Môđun giả nội xạ cốt yếu

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN MINH HẢI MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN MINH HẢI MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HỒNG ĐÌNH HẢI PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Trang CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN LỜI NÓI ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các điều kiện  Ci  mơđun 1.2 Mơđun nội xạ Chương MƠĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU 17 2.1 Môđun giả nội xạ 17 2.2 Môđun giả nội xạ cốt yếu 24 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN  : Tập hợp số tự nhiên * : Tập hợp số tự nhiên khác  : Tập hợp số nguyên * : Tập hợp số nguyên khác  : Tập hợp số hữu tỉ A  M : A môđun môđun M A e M : A môđun cốt yếu môđun M  o : quan hệ thứ tự  B  M : B hạng tử trực tiếp M A  M : A tập hợp tập M Hom  N , M  : Tập tất đồng cấu môđun từ N đến M  : Tổng trực tiếp môđun : Phép nhúng  A : Thu hẹp  A N  M : môđun N đẳng cấu với M : kết thúc chứng minh LỜI NĨI ĐẦU Mơđun nội xạ cột trụ để nghiên cứu vành môđun Từ việc nghiên cứu môđun nội xạ người ta mở rộng lớp môđun tựa nội xạ, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, CS-môđun, Trên sở tương tự dựa yếu tố nội xạ, người ta mở rộng nhiều lớp môđun Các lớp môđun như: Môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu nghiên cứu S K Jain and S Singh (1967), F.W Anderson and K.R Fuller (1974), M L.Teply (1975), A A.Tuganbaev (1978), F Kasch (1982) Năm 2005, Đinh Quang Hải đề cập đến môđun giả nội xạ Năm 2016 Trương Công Quỳnh, Phan Thế Hải, Lê Văn Thuyết nghiên cứu môđun giả nội xạ cốt yếu thu số kết việc phát triển lý thuyết môđun Luận văn theo hướng nghiên cứu lớp môđun mở rộng môđun nội xạ Dựa vào tài liệu [3] [4], chúng tơi tìm hiểu, nghiên cứu trình bày chi tiết số kết môđun giả nội xạ môđun giả nội xạ cốt yếu Đề tài luận văn chọn là: Môđun giả nội xạ cốt yếu Cấu trúc luận văn chia thành hai chương: Chương trình bày số kiến thức Các khái niệm đề cập chủ yếu chương điều kiện  Ci  môđun, môđun nội xạ, môđun nội xạ vành số nguyên  Chương trình bày khái niệm tính chất mơđun giả nội xạ, mơđun giả nội xạ cốt yếu chứng minh số tính chất đặc trưng môđun giả nội xạ cốt yếu Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Hồng Đình Hải, PGS TS Ngơ Sỹ Tùng Nhân dịp tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, ngành Toán, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, người tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành khóa học Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn học viên lớp cao học khoá 23 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Tổ Toán đồng nghiệp Trường THPT Bắc Yên Thành động viên giúp đỡ để luận văn hồn thành kế hoạch Do khả cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận góp ý quý thầy giáo, cô giáo bạn Nghệ An, tháng năm 2017 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong luận văn này, khơng nói thêm, vành R cho ln giả thiết vành kết hợp, có đơn vị  R-môđun xét môđun unita phải Trong chương này, trước hết chúng tơi giới thiệu kí hiệu, khái niệm tính chất sử dụng luận văn Những khái niệm kết liên quan đến luận văn tham khảo tài liệu Anderson-Full ([1]), Kasch ([3]), Quynh-Hai-Thuyet ([4]) Với vành R cho, ta viết M R  R M  để M R-môđun phải (tương ứng trái) Trong ngữ cảnh cụ thể luận văn, không sợ nhầm lẫn phía mơđun, để đơn giản ta viết mơđun M thay M R Chúng tơi dùng kí hiệu A  M  A  M  để A môđun (tương ứng thực sự)  môđun M Nếu A hạng tử trực tiếp mơđun M ta viết A  M 1.1 Các điều kiện  Ci  môđun 1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M vành R Ta xét điều kiện sau môđun M Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với môđun A M, tồn  B  M để A e B  C2  : Nếu A, B môđun M  C3  : Nếu    A  M , A  B B  M  A, B  M , A  B  A  B  M  1  C1  : Mọi môđun U M, B  M để U e B 1.1.2 Chú ý Đối với mơđun M tuỳ ý, khơng có điều kiện có số điều kiện thoả mãn 1.1.3 Ví dụ Xét  - mơđun  Ta có khẳng định sau: Khẳng định  có điều kiện  C1  Chứng minh: Với môđun A  :  +) Nếu A   A e    +) Nếu A   A  k  e   , k  Khẳng định  khơng có  C2   Chứng minh Vì ta có n  , n  * mà    n không hạng tử  trực tiếp  Khẳng định  có điều kiện  C3  Chứng minh Vì  có  hạng tử trực tiếp, mà          Khẳng định  có điều kiện 1  C1  Chứng minh Hiển nhiên  C1   1  C1   1.1.4 Mệnh đề Nếu mơđun M thỏa mãn điều kiện  C2  thỏa mãn điều kiện  C3    Chứng minh: Cho A, B  M A  B  Do A  M  M  A  A1 với A1  M Xét phép chiếu  : A  A1  A1 a  a1  a1 Trước hết ta chứng minh A  B  A    B  Lấy a  b  A  B Ta có b  B  M  A  A1, nên b  a’  a1 với a '  A, a1  A1, suy   b   a1 Khi a  b   a  a '  a1  A  B  A    B  1 Lấy a    b   A    B  với a  A,  b    B  , b  B nên b  a '' a1 ' với a "  A, a1 '  A1    b   a1 ' Như ta có: a    b   a  a1 '   a  a "   a " a1 '  A  B Suy A    B   A  B (2) Từ (1) (2) suy A  B  A    B  Lại Ker  A, Ker  B   A  B  suy  / B : B    B   đẳng cấu  Do tính chất  C2  mà B  M nên   B   M Ta có M  A  A1, a M    B   N , N mơđun M (b) Lại   B   A1 dùng luật modula giao hai vế (b) với A1 ta A1    B    N  A1  (c) Thay A1 (c) vào (a), ta có M  A    B    N  A1  ,  Suy A  B  M  1.1.5 Định nghĩa a) Môđun M thỏa mãn  C1  gọi CS-mơđun hay M có điều kiện  C1  b) Mơđun M có điều kiện  C1   C2  gọi mơđun liên tục c) Mơđun M có điều kiện  C1   C3  gọi mơđun tựa liên tục 1.1.6 Ví dụ +)  -môđun  môđun tựa liên tục không liên tục +)  -môđun  liên tục tựa liên tục 1.2 Môđun nội xạ 1.2.1 Định nghĩa (i) Môđun M gọi A-nội xạ với môđun X A đồng cấu f : X  M tồn đồng cấu f * : A  M mở rộng f tức f *i  f hay biểu đồ sau giao hoán: X i f A f* M i phép nhúng tắc, tức là i  a   a, a  A (ii) Môđun M gọi tựa nội xạ M M-nội xạ (iii) Môđun M gọi môđun nội xạ M A-nội xạ, với môđun A (iv) Hai môđun M N gọi nội xạ lẫn M N-nội xạ N M-nội xạ (v) Bao nội xạ môđun M, kí hiệu E(M), mơđun nội xạ bé cho M cốt yếu E(M), giao tất mơđun nội xạ chứa M 1.2.2 Ví dụ  -mơđun  nội xạ 1.2.3 Định lí (Đặc trưng môđun nội xạ) Các mệnh đề sau tương đương: (1) M môđun nội xạ (2) M hạng tử trực tiếp môđun chứa M với  đơn cấu  : M  N chẻ ra, tức Im   N (3) Với đơn cấu  :    đồng cấu Hom  ,1M  : Hom  B, M   Hom  A, M  toàn cấu 1.2.4 Hệ Cho M nội xạ N  M N nội xạ 31 Chứng minh 1   Khi N mơđun nửa đơn R-mơđun M N-nội xạ Do đó, với R-mơđun M M N-giả nội xạ cốt yếu   Cho A  N , tồn C  N cho A  C  e N Giả sử  : A  C  N đồng cấu bao hàm Vì M N-giả nội xạ cốt yếu với môđun M nên A  C N-giả nội xạ cốt yếu, tồn f : N  AC cho f   1AC Ta có  chẻ hay   A  C   A  C e N Giả sử N   A  C   N ' với N '  N A  C e N nên N '  Vậy ta có N  A  C Điều chứng tỏ A e N nên N mơđun nửa đơn (2) Vì B nhúng D nên tồn đơn cấu  : B  D Giả sử H  e A f : H  C đơn cấu Thế thì, f   : H  B  M  C  D đơn cấu Ta có H  B e A  B hay H  B e N Vì M N-giả nội xạ cốt yếu nên tồn đồng cấu g : M  N cho g mở rộng f   Đặt f   g : A  C với  : M  C phép chiếu  : A  N đồng cấu bao hàm Khi đó, với h  H f  h    gi  h    g  h  b     f    h  b     f  h    b    f  h  Vì vậy, f H  f Do C A-giả nội xạ cốt yếu  2.2.10 Hệ Mỗi hạng tử trực tiếp môđun giả nội xạ cốt yếu giả nội xạ cốt yếu Chứng minh Hệ suy từ Định lí 2.2.9 ta cho M  N , A  C B  D  2.2.11 Định lí Các điều kiện sau tương đương môđun M: (1) Mỗi môđun M giả nội xạ cốt yếu 32 (2) M giả nội xạ cốt yếu môđun cốt yếu M bất biến đầy đủ đơn cấu End R  M  (3) Mỗi môđun cốt yếu M giả nội xạ cốt yếu Chứng minh (1)  (2) Cho f  End R  M  đơn cấu H môđun cốt yếu M Khi tồn đơn cấu g E(M) cho g mở rộng f Do E  H   E  M  nên g đơn cấu từ E  H   E  H  Theo giả thiết, môđun M giả nội xạ cốt yếu nên H giả nội xạ cốt yếu Vì vậy, theo Hệ 2.2.7 ta có g  H   H Do g mở rộng f nên f  H   H Vậy H bất biến đầy đủ đơn cấu End R  M  (2)  (3) Cho H môđun cốt yếu M Giả sử A  e H f : A  H đơn cấu Khi đó, tồn đơn cấu g E(M) mở rộng f Vì E  M   E  H  nên g đơn cấu E  H  Theo Hệ 2.2.7 ta có f  H   H g mở rộng f hay H môđun giả nội xạ cốt yếu (3)  (1) Giả sử H môđun M Khi đó, tồn mơđun K M cho H  K  e M Theo (3) H  K giả nội xạ cốt yếu theo Hệ 2.2.10, H giả nội xạ cốt yếu  Theo Hệ 2.2.10 hạng tử trực tiếp mơđun giả nội xạ cốt yếu giả nội xạ cốt yếu Tuy nhiên, để tổng trực tiếp hai môđun giả nội xạ cốt yếu môđun giả nội xạ cốt yếu chúng tơi cần thêm số điều kiện 2.2.12 Định lí Cho M  M1  M E  M1  , E  M  môđun bất biến đầy đủ tự đơn cấu E(M) Khi M giả nội xạ cốt yếu M1 , M giả nội xạ cốt yếu 33 Chứng minh    Điều suy từ Hệ 2.2.10   Vì M  M1  M nên E  M   E  M1   E  M  Lấy  : E  M   E  M  đơn cấu Khi đó, E  M1  , E  M  môđun bất biến đầy đủ đơn cấu E(M) nên  E Mi  : E  M i   E  M i  đơn cấu với i  1,2 Từ M1 , M giả nội xạ cốt yếu nên theo Hệ 2.2.7, ta có:   M     M1  M     M1     M    E M   M1    E M  M2   M1  M  M  Lại theo Hệ 2.2.7, ta có M giả nội xạ cốt yếu Người ta chứng minh rằng, môđun giả nội xạ thỏa điều kiện  C2  Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tơi chứng minh được: 2.2.13 Định lí Mọi mơđun giả nội xạ cốt yếu thỏa mãn điều kiện  C3  Chứng minh Cho M môđun giả nội xạ cốt yếu Giả sử A B hai hạng tử M cho A  B  Chúng ta cần chứng minh A  B hạng tử M Vì A  M nên ta có M  A  A ' Đặt  : M  A ' phép chiếu tắc Vì A  B  M nên tồn C môđun M cho  A  B  C  A  B  C e M Đặt D  B  C, A  D  A    D  Thật vậy, với x  A    D  x  a    d  a  A, d  D Giả sử d  a1  a1 ' với a1  A, a '  A ' x  a    a1  a1 '  a  a1 '  a  d  a1   a  a1   d  A  D Mặt khác, với x  A  D x  a  d a  A, d  D Giả sử d  a1  a1 ' với 34 a1  A, a '  A ' x  a  d  a   a1  a1 '   a  a1   a1 '  A    D Vậy A  D  A    D  Hơn nữa,  D : D    D  đẳng cấu Do vậy, 1A   D : A  D  A    D  đẳng cấu Do M giả nội xạ cốt yếu A  D cốt yếu M nên 1A   M Vì B  M D mở rộng tới tự đẳng cấu g   B   g  B   M nên   B   A ' Giả sử A '    B   A" , ta có M  A  A '  A    B   A" Vì vậy, A    B   M Mặt khác, việc chứng minh tương tự chứng minh A  D  A    D  , ta có A  B  A    B  , A  B  M  2.2.14 Định lí Môđun M tựa nội xạ M giả nội xạ cốt yếu CS Chứng minh    Khi M môđun tựa nội xạ hiển nhiên M giả nội xạ cốt yếu CS   Vì M giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lí 2.2.13 ta có M thỏa mãn điều kiện  C3  , M tựa liên tục Mặt khác, với f  End  E  M   E(M) liên tục nên ta có f  e  g e2  e  End  E  M   g  Aut  E  M   Vì E(M) tựa nội xạ nên ta có g  M   M Hơn nữa, M tựa liên tục nên ta có e  M   M Do f  M   e  M   g  M   M Vậy M tựa nội xạ  2.2.15 Hệ M tựa nội xạ M CS-môđun giả nội xạ Một vành R gọi giả nội xạ cốt yếu phải RR môđun giả nội xạ cốt yếu 35 Kết sau nói mối quan hệ mơđun giả nội xạ cốt yếu vành tự đồng cấu 2.2.16 Định lí Cho M mơđun tự sinh Nếu End  M  giả nội xạ cốt yếu phải M giả nội xạ cốt yếu Chứng minh Đặt S  End  M  f : A  M đơn cấu với A  e M Đặt I   g  S g  M   A Chúng ta chứng minh I iđêan phải cốt yếu S Thật vậy, với m  M , g  I s  S ta có gs  m   g  M   A Vậy I iđêan phải S Mặt khác, với  s  S , tồn m0  M để  s  m0   M Vì A  e M nên tồn r  R cho   s  m0   r  A , s  m0r  R  A hay s  m0rR   A Mặt khác, M mơđun tự sinh nên m0rR   u  M  Nếu m rR  m r  , suy uK  S 0 s  m0r   Điều mâu thuẫn với giả thiết Do đó, m0rR  suy tồn u  K cho  su  M   A  su  I hay I e S Bây giờ, ta xét S-đồng cấu  : I  SS xác định   g   fg Do f đơn cấu nên  là S-đơn cấu Vì S giả nội xạ cốt yếu phải nên tồn đồng cấu  mở rộng đồng cấu  Giả sử   g   f g với f  S g  S Khi đó, với g  I f g  fg Với a  A, tồn u1, , uk  I , m1, , mk  M cho a  u1  m1    uk  mk  Do có f  a   f u1  m1    f uk  mk   fu1  m1    fuk  mk   f  a  Vì f mở rộng f  36 Cho R vành  lớp R-mơđun đó,  gọi đế mịn (socle fine) với M , N  Soc(M) đẳng cấu với Soc(N) M đẳng cấu với N Một môđun M gọi giả nội xạ cốt yếu mạnh M N-giả nội xạ cốt yếu với R-môđun phải N Chúng ký hiệu  lớp Rmôđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh  lớp R-môđun phải xạ ảnh Người ta chứng minh rằng, R vành QF lớp R-môđun nội xạ đế mịn Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu mạnh, thu kết tương tự sau đây: 2.2.17 Định lí Các điều kiện sau tương đương vành R (1) R vành QF (2) Hợp   đế mịn Chứng minh (1)  (2) Nếu R vành QF R-mơđun xạ ảnh nội xạ Vì      Bây giờ, giả sử M , N  cho Soc  M   Soc  N  ta có E  Soc  M    E  Soc  N   Mặt khác, R vành Artin nên R nửa Artin phải Vì ta có Soc  M   e M Soc  N   e N , M đẳng cấu với N Ngược lại, M  N ta có Soc  M   Soc  N  Do vậy, lớp    đế mịn (2)  (1) Cho P R- môđun phải xạ ảnh Khi P , E  P   Soc  P   Soc  E  P   Theo (2) có P  E  P  Vì E(P) nội xạ nên P nội xạ Điều chứng tỏ R vành QF  37 Mối quan hệ gữa vành Artin nửa đơn R với R-môđun nội xạ người ta rằng: R Artin nửa đơn tất R-môđun nội xạ đế mịn Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu giả nội xạ cốt yếu mạnh, thu kết tương tự sau đây: 2.2.18 Định lí Các điều kiện sau tương đương vành R (1) R Artin nửa đơn (2) Lớp tất R-môđun giả nội xạ cốt yếu đế mịn (3) Lớp  đế mịn Chứng minh (1)  (2) Vì R vành Artin nửa đơn nên ta có R-mơđun phải M nửa đơn Do ta có Soc  M   M Điều chứng tỏ R vành Artin nửa đơn lớp R-mơđun đế mịn Do lớp tất mơđun giả nội xạ cốt yếu đế mịn (2)  (3) Giả sử M, N   M N thuộc lớp mơđun giả nội xạ cốt yếu Theo (2) Soc  M   Soc  N   M  N Do đó, lớp  đế mịn (3)  (1) Rõ ràng Soc  E  RR    Soc  RR   Soc  Soc  RR   Vì E  RR  Soc  RR  giả nội xạ cốt yếu nên theo (3), nhận E  RR   Soc  RR  Điều suy E  RR  nửa đơn RR  E  RR  nên R nửa đơn  Tiếp theo, nghiên cứu lớp vành quan trọng 2.2.19 Định lí Cho R mơđun giả nội xạ cốt yếu phải Nếu e2  e  R thỏa mãn Re R  R S  e Re giả nội xạ cốt yếu phải Chứng minh Đặt  : T  SS S-đơn cấu cốt yếu, T iđêan phải cốt yếu S Đặt đồng cấu h : TR  RR cho h   t r     t  r i i i i i i với 38 ti  T ri  R Giả sử  t r  0, với r  R i i i  t (erre)  , suy   (t (erre))  vậy,   (t )rre  i i i i i i i i i  t rre  i i i   (t )(erre)  Vì i i i   (t )r  Điều có nghĩa  i i i R- đồng cấu Lặp lại trình h R-đơn cấu Tiếp theo, TR  e eR Im  h   e eR Thật vậy, với  ex  eR tồn x0  R cho exx0e  Vì T  e SS nên tồn ex1e  S cho   exx0e  ex1e T hay   ex   x0ex1e  TR, suy TR  e eR Do đó, TR  1  e  R  e RR Im h  1  e  R  e RR Điều chứng tỏ tồn R – đơn cấu cốt yếu g : TR  1  e  R  RR mở rộng h Vì R môđun giả nội xạ cốt yếu phải nên g mở rộng thành R-đồng cấu  : RR  RR Do tồn cR cho   x   cr , r  R Khi   t   e  t   e  t   ect  ecet Đặt  : SS  SS với   s    ece  s, s  S ,  S- đồng cấu mở rộng đồng cấu   Ví dụ sau giả thiết Re R  R Định lí 2.2.16 khơng thể thiếu 2.2.20 Ví dụ Cho R đại số ma trận trường K có dạng: a 0  0  0 0  0 x 0 0 b 0 0  c y 0  0 a 0 0 b z  0 0 c 39 Đặt e  e11  e22  e33  e44  e55 , eij ma trận đơn vị, e lũy đẳng R Re R  R Hơn nữa, R giả nội xạ cốt yếu phải S  e Re giả nội xạ cốt yếu phải Chứng minh Ta có R vành QF Mặt khác S  e Re vành QF đẳng cấu với vành ma trận cấp hai tam giác trường K Khi R đẳng cấu bất biến phải, S CS phải Artin phải Nếu S giả nội xạ cốt yếu phải S vành QF  2.2.21 Định lí Cho R vành Khi đó: (1) Mỗi tổng trực tiếp hai môđun giả nội xạ cốt yếu môđun giả nội xạ cốt yếu môđun giả nội xạ cốt yếu nội xạ (2) Mở rộng cốt yếu R-môđun phải nửa đơn giả nội xạ cốt yếu R vành đối nửa đơn phải Noether phải Chứng minh (1) () Cho M môđun giả nội xạ cốt yếu Khi theo giả thiết, ta có M  E  M  môđun giả nội xạ cốt yếu Vì vậy, theo Định lí 2.2.13, mơđun M  E  M  thỏa mãn điều kiện C3 Xét đơn cấu tắc i : M  E  M  , từ ta có M  E  M  Do hạng tử trực tiếp môđun nội xạ nội xạ nên ta M nội xạ   Giả sử M N môđun giả nội xạ cốt yếu Theo giả thiết M N mơđun nội xạ Do M  N nội xạ Từ ta có M  N giả nội xạ cốt yếu (2) () Cho R môđun nửa đơn, M  M mơđun nửa đơn Vì M  M e M  E  M  nên M  E  M  mở rộng cốt yếu môđun nửa đơn M  M Do từ giả thiết ta có M  E  M  môđun giả nội xạ cốt yếu Chứng minh tương tự phần (1) ta có M nội xạ Vì R vành đối nửa đơn phải Noether phải 40   Vì R vành đối nửa đơn phải Noether phải nên ta có Rmơđun phải nửa đơn nội xạ Do mở rộng cốt yếu R-môđun phải  nửa đơn giả nội xạ cốt yếu S 2.2.22 Định lí Cho M S-R-song môđun Giả sử T   0 M giả nội xạ R  cốt yếu phải Khi đó: (1) R giả nội xạ cốt yếu phải (2) Nếu S M trung thành M R giả nội xạ cốt yếu Chứng minh (1) Cho I iđêan phải cốt yếu R f : I  R S đơn cấu Đặt I   0 M Khi I iđêan phải cốt yếu T Thật I   s m  s m1  vậy, với   I   r   T , ta có   0 i   s1 m1  s m   s1s s1m  m1r   i  r      I Do I iđêan phải T ir       s m Mặt khác, với  t     T thì: r   1 +) Nếu s  tồn t '   S 0  s m 1S tt '     r  0  T thỏa mãn  0  s 0   I tt '    0  0  +) Nếu m  tồn t '     T thỏa mãn  R  s m  0   m  tt '       I tt '   r   1R   r  41 +) Nếu  r  R I e R nên tồn r1  R cho  rr1  I 0 0  s m   0   mr1  Chọn t '   ta có  T tt '    r   r    rr   I tt '     r1   1   s m Vậy trường hợp ta ln có  t     T tồn r   t '  T để  tt '  I Do ta có I e T Bây giờ, thiết lập đồng cấu  : I  T xác định  s m  s )   0 i  0  ( m  với f  i    s m  i   I Khi  T-đơn cấu Do   T giả nội xạ cốt yếu nên tồn T-đồng cấu  :T  T mở rộng đồng  s1 m1   s m cấu  Giả sử với t   , ta có  t   T    r   T Khi  0 r     s m t    I r1  f  i  Bây giờ, ánh xạ f : R  R xác định i   f  i   r1 , r  R R-đồng cấu Khi đó, với i  I f  i   r1  f  i  hay f mở rộng đồng cấu f Vậy R giả nội xạ cốt yếu (2) Giả sử N môđun cốt yếu M f : N  M 0 N  đơn cấu Đặt N    Ta chứng minh N iđêan phải cốt yếu R    n1  T Thật vậy, với   N  r1   s m   T 0 r  ta có  n1   s m   n1r   r   r    r r   N Do N iđêan phải T Mặt khác,       s m với  t     T thì: r   42 +) Nếu s  S M môđun trung thành nên tồn  m '  M cho sm '  Vì  sm '  M N e M nên tồn r1  R thỏa mãn   sm ' r1  N Bây ta chọn  m ' r1  t'  T 0    s m  m ' r1   sm ' r1  tt '    N tt '      r  0   +) Nếu  m  M N e M nên tồn r1  R thỏa mãn 0 0  mr1  N Chọn t '     T  r1   s m   0   mr1  tt '      N tt '    r  r1   rr1  +) Nếu  r  R có trường hợp: - Trường hợp 1: m  Trường hợp chứng minh 0  - Trường hợp 2: m  Chọn t '     T ta có  R  s  0   0  tt '        r   N tt '  r    R 1  s m Vậy trường hợp ta ln có  t     T tồn 0 r  t '  T để  tt '  N Do ta có N e T Bây giờ, thiết lập  : N  T 0 n 0 )   0 r  0  ( xác định f  n   Khi  T-đơn cấu Theo giả thiết, tồn r  T-đồng cấu  :T  T mở rộng  Giả sử với x  M 0 x  x   sx  r   T  ( r )        mx  sx  S , rx  R mx  M rx  43 Bây ánh xạ f : M  M xác định f  x   mx , x  M R-đồng cấu Khi đó, với x  N f  x   mx  f  x  hay f mở rộng  đồng cấu f Điều ngược lại Định lí 2.2.22 khơng Thật vậy, cho S  M  R  K với K trường Khi R giả nội xạ cốt yếu phải, S M trung thành M R giả nội xạ cốt yếu Nếu T giả nội xạ cốt yếu phải theo Định lí 2.2.14, ta có T vành C3 Tuy nhiên, ta biết T khơng phải vành C3 nên ta có T khơng phải vành giả nội xạ cốt yếu phải 2.2.23 Định lí Cho R vành Nếu vành đa thức R [x] giả nội xạ cốt yếu phải R giả nội xạ cốt yếu phải Chứng minh Cho  : I  RR đơn cấu với  I e RR Khi   : I [x]  R[x] với    an x n     an  x n R[x]-đơn cấu Dễ thấy  n  n Im     Im  [ x] Từ R[x] giả nội xạ cốt yếu phải, tồn k f   cn x n  R  x  để   f0 Với u  I , ta có   u   c0u Vì  có n 0 thể mở rộng tự đồng cấu RR Do R giả nội xạ cốt yếu phải  44 KẾT LUẬN Luận văn đề cập giải vấn đề sau: Trình bày khái niệm điều kiện  Ci  môđun, môđun nội xạ, môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu số tính chất chúng Khảo sát, nghiên cứu chứng minh chi tiết số tính chất lớp mơđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu Từ kết mà chúng tơi nghiên cứu, tìm hiểu mơđun giả nội xạ cốt yếu, ta có sơ đồ sau: Nội xạ N-nội xạ Giả nội xạ N-giả nội xạ Giả nội xạ cốt yếu N-giả nội xạ cốt yếu Trong q trình thực luận văn, chúng tơi nhận vài câu hỏi mở tiếp tục nghiên cứu thời gian tới: Điều kiện để mũi tên sơ đồ có chiều ngược lại Một câu hỏi tự nhiên đặt tìm đặc trưng vành R để R-mơđun R-giả nội xạ cốt yếu 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W Anderson and K.R Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, New York - Heidelberg - Berlin [2] Le Van An, Nguyen Thi Hai Anh, Ngo Sy Tung (2017), On the 1  C2  condition, Math J of Okayama Uni., 51, 141-147 [3] F Kasch (1982), Modules and Rings, Academic Press, London New York [4] Quynh, T C., Hai, P T and Thuyet, L V (2016), Mutually essentially pseudo injective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 39 (2), 795-803 ... mơđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu Từ kết mà chúng tơi nghiên cứu, tìm hiểu mơđun giả nội xạ cốt yếu, ta có sơ đồ sau: Nội xạ N -nội xạ Giả nội xạ N -giả nội xạ Giả nội xạ cốt yếu N -giả nội xạ cốt. .. yếu M K -giả nội xạ cốt yếu với K môđun cốt yếu N (2) Nếu M N -giả nội xạ cốt yếu K  N , M K- giả nội xạ cốt yếu (3) Nếu M N -giả nội xạ cốt yếu K  M , N K- giả nội xạ cốt yếu (4) Giả sử M N môđun. .. gọi giả nội xạ cốt yếu M N -giả nội xạ cốt yếu với môđun N (3) Hai môđun M N gọi giả nội xạ cốt yếu tương hỗ M N -giả nội xạ cốt yếu N M -giả nội xạ cốt yếu (4) Một vành R gọi giả nội xạ cốt yếu phải