TỔNG HỢP ĐỀ THI MÔN HÀM BIẾN THỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 00-0001-0110-2015-1615-0001 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) e2 + e −2i là: Câu Phần thực phần ảo số phức z = − 3i 2 e2 3e A) Rez = e + cos2, Imz = 3e - sin2 C) Rez = + cos2, Imz = - sin2 3e e2 10 10 + cos2, Imz = + sin2 B) Rez = D) Rez = e + cos2, Imz = 3e + sin2 10 10 Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng giải tích miền D hàm u(x,y) v(x,y) khơng điều hòa miền D B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y) v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) C) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hòa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D D) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hòa thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E = {z : z − + i = z − − i }, F = {z : z − + 4i < 6} Khẳng đònh sau sai? A) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm − i + i B) Tập F hình tròn mở tâm − 4i bán kính C) Các tập E F tập liên thông D) Hai tập E F điểm chung ( E ∩ F = ∅ ) Câu Ảnh đường thẳng y = qua phép biến hình w = e 3+iz = u +iv A) đường thẳng u = B) đường tròn u2 + v2 = e D) đường thẳng v = C) đường tròn u2 + v2 = e Câu Khẳng đònh sau sai? A) Hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) B) Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) C) Chuỗi (2 + n +1 ) n n( z − 3i ) n có bá n kính hộ i tụ = ⋅ R lim =5 ∑ n→∞ ( + n ) n +1 + 5n n =1 D) Chuỗi n( z − 3i ) n có hình tròn hội tụ z − 3i ≤ ∑ + 5n n =1 ∞ ∞ Câu Khẳng đònh sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = A z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) -1- z →a e5z B) z = 3i cực điểm cấp hàm f(z) = ( z − 3i ) C) ⎡ e5z ⎤ e5z s dz Re ,3i ⎥ = 10πie15i =2 π i ⎢ 2 ∫ ⎢⎣ ( z − 3i ) ⎥⎦ z −i = ( z − 3i ) D) ⎡ e5z ⎤ e5z s dz Re ,3i ⎥ = π i ⎢ 2 ∫ ⎢⎣ ( z − 3i) ⎥⎦ z + 5i = ( z − 3i ) Câu Cho phương trình vi phân: y’-8y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-8Y = e −πp +1 p −1 (2) e −πp ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= + ( p − 1)( p − 8) p −8 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = ( (3) e −πp ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + − ⎝ p − p − 1⎠ p − ) ( t −π ) e − e t −π u (t − π ) + e 8t A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎤ ⎡ t 6u p−6 e cos udu ⎥= ⎢ B) L ∫ ⎦ p ( p − 6) + ⎣0 ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp < t < π f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π ⎧sin 5t D) Nếu f (t ) = ⎨ ⎩0 T ∫e ) − pt f (t ) dt 1 − e−πp π − pt sin 5tdt ∫e Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) C) L [5 + t e 2t + sh3t ] = ⎡ 3p + ⎤ 3! + + p ( p − 2) p −9 D) L -1 ⎢⎣ p − 64 ⎥⎦ = 3ch8t + 5sh8t t Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e3t+5 ∫ y (u ) cos 2(t − u )du ta làm sau: ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 3t +5y(t)*cos2t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ e 3t ] +5 L [y(t)*cos2t] ♦ p dụng công thức Borel ta Y= p 1 + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = +5Y p−3 p−3 p +4 ♦ Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = p2 + ( p − 1)( p − 3)( p − 4) -2- ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= A C B + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p − ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 3t + Ce 4t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t với điều kiện y(0) = y’(0) = Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x '+3 y = e 3t với điều kiện x(0) = y(0) = ⎨ + ' + = x y y ⎩ Câu 13 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z ) = ( z − i ) e Tính tích phân I = ∫ ( z − i) e z −i z −i quanh điểm bất thường cô lập z = i dz z − 2i =3 Câu 14 (1 điểm) Tìm tất điểm mặt phẳng phức mà hàm số f ( z ) = ( z + 6i ) Im z + iz có đạo hàm tính đạo hàm hàm số điểm ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày 28 tháng năm 2015 Trưởng Bộ môn Toán -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 00 – 0001 - 0110-2015-1615- 0001 Giám thò Giám thò số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 01-0001-0110-2015-1615-0010 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎤ ⎡ t 6u p−6 B) L ⎢ ∫ e cos 3udu ⎥ = p ( p − 6) + ⎦ ⎣0 ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = ⎧sin 5t D) Nếu f (t ) = ⎨ ⎩0 1 − e− Tp < t < π f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π T ∫e ) − pt f (t ) dt 1 − e−πp π − pt sin 5tdt ∫e Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) ⎡ 3p + ⎤ D) L ⎣ p − 64 ⎥⎦ = 3ch8t + 5sh8t 3! C) L [5 + t e + sh3t ] = + + p ( p − 2) p −9 -1 ⎢ 2t t Câu Để giải phương trình tích phân: y(t)= e3t+5 ∫ y (u ) cos 2(t − u )du ta làm sau: ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 3t +5y(t)*cos2t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ e 3t ] +5 L [y(t)*cos2t] ♦ p dụng công thức Borel ta Y= p 1 + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = +5Y p−3 p−3 p +4 p2 + ( p − 1)( p − 3)( p − 4) A C B Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p − ♦ Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = ♦ ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 3t + Ce 4t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Phần thực phần ảo số phức z = A) Rez = e + cos2, Imz = 3e - sin2 B) Rez = e2 3e + cos2, Imz = + sin2 10 10 e2 + e −2i là: − 3i e2 3e + cos2, Imz = - sin2 C) Rez = 10 10 D) Rez = e + cos2, Imz = 3e + sin2 Câu Khẳng định sau sai? -1- A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng giải tích miền D hàm u(x,y) v(x,y) khơng điều hòa miền D B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y) v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) C) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hòa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D D) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hòa thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E = {z : z − + i = z − − i }, F = {z : z − + 4i < 6} Khẳng đònh sau sai? A) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm − i + i B) Tập F hình tròn mở tâm − 4i bán kính C) Các tập E F tập liên thông D) Hai tập E F điểm chung ( E ∩ F = ∅) Câu Ảnh đường thẳng y = qua phép biến hình w = e 3+iz = u +iv A) đường thẳng u = B) đường tròn u2 + v2 = e C) đường tròn u2 + v2 = e D) đường thẳng v = Câu Khẳng đònh sau sai? A) Hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) B) Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) C) Chuỗi n (2 + n +1 ) n( z − 3i ) n có bá n kính hộ i tụ R = lim ⋅ =5 ∑ n→∞ ( + n ) n +1 + 5n n =1 D) Chuỗi n( z − 3i ) n có hình tròn hội tụ z − 3i ≤ ∑ + 5n n =1 ∞ ∞ Câu Khẳng đònh sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = A z →a z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z = 3i cực điểm cấp hàm f(z) = C) e5z ( z − 3i ) ⎡ e5z ⎤ e5z 15 i i dz Re , s =2 π i ⎢ ⎥ = 10πie 2 ∫ ⎢⎣ ( z − 3i ) ⎥⎦ z −i = ( z − 3i ) ⎡ e5z ⎤ e5z i s dz Re , D) ∫ = π i ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ ( z − 3i ) ⎥⎦ z + 5i = ( z − 3i ) Câu 10 Cho phương trình vi phân: y’-8y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= pY-8Y = e −πp +1 p −1 e −πp + ( p − 1)( p − 8) p −8 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = -2- e −πp (2) (3) ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + − ⎝ p − p − 1⎠ p − ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = ( ) ( t −π ) e − e t −π u (t − π ) + e 8t A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t với điều kiện y(0) = y’(0) = Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x '+3 y = e 3t với điều kiện x(0) = y(0) = ⎨ ⎩ x + y '+2 y = Câu 13 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z ) = ( z − i ) e z −i quanh điểm bất thường cô lập z = i Tính tích phân I = ∫ ( z − i) e z −i dz z − 2i =3 Câu 14 (1 điểm) Tìm tất điểm mặt phẳng phức mà hàm số f ( z ) = ( z + 6i ) Im z + iz có đạo hàm tính đạo hàm hàm số điểm ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày 28 tháng năm 2015 Trưởng Bộ môn Toán -3- -4- A) đường thẳng u = B) đường tròn u2 + v2 = e C) đường tròn u2 + v2 = e D) đường thẳng v = Câu Khẳng đònh sau sai? A) Hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) B) Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) (2 + n +1 ) n n( z − 3i ) n có bán kính hội tụ R = lim C) Chuỗi ∑ ⋅ =5 n→∞ ( + n ) n +1 + 5n n =1 ∞ D) Chuỗi n( z − 3i ) n có hình tròn hội tụ z − 3i ≤ ∑ + 5n n =1 ∞ Câu Cho phương trình vi phân: y’-8y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= pY-8Y = e −πp +1 p −1 (2) e −πp + ( p − 1)( p − 8) p −8 (3) e −πp ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = ( ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + − ⎝ p − p − 1⎠ p − ) ( t −π ) e − e t −π u (t − π ) + e 8t A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ⎡ t 6u ⎤ p−6 e cos 3udu ⎥ = ⎢ ∫ B) L ⎣0 ⎦ p ( p − 6) + ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp ⎧sin 5t ⎩0 D) Nếu f (t ) = ⎨ < t < π f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π T ∫e ) − pt f (t ) dt 1 − e−πp π − pt sin 5tdt ∫e t Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e3t+5 ∫ y (u ) cos 2(t − u )du ta làm sau: ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 3t +5y(t)*cos2t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ e 3t ] +5 L [y(t)*cos2t] ♦ p dụng công thức Borel ta Y= ♦ p 1 + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = +5Y p−3 p−3 p +4 p2 + Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = ( p − 1)( p − 3)( p − 4) -2- ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= A C B + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p − ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 3t + Ce 4t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t với điều kiện y(0) = y’(0) = Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x '+3 y = e 3t với điều kiện x(0) = y(0) = ⎨ + ' + = x y y ⎩ Câu 13 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z ) = ( z − i ) e Tính tích phân I = ∫ ( z − i) e z −i z −i quanh điểm bất thường cô lập z = i dz z − 2i =3 Câu 14 (1 điểm) Tìm tất điểm mặt phẳng phức mà hàm số f ( z ) = ( z + 6i ) Im z + iz có đạo hàm tính đạo hàm hàm số điểm ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày 28 tháng năm 2015 Trưởng Bộ môn Toán -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 10 – 0011 - 0111-2015-1615- 0011 Giám thò Giám thò số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 11-0001-0100-2015-1615-0100 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎤ ⎡ t 6u p−6 B) L ⎢ ∫ e cos 3udu ⎥ = p ( p − 6) + ⎦ ⎣0 ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = 1 − e− Tp < t < π f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π ⎧sin 5t D) Nếu f (t ) = ⎨ ⎩0 T ∫e ) − pt f (t ) dt 1 − e−πp π − pt sin 5tdt ∫e t Câu Để giải phương trình tích phân: y(t)= e3t+5 ∫ y (u ) cos 2(t − u )du ta làm sau: ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 3t +5y(t)*cos2t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ e 3t ] +5 L [y(t)*cos2t] ♦ p dụng công thức Borel ta Y= p 1 + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = +5Y p−3 p−3 p +4 p2 + ( p − 1)( p − 3)( p − 4) A C B Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p − ♦ Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = ♦ ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 3t + Ce 4t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) C) L [5 + t e 2t + sh3t ] = Câu Phần thực phần ảo số phức z = A) Rez = e + cos2, Imz = 3e - sin2 B) Rez = ⎡ 3p + ⎤ 3! + + p ( p − 2) p −9 e2 3e + cos2, Imz = + sin2 10 10 D) L -1 ⎢⎣ p − 64 ⎥⎦ = 3ch8t + 5sh8t e2 + e −2i là: − 3i e2 3e + cos2, Imz = - sin2 C) Rez = 10 10 D) Rez = e + cos2, Imz = 3e + sin2 Câu Khẳng định sau sai? -1- A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng giải tích miền D hàm u(x,y) v(x,y) khơng điều hòa miền D B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y) v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) C) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hòa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D D) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hòa thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E = {z : z − + i = z − − i }, F = {z : z − + 4i < 6} Khẳng đònh sau sai? A) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm − i + i B) Tập F hình tròn mở tâm − 4i bán kính C) Các tập E F tập liên thông D) Hai tập E F điểm chung ( E ∩ F = ∅) Câu Ảnh đường thẳng y = qua phép biến hình w = e 3+iz = u +iv A) đường thẳng u = B) đường tròn u2 + v2 = e C) đường tròn u2 + v2 = e D) đường thẳng v = Câu Khẳng đònh sau sai? A) Hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) B) Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) C) Chuỗi n (2 + n +1 ) n( z − 3i ) n có bá n kính hộ i tụ R = lim ⋅ =5 ∑ n→∞ ( + n ) n +1 + 5n n =1 D) Chuỗi n( z − 3i ) n có hình tròn hội tụ z − 3i ≤ ∑ + 5n n =1 ∞ ∞ Câu Khẳng đònh sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = A z →a z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z = 3i cực điểm cấp hàm f(z) = C) e5z ( z − 3i ) ⎡ e5z ⎤ e5z 15 i i dz Re , s =2 π i ⎢ ⎥ = 10πie 2 ∫ ⎢⎣ ( z − 3i ) ⎥⎦ z −i = ( z − 3i ) ⎡ e5z ⎤ e5z i s dz Re , D) ∫ = π i ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ ( z − 3i ) ⎥⎦ z + 5i = ( z − 3i ) Câu 10 Cho phương trình vi phân: y’-8y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= pY-8Y = e −πp +1 p −1 e −πp + ( p − 1)( p − 8) p −8 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = -2- e −πp (2) (3) ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + − ⎝ p − p − 1⎠ p − ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = ( ) ( t −π ) e − e t −π u (t − π ) + e 8t A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t với điều kiện y(0) = y’(0) = Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x '+3 y = e 3t với điều kiện x(0) = y(0) = ⎨ ⎩ x + y '+2 y = Câu 13 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z ) = ( z − i ) e z −i quanh điểm bất thường cô lập z = i Tính tích phân I = ∫ ( z − i) e z −i dz z − 2i =3 Câu 14 (1 điểm) Tìm tất điểm mặt phẳng phức mà hàm số f ( z ) = ( z + 6i ) Im z + iz có đạo hàm tính đạo hàm hàm số điểm ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày 28 tháng năm 2015 Trưởng Bộ môn Toán -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 11 - 0001- 0100 -2015-1615- 0100 Giám thò Giám thò số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Từ câu đến câu 10 Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11, câu 12 Câu 13, câu 14 -7- ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 1/6/2015) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 00 – 0001 - 0110-2015-1615- 0001 Câu hỏi 10 Trả lời C A D B D D A D D B Mã đề: 01 – 0001 - 0110-2015-1615- 0010 Câu hỏi 10 A D B D D A Mã đề: 10 – 0011 - 0111-2015-1615- 0011 Câu hỏi 10 B D A D B 10 D B D D A Trả lời D D B C Trả lời D D C A D Mã đề: 11 - 0001- 0100 -2015-1615- 0100 Câu hỏi Trả lời D B D C A BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Câu Điểm Nội dung hỏi Câu 11 1,5đ Đặt Y = Y ( p ) = L [y(t )] Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất 0.5đ tuyến tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: p 2Y − py (0) − y ' (0) + 6( pY − y (0) ) + 13Y = L [10 + e −3t ] 10 + p p+3 A B 11 p + 30 C ( p + 3) + D + ⇔Y= = + p p+3 p ( p + 3)[( p + 3) + 4] ( p + 3) + ⇔ Y ( p + p + 13) = 0.5đ Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta y (t ) = L −1 [Y ] = L −1 [ A 1 p+3 +B +C ] +D p p+3 ( p + 3) + ( p + 3) + ⇔ y (t ) = A + Be −3t + Ce −3t cos 2t + De −3t sin 2t Tìm A, B, C , D dựa vào đẳng thức: (*) A B 11 p + 30 C ( p + 3) + D + == + p p+3 p ( p + 3)[( p + 3) + 4] ( p + 3) + 11 × + 30 10 11 × ( −3) + 30 A= , B= = = 2 (0 + 3)[(0 + 3) + 4] 13 (−3)[(−3 + 3) + 4] B 4C + D 41 Từ (*) cho p = được: = A+ + 20 × 20 −4 A C + 2D Từ (*) cho p = −2 được: = +B+ −2 0.5đ Suy C = − 53 15 , D=− 52 13 Câu 12 1.5đ Đặt X = L [x], Y = L [y]; biến đổi Laplace hai vế ta được: ⎧ ⎪⎪ pX + 3Y = p − ⎧ L [x ′] + 3L [ y ] = L e 3t ⇔⎨ ⎨ ⎩L [x ] + L [y ′] + 2L [ y ] = 6L [1] ⎪ X + ( p + 2)Y = ⎪⎩ p ⎧ p − 16 p + 54 A B C D = + + + ⎪⎪ X = p( p − 1)( p − 3)( p + 3) p p − p − p + ⇔⎨ E F G p − 19 ⎪ Y= = + + ⎪⎩ ( p − 1)( p − 3)( p + 3) p − p − p + [ ] 0.5đ 0.5đ Biến đổi ngược hai vế ta được: 1 1 ⎧ −1 ⎪⎪ x = L [ A p + B p − + C p − + D p + ] ⎧ x = L −1 [ X ] ⇔⎨ ⎨ −1 1 y = L [ Y ] ⎩ ⎪ y = L −1 [ E ] +F +G ⎪⎩ p −1 p −3 p+3 3t t t ⎧ + De −3t ⇔ ⎨ x = Ae + tBe + 3Ce t − 3t ⎩ y = Ee + Fe + Ge ♦ Tìm A, B, C , D dựa vào 0.5đ p − 16 p + 54 A B C D = + + + p( p − 1)( p − 3)( p + 3) p p − p − p + A= 12 − 16 × + 54 39 − 16 × + 54 − 16 × + 54 = 6, B = =− , C= = 1(1 − 3)(1 + 3) 3(3 − 1)(3 + 3) 12 (0 − 1)(0 − 3)(0 + 3) D= (−3) − 16 × (−3) + 54 37 =− 24 − 3(−3 − 1)(−3 − 3) ♦ Tìm E , F , G dựa vào p − 19 E F G = + + ( p − 1)( p − 3)( p + 3) p − p − p + −1 × − 19 13 × − 19 × (−3) − 19 37 = , G= E= = , F= =− (1 − 3)(1 + 3) (3 − 1)(3 + 3) 12 (−3 − 1)(−3 − 3) 24 Câu 13 Khai triển Laurent f ( z ) = ( z − i) e z −i điểm 0.5đ ∞ ∞ ( z1−i ) n 1 = ( z − i) ∑ = ( z − i) ∑ = ∑ n n −3 n! n =0 n = n!( z − i ) n = n!( z − i ) ∞ Tính tích phân I= 3 ∫ ( z − i) e z −i dz = πi Re s[( z − i) e z−i , i] = 2πi z − 2i =3 Câu 14 πi = 4! 12 0.5đ điểm Tập xác đònh hàm số C f ( z ) = ( z + 6i ) Im z + iz = ( x + iy + 6i ) y + i ( x + iy ) = ( xy − y ) + i ( x + y + y ) 424 14 4244 u 0,25đ v Các đạo hàm riêng u x' = y, u 'y = x − , v x' = 1, v 'y = y + liên tục R2 nên u, v khả vi R2 = C (1) ⎧⎪ u x' = v 'y ⎧y = 2y + ⎧ x=0 (2) ⇔⎨ ⇔⎨ ' ' ⎪⎩u y = −v x ⎩ x − = −1 ⎩ y = −6 Điều kiện (C-R): ⎨ 0,25đ Hàm số có đạo hàm hàm số khả vi (3) Từ (1),(2) (3) suy tập tất điểm hàm số có đạo hàm {− 6i} 0,25đ 0,25đ f ' ( −6i ) = u x' (0,−6) + iv x' (0,−6) = − + i = −6 + i *** HẾT*** CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Từ câu đến câu 10 Câu 11, câu 12 Câu 13, câu 14 Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 [...]... thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 9 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: ... Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 11-0001-0100-2015-1615-0100 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM... đó hàm số f ( z ) = ( z + 6i ) Im z + iz có đạo hàm và tính đạo hàm của hàm số tại các điểm đó ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi Ngày 28 tháng 5 năm 2015 Trưởng Bộ môn Toán -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN... THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3 Đối với các hệ phương trình đại Mã đề: 01 – 0001 - 0110-2015-1615- 0010 Giám thò 1 Giám thò 2 số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà... đó hàm số f ( z ) = ( z + 6i ) Im z + iz có đạo hàm và tính đạo hàm của hàm số tại các điểm đó ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi Ngày 28 tháng 5 năm 2015 Trưởng Bộ môn Toán -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN... HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3 Đối với các hệ phương trình đại Mã đề: 10 – 0011 - 0111-2015-1615- 0011 Giám thò 1 Giám thò 2 số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài... HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3 Đối với các hệ phương trình đại Mã đề: 11 - 0001- 0100 -2015-1615- 0100 Giám thò 1 Giám thò 2 số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài... Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11, câu 12 Câu 13, câu 14 -7- ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 1/6/2015) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 00 – 0001 - 0110-2015-1615- 0001 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời C A D B D D A D D B Mã đề: 01 – 0001 - 0110-2015-1615-... sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t với điều kiện y(0) = 0 và y’(0) = 0 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x '+3 y = e 3t với điều kiện x(0) = 0 và y(0) = 0 ⎨ ⎩ x + y '+2 y = 6 1 Câu 13 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z ) = ( z − i ) 3 e z −i quanh điểm bất thường... sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t với điều kiện y(0) = 0 và y’(0) = 0 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x '+3 y = e 3t với điều kiện x(0) = 0 và y(0) = 0 ⎨ + ' + 2 = 6 x y y ⎩ Câu 13 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z ) = ( z − i ) e 3 Tính tích phân I = ∫ ( z ... KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 01-0001-0110-2015-1615-0010... KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 10-0011-0111-2015-1615-0011... KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (1/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 11-0001-0100-2015-1615-0100