Phép biến đổi ideal suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đình Tùng PHÉP BIẾN ĐỔI IDEAL SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đình Tùng PHÉP BIẾN ĐỔI IDEAL SUY RỘNG Chuyên ngành : Mã số : Đại số lý thuyết số 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Mục lục Lời nói đầu Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, ideal module 1.2 Địa phương hóa 1.3 Giới hạn thuận 1.4 Hàm tử Hom 1.5 Hàm tử Ext 11 1.6 Hàm tử dẫn xuất phải 13 1.7 Đối đồng điều địa phương dạng suy rộng 15 1.8 Biến đổi ideal 17 1.9 Dãy phổ 19 Biến đổi ideal suy rộng 25 2.1 Biến đổi ideal suy rộng 25 2.2 Tính hữu hạn tính Artin biến đổi ideal suy rộng 31 2.3 Ideal nguyên tố liên kết module Ri DB (M, N) 35 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Lời cám ơn Tôi xin cám ơn thầy hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam cho đề tài thú vị tận tình giải đáp thắc mắc tơi q trình đọc tài liệu Tơi cám ơn gia đình phịng sau đại học tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp, chỉnh sửa từ bạn đọc Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến tất Học viên, Nguyễn Đình Tùng Danh mục ký hiệu Ri T Hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử T dim(R), dim(M) Chiều Krull vành R , module M Spec(R) Phổ nguyên tố - tập ideal nguyên tố vành R Supp(R) Tập ideal nguyên tố ρ vành R mà địa phương hóa Rρ = Ass(M) Tập ideal nguyên tố liên kết module M annR (S), ann(S) Tập phần tử r vành hệ tử R mà r · S = (0 :M a) Tập phần tử m M mà a · m = (a phần tử tập R) V (α) Tập ideal nguyên tố chứa ideal α RS , MS Địa phương hóa vành R, module M tập đóng nhân S Ker, Coker Hạt nhân, đối hạt nhân đồng cấu Im, Coim Ảnh, đối ảnh đồng cấu pd(N) Chiều xạ ảnh module N Hom(M, N) Tập đồng cấu từ M vào N i Ext (M, N) Mở rộng bậc i module N M lim Ni −→ Giới hạn thuận hệ thuận (Ni ) tập định hướng Λ ΓK (N) Tập phần tử N bị hủy lũy thừa I hay ideal B HKi (N) module đối đồng điều địa phương (suy rộng)thứ i module N i∈Λ ứng với ideal K (hệ ideal K) HKi (M, N) module đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i module N theo ideal K (hệ ideal K) module M DK (N) Biến đổi ideal module N ứng với ideal K( hệ ideal K) DK (M, N)) Biến đổi ideal module N ứng với ideal K( hệ ideal K) module M H(E, d) Tập module đồng điều( đối đồng điều) (song) phức E với vi phân d MỞ ĐẦU Nội dung Chương gồm kiến thức đại số đại cương, đại số giao hoán, đại số đồng điều, hàm tử dẫn xuất, dãy phổ, Chương phần chính, mà tồn nội dung việc mở rộng kết [18] biến đổi ideal suy rộng theo ideal I module M : DI (M, −) = lim Hom(I n M, −) −→ n∈N cho trường hợp suy rộng biến đổi ideal suy rộng theo hệ ideal B tập định hướng Λ module M: DB (M, −) = lim Hom(bs M, −) −→ s∈Λ Ta biết rằng: Khi N R-module B-xoắn, N có phép giải nội xạ gồm tồn module B-xoắn Từ ta có kết tảng cho chương Định lý 2.1.1: Cho M R-module hữu hạn sinh, N R-module B-xoắn, Ri DB (M, N) = với i ≥ từ biểu diễn tương đương qua giới hạn thuận hàm tử dẫn xuất phải DB (M, N) tức Ri DB (M, −) ∼ Exti (bs M, −) với i ≥ 0, ta có dãy khớp dài = lim −→ s∈Λ Định lý 2.1.3: −→ HB (M, N) −→ Hom(M, N) −→ DB (M, N) −→ HB (M, N) −→ i i+1 (M, N) −→ Exti (M, N) −→ Ri DB (M, N) −→ HB (M, N) −→ −→ HB Nó cho phép ta kiểm tra tính chất biến đổi ideal ([5, 2.2],[18, 2]) trường hợp suy rộng kể - trình bày mục 2.1 Kết mục 2.1 dùng thường xuyên chứng minh mục 2.2 2.3 Cũng mục 2.1, xin đưa chứng minh gọn cho [18, Theorem 2.8 ii)] (xem Định lý 2.1.6 Tiếp theo, tơi chọn trình bày kết mà đọc hiểu kỹ mục mục [18] (một số điều kiện cho tính hữu hạn, tính Artin số kết tập Supp, Ass module Ri DB (M, N)) mục 2.2 2.3 tương ứng Hầu hết phát biểu hai mục chưa thể mở rộng chứng minh nên trình bày cụ thể, rõ ràng khả hiểu Các phát biểu mở rộng thay ideal I hệ ideal B 2.2.1, 2.3.10 2.3.11 Trong mục 2.2, nhận thấy [18, Proposition 3.2] bỏ tính hữu hạn sinh N đưa chứng minh (xem Mệnh đề 2.3.1) Mục 2.3 giới thiệu điều kiện Lasker yếu-module mà tập Supp module thương hữu hạn, ứng dụng Dãy phổ Grothedieck 1.9.19 dãy phổ hội tụ sau: E2p,q = Ext p (M, Rq DB (N)) =⇒ R p+q DB (M, N) p Chương Các kiến thức chuẩn bị Các nội dung trình bày chương kiến thức phổ biến đại số, lấy từ sách kinh điển Atiyah-Macdonald [1], Matsumura[15], Rotman[19], Macland[13] Brodmann-Sharp[5] 1.1 Vành, ideal module Trong luận văn này,mọi module module trái, vành vành giao hốn, có đơn vị khác khơng có tính Noether sau: Định nghĩa 1.1.1 Vành R gọi vành Noether thỏa điều kiện tương đương: i) Mọi họ khác trống ideal có phần tử tối đại ii) Mọi dãy tăng ideal dừng (điều kiện chuỗi tăng) iii) Mọi ideal hữu hạn sinh Ta có định nghĩa song hành với nó: Định nghĩa 1.1.2 Vành R gọi vành Artin thỏa điều kiện tương đương sau: i) Mọi họ khác trống ideal có phần tử tối tiểu ii) Mọi dãy giảm ideal dừng (điều kiện chuỗi giảm) Lưu ý vành thương (vành Noether) hay Artin Noether (hay Artin), vành chúng nói chung khơng có tính chất vành mẹ Định nghĩa 1.1.3 module M vành tùy ý gọi module Noether (hay Artin) thỏa điều kiện tương đương sau: i) Mọi họ khác trống module có phần tử tối đại (tối tiểu) ii) Mọi dãy tăng (giảm) module dừng Bổ đề 1.1.4 Cho M R-module dãy module N ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ M thỏa N1 /N = N2 /N N1 ∩ N = N2 ∩ N N1 = N2 Định lý 1.1.5 Cho dãy khớp R-module −→ M −→ N −→ P −→ thì: M Noether (Artin) ⇔ M P Noether (Artin) Hệ 1.1.6 Cho {Mi } họ hữu hạn module Noether (Artin) ⊕Mi Noether (Artin) Định lý 1.1.7 Cho M module vành Noether M Noether M hữu hạn sinh Khi vành R tùy ý ta có định lý sau: Định lý 1.1.8 Cho M module vành tùy ý M module Noether module M hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.9 Cho M R-module , ta định nghĩa: Spec(R) tập ideal nguyên tố vành R Với S tập M, ký hiệu annR (S) = {x ∈ R | xS = 0} (hoặc viết gọn ann(S)) ideal ρ gọi ideal nguyên tố liên ρ ∈ Spec(R) có x ∈ M mà ρ = ann(x); ta ký hiệu Ass(M) tập ideal nguyên tố liên kết M Với a ideal R đặt V (a) = {ρ ∈ Spec R | a ⊂ ρ} Định lý 1.1.10 Cho M R-module , phần tử tối đại họ {ann(x) | x ∈ M, x = 0} ideal nguyên tố liên kết Mệnh đề 1.1.11 Cho M R-module , ideal ρ R ideal nguyên tố liên kết M R/ρ đẳng cấu với module M Định lý 1.1.12 Cho M = R-module Noether, tồn chuỗi hữu hạn = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn = M module M thỏa Mi /Mi−1 ∼ = R/ρi với ρi ∈ Spec(R) với i Chứng minh Định lý 1.1.10 cho ta Ass M = ∅, nên có ρ1 ∈ Ass(M) R/ρ1 ∼ = M1 ⊂ M Nếu M/M1 = lại có ρ2 ∈ Ass(M/M2 ) R/ρ2 ∼ = M2 /M1 với M1 ⊂ M2 ⊂ M, tiếp tục Quá trình phải dừng Mn = M với n tính Noether module M Định lý 1.1.13 Khi M R-module hữu hạn sinh Ass(M) = V (ann(M)) tập hữu hạn Với M ⊂ N Ass M ⊂ Ass N nữa: Định lý 1.1.14 Cho dãy khớp −→ M −→ N −→ P −→ R-module Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪ Ass(P) Định lý 1.1.15 (Định lý tránh nguyên tố) Cho R vành, đó: i) Cho ρ1 , , ρn ideal ngyên tố R, a ideal R, a ⊂ n i=1 ρi a ⊂ ρ j ii) Cho a1 , , am ideal R, ρ ideal nguyên tố chứa với i Nếu ρ = m i=1 m i=1 ρ ⊃ ρ = với i Định lý 1.1.16 (Bổ đề Artin-Ree) Cho M R-module hữu hạn sinh, N module M I ideal R Khi có số nguyên dương c cho với số nguyên n > c ta có: I n M ∩ N = I n−c (I c M ∩ N) Ta kết thúc mục định nghĩa chiều vành, module : Với vành R tùy ý, chặn nhỏ tập số tự nhiên r thỏa: có chuỗi giảm ngặt ideal nguyên tố R: ρ0 ρ1 ρr , gọi chiều Krull R, ký hiệu dim R Nếu M R-module ta định nghĩa chiều M chiều vành R/ ann(M), ta có dim(M) = dim(R/ ann(M)) Định lý 1.1.17 [1, Theorem 8.5] Vành A vành Artin A vành Noether dim(A) = 31 ii) Theo Định lý 2.1.4 Hệ 1.8.5 ta có DaR (M, N) ∼ = = DaR (DaR (M, N)) ∼ (DaR (M, N))a Lại theo ý i) trên, Hệ 1.8.5 Mệnh đề 1.4.3 ta có: DaR (M, N) ∼ = Hom(Ma , Na ) = (Hom(M, N))a ∼ = DaR (Hom(M, N)) ∼ Mệnh đề 2.1.7 Cho M R-module hữu hạn sinh N R-module có phép giải nội xạ I • đó: Ri DB (M, N) ∼ = H i (HomR (M, DB (I • ))) Chứng minh Kết hợp Định lý 2.1.6 Định lý 2.1.4 ta có DB (M, I i ) ∼ = DB (Hom(M, I i )) ∼ = Hom(M, DB (I i )) Vậy nên: Ri DB (M, N) = H i (DB (M, I • )) ∼ = H i (Hom(M, DB (I • ))) 2.2 Tính hữu hạn tính Artin biến đổi ideal suy rộng Mục xem xét số điều kiện cho tính hữu hạn sinh biến đổi ideal suy rộng , tính chất có liên hệ mật thiết với tính hữu hạn sinh đối đồng điều địa phương suy rộng Ta có mở rộng [18, Proposition 2.11] sau: Mệnh đề 2.2.1 Cho M, N hai R-module hữu hạn sinh i số nguyên dương i (M, N) hữu hạn sinh Ri−1 D (M, N) hữu hạn sinh Khi HB B Chứng minh Do M, N hữu hạn sinh, M có phép giải tự hữu hạn sinh P• Hom(Pi , N) hữu hạn sinh, suy Exti (M, N) hữu hạn sinh với i ≥ Định lý 2.1.3 cho ta dãy khớp: i −→ Exti−1 (M, N) −→ Ri−1 DB (M, N) −→ HB (M, N) −→ Exti (M, N) −→ 32 với ý dãy khớp cảm sinh cho ta dãy khớp ngắn → X(⊂ Exti−1 (M, N)) → i (M, N)) → (tương tự với H i (M, N)) module Ri−1 DB (M, N) → Y (⊂ HB B i (M, N) hữu hạn module hữu hạn sinh vành Noether hữu hạn sinh, ta có HB sinh tương đương Ri−1 DB (M, N) hữu hạn sinh, với i ≥ Trong [6, theorem 2.5] tác giả chứng minh rằng, với I ideal R, r ≥ pd(M) HIr (M, R/ρ) Artin với ρ ∈ Supp(N) HIi (M, N) Artin với i ≥ r, ta có kết tương tự: Định lý 2.2.2 ([18, Proposition 2.13]) Cho M, N R-module hữu hạn sinh với pd(M) < ∞, I ideal R Giả sử t số nguyên dương lớn pd(M), thì: i) Nếu Rt DI (M, R/ρ) Artin với ρ ∈ Supp(N) Ri DI (M, N) Rmodule Artin với i ≥ t ii) Nếu Rt DI (M, R/ρ) HIt (M, R/ρ) Artin với ρ ∈ Supp(N) Exti (M, N) R-module Artin với i ≥ t Chứng minh i) Chứng minh tương tự [6, theorem 2.5] sau: Bước 1, với i ≥ t ta Ri DI (M, N) Artin biết Ri DI (M, R/ρ) Artin với ρ ∈ Supp(N) Do N R-module hữu hạn sinh nên theo chứng minh Định lý 1.1.12 cho ta chuỗi hữu hạn module N thỏa: = N0 ⊂ N1 ⊂ ⊂ Nk = N với N j /N j−1 ∼ = R/ρ j , ρi ∈ Supp(N) với j Nó cho ta dãy khớp ngắn: −→ N j−1 −→ N j −→ R/ρ j −→ cảm sinh dãy khớp dài: → Ri DI (M, N j−1 ) → Ri DI (M, N j ) → Ri DI (M, R/ρ j ) → Do Ri DI (M, N0 ) = Ri DI (M, R/ρ1 ) Artin nên dãy khớp cho ta Rt DI (M, N1 ) Artin, lại có Ri DI (M, R/ρ2 ) Artin nên dãy khớp cho ta Rt DI (M, N2 ) Artin, , tiếp tục bước ta Ri DI (M, Nk ) = Ri DI (M, N) Artin 33 Bước 2, ta chứng minh rằng: Với i ≥ t mà Ri DI (M, R/ρ) Artin với ρ ∈ Supp(N) Ri+1 DI (M, R/ρ) Artin với ρ ∈ Supp(N) Lấy ρ ∈ Supp(N) giả sử Ri+1 DI (M, R/ρ) = I ⊂ ρ (nếu I ⊂ ρ, R/ρ I-xoắn, Ri+1 DI (M, R/ρ) = (!)) Lấy tùy ý a ∈ I \ ρ ta có dãy khớp ngắn sau: / R/ρ a / R/ρ / R/(ρ + aR) / Cho ta dãy khớp dài: a → Ri DI (M, R/(ρ + aR)) → Ri+1 DI (M, R/ρ) −→ Ri+1 DI (M, R/ρ) → Chú ý P ∈ Supp(R/(ρ + aR)) có x¯ ∈ R/(ρ + aR) : ann(x) ¯ ⊂ P mà ρ + aR ⊂ ann(x) ¯ nên ρ ∈ P, P ∈ Supp(N) Theo Bước ta có Ri DI (M, R/(ρ + aR)) Artin dãy khớp dài cho ta tập (0 :Ri+1 DI (M,R/ρ) a) ảnh Ri DI (M, R/(ρ + aR)) nên Artin Do i > pd(M) nên Exti (M, R/ρ) = kết hợp dãy khớp dài 2.1.3 cho ta Ri+1 DI (M, R/ρ) ∼ = HIi+2 (M, R/ρ) I-xoắn, a ∈ I nên Ri+1 DI (M, R/ρ) aR-xoắn, Định lý Melkerson [16, Theorem 1.3] cho ta Ri+1 DI (M, R/ρ) Artin Bước 3, với i ≥ t, Bước cho ta Ri DI (M, R/ρ) Artin với ρ ∈ Supp(N) Bước cho ta Ri Di (M, N) Artin với i ≥ t ii) Do i ≥ t > pd M nên Exti (M, N) = Artin Trong định lý sau, ta nghiên cứu tính Artin Ri DB (M, N) N Artin hay hữu hạn sinh Bổ đề 2.2.3 Nếu N R-module hữu hạn sinh có dim(N) = N module Artin Chứng minh Ta có N module Noether nên Định lý 1.1.12 cho ta chuỗi: = N0 ⊂ N1 ⊂ ⊂ Nk = N Ni /Ni−1 ∼ = R/ρi với ρi ∈ Supp(N) 34 Do dim(N) = dim(R/ ann(N)) = R/ ann(N) vành Noether nên Định lý 1.1.17 cho ta R/ ann(N) vành Artin Vì ρi ⊃ ann(N) nên có tồn cấu tự nhiên R/ ann(N) → R/ρi cho ta R/ρi vành Artin Ta có module R/ρi (xem R-module ) ideal vành R/ρi nên thỏa điều kiện dãy tăng, R/ρi R-module Artin, Ni /Ni−1 Artin Từ N0 = quy nạp theo điều kiện 1.1.5 ta suy N1 Artin, N2 Artin, , cuối N Artin Định lý 2.2.4 ([18, Theorem 2.14]) Cho M R-module hữu hạn sinh, I ideal R i) Nếu N module Artin Ri DI (M, N) Artin với i ≥ ii) Nếu N hữu hạn sinh p = pd(M), d = dim(N) hữu hạn R p+d DI (M, N) Artin Chứng minh i) Theo [17, Theorem 2.6] HIi (M, N) Artin với i ≥ Mặt khác M hữu hạn sinh nên có phép giải tự hữu hạn sinh: P• : → Pi → Pi−1 → → P1 → M → (các Pi module tự hữu hạn sinh), Hom(Pi , N) ∼ = N ki module Artin, Exti (M, N) thương Hom(Pi , N) nên Artin với i ≥ Kết hợp với dãy khớp dài 2.1.3 Ri DI (M, N) module Artin với i ≥ ii) [3, Theorem 5.1] nói HIi (M, N) = với i > pd(M) + dim(N) Ta có: Khi d = pd(M) = 0, thay HIp+1 (M, N) = vào dãy khớp dài Định lý 2.1.3: → HIp (M, N) → Ext p (M, N) → R p DI (M, N) → → theo Bổ đề 2.2.3, N module Artin, theo ý i) trên, Ext p (M, N) Artin, nên R p DI (M, N) Artin Khi d = dim(N) > 0, Exti (M, N) = với i > pd(M) nên dãy khớp dài 2.1.3 cho ta: p+d+1 R p+d DI (M, N) ∼ (M, N) = = HI 35 2.3 Ideal nguyên tố liên kết module RiDB(M, N) Tiếp theo ta đưa vài điều kiện để tập tập Ass hữu hạn Mệnh đề sau mở rộng [18, Proposition 3.2]: Mệnh đề 2.3.1 Cho M R-module hữu hạn sinh N R-module tùy ý, Ass(DI (M, N)) = Supp(M) ∩ Ass(N) \V (I) Mệnh đề kết hợp hai bổ đề sau Định lý 2.1.6: Bổ đề 2.3.2 ([20, Theorem 3.1]) Cho M R-module , I ideal R, ta có: Ass(DI (M)) = Ass(M) \V (I) Chứng minh • Ass(M) \V (I) ⊂ Ass(DI (M)): Với ρ ∈ Ass(M), I ⊂ ρ có x ∈ M mà ρ = ann(x) Dãy khớp dài Định lý 1.8.2 / ΓI (M) / M f / DI (M) g / H (M) I / cho ta ρ = ann(x) ⊂ ann( f (x)), ta chứng minh ann( f (x)) ⊂ ρ: Với r ∈ R mà r f (x) = rx ∈ Ker f nên I-xoắn, tức có t > mà I t rx = 0, I t r ⊂ ρ Nếu rx = 0, r ∈ /ρ suy I t ⊂ ρ hay I ⊂ ρ (mâu thuẫn), rx = hay r ∈ ρ • Ass(M) \V (I) ⊃ Ass(DI (M)): Với ρ ∈ Ass(DI (M)) ρ = ann(x) với = x ∈ M đó, I ⊂ ρ Ix = suy ΓI (DI (M)) = vô lý, I ⊂ ρ hay Ass DI (M) ∩V (I) = ∅ Để ρ ∈ Ass(M) xét dãy khớp ngắn: g −→ Im f −→ DI (M) −→ HI1 (M) −→ cho ta Ass(DI (M)) ⊂ Ass(Im f )∪Ass(HI1 (M)) HI1 (M) I xoắn nên Ass(HI1 (M) ⊂ V (I) ρ ∈ Ass(Im f ) Ta có Im f ∼ ¯ với m¯ = m+ΓI (M) = M/ΓI (M), với ρ ∈ Ass(M/ΓI (M) ρ = ann(m) Ta có ρm ⊂ ΓI (M), R-Noether nên ρ hữu hạn sinh, có t ∈ N để I t ρm = Do I ⊂ ρ nên I t ⊂ ρ chọn r ∈ I t \ ρ thì: ρ ⊂ ann(rm) ⊂ ann(rm) ¯ = ann(m) ¯ =ρ Vậy ρ = ann(rm) ∈ Ass(M) 36 Bổ đề 2.3.3 Với M R-module hữu hạn sinh cịn N R-module tùy ý ta có: Ass(Hom(M, N)) = Supp(M) ∩ Ass(N) Chứng minh • Ass(Hom(M, N)) ⊂ Supp(M) ∩ Ass(N): Với ρ ∈ Ass(Hom(M, N)) ρRρ ∈ Ass(Hom(M, N)ρ ) Hom(M, N)ρ ∼ = HomRρ (Mρ , Nρ ) nên ρRρ ∈ Ass(HomRρ (Mρ , Nρ )) Vậy Mρ = hay ρ ∈ Supp(M) có f ∈ Hom(Mρ , Nρ ) : ann( f ) = ρRρ tức ρRρ = ann(Im f ) Do M hữu hạn sinh nên Mρ Rρ -module hữu hạn sinh Im f hữu hạn sinh, từ theo Định lý tránh nguyên tố, ρRρ = ann(x) với phần tử sinh x Im f Vậy ρRρ ⊂ Ass(Im f ) ⊂ Ass(Nρ ), nên ρ ∈ Ass(N) • Ass(Hom(M, N)) ⊃ Supp(M) ∩ Ass(N): Với ρ ∈ Supp(M) ∩ Ass(N) Mρ = 0, Nρ = Do M hữu hạn sinh, [4, Proposition 20,Chapter II.§4] cho ta đồng cấu khác khơng u : M → R/ρ Khi đồng cấu: M u / R/ρ i / N với i đơn cấu thỏa ann(i ◦ u) = ρ ρ ∈ Ass(Hom(M, N)) Định nghĩa 2.3.4 [14] R-module M gọi module Lasker yếu module thương có tập Ass hữu hạn Bổ đề 2.3.5 ([8, Lemma 2.3]) f g i) Cho dãy khớp ngắn −→ M −→ M −→ M −→ Khi M Lasker yếu M , M Lasker yếu Vì module con, module thương module Lasker yếu Lasker yếu; tổng trực tiếp hữu hạn module Lasker yếu Lasker yếu ii) Nếu M R-module hữu hạn sinh N Lasker yếu Exti (M, N) Tori (M, N) Lasker yếu với i ≥ iii) Mọi module Artin module hữu hạn sinh Lasker yếu Chứng minh i) Cho trước M Lasker yếu, với N module M ta có dãy khớp −→ M /N −→ M/ f (N ) −→ M/ f (M ) −→ cho ta Ass(M /N ) ⊂ Ass(M/ f (N )) tập hữu hạn, M Lasker yếu Với N module M ta có dãy khớp −→ M/g−1 (N ) −→ M /N −→ nên Ass(M /N ) = 37 Ass(M/g−1 (N )) hữu hạn Nếu biết M , M Lasker yếu, với N module M ta có dãy khớp: −→(N + Kerg)/N −→ M/N −→ M /g(N) −→ Với đồng cấu cảm sinh tự nhiên từ g Theo định lý đồng cấu ta có (N + Kerg)/N ∼ = f −1 (N) nên: = M , N ∩ Kerg ∼ = Kerg/(N ∩ Kerg), Kerg ∼ Ass(M/N) ⊂ Ass((N +Kerg)/N)∪Ass(M /g(N)) = Ass(M / f −1 (N))∪Ass(M /g(N)) tập hữu hạn Vậy M Lasker yếu ii) Do M hữu hạn sinh có phép giải tự do: P• : → Pi → Pi−1 → → P0 → M → Pi module tự hữu hạn sinh Khi Exti (M, N) module thương Hom(Pi , N) ∼ = N ri với ri hạng module tự Pi Các Tori (M, N) module thương Pi ⊗ N ∼ = Rri ⊗ N ∼ = N ri Ý i) cho ta N ri module Lasker yếu nên Exti (M, N), Tori (M, N) module Lasker yếu iii) Do vành R Noether, module hữu hạn sinh Noether, nên module thương Noether tập Ass module thương hữu hạn Với module Artin, module thương Artin, theo Định lý 1.2.6 có tập Ass hữu hạn Định lý sau cho ta điều kiện tương đương tính Lasker yếu: Định lý 2.3.6 ([2, Theorem 2.5]) M Lasker yếu M có module hữu hạn sinh N mà Supp(M/N) hữu hạn Theo [7, Theorem 2.2], m ideal tối đại R, M, N module hữu hạn sinh Hmi (M, N) module Artin với i ≥ 0; 1.2.6 cho ta Supp(Hmi (M, N)) tập hữu hạn Với N module Lasker yếu ta có định lý tương tự sau: 38 Định lý 2.3.7 ([18, Theorem 3.3]) Cho M R-module hữu hạn sinh N Rmodule Lasker yếu Nếu m ideal tối đại R Supp(Hmi (M, N)) Ass(Ri Dm (M, N)) tập hữu hạn với i ≥ Chứng minh Do N module Lasker yếu, theo 2.3.6 có module hữu hạn sinh P thỏa Supp(N/P) hữu hạn Ta có dãy khớp ngắn sau: / / P N / N/P Hmi (M, N) g / cảm sinh dãy khớp dài: / Hmi (M, P) f / / Hmi (M, N/P) / Theo [7, Theorem 2.2], Hmi (M, P) module Artin với i ≥ nên Im f module Artin 1.2.6 cho ta Supp(Im f ) hữu hạn Theo 1.3.5 ta có Supp(Img) ⊂ Supp(Hmi (M, N/P)) = Supp(lim Exti (bs M, N/P)) ⊂ −→ s∈Λ Supp Exti (bs M, N/P) Với s ∈ Λ, Định lý 1.2.7 cho ta Supp(Exti (bs M, N/P)) ⊂ s∈Λ Supp Hom(Pis , N/P) ⊂ Supp(N/P) (với Pis module tự hữu hạn sinh thứ i phép giải xạ ảnh bs M), Supp(Img) hữu hạn Ta có dãy khớp ngắn → Im f → Hmi (M, N) → Img → cho ra: Supp(Hmi (M, N)) = Supp(Im f ) ∪ Supp(Img) tập hữu hạn Vậy Ass(Hmi (M, N)) tập hữu hạn với i ≥ Xét dãy khớp dài 2.1.3: / Exti (M, N) / Ri Dm (M, N) / Hmi+1 (M, N) / Theo 2.3.5 ta có Exti (M, N) Lasker yếu nên Ass(Exti (M, N)) tập hữu hạn dãy khớp cho ta Ass(Ri Dm (M, N)) tập hữu hạn với i ≥ Định lý 2.3.8 ([18, Proposition 3.4]) Cho M R-module hữu hạn sinh, N Rmodule Lasker yếu vành địa phương (R, m) I ideal R Nếu dim(N) ≤ Ri DI (M, N) module Lasker yếu với i ≥ 39 Chứng minh Theo [11, Lemma 3.1], điều kiện định lý cho ta HIi (M, N) module Lasker yếu với i ≥ Theo 2.3.5, Exti (M, N) Lasker yếu với i ≥ Từ dãy khớp dài Định lý 2.1.3: −→ HIi (M, N) −→ Exti (M, N) −→ Ri DI (M, N) −→ HIi+1 (M, N) −→ ta có Ri DI (M, N) Lasker yếu với i ≥ Ta biết , E R-module nội xạ ΓB (E) nội xạ phép giải nội xạ (E) = 0, thay vào dãy khớp dài Định E → E → E0 (= E) → → , nên HB lý 1.8.2 ta có dãy khớp ngắn: −→ ΓB (E) −→ E −→ DB (E) −→ chẻ, suy ra: Chú ý 2.3.9 Nếu E module nội xạ DB (E) module nội xạ Từ Định lý Dãy phổ Grothendieck 1.9.19 cho ta định lý sau, mở rộng [18, Theorem 3.5]: Định lý 2.3.10 Cho M R-module N R-module tùy ý, đó: i) Có dãy phổ Grothendieck: E2p,q = Ext p (M, Rq DB (N)) =⇒ R p+q DB (M, N) p ii) Ass(Rt DB (M, N)) ⊂ iii) Supp Rt DB (M, N) ⊂ Chứng minh i,t−i t t i=1 Ass(Et+2 ) ∪ Ass(Hom(M, R DB (N))) t i t−i i=0 Supp(Ext (M, R DB (N))) i) Đặt G = DB (−), F = Hom(M, −) F khớp trái, với E R module nội xạ, DB (E) nội xạ hiển nhiên Ri F(DB (E)) = Exti (M, DB (E)) = theo Định lý 1.9.19 ta có dãy phổ góc phần tư thứ ba hội tụ: E2p,q = R p F(Rq G(N)) = Ext p (M, Rq DB (N)) =⇒ R p+q Hom(M, DB (N)) p Theo 2.1.7 ta có R p+q Hom(M, DB (N)) ∼ = R p+q DB (M, N) vào dãy phổ có điều cần chứng minh 40 ii) Dãy phổ dãy phổ góc phần tư thứ ba nên có lọc giảm bị chặn module phân bậc {Rn DB (M, N)}n (ký hiệu lại H) thỏa: Rt DB (M, N) = H t = φ0 H t ⊃ φ1 H t ⊃ ⊃ φt+1 H t = E∞i,t−i ∼ = φi H t /φi+1 H t Nó cho ta dãy khớp: −→ φi+1 H t −→ φi H t −→ E∞i,t−1 −→ ∀i ≤ t suy Ass φi H t ⊂ Ass φi+1 H t ∪ Ass E∞i,t−i , ∀i ≤ t Kết hợp biểu thức ta được: t t t Ass E∞i,t−i Ass R DB (M, N) = Ass φ0 H ⊂ i=0 Tiếp theo ta xét dãy nửa khớp sau: i−t−2,2t−i+1 Et+2 dt+2 dt+2 / E i,t−i t+2 / E i+t+2,−1−i t+2 Khi p < q < Erp,q = nên: i−t−2,2t−i+1 i+t+2,−1−i Et+2 = Et+2 = 0, ∀0 ≤ i ≤ t i,t−i i,t−i , ∀0 ≤ i ≤ t, tương tự ta có: = Et+2 Suy Et+3 i,t−i i,t−i i,t−i Et+2 = Et+3 = Et+4 = = E∞i,t−i , ∀0 ≤ i ≤ t Đặc biệt i = 0, với ≤ n ≤ t + ta có dãy nửa khớp: En−n,t+n−1 −→ En0,t −→ Enn,t+1−n 0,t E −n,t+n−1 = nên En+1 ⊂ En0,t , ta được: 0,t 0,t E∞0,t = = Et+2 ⊂ Et+1 ⊂ ⊂ E20,t Kết hợp biểu thức lại nhớ E20,t = Hom(M, Rt DB (N)) ta được: t Ass Rt DB (M, N) ⊂ ( Ass(E∞i,t−i )) Ass(E∞0,t ) i,t−i Ass(Et+2 )) Ass(Hom(M, Rt DB (N))) i=1 t =( i=1 41 iii) Cũng từ dãy nửa khớp bao hàm thức câu ii) ta có t i,t−i Supp Et+2 t Supp(R DB (M, N)) ⊂ i=0 i,t−i Theo cách xác định E r Et+2 thương E2i,t−i = Exti (M, Rt−i DB (N)) nên: t Supp(Exti (M, Rt−i DB (N))) t Supp(R DB (M, N)) ⊂ i=0 Hệ 2.3.11 (Xem [18, Corollary 3.7]) Cho M R-module hữu hạn sinh, N R-module tùy ý cịn t số ngun khơng âm Nếu Supp(Ri DB (N)) tập hữu hạn với i < t Supp(Rt DB (M, N)) hữu hạn Chứng minh Từ Định lý 2.3.10, ý iii) ý Exti (M, X) thương Hom(Pi , X) (với Pi module xạ ảnh hữu hạn sinh thứ i phép giải xạ ảnh hữu hạn M) mà Hom(Pi , X) ⊂ Hom(Rk , X) ∼ = X k nên Supp Exti (M, X) ⊂ Supp Hom(Pi , X) ⊂ Supp X k = Supp X ta có ngay: t t Supp(Exti (M, Rt−i DB (N))) Supp(R DB (M, N)) ⊂ i=0 t Supp(Rt−i DB (N)) ⊂ i=0 tập hữu hạn Hệ 2.3.12 ([18, Corollary 3.6]) Cho I ideal R, M R-module hữu hạn sinh, N R-module Lasker yếu t số nguyên không âm Nếu Ri DI (N) Lasker yếu với i < t Ass(Rt DI (M, N)) tập hữu hạn Chứng minh Theo 2.3.10 ta có: t i,t−i Ass(Et+2 ) t Ass(R DI (M, N)) ⊂ Ass(Hom(M, Rt DI (N))) i=1 Do Ri DI (N) Lasker yếu với i < t nên Exti (M, Rt−i DI (N)) Lasker yếu i,t−i với ≤ i < t Do Et+2 thương E2i,t−i = Exti (M, Rt−i DI (N)) nên t Lasker yếu với ≤ i < t Do i−1 i,t−i Ass Et+2 hữu hạn 42 Theo 1.8.2, Ri DI (N) ∼ = HIi+1 (N) với i > 0, HI1 (N) module thương DI (N) HI0 (N) module N, HIi (N) Lasker yếu với i < t + Do [8, Theorem 2.7] cho ta Ass(H t+1 (N)) = Ass(Rt DI (N)) hữu hạn, nên 2.3.3 cho ta Ass(Hom(M, Rt DI (N))) hữu hạn Vậy Ass(Rt DI (M, N)) hữu hạn 43 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn tính chất mục 2.1 biến đổi ideal DI (M, N) thay ideal I hệ ideal B tập định hướng Λ Nhưng chưa mở rộng phát biểu 2.2.2, 2.2.4, 2.3.8 2.3.12 thay I hệ ideal B cần mở rộng tất kết tham khảo từ tác giả khác Tôi xin đưa vài hướng nghiên cứu sau: • Định lý 2.2.2: Với I thay hệ ideal B, chứng minh bước ta thay ’Lấy tùy ý a ∈ I \ ρ’ ’Lấy tùy ý a ∈ s∈Λ bs \ ρ’ chứng minh cịn khơng? • Định lý 2.2.4: Chứng minh có dùng [17, Theorem 2.6] hướng nghiên cứu thử chứng minh phát biểu mở rộng: i (M, N) Cho M R-module hữu hạn sinh, N R-module Artin, HB Artin với i ≥ dựa vào chứng minh [17, Theorem 2.6] • Cũng Định lý 2.2.4, ý ii), tác giả báo tham khảo [3] có đưa tính chất Cho M R-module hữu hạn sinh, N R-module thỏa pd(M) < i (M, N) = với i > pd(M) + dim(N) ∞, dim(N) < ∞ HB Dùng kết ta mở rộng ý ii) Cuối tơi xin đưa dự đoán mở rộng Mệnh đề 2.3.1 thay I hệ ideal B sau: Ass(DB (M, N)) = Supp(M) ∩ Ass(N) \ V (bs ) s∈Λ 44 Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah and I G Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison-Wesley, 1969 [2] K Bahmanpour and A Khojali On the equivalent of fsf and weakly laskerian classes arXiv:1108.4564v1 [3] M H Bijan-Zadeh A common generalization of local cohomology theories Glasgow Mathematical Journal, 21:174–181, 1980 [4] Nicolas Bourbaki Commutative Algebra Herman, 1972 [5] M P Brodmann and R Y Sharp Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications Cambridge University Press, 2013 [6] L Chu and Z Tang On the artinianness of generalized local cohomology Communications in Algebra, 35(3821-3827), 2007 [7] K Divaani-Aazar, R Sazeedeh, and M Tousi On vanishing of generalized local cohomology modules Algebra Colloquium, 12(02):213–218, 2005 [8] Kamran Divaani-Aazar and Amir Mafi Associated primes of local cohomology modules Proceedings of the American Mathematical Society, 133(3):655–660, 2005 [9] Kamran Divaani-Aazar and Reza Sazeedeh Cofiniteness of generalized local cohomology modules Colloquium Mathematicum, 99(2), 09 2004 [10] J Herzog Komplexe, Auflăosungen und dualitat in der localen Algebra Habilitationsschrift, Universităat Regansburg, 1970 45 [11] N V Hoang On the associated primes and the support of generalized local cohomology modules Acta Mathematica Vietnamica, 33(2):163–171, 2008 [12] Micah J Leamer Homology of artinian modules over commutative noetherian rings https://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi? article=1020&context=mathstudent, 2011 [13] S Maclane Homology Springer, 1995 [14] A Mafi On the associated primes of generalized local cohomology modules Communications in Algebra, 34:2489–2494, 2006 [15] H Matsumura Commutative Ring Theory Cambridge University Press, 1986 [16] L Melkersson On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with power of an ideal Math Proc Camb Phil Soc., 107:267–271, 1990 [17] T T Nam On the non-vanishing and the artinianness of generalized local cohomology modules Journal of Algebra and Its Applications, 12(4):7 pages, 2013 [18] Tran Tuan Nam and Nguyen Minh Tri Generalized ideal transforms Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 51(1):67–82, 2014 [19] J Rotman An introduction to homological algebra Academic Press, 1979 [20] P Schenzel On connectedness and indecomposibility of local cohomology modules Manuscripta Mathematica, 128(3):315–327, 2009 ... p 25 Chương Biến đổi ideal suy rộng 2.1 Biến đổi ideal suy rộng Trong [9], Divaani-Aazar Sazeedeh mở rộng biến đổi ideal định nghĩa 1.8.1 ứng với ideal I sau: Cho M, N R-module , I ideal R, ta... tồn nội dung việc mở rộng kết [18] biến đổi ideal suy rộng theo ideal I module M : DI (M, −) = lim Hom(I n M, −) −→ n∈N cho trường hợp suy rộng biến đổi ideal suy rộng theo hệ ideal B tập định hướng... phương dạng suy rộng 15 1.8 Biến đổi ideal 17 1.9 Dãy phổ 19 Biến đổi ideal suy rộng 25 2.1 Biến đổi ideal suy rộng