x + b A B a b f ỡ õ A/a B/b t ý x B B tr A x tr A õ t õ ữỡ tr xn + a1 xn1 + + an1 x + an = 0; a, i = 1, n sỷ x + b B/b n N a1 + a, a2 + a, , an + a A/a õ (x + b)n + (a1 + a)(x + b)n1 + + (an1 + a)(x + b) + (an + a) = xn + b + (a1 + a)(xn1 + b) + + (an1 + a)(x + b) + an + a = xn + a1 xn1 + + an1 x + an + a + b = x + b tr A/a B/b tr A/a A B B tr A õ A trữớ B trữớ ự sỷ A trữớ t ự B trữớ b B, b = b tr A b ữỡ tr bn + a1 bn1 + + an1 b + an = 0, a1 A, i = 1, n r b1 = (an )1 (bn1 + a1 bn2 + + an1 ) B õ B ởt trữớ sỷ B trữớ t ự A trữớ a A, a = õ a1 B tr A t õ ữỡ tr (a1 )n + t1 (a1 )n1 + + tn1 (a1 ) + tn = 0; ti A ữỡ tr ợ an1 t ữủ a1 = (t1 + + tn1 an2 + tn an1 ) A r A trữớ q sỷ A B B tr A q ởt tố B p = qc = A q õ q ỹ p ỹ ự sỷ q ởt tố B t p = qc = A q õ p tố A B/q tr A/p t p ỹ A A/p trữớ B/q trữớ q ỹ B q sỷ A B B tr A p1 , p2 tố B s p1 p2 p1 A = p2 A õ p1 = p2 ự t p = p1 A = p2 A S = A\p p tố S t õ A õ S p1 = S p2 = m rở p tr S A = Ap õ m ỹ t Ap n1 , n2 rở p1 , p2 tr Bp t s ự n1 n2 t n1 = n2 t p p1 Ap Bp m n1 Ap n1 Ap Ap n1 Ap = Ap t Ap n1 õ n1 n1 = Bp Ap Bp Ap n1 n1 Bp n1 t õ n1 Bp s r n1 = Bp t n1 tố Bp m n1 Ap Ap t m ỹ t Ap t s r m = n1 Ap ữỡ tỹ t õ m = n2 Ap Bp tr Ap m ỹ Ap t n1 , n2 ỹ Bp õ n1 n2 t n1 = n2 t õ ởt tữỡ ự ỳ t tố S B = Bp t tố B ổ ợ S t s r p1 = p2 ỵ sỷ A B B tr A p ởt tố A õ tỗ t ởt tố q B s q A = p ự õ ỗ s A f i  Ap j / / B  g Bp tr õ i, j ỗ ú f, g ỗ t f (a) = a/1, g(b) = b/1 Bp tr Ap q ỹ tũ ỵ Bp t q Ap ỹ Ap t õ õ ỹ t Ap Ap ữỡ p rở p tr Ap õ p ỹ t Ap õ p = q Ap r f (q Ap ) = g (q ) A t q = g (q ) t õ f (p ) = q A p = q A t q s t ỵ ú ố ợ trữớ ủ rở ỵ sỷ A B B tr A p1 p2 pn ởt tố tr A q1 q2 qm ( < ) ởt tố tr B s qi A = pi (1 i m) õ q1 q2 qm õ t rở t q1 q2 qn s qi A = pi (1 i n) ự ữỡ q t ự trữớ ủ n = 2, m = sỷ p1 p2 q1 A = p1 t t s r B/q1 tr A/p1 p2 /p1 ởt tố A/p1 tỗ t ởt tố q2 /q1 B/q1 s (q2 /q1 )(A/p1 ) = (p2 /p1 ) tr õ q2 tố B q1 q2 s ự q2 A = p2 t x q2 A A/p1 B/q1 x + p1 = x + q1 (q2 /q1 ) (A/p1 ) = p2 /p1 s r x + p1 = y + p1 ợ y p2 (x y) p1 p2 x p2 x p2 õ x + p1 p2 /p1 q2 /q1 s r x + p1 = y + q1 ợ y q2 t x + p1 = x + q1 (x y) q1 q2 x q2 A q2 A = p2 ỵ rở ởt ữủ õ õ õ tr trữớ tữỡ õ Z ởt õ ự tữỡ tỹ ữ ố ợ Z t ụ õ ộ tỷ õ ởt õ t tự n k[x1 , x2 , , xn ] ợ tỷ tr trữớ k ởt õ s t t t õ t t ữỡ A õ s tữỡ ữỡ A õ Ap õ ợ tố p Am õ ợ ỹ m ự K trữớ tữỡ A C õ A tr K t ỗ ú f : A C õ A õ f t t ợ p tố A t Cp õ Ap tr trữớ tữỡ Ap ữỡ tỹ t õ Ap õ fp : Ap Cp t t õ f t fp t õ t s r A õ Ap õ ợ tố p ự tữỡ tỹ t õ A õ Am õ ợ ỹ m A B a ởt A ởt tỷ B ữủ tr a õ ởt tự số tr a õ a tr B t ủ tỷ B tr a C õ A tr B ae rở a tr C õ õ a tr B ae r(ae ) = {x B n N : xn ae } ự sỷ tỷ x B tr a õ x ởt ữỡ tr xn + a1 xn1 + + an1 xn + an = 0; a A, i = 1, n õ x ụ tr A x C xn ae r x r(ae ) = {x B | n N : xn ae } ữủ sỷ x r(ae ) õ tỗ t số tỹ n s xn ae ae ổ ỳ s t õ n n x = x i ; i=1 tr õ a; xi C r x1 , x2 , , xn tr A s r M = A[x1 , x2 , xn ] Aổ ỳ s t t M ụ Aổ tr t t t õ xn M = n n xi M i=1 M aM t i=1 t xn tr a x tr a K ởt trữớ L trữớ rở K ởt tỷ a L ữủ tỷ số tr K tỗ t tự ổ f (x) K[x] a ữ t õ a L tr K a tỷ số tr K sỷ A B A õ x B tr ởt a A õ x tỷ số tr trữớ tữỡ K A tự ỹ t õ tr K tn + a1 tn1 + + an t a1 , , an r(a) ự ó r x tỷ số tr K sỷ L ởt rở trữớ K ự tt ủ ts x1 , x2 , , xn x ộ xi tọ ữỡ tr rở xn +a1 xn1 + +an = õ xi tr a số tự ỹ t x tr K tự tr xi õ tứ t õ a1 , a2 , , an tr a A õ t t s r a1 , , an r(a) t q s t ỵ ú ố ợ trữớ ủ õ ỵ sỷ A B A õ B tr A p1 p2 pn ởt tố tr A q1 q2 qm ( < ) ởt tố tr B s qi A = pi (1 i m) õ q1 q2 qm õ t rở t q1 q2 qn s qi A = pi ợ i n ự ữỡ q t ự ỵ trữớ ủ m = 1, n = sỷ p2 t ởt tố tr Bq1 tữỡ ữỡ ợ Bq1 p2 A = p2 ợ ộ x Bq1 p2 t x ổ ữủ ữợ y/s tr õ y B p2 s B\q1 t õ y tr p2 t t ữỡ tr ọ t tr trữớ tữỡ K A s õ y r + u1 y r1 + + ur1 y + ur = (1); ợ u1 , u2 , ur p2 t sỷ x Bq1 p2 A õ s = yx1 ợ x1 K t t ữủ ữỡ tr ọ t s tr K xr sr + v1 sr1 + + vr1 s + vr = (2); tr õ vi = ui /xi õ xi vi = ui p2 (1 i r) (3) ữ s tr A t ợ a = (1) t õ vi A sỷ x ổ tở p2 õ ự tọ ộ vi p2 õ tứ t õ sr B p2 B p1 q1 s q1 t õ x p2 Bq1 p2 A = p2 ỹ ú tổ tr ỵ ỵ ởt số trữớ ủ t ỵ ú õ ró ỡ t ỳ s ợ t ỵ ỵ ỵ ỵ ỗ ỵ ỵ rở r ú tổ ố ự tt ró ỳ tr t t ổ tr tr ởt tt t ỹ ữớ tr số ố ữỡ ố t ỡ s ỵ tt ổ t ữ t trt t t t r ss Ps rs r rs r rst Prss s tt rs tsr tt r s t s Ps ss r ts tt r s t r rst Prss