Mục này xem xét một số điều kiện cho tính hữu hạn sinh của biến đổi ideal suy rộng , tính chất này có liên hệ mật thiết với tính hữu hạn sinh của đối đồng điều địa phương suy rộng.
Ta có mở rộng của [18, Proposition 2.11] sau:
Mệnh đề 2.2.1. Cho M,N là hai R-module hữu hạn sinh vài là số nguyên dương.
Khi đóHBi (M,N)hữu hạn sinh khi và chỉ khiRi−1DB(M,N)hữu hạn sinh.
Chứng minh. Do M,N hữu hạn sinh, M có phép giải tự do hữu hạn sinh P• và Hom(Pi,N) hữu hạn sinh, suy ra Exti(M,N) hữu hạn sinh với i ≥0. Định lý 2.1.3 cho ta dãy khớp:
...−→Exti−1(M,N)−→Ri−1DB(M,N)−→HBi (M,N)−→Exti(M,N)−→...
với chú ý là dãy khớp trên cảm sinh cho ta dãy khớp ngắn0→X(⊂Exti−1(M,N))→ Ri−1DB(M,N)→Y(⊂HBi (M,N))→0(tương tự vớiHBi (M,N)) và module con của module hữu hạn sinh trên vành Noether cũng hữu hạn sinh, ta cóHBi (M,N)hữu hạn sinh tương đươngRi−1DB(M,N)hữu hạn sinh, với mọii≥1.
Trong [6, theorem 2.5] tác giả chứng minh rằng, vớiI là ideal củaR, nếur≥pd(M) vàHIr(M,R/ρ)là Artin với mọiρ∈Supp(N)thìHIi(M,N)cũng Artin với mọii≥r, ta cũng có kết quả tương tự:
Định lý 2.2.2([18, Proposition 2.13]). Cho M,N là cácR-module hữu hạn sinh với pd(M)<∞,I là ideal củaR. Giả sửt là số nguyên dương lớn hơn pd(M), thì:
i) Nếu RtDI(M,R/ρ) là Artin với mọi ρ ∈ Supp(N) thì RiDI(M,N) cũng là R- module Artin với mọi i≥t.
ii) NếuRtDI(M,R/ρ)vàHIt(M,R/ρ)đều Artin với mọiρ∈Supp(N)thìExti(M,N) cũng làR-module Artin với mọii≥t.
Chứng minh. i) Chứng minh tương tự như [6, theorem 2.5] như sau:
Bước 1, vớii≥t ta chỉ raRiDI(M,N) là Artin khi biết RiDI(M,R/ρ) là Artin với mọiρ ∈Supp(N).
DoN làR-module hữu hạn sinh nên theo chứng minh của Định lý 1.1.12 cho ta chuỗi hữu hạn các module con củaN thỏa:
0=N0 ⊂N1 ⊂...⊂Nk =N
vớiNj/Nj−1∼=R/ρj, ρi∈Supp(N)với mọi j . Nó cho ta các dãy khớp ngắn:
0−→Nj−1−→Nj−→R/ρj−→0
cảm sinh các dãy khớp dài:
...→RiDI(M,Nj−1)→RiDI(M,Nj)→RiDI(M,R/ρj)→...
DoRiDI(M,N0) =0vàRiDI(M,R/ρ1)là Artin nên dãy khớp trên cho taRtDI(M,N1) là Artin, lại có RiDI(M,R/ρ2)Artin nên dãy khớp trên cho ta RtDI(M,N2) là Artin,..., tiếp tục các bước này ta đượcRiDI(M,Nk) =RiDI(M,N)là Artin.
Bước 2, ta chứng minh rằng:
Với i≥t màRiDI(M,R/ρ)là Artin với mọi ρ ∈Supp(N)thìRi+1DI(M,R/ρ) cũng Artin vớiρ ∈Supp(N).
Lấyρ ∈Supp(N)giả sửRi+1DI(M,R/ρ)6=0khi đóI 6⊂ρ (nếuI ⊂ρ,R/ρ là I-xoắn, khi đóRi+1DI(M,R/ρ) =0(!)).
Lấy tùy ýa∈I\ρ ta có dãy khớp ngắn sau:
0 //R/ρ a //R/ρ //R/(ρ+aR) //0 Cho ta dãy khớp dài:
...→RiDI(M,R/(ρ+aR))→Ri+1DI(M,R/ρ)−→a Ri+1DI(M,R/ρ)→...
Chú ý là P∈Supp(R/(ρ+aR)) thì có x¯ ∈R/(ρ+aR): ann(x)¯ ⊂P mà ρ+ aR⊂ann(x)¯ nênρ ∈P, vậyP∈Supp(N). Theo Bước 1 ta cóRiDI(M,R/(ρ+ aR)) là Artin và dãy khớp dài trên cho ta tập (0 :Ri+1DI(M,R/ρ) a) là ảnh của RiDI(M,R/(ρ+aR))nên là Artin.
Doi>pd(M)nênExti(M,R/ρ) =0kết hợp dãy khớp dài 2.1.3 cho taRi+1DI(M,R/ρ)∼= HIi+2(M,R/ρ)và làI-xoắn, doa∈InênRi+1DI(M,R/ρ)cũng làaR-xoắn, Định
lý Melkerson [16, Theorem 1.3] cho taRi+1DI(M,R/ρ)là Artin.
Bước 3, với mọii≥t, Bước 2 cho taRiDI(M,R/ρ)Artin với mọiρ∈Supp(N) vậy Bước 1 cho taRiDi(M,N)Artin với mọi i≥t.
ii) Doi≥t >pdM nênExti(M,N) =0là Artin.
Trong định lý sau, ta nghiên cứu tính Artin của RiDB(M,N) khi N là Artin hay hữu hạn sinh.
Bổ đề 2.2.3. NếuN làR-module hữu hạn sinh códim(N) =0thìN là module Artin.
Chứng minh. Ta cóN là module Noether nên Định lý 1.1.12 cho ta chuỗi:
0=N0 ⊂N1 ⊂...⊂Nk=N trong đóNi/Ni−1 ∼=R/ρi vớiρi∈Supp(N).
Do dim(N) = dim(R/ann(N)) = 0 và R/ann(N) là vành Noether nên Định lý 1.1.17 cho ta R/ann(N) là vành Artin. Vì ρi ⊃ann(N) nên có toàn cấu tự nhiên R/ann(N)→R/ρicho taR/ρi là vành Artin.
Ta có mọi module con củaR/ρi (xem như R-module ) là ideal của vànhR/ρi nên thỏa điều kiện dãy tăng, vậyR/ρi làR-module Artin, vậyNi/Ni−1cũng Artin.
TừN0=0quy nạp theo các điều kiện trên và 1.1.5 ta suy ra được N1 là Artin,N2 là Artin,..., và cuối cùng đượcN là Artin.
Định lý 2.2.4([18, Theorem 2.14]). ChoM làR-module hữu hạn sinh,I là ideal của R.
i) NếuN là module Artin thìRiDI(M,N)là Artin với mọii≥0.
ii) NếuNhữu hạn sinh vàp=pd(M),d=dim(N)hữu hạn thìRp+dDI(M,N)cũng Artin.
Chứng minh. i) Theo [17, Theorem 2.6] thìHIi(M,N)là Artin với mọii≥0. Mặt khác M hữu hạn sinh nên có phép giải tự do hữu hạn sinh: P• : ... → Pi → Pi−1 → ... →P1 → M → 0 (các Pi đều là module tự do hữu hạn sinh), do đó Hom(Pi,N)∼=Nki là module Artin, vìExti(M,N)là thương con củaHom(Pi,N) nên cũng Artin với mọii≥0. Kết hợp với dãy khớp dài 2.1.3 đượcRiDI(M,N) là module Artin với mọii≥0.
ii) [3, Theorem 5.1] nói rằngHIi(M,N) =0với mọii>pd(M) +dim(N). Ta có:
Khid=pd(M) =0, thayHIp+1(M,N) =0vào dãy khớp dài ở Định lý 2.1.3:
...→HIp(M,N)→Extp(M,N)→RpDI(M,N)→0→...
theo Bổ đề 2.2.3, N là module Artin, theo ý i) trên, Extp(M,N) là Artin, nên RpDI(M,N)cũng Artin.
Khi d =dim(N)>0, do Exti(M,N) =0 với mọi i>pd(M)nên dãy khớp dài 2.1.3 cho ta:
Rp+dDI(M,N)∼=HIp+d+1(M,N) =0