không bên phải (bên trái) nếu tồn tại s trong R sao cho s ≠ 0 nhưng sr = 0 (rs = 0). Tất nhiên nếu R là giao hoán thì không có sự khác biệt giửa bên phải và bên trái của một ước của không và chúng ta chỉ gọi đơn giản là ước của không của R. Đặc biệt của một miền là một vành không tầm thường và không có ước của không trái hay phải ngoại trừ phần tử bằng không.
Định nghĩa 2.2.1. Cho E là một R-môđun, một phần tử e∈ E được gọi là phần tử chia được nếu với mọi r∈R, r không là một ước của không bên phải, tồn tại e’∈ E sao cho e = e’r.
Nếu mọi phần tử của E đều là là chia được thì E được gọi là môđun chia được.
Một nhóm giao hoán được gọi là nhóm chia được nếu nó chia được như một Z-môđun.
Các ví du
1. Nhóm cộng các số hữu tỷ xét như Z-môđun là môđun chia được. 2. Mọi không gian vectơ trên trường K đều là K-môđun chia được.
3. Giả sử R là một miền nguyên và F là trường các thương của R. Khi đó F là một R-môđun chia được.
Mệnh đề 2.2.2. Cho E là một R-môđun bất kì. Tập hợp tất cả các phần tử chia được của E làm thành một môđun con của E.
Môđun con này của E được gọi là môđun con chia được và thường được kí hiệu là δ(E).
Mệnh đề 2.2.3. Cho E là một R-môđun chia được và cho E’ là một môđun con của E khi đó E/E’ là một môđun chia được.
Chứng minh : xét các phần tử e + E’ (e∈ E) của E/E’ và r∈R với r không phải là ước của không bên phải. Khi đó tồn tại e’ ∈ E sao cho e = e’r. Điều này suy ra e + E’ = (e’ + E’)r , do đó E/E’ là chia được.
Mệnh đề 2.2.4. Cho Eλλ∈Λ là một họ các môđun chia được khi đó Πλ∈ΛEλ và
⊕λ∈ΛEλ là các R-môđun chia được.
chứng minh : Lấy phần tử bất kì {eλ} ∈ Πλ∈ΛEλ với eλ∈ Eλ và cho r là một phần tử của R mà không là ước của không bên phải. Khi đó với mỗi λ∈Λ
tồn tại e’
λ sao cho eλ = e’
λr khi đó {eλ} = {e’
λr} do đó Πλ∈ΛEλ là chia được. Nếu {eλ}∈ ⊕λ∈ΛEλ khi đó ta có thể sắp xếp {e’
λ} thuộc ⊕λ∈ΛEλ để nhận định rằng e’
λ = 0 nếu eλ = 0
Định lý 2.2.5. Mọi môđun nội xạ là chia được.
Chứng minh: Cho E là một môđun nội xạ. Giả sử a là một phần tử bất kì của E và r là một phần tử không phải ước của 0 trong R. Khi đó rR là một
iđêan phải của R. Xét tương ứng f :rR → E cho bởi f(rs) = as. Do r không phải là ước của không nên f là một ánh xạ và rõ ràng f(r) = f(r.1) = a.1 = a. Từ tính nội xạ của E, f mở rộng được thành một đồng cấu từ R đến E. Khi đó ta có
a = f(r) = g(r) = g(r.1) = rg(1).
Đặt b = g(1) ta có rb = a. Điều này chứng tỏ E là môđun chia được.
Mệnh đề trên đây cho biết một phần mối quan hệ giữa thuộc tính nội xạ của môđun với thuộc tính chia được. Trong phần sau đây chúng ta đề cập đến một phần trong chiều ngược lại của mệnh đề 2.2.4 trong một số trường hợp. Trước hết ta xét đến thuộc tính xoắn của các môđun.
Định nghĩa 2.2.6. Giả sử R là một miền và E là một R-môđun. Một phần tử a∈E được gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại một phần tử r∈R, r khác 0 sao cho ar = 0. Môđun E được gọi là môđun xoắn nếu mọi phần tử của nó là phần tử xoắn. Môđun E được gọi là môđun không xoắn nếu chỉ có phần tử 0 là phần tử xoắn duy nhất của nó.
Chú ý rằng ngoài các môđun xoắn và môđun không xoắn còn có những môđun khác. Đối với một môđun E bất kì thì tập hợp các phần tử xoắn của nó tạo thành một môđun con, được gọi là môđun con xoắn của E, kí hiệu là T(E). Như vậy E là môđun xoắn nếu T(E) = E; E được gọi là môđun không xoắn nếu T(E) = 0.
Mệnh đề 2.2.7. Nếu R là một miền nguyên và E là một R-môđun. Khi đó nếu E là môđun chia được không xoắn thì E là môđun nội xạ.
Chứng minh : Giả sử I là một iđêan phải của R và f : I → E là một đồng cấu môđun. Nếu I là iđêan 0 thì hiển nhiên f mở rộng được thành đồng cấu từ R đến E. Xét trường hợp I khác 0. Giả sử s là phần tử khác 0 của I. Khi đó phần tử a = f(s) là thuộc E. Vì E là môđun chia được nên tồn tại phần tử b∈E sao cho bs = a. Giả sử x∈I. Ta có f(x)s = f(xs) = f(sx) = f(s)x = ax = bsx = bxs. Suy ra f(x) = bx, vì E không xoắn. Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ g : R → E cho bởi g(r)= br sẽ được g là một mở rộng của f. Điều này chứng tỏ E là một môđun nội xạ.
Định lý sau đây sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa tính nội xạ và tính chia được của các môđun trong trường hợp R là một miền iđêan chính phải.
Định lý 2.2.8. Cho R là một miền iđêan chính phải và E là một R-môđun phải. Khi đó E là môđun nội xạ khi và chỉ khi E là môđun chia được.
Chứng minh. Một chiều của khẳng định là hiển nhiên và không đòi hỏi điều kiện về vành R. Ta chứng minh chiều ngược lại. Giả sủ I là một iđêan phải của R và f : I → E là một đồng cấu. Ta chứng minh f mở rộng được thành một đồng cấu từ R đến E. Với I = 0 thì kết luận là hiển nhiên. Xét trường hợp I khác 0. Vì R là miền iđêan chính nên I được sinh bởi một phần tử s khác không nào đó, tức là I = sR, s ≠ 0. Vì E là môđun chia được nên tồn tại phần tử b thuộc E sao cho f(s) = bs. Ta định nghĩa tương ứng g : R → E cho bởi g(r) = br. Khi đó rõ ràng g là một đồng cấu môđun từ R đến E và g(sx) = b(sx) = f(s)x = f(sx), với mọi x thuộc R. Điều này chứng tỏ g là một mở rộng của f.
Hệ quả 2.2.9. Nhóm aben G là nội xạ khi và chỉ khi nó là nhóm chia được. Bây giờ cho R là một miền nguyên với trường các thương K và xét K như là một R-môđun. Khi đó tích của các phần tử a ∈ R và b/c của K với b, c∈ R và c
≠ 0 là (ab)/c. Giả sử F là R-môđun con của K sao cho tồn tại một phần tử khác không r ∈ R thỏa mãn rF ⊆ R. Môđun con của K được gọi là iđêan phân thức
(fractional) của R. Ta cũng gọi các iđêan của R là iđêan tích phân (integral)
của R. Rõ ràng mọi iđêan tích phân là một iđêan phân thức.
Nếu ta đặt I = rF thì I là một iđêan tích phân của R và F = () I
Cho F, F’ là iđêan phân thức của R, ta định nghĩa FF’ tập tất cả các tổng hữu hạn ∑fif’
i với fi ∈ F và fi’ ∈F’. Nó cũng là một iđêan phân thức của R, và các phép toán trên tập iđêan phân thức được xách định như vậy có tính chất giao hoán và kết hợp. Hơn nữa RF = F với tất cả các iđêan phân thức F, do đó R đóng vai trò như một phần tử trung lập. Nếu cho một iđêan phân thức F thì tồn tại iđêan phân thức F’ sao cho FF’ = R, F’ là duy nhất và được gọi là nghịch đảo của F. Trong trường hợp này F được gọi là khả nghịch. Ví dụ iđêan chính
khác không Rr của R là khả nghịch và nghịc đảo của nó là R(1/r). Chú ý rằng R(1/r) là một iđêan phân thức của R với r(R(1/r)) ⊆ R.
Định nghĩa 2.2.10. Một miền "Dedekind" là miền giao hoán với tính chất mọi iđêan tích phân khác không là khả nghịch.
Mệnh đề 2.2.11. Cho R là một miền giao hoán sao cho mọi iđêan phân thức khác không là khả nghịch khi đó R là một miền “Dedekind”.
Chứng minh. Giả sử F là iđêan phân thức khác không. Khi đó tồn tại một phần tử khác không r của R sao cho rF là một iđêan tích phân. Theo giả thiết, rF khả nghịch, do đó tồn tại một iđêan phân thức F’ sao cho (rF)F’ = R. Nhưng khi đó F(rF’) = R và F có nghịch đảo là rF’ là một iđêan phân thức. Điều này chứng tỏ R là miền “Dedekind”.
Mệnh đề 2.2.12. Mọi môđun chia được trên miền " Dedekind " là nội xạ.
Chứng minh. Giả sử R là một miền "Dedekind" và E là một R-môđun chia được. Cho I là một iđêan phân thức của R và xét sơ đồ 2.9. Ta sẽ xây dựng một R- đồng cấu g : R → E với các mở rộng R-đồng cấu f. Để làm điều này ta chỉ cần xét trường hợp I ≠ 0. Khi đó I có một nghịch đảo là iđêan phân thức F sao cho IF = R. Do đó tồn tại các phần tử s1, s2, . . . , sn thuộc I và k1, k2, . . . , kn thuộc F sao cho ∑n
i=1siki = 1. Ta có thể giả thiết rằng tất cả các phần tử si đều khác 0. Do E là chia được nên với mỗi chỉ số i (1≤ i≤ n), tồn tại ei ∈
E sao cho f(si) = siei. Xét s∈ I, từ ski ∈ IF = R, ta có f(s) = f(s.1) = f(s(∑n i=1kisi)) = f(∑n i=1skisi) = ∑n i=1(ski)f(si) = s∑n i=1sikiei Bây giờ kisi ∈FI = R nên ∑n
i=1sikiei ∈E và ta có thể định nghĩa được R- đồng cấu g : R → E bởi g(r) = r∑n i=1sikiei , (r∈R). 0 I inc R f g E
Hình 2.9
Khi đó g trùng với f trên I nên g là một mở rộng của f. Điều này chứng tỏ rằng E là môđun nội xạ.
Điều ngược lại của mệnh đề 2.2.12 là: Nếu R là một miền giao hoán sao cho mọi R-môđun chia được là nội xạ, khi đó R là miền "Dedekind". Điều này đã được chứng minh là đúng và được xem là một đặc trưng của miền "Dedekind".
Trong phần trên chúng tôi đã trình bày một số kiến thức liên quan đến các lớp môđun nội xạ và môđun chia được. Lớp môđun chia được là một sự mở rộng của lớp môđun nội xạ. Trong mục sau đây chúng tô sẽ trình bày một hướng mở rộng khác của lớp môđun nội xạ.