Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 41 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
41
Dung lượng
1,5 MB
Nội dung
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN () KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Giảng viên hướng dẫn : Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Nguyễn Thị Hiền Vi Lớp : 16ST Đà Nẵng, tháng năm 2020 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn – trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, tơi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy – người trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn ý kiến góp ý quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, thầy cô, bạn bè, bạn lớp 16ST q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà Nẵng, tháng 01 năm 2020 Sinh viên thực Nguyễn Thị Hiền Vi SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 4 Nhiệm vụ nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƢƠNG NHỊ THỨC NEWTON 1.1 Công thức Newton 1.2 Tính chất 1.3 Một số khai triển hay sử dụng 1.4 Dấu hiệu nhận biết sử dụng Nhị thức Newton CHƢƠNG ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON 2.1 Các toán hệ số khai triển Nhị thức Newton 2.1.1 Phương pháp giải 2.1.2 Các dạng toán a Dạng 1: Tìm hệ số x k khai triển Nhị thức Newton b Dạng 2: Tìm hệ số lớn khai triển Nhị thức Newton 10 c Dạng 3: Các toán tìm hệ số số hạng khai triển Nhị thức Newton thỏa mãn điều kiện cho trước 12 2.2 Các tốn dùng Nhị thức Newton để tính tổng tổ hợp 14 2.2.1 Thuần Nhị thức Newton 14 a Dấu hiệu nhận biết 14 b Các ví dụ 15 2.2.2 Sử dụng kết hợp đạo hàm cấp 1, 16 a Đạo hàm cấp 16 b Đạo hàm cấp 18 2.2.3 Sử dụng kết hợp tích phân xác định 20 a Dấu hiệu nhận biết 20 SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy b Các ví dụ 20 2.2.4 Một số phương pháp khác 22 a Đồng hệ số 22 b Sử dụng bổ đề sau 23 c Công cụ số phức 26 2.3 Các toán dùng Nhị thức Newton để chứng minh hệ thức 27 2.3.1 Thuần Nhị thức Newton 27 a Dấu hiệu nhận biết 27 b Các ví dụ 27 2.3.2 Sử dụng đạo hàm cấp 1, 29 a Đạo hàm cấp 29 b Đạo hàm cấp 30 2.3.3 Sử dụng tích phân xác định: 30 b Các ví dụ 30 2.3.4 Một số phương pháp khác 31 2.4 Các toán dùng Nhị thức Newton để chứng minh bất đẳng thức số toán số học 33 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy LỜI NĨI ĐẦU Lí chọn đề tài Dạy học trình thống biện chứng việc dạy thầy việc học trị Muốn nâng cao chất lượng dạy học cần phải quan tâm đến hoạt động học tập học sinh Do đó, việc rèn luyện phát triển thao tác tư cho học sinh nhiệm vụ cấp thiết công tác giảng dạy người giáo viên Nhị thức Newton nằm chương trình Đại số Giải tích lớp 11 Các tập vận dụng Nhị thức Newton đa dạng, đặc biệt đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thơng Học sinh làm tập cịn vấp nhiều lúng túng, khó dự đốn hướng giải Là sinh viên sư phạm trường, với niềm đam mê ứng dụng Nhị thức Newton, chọn đề tài nghiên cứu: “Một số ứng dụng Nhị thức Newton chương trình tốn Trung học phổ thông” nhằm nâng cao chất lượng dạy học Mục đích nghiên cứu Đưa ứng dụng Nhị thức Newton nhằm giúp học sinh nâng cao lực giải toán liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu - Nêu kiến thức Nhị thức Newton - Phân dạng tập - Trong dạng có ví dụ minh họa - Sau ví dụ ý, nhận xét phương pháp giải - Cuối tập áp dụng có đáp số để tự luyện Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu Nhị thức Newton chương trình Đại số Giải tích lớp 11 (Sách hành) - Đưa ứng dụng Nhị thức Newton chương trình tốn Trung học phổ thơng Bố cục khóa luận Luận văn gồm chương: - Chương 1: Nhị thức Newton 2.3 Cơng thức Newton 2.4 Tính chất 2.5 Một số khai triển hay sử dụng 2.6 Dấu hiệu nhận biết sử dụng Nhị thức Newton SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy - Chương 2: Ứng dụng Nhị thức Newton 2.1 Các toán hệ số khai triển Nhị thức Newton 2.2 Các toán dùng Nhị thức Newton để tính tổng tổ hợp 2.3 Các toán dung Nhị thức Newton để chứng minh hệ thức 2.4 Các toán dung Nhị thức Newton để chứng minh bất đẳng thức số toán số học SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy CHƢƠNG NHỊ THỨC NEWTON 1.1 Công thức Newton Cho hai số thực a, b số nguyên dương n thì: n (a b) n Cnk a n k bk Cn0 a n Cn1a n 1b Cnnb n k 0 n (a b)n (1) k Cnk a n k b k Cn0 a n Cn1a n 1b (1)n Cnnb n k 0 1.2 Tính chất a Số số hạng công thức n b Tổng số mũ a b số hạng luôn bẳng số mũ Nhị thức: n k k n c Số hạng tổng quát Nhị thức là: Tk 1 Cnk ank bk (Tức số hạng thứ k khai triển (a b)n ) d Các hệ số Nhị thức cách hai số hạng đầu cuối e 2n Cn0 Cn1 Cnn f Cn0 Cn1 (1)n Cnn g Tam giác Pascal: n0 n 1 1 n2 ……………………………………………………………… Ckm …………….1 1……… Ckm1 nk 1…………… Ckm1 ……………… n k 1 ……………………………………………………………… Với Ckm1 Ckm Ckm1 ( a b) (a b 0) ( a b) a b (a b) a 2ab b (a b)3 a 3a 2b 3ab b3 ……………………………………………………………… 1.3 Một số khai triển hay sử dụng n 2n (1 1)n Cnk Cn0 Cn1 Cnn k 0 n (1 1)n (1) n Cnk Cn0 Cn1 (1) n Cnn k 0 SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy n (1 x)n Cnk x nk Cn0 x n Cn1 x n 1 Cnn x k 0 n (1 x)n (1)k Cnk x n k Cn0 x Cn1 x1 (1) n Cnn x n k 0 n ( x 1)n (1)k Cnk x nk Cn0 x n Cn1 x n 1 (1)n Cnn x0 k 0 1.4 Dấu hiệu nhận biết sử dụng Nhị thức Newton n a Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có Cni với i i 1 số tự nhiên liên tiếp n b.Trong biểu thức có i(i 1)Cni ta dùng đạo hàm (i ) i 1 n Trong biểu thức có (i k )Cni ta nhân hai vế với x k , lấy đạo i 1 hàm n Trong biểu thức có a k Cni ta chọn giá trị x a thích hợp i 1 n Trong biểu thức có Cni ta lấy tích phân xác định a; b i 1 i 1 thích hợp n n i 1 i 1 Nếu toán cho khai triển ( x a xb )n Cni ( x a )ni ( xb )i Cni x a ( n i )bi hệ số x C cho phương trình a(n i) bi m có nghiệm m i i n Cni đạt giá trị lớn k n 1 n 1 n hay k với n lẻ, k với n 2 chẵn Việc nhận biết dấu hiệu giúp cho giải tốt dạng toán liên quan đến Nhị thức Newton, đặc biệt đề thi tuyển sinh Đại hoc – Cao đẳng SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy CHƢƠNG ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON 2.1 Các toán hệ số khai triển Nhị thức Newton 2.1.1 Phƣơng pháp giải Như ta biết Nhị thức Newton có dạng: n (a b) n Cnk a n k b k (1) k 0 đó, vế phải (1) tổng ( n ) số hạng Số Cnk a nk bk số hạng thứ k tổng ấy, ( k 0;1;2; ; n ) Phương pháp giải loại toán thường tiến hành sau: - Viết khai triển Newton (1) với a, b chọn từ đầu Trong số trường hợp phải xác định n trước (thường n nghiệm phương trình có liên quan đến kiến thức tổ hợp) - Từ (1) sử dụng số hạng thứ k : Cnk a n k bk khai triển để thiết lập nên phương trinh mà ẩn thường k Trong q trình giải tốn, ta thường dùng kết đặc biệt sau: n (1 x) n Cnk x n k Cn0 x n Cn1 x n 1 Cnn x k 0 n (1 x)n (1) k Cnk x n k Cn0 x Cn1 x1 (1) n Cnn x n k 0 Đặc biệt hơn, ta có: 2n Cn0 Cn1 Cnn Cn0 Cn1 (1)n Cnn 2.1.2 Các dạng tốn a Dạng 1: Tìm hệ số x k khai triển Nhị thức Newton Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học Khối B – 2007): Tìm hệ số x10 khai triển Nhị thức ( x 2)n biết rằng: 3n Cn0 3n1 Cn1 3n2 Cn2 3n3 Cn3 (1)n Cnn 2048 Giải: Áp dụng công thức khai triển Nhị thức Newton: n 2n (3 1) n Cnk 3k (1) n k 3n Cn0 3n 1 Cn1 3n 2 Cn2 3n 3 Cn3 (1) n Cnn 2048 k 0 Vì thế, từ giải thiết ta có: 2n 2048 211 n 11 SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Lại áp dụng cơng thức khai triển Nhị thức Newton, ta có: 11 ( x 2)11 C11k x11k 2k (1) k 0 Từ (1) suy hệ số x10 ứng với k , số: C111 21 22 Nhận xét: Ví dụ minh họa đầy đủ cho phương pháp giải mà trình bày phần đầu Ví dụ 2: Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển Nhị thức Newton của: n 7 x x n Biết rằng: C2n1 C2n1 C2n1 220 1 Giải: Trước hết xác định n từ giả thiết cho sau: Theo tính chất tổ hợp, ta có: C21n 1 C22nn1 C22n 1 C22nn11 C2nn 1 C2nn11 Từ ta có: C21n1 C22n1 C2nn1 C22nn1 C22nn11 C2nn11 (1) Từ (1) ta có: C20n1 C21n1 C22n1 C2nn1 C22nn1 C22nn11 C2nn11 C22nn11 C21n 1 C22n 1 C2nn 1 Vì vế trái (2) (2) nên từ (2) giả thiết ta có: 2(2 1) 221 n 10 Theo công thức khai triển Nhị thức Newton, ta có: n 1 2 n1 , 20 10 10 10 7 4 10 k 4 10 k k x x x C ( x ) ( x ) C10k x 4011k 10 k 0 k 0 x Ta có: 40 11k 26 k Vậy hệ số số hạng chứa x26 C106 210 1008 Ví dụ 3: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển x x 2009 Giải: Số hạng thứ k khai triển x 1 x3 2009 : k Tk 1 C k 2009 2009 k (x ) 1 k 40185 k C2009 x x Ta chọn: 4018 5k 1008 k 602 SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Giải: Ta biến đổi số hạng tổng quát sau: k.2k C22nk 22k 1.2kC22nk 22k 1.2n.C22nk11 Do đó: S 2n C21n 1.21 C23n 1.23 C22nn11.22 n 1 (1 2)2 n 1 (1 2)2 n 1 2 n 1 n 1 2n c Công cụ số phức Ý tưởng phương pháp dựa vào tính chất đặc biệt i i k 1; i k 1 i; i k 1; i k 3 i với k Từ đó, ta xét đa thức: f ( x) a0 a1x a2 x2 an xn Đặt: S0 , S1 , S2 , S3 Ta có: i 4k i k 1 i 4k 2 i k 3 f (1) f (1) S0 S f (1) S0 S2 S1 S3 f (1) f (1) f (1) S0 S2 S1 S3 S1 S3 f (i ) S0 S2 S1 S3 i S0 S2 Re f (i ) S S Im f (i ) S0 S1 S S f (1) f (1) Re f (i) f (1) f (1) Im f (i) f (1) f (1) Re f (i) f (1) f (1) Im f (i) (1) (2) (3) (4) Với Re f ( i) , Im f (i ) phần thực phần ảo f (i) * Bài tập áp dụng: Tính tổng 2n Cn0 2n1.7.Cn1 2n2.72.Cn2 7n.Cn1 ĐS: 9n Cn1 3n1 2Cn2 3n2 3Cn3 3n3 nCnn ĐS: n.4n1 SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 26 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 2.1.Cn1 2.3.Cn2 ( p 1) pCnp (n 1)nCnn ĐS: n(n 1)2n1 2.3 Các toán dùng Nhị thức Newton để chứng minh hệ thức 2.3.1 Thuần Nhị thức Newton a Dấu hiệu nhận biết Tương tự dấu hiệu nhận biết Nhị thức Newton để tính tổng tổ hợp b Các ví dụ Ví dụ 35: Chứng minh rằng: C20n 32 C22n 34 C24n 32 n C22nn 22 n 1 22 n 1 Giải: Ta có: 1 x C20n C21n x C22n x C22nn1 x 2n1 C22nn x n 2n 1 x C20n C21n x C22n x C22nn1 x 2n1 C22nn x 2n 2n (1) (2) Lấy (1) cộng (2), ta được: 1 x 2n 1 x C20n C22n x C22nn x n 2n Chọn x , suy ra: 24 n 22 n C20n C22n 32 C22nn 32 n 2n (22 n 1) C20n C22n 32 C22nn 32 n 2 n 1 (22 n 1) C20n C22n 32 C22nn 32 n Ví dụ 36: Cho n số nguyên dương chẵn, chứng minh rằng: 1 2n1 (*) 1!(n 1)! 3!(n 3)! (n 1)!1! n ! Giải: Ta có: (1 1)n Cn0 Cn1 Cn2 (1)n Cnn Vì n chẵn nên (1)n Suy ra: (1 1)n Cn0 Cn1 Cn2 (1)n Cnn (**) Ta có: SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 27 Khóa luận tốt nghiệp (*) GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy n! n! n! 2n1 1!(n 1)! 3!(n 3)! (n 1)!1! Cn1 Cn3 Cnn1 2n1 Từ (**) n 1 n Cn Cn Cn Cn Cn Cn (i ) n 1 n n Cn Cn Cn Cn Cn Cn (ii) Lấy (ii) – (i), ta được: Cn1 Cn3 Cnn 1 2n Cn1 Cn3 Cnn1 2n1 đpcm Ví dụ 37: Chứng minh rằng: C201 C203 C205 C2019 219 Giải: Cách 1: Ta có: 1 x C200 C201 x C202 x C2019 x19 C2020 x 20 20 Chọn x , ta được: 19 C200 C20 C202 C20 C2020 19 C200 C202 C2020 C20 C20 C20 Đặt A C200 C202 C2020 19 B C20 C20 C20 A B (1) Mặt khác: 1 x C200 C201 x C202 x C2019 x19 C2020 x 20 20 Chọn x , ta được: 220 C200 C201 C202 C2019 C2020 A B 220 (2) Từ (1), (2), suy ra: A 220 219 Cách 2: Áp dụng công thức: Cnk1 Cnk 1 Cnk Cn0 Ta được: 19 C20 C20 C20 C20 C191 C192 C193 C194 C1918 C1919 (1 1)19 219 Ví dụ 38: Chứng minh rằng: Cap Cap1Cb1 Cap2Cb2 CapqCbq Cbp Capb Giải: Ta có: SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 28 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 1 x a Ca0 Ca1 x Ca2 x Caa x a b 2 b b 1 x Cb Cb x Cb x Cb x 1 x a b M Cap Cap 1Cb1 Cap 2Cb2 Cap qCbq Cbp x p (*) Với M đa thức không chứa x p Mặt khác: 1 x a b Ca0b Ca1b x Ca2b x Capb x p Caabb x a b (**) Đồng hệ số (*) (**) cho ta đpcm 2.3.2 Sử dụng đạo hàm cấp 1, a Đạo hàm cấp *Dấu hiệu: Tương tự dấu hiệu sử dụng đạo hàm cấp để tính tổng *Các ví dụ: Ví dụ 39: Chứng minh: 1.2n1 Cn1 2.2n2 Cn2 3.2n3 Cn3 n.Cnn n.3n1 Giải: Cách 1: Ta có: x Cn0 2n Cn1 2n1 x Cn2 2n 2 x Cnn x n n Đạo hàm vế theo biến x , ta được: n 2 x n 1 Cn1 2n 1 2Cn2 2n x 3Cn3 2n 3 x nCnn x n 1 Với x n.3n1 Cn1 2n1 2Cn2 n2 3C3n n3 nCnn đpcm Cách 2: Ta có: 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n n Đạo hàm vế theo biến x , ta được: n 1 x n 1 Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nCnn x n 1 3 Với x n 2 n 1 1 C 2C nCnn 2 n n 1 n n.3n1 1.2n1 Cn1 2.2n2 Cn2 nCnn đpcm Ví dụ 40: Chứng minh đẳng thức sau: a) Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n.2n1 b) Cn0 2Cn1 3Cn2 ( p 1)Cnp (n 1)Cnn (n 2)2n1 Giải: n a) Xét Nhị thức: 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n Lấy đạo hàm vế đẳng thức theo biến x: n 1 x n 1 Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nCnn x n 1 Chọn x , ta được: n.2n1 Cn1 2Cn2 3Cn3 x nCnn SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 29 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy b) Tương tự câu a, ta nhân vế đẳng thức cho với x lấy đạo hàm b Đạo hàm cấp *Dấu hiệu: Tương tự sử dụng đạo hàm cấp để tính tổng *Các ví dụ: Ví dụ 41: Chứng minh rằng: S 2.1.Cn2 3.2.Cn3 4.3.Cn4 n(n 1)Cnn n(n 1)2n2 Giải: Ta có: n n k 0 k 2 f ( x) 1 x Cnk x k Cn0 Cn1 x Cnk x k n n f '( x) Cn1 kCnk x k 1 k 2 n f "( x) k (k 1)Cnk x k k 2 n f "(1) k (k 1)Cnk 2n k 2 2.1.C 3.2.Cn3 4.3.Cn4 n(n 1)Cnn n(n 1)2n 2 n Suy đpcm Từ ví dụ trên, ta thay n 1 n , ta có tốn khác Ví dụ 42: Cho f ( x) 1 x , n, n Chứng minh n S 2.1.Cn1 3.2.Cn2 4.3.Cn3 p( p 1)Cnp n(n 1)Cnn n(n 3)2n2 Giải: Với tốn này, ta giải sau: Xét Nhị thức: 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n n Nhân hai vế đẳng thức với x , đồng thời lấy đạo hàm cấp hai vế theo biến x, ta được: 2n(1 x)n1 n(n 1) x(1 x)n2 2.1Cn1 x 3.2Cn2 x2 n(n 1)Cnn x n1 Cho x , ta đpcm 2.3.3 Sử dụng tích phân xác định a Dấu hiệu: Tương tự dấu hiệu sử dụng tích phân xác định để tính tổng tổ hợp b Các ví dụ: Ví dụ 43: Chứng minh rằng: SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 30 Khóa luận tốt nghiệp 2Cn0 GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 22 23 2n1 n 3n1 Cn Cn Cn n 1 n 1 Giải: Nhin vào phần tử phân số dễ dàng tìm hai cận a 0, b Tiếp tục để ý chút ta chọn tiếp c d Suy đpcm Ví dụ 44: Chứng minh rằng: 1 1 1 Cn1 Cn2 Cn3 (1)n1 Cnn n n Giải: Ta có: n n 1 1 x k 1 x x k 0 n 1 n Cnk (1) k x k k 0 x n Cnk (1) k 1 x k 1 (x 0) k 0 n 1 x Cnk (1) k 1 x k 1 k k 0 n 1 k 0 n 1 x dx Cnk (1) k 1 x k 1dx k k 0 k 0 1 1 x k 1 n k k 1 x Cn (1) k 1 k 0 k k 1 n n (1) k (1) k 1 Cnk k k 1 k k 1 1 1 1 Cn1 Cn2 Cn3 (1) n 1 Cnn n n n 1 Cnk Suy đpcm 2.3.4 Một số phƣơng pháp khác 0 m k n k , m, n Ví dụ 45: Cho Chứng minh: Cnk Cm0 Cnk 1Cm1 Cnk mCmm Cmk n Giải: Ta có: 1 x m Cm0 Cm1 x Cmm x m n n n 1 x Cn Cn x Cn x m n m n m n 1 x Cm n Cm n x Cm n x SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 31 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Suy hệ số x k 1 x 1 x là: Cm0 Cnk Cm1 Cnk 1 CmmCnk m m Và hệ số x k 1 x Đồng thức: 1 x mn mn n Cmk n 1 x 1 x m n Ta được: Cmk n Cnk Cm0 Cnk 1Cm1 Cnk mCmm Suy đpcm 0 k n k , n Ví dụ 46: Cho Chứng minh Cn0Cnk Cn1Cnk 1 Cnnk Cnn 2n ! n k ! n k ! Giải: n 1 n 2n Ta có: 1 1 x n 1 x , x x x 1 Cn0 Cn1 Cnn n C n0 C n1 x C nn x n n C20n C21 n x C22nn x 2n x x x Đồng thức vế đẳng thức với nhau, ta được: Cn0Cnk Cn1Cnk 1 Cnnk Cnn (2n)! (đpcm) (n k )!(n k )! 0 k n Chứng minh: Ck0 Ck11 Cknn Cknn1 k , n Ví dụ 47: Cho Giải: Xét đa thức: P( x) x 1 x 1 x 1 k k 1 k n Nhận thấy hệ số x k đa thức là: Ck0 Ck11 Cknn Mặt khác: P( x) x 1 k k n k 1 1 x 1n1 x 1 x 1 x x Có hệ số x k : Ckkn11 Cknn1 Đồng ta có: Ck0 Ck11 Cknn Cknn1 (đpcm) *Bài tập áp dụng: 2n Cn0 2n17Cn1 2n272 Cn2 7n Cnn 9n Cn1 3n1 2Cn2 3n2 3Cn3 3n3 nCnn n.4n1 2n 1 n n Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n ( n 1)( n 2)( n 3) Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n1 3(n 1) 3(n 1) SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 32 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 2.4 Các toán dùng Nhị thức Newton để chứng minh bất đẳng thức số toán số học Ví dụ 48: Cho n Chứng minh rằng: 2n C C C n 1 n n n n n Giải: n Ta có: 1 x Cnk 1nk x k Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n n k 0 n Cho x , ta được: 2n Cnk 1nk1k Cn0 Cn1 Cn2 Cnn k 0 Áp dụng BĐT Cauchy với n số dương: 2n Cn1 Cn2 Cnn n n Cn1Cn2 Cnn 2n C C C n 1 n n n n n Suy đpcm 0 k n Chứng minh rằng: k , n Ví dụ 49: Cho C2nn k C2nn k C2nn Giải: 0 k n , k , n Với (2n k )! (2n k )! ak n !(n k )! n !(n k )! Ta đặt: ak C2nnk C2nnk a (2n k 1)! (2n k 1)! k 1 n !(n k 1)! n !(n k 1)! Để chứng minh BĐT trên, ta cần chứng minh dãy ak giảm cách chứng minh ak ak 1 (2n k )! (2n k )! (2n k 1)! (2n k 1)! n!(n k )! n !(n k )! n !(n k 1)! n !(n k 1)! 2n k 2n k n n (đúng) 1 1 nk n k 1 nk n k 1 ak ak 1 dãy ak giảm a0 a1 a2 ak ak 1 a0 ak C2nn k C2nnk C2nn Ví dụ 50: Chứng minh với n n thì: 1 Cn 2Cn2 3Cn3 nCnn n! n SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi (1) Trang 33 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Giải: Xét Nhị thức: 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n n Lấy đạo hàm vế đẳng thức theo biến x: n 1 x n 1 Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nCnn x n 1 Chọn x , ta được: n.2n1 Cn1 2Cn2 3Cn3 x nCnn (1) n.2n1 n! 2n1 n! n (2) Việc cịn lại ta chứng minh (2) ln n n Cách 1: Ta có: n! 1.2.3 n 2.2.2 2n1 ( n 1 số) 2n1 n ! (2) hay dùng quy nạp để chứng minh Cách 2: Chứng minh quy nạp Với n n! 2n1 3! 31 (đúng) Giả sử (2) với n k với k k ! 2k 1 Vậy (k 1)k ! 2.2k 1 (k 1)! 2.2k 1 2k (vì k k ) Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có: n! 2n1 , n (từ kết ta áp dụng để giải số toán phần tập áp dụng) Vậy (2) 1 Cn 2Cn2 3Cn3 nCnn n! (đpcm) n Ví dụ 51: Cho n Chứng minh rằng: nn1 (n 1)n 1 1 1! 2! 3! n! n 1 Cho n Chứng minh rằng: 1 n m n 1 m n với số nguyên dương m, n Chứng minh: 1 1 m n Giải: Ta có: n 1 1 n (n 1) n 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n n n n n k 1 1 1 1 1 1 2! n 3! n n k ! n n n n 1 1 1 n n ! n n n ( n 2) n 1 n Ta có: SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 34 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 1 1! 1 2! 1 1 3! 1 11 4! 3.4 1 1 5! 4.5 1 1 n ! (n 1)n n n 1 1 1! 2! 3! n! n Cộng vế theo vế Suy đpcm n 1 1 1 Xét khai triển 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n Cn2 Cnn n n n n n n n n! n(n 1) (n k 1) (2 k n) Mà Cnk k !(n k )! k! k k Cn 1 1 1 nk k ! n n n k! n 1 1 Áp dụng kết từ câu trên, suy ra: 1 2! 3! n! n (đpcm) Xét khai triển: n 1 1 n 1 Cn Cn Cn Cn n n n n n n(n 1) n(n 1)(n 2) 1 n 2 n 2! n 3! n n(n 1) n(n 1) 1 n (n 1)! n n 1 n! n 11 n 1 1 1 1 (*) 2! n 3! n n n ! n n n Tương tự, ta có: 1 1 n n 1 11 1 1 1 1 1 2! n 3! n n 1 n 1 1 1 n ! n n n n n 1 1 1 1 (**) (n 1)! n n n n SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 35 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy m n 1 So sánh (*) (**), suy ra: 1 1 m n Ví dụ 52: Chứng minh rằng: lim n n n Giải: Đặt m n n (n 2) n n (m 1) n Cnk m k Cn2 m k 0 n n(n 1) m n(n 1) 2 m m n n 1 n 1 n 1 n n 1 n Mặt khác: lim 1 n đpcm nlim n n 1 1 x n n Chứng minh rằng: 1 x 1 x 2n n * Ví dụ 53: Cho Giải: n a x 2n (a b) n Cnk a n k b k Cn0 a n Cnnb n k 0 b x Đặt Suy 1 x 1 x 2n (đpcm) n n Ví dụ 54: Chứng minh rằng: 2000 2000 số tự nhiên chia hết cho 11 1001 1001 1001 1 b) 3n Cn0 Cn1 (1) n n Cnn , n số tự nhiên chia hết cho 3 a) Giải: 1001 C 1001 x C x Với x 1001 1 C 1001 C 1001 C Với x 1 1001 1 C 1001 C 1001 C 1001 1 1001 1 1001 C C 1001 C 1001 1001 X a) Ta có: 1001 x 2000 2000 C2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 1999 2000 2000 2000 2000 1999 2000 2000 1999 2000 1999 2000 2000 2000 2000 2000 1999 (X ) 1001 1001 2000 SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi 1001 2000 2002 11.182 chia hết cho 11 Trang 36 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Suy đpcm b) Ta có: 1 1 1 3n Cn0 Cn1 (1) n Cnn 3n Cn01n Cn11n 1 n Cnn 3 3 n n 1 2 1 3n chia hết cho n 3 3 n Ví dụ 55: a) Cho p số nguyên tố chứng minh rằng: C pk chia hết cho p , k 1, 2, , n b) (Định lí Fermat nhỏ) : n , p số nguyên tố Ta ln có: n p n chia hết cho p Giải: a) Với k 1, 2, , p 1 p số nguyên tố Ta có: C pk p! p( p 1)( p 2) ( p k 1) q k !( p k )! 1.2.3 k Vì p số nguyên tố nên không chia hết cho k Mặt khác: C pk p( p 1)( p 2) ( p k 1) chia hết cho 1,2,3,…,k C pk p.q C pk không chia hết cho p b) Đặt an n p n Với n an n p n a1 1p 1 chia hết cho p Giả sử an với n k a n chiia hết cho p Với n k Xét: ak 1 ak k 1 k 1 k p C p0 k p C1p k p 1 C p2 k p 2 C pp 1k C pp k p p C1p k p 1 C p2 k p 2 C pp 1k k p Áp dụng kết câu a C pk chia hết cho p ak 1 ak chia het cho p k 1, 2, , p ak 1 chia het cho p a chia het cho p k Vậy theo nguyên li quy nạp cho ta n p n chia hết cho p *Bài tập áp dụng: Cho n Tính: a nlim an (0 a 2) n! SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy an (a ) n n ! Cho a 0,1 m n (m, n ) Chứng minh: b lim a (1 n)m (1 m)n b 19982001 19992001 20002001 n * Chứng minh rằng: 1!2! 2!3! n !(n 1)! n n (1!) (n !) SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi 22 n n ! Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài: “Một số ứng dụng Nhị thức Newton chương trình tốn Trung học phổ thông”, làm được: - Hệ thống lại kiến thức liên quan đến Nhị thức Newton - Đưa dạng tập lớn thường gặp với 55 ví dụ mức độ từ dễ đến khó, tập áp dụng Do thời gian hạn chế nên q trình làm khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Tơi xin chân thành cảm ơn đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận ngày hoàn thiện SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 39 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2011), Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Thể Thạch (Chủ biên), Nguyễn Hải Châu, Quách Tú Chương, Nguyễn Trung Hiếu, Đoàn Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thị Quý Sửu (2009), Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn lớp 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, Hà Nội [4] Các trang Website Internet SVTH: Nguyễn Thị Hiền Vi Trang 40 ... mê ứng dụng Nhị thức Newton, chọn đề tài nghiên cứu: ? ?Một số ứng dụng Nhị thức Newton chương trình tốn Trung học phổ thơng” nhằm nâng cao chất lượng dạy học Mục đích nghiên cứu Đưa ứng dụng Nhị. .. Thủy - Chương 2: Ứng dụng Nhị thức Newton 2.1 Các toán hệ số khai triển Nhị thức Newton 2.2 Các toán dùng Nhị thức Newton để tính tổng tổ hợp 2.3 Các tốn dung Nhị thức Newton để chứng minh hệ thức. .. tập áp dụng có đáp số để tự luyện Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu Nhị thức Newton chương trình Đại số Giải tích lớp 11 (Sách hành) - Đưa ứng dụng Nhị thức Newton chương trình tốn Trung học phổ thơng