Môđun tựa nội xạ và môđun hầu tựa nội xạ

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG ĐÌNH HẠNH MƠĐUN TỰA NỘI XẠ VÀ MƠĐUN HU TA NI X luận văn thạc sỹ toán học Nghệ An - 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG MÔĐUN TỰA NỘI XẠ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Môđun cốt yếu …………………………………………… 1.3 Môđun A – nội xạ ……………………………………………… 1.4 Môđun nội xạ môđun tựa nội xạ CHƯƠNG MÔĐUN HẦU TỰA NỘI XẠ KẾT 12 16 LUÂN 24 THAM 25 TÀI LIỆU KHẢO MỞ ĐẦU Việc mở rộng lớp môđun vấn đề nhà nghiên cứu lý thuyết vành môđun quan tâm Đặc biệt, mơđun nội xạ trụ cột lý thuyết mơđun, từ ứng dụng để đặc trưng vành Nhưng điều kiện môđun nội xạ mạnh số lớp vành khó đặc trưng Vì người ta mởi rộng nghiên cứu lớp môđun thập kỷ 80 90 nhà khoa học đạt nhiều kết tốt việc nghiên cứu lớp môđun mở rộng môđun nội xạ Năm 1989, Yoshitomo Baba Manabu Harada đưa khái niệm lớp môđun nội xạ môđun hầu nội xạ Với tính chất chúng Mặc dù lớp môđun nghiên cứu thập kỷ qua nhiều tính chất thú vị hữu ích khơng ý Năm 2009 Adel Alahmadi S K Jain tiếp tục nghiên cứu mở rộng lớp môđun này, thu nhiều kết quả, số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ Các kết đăng tạp chí Math J Okayama Univ năm 2009 Dựa kết báo “ A note on almost injective modules” Adel Alahmadi S K Jain (xem [2]) luận văn nhằm tìm hiểu số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ Vì chọn đề tài nghiên cứu luận văn “Môđun tựa nội xạ môđun hầu tựa nội xạ” Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương Chương Môđun tựa nội xạ Trong chương chúng tơi trình bày tính chất mơđun cốt yếu, mơđun A – nội xạ, môđun nội xạ môđun tựa nội xạ Chương Môđun hầu tựa nội xạ Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn dành cho tác giả hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư, TS Đào Thị Thanh Hà thầy giáo cô giáo khác chuyên nghành Đại số tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo quý thầy cô giáo bạn học viên Nghệ An tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG MÔĐUN TỰA NỘI XẠ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa Môđun B môđun A gọi hạng tử trực tiếp A có mơđun C A cho A  B  C Môđun A khác khơng gọi khơng phân tích A hạng tử trực tiếp A 1.1.2 Định nghĩa ( Các điều kiện Ci môđun) (C1) Mọi môđun môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2) Mọi môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M (C3) M1, M2 hạng tử trực tiếp M, M1 M  M1  M  M (1 – C1) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M 1.1.3 Định nghĩa * M thỏa mãn (C1) gọi CS – môđun * M thỏa mãn (C1) (C2) gọi môđun liên tục * M thỏa mãn (C1) (C3) gọi môđun tựa liên tục * M thỏa mãn (1 – C1) gọi (1 – C1) môđun 1.1.4 Định nghĩa Cho A môđun mơđun M * A gọi đóng M A * B  M  A  B * A gọi phần bù M tồn B  M , A tối A  B  1.1.5 Mệnh đề (i) A đóng M A phần bù M (ii) Bao đóng tồn theo nghĩa cho A môđun mơđun M, T gọi bao đóng A M A cốt yếu T T đóng M 1.1.6 Định nghĩa Đơn cấu  : A  B R môđun gọi chẻ Im  hạng tử trực tiếp B Toàn cấu Ker hạng tử trực tiếp B  : B  C gọi chẻ 1.1.7 Mệnh đề (i) Đồng cấu môđun  : A  B đơn cấu chẻ tồn đồng cấu  : B  A cho   id A Khi B  Im  Ker (ii) Đồng cấu  : B  C toàn cấu chẻ tồn đồng cấu  : C  B cho   idC Khi B  Ker  Im  1.1.8 Định nghĩa Dãy khớp ngắn    A   B  C  Được gọi chẻ Im  Ker hạng tử trực tiếp B 1.1.9 Mệnh đề Đối với dãy khớp ngắn    A   B  C  Các phát biểu sau tương đương (i) Dãy khớp ngắn chẻ (ii)  đơn cấu chẻ (iii)  toàn cấu chẻ 1.1.10 Định lý Cho dãy khớp ngắn    A   B  C  Khi dãy sau khớp    Hom(M , B)   Hom(M , C ) 1)  Hom(M , A)  * *   2)  Hom(C, M )   Hom( B, M )   Hom( A, M ) * * M R mơđun tùy ý , *  Hom(idM , ), *  Hom( , idM ) tương tự với *  * 1.1.11 Định nghĩa Vành R gọi địa phương tập tất phần tử không khả nghịch R đóng kín phép cộng 1.1.12 Định lý Cho vành R, gọi A tập tất phần tử không khả nghịch R Khi điều kiện sau tương đương (i) R vành địa phương; (ii) A iđêan hai phía R; (iii) A iđêan phải thực lớn nhất; (iii)’ A iđêan trái thực lớn nhất; (iv) Trong R tồn iđêan phải lớn nhất; (iv)’ Trong R tồn iđêan trái lớn nhất; (v) r  R r – r khả nghịch phải; (v)’ r  R r – r khả nghịch trái; (vi) r  R r – r khả nghịch 1.1.13 Mệnh đề Cho mơđun M, vành End(M) địa phương M mơđun khơng phân tích 1.2 Mơđun cốt yếu 1.2.1 Định nghĩa Môđun N R – môđun M gọi mơđun cốt yếu M, kí hiệu N * M Nếu với môđun khác không K M ta có K  N  Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N Nếu môđun mơđun M cốt yếu M gọi môđun * 1.2.2 Bổ đề Cho A môđun mơđun M Khi A  M với phần tử  m  M tồn r  R cho  mr  A Chứng minh Giả sử A  *M , m  m  M mR  A  mR  Từ suy tồn r  R mà  mr  A Ngược lại, B môđun khác không M, lấy  m  B tìm r  R cho  mr  A mr  B B  A  A * M 1.2.3 Hệ Cho A mơđun mơđun M R Khi A  *M  Rx  A  x  M  Chứng minh (  ) Hiển nhiên (  ) Lấy  X  M  0  x  X cho A  Rx  mà Rx  X  A  X   A * M  1.2.4 Mệnh đề Nếu mơđun M có dãy mơđun A  B  C ta có  A * B A * C   * B  C * Chứng minh Nếu A  C  X  C ta có X  A  A  B  X  B   B * C * Lấy X  B  X  C  X  A  (vì A  C )  A * B  A * B * A  C  Vậy  * B  C  A * B Nếu  ta chứng minh A * C Lấy  X  C  X  B  (vì B * C ) * B  C * Vì  X  B  B  ( X  B)  A  (do A  B ) Và A  B nên X  B  A  X  A   A * C  1.2.5 Mệnh đề Cho f : M  N đồng cấu R – mơđun Khi A * N f 1 ( A) * M Chứng minh Giả sử X môđun khác không M ta chứng minh X  f 1 ( A)  Thật vậy, f ( X )  f ( X )  A  X  f 1 ( A) Nếu f ( X )  , A * N nên ta có f ( X )  A   x  X , x  cho f ( x)  a với a  A, a   x  f 1 ( A) tức x  X  f 1 ( A)  X  f 1 ( A)  Vậy f 1 ( A) * M  1.2.6 Mệnh đề Cho B môđun khác khơng mơđun M, A * M A  B * B Chứng minh Giả sử X môđun khác không môđun B, X M * Do A  M nên A  X  ,   a  A  X  a  X a  A  a  B  a  ( A  B)  X  ( A  B)  X   A  B * B 1.2.7 Mệnh đề Cho  A  B  M Nếu ( B / A) * (M / A) B * M Chứng minh X mơđun khác không M Nếu B  X  A  X   Tồn tổng trực tiếp X  A  A Vì B / A * M / A ( X  A) A  M / A nên ( B / A)  ( X  A) A   c  A mà c  A  B / A  ( X  A) / A  c  A  b  A  x  a  A (với a  A, b  B, x  X )  x  b  a  a' , a'  A ' Ta có a  a'  A  B nên b  a  a  B  x  B  x   b  A  c  A  A  c  A mâu thuẫn với giả thiết c  A Vậy B  X   B * M  n n Ai *  Bi 1.2.8 Mệnh đề Nếu Ai * Bi i  i, n , Ai , Bi  M  i 1 i 1 n Đặc biệt Ai * M  Ai * M i 1 n Bi  X  Bi i  i, n mà Ai * Bi  X  Ai  Chứng minh Lấy  X   i 1 10 n * Ai )  hay  Ai  Bi Lúc X  ( i 1  1.2.9 Mệnh đề Cho Ai * M i , M i  M i  I Khi tồn  Ai tồn I  M i  Ai *  M i I I I Chứng minh Trường hợp 1: I  n hữu hạn Quy nạp theo n cần chứng minh n = Cho A1 * M1 , A2 * M  A1  A2 Ta có theo Mệnh đề 1.2.8  A1  A2 * M1  M  * M1  M  M1  M   M1  M + Xét đồng cấu chiếu f1 : M1  M  M1 x1  x2 x1 f : M1  M  M x1  x2 x2 1 * Do A1 * M1 theo Mệnh đề 1.2.5  f1 ( A1 )  M1  M hay A1  M * M1  M 1 * Do A2 * M  f ( A2 )  M1  M  M1  A2 * M1  M Dùng tính chất giao  A1  M  M1  A2 * M1  M  A1  A2 * M1  M  n = Trường hợp 2: I vơ hạn + Chứng minh tồn  M i Lấy x   M i I I  Có biểu diễn x = x1 + + xk , xi  M i (*) x  M1 + + Mk hữu hạn M1 + + Mk  M1  M2   Mk Do chứng minh trường hợp 1, suy biểu thị (*) nhất, 13 Chứng minh Dùng bổ đề Zorn S  {(Bi , i ) X  Bi  A,  i mở rộng , i  I}  B1  B2 Quan hệ thứ tự: ( B1 , )  ( B2 , )     mở rộng  Theo bổ đề Zorn  ( B, ) tối đại X  B  A    mở rộng  Ta chứng minh B = A Chứng minh B  A B * A  0  C  A mà B  C  có B  C  B Xét  : B  C  N ab  (b)    đồng cấu  mở rộng  ( B, )  ( B  C,  ) vơ lý với tính chất tối đại (B,  ) Nếu B  A  a  A  B  a  Đặt K  {r  R  B} Khi Ka  Ka  Ra  B mà B * A, Ra  suy Ra B  + Định nghĩa  : Ka  N ka  (ka) Do N Ra - nội xạ nên tồn mở rộng   : Ra  N + Ta có B  Ra Ù B Xác định  : B  Ra  N b   (b)  (ar ) Ka  N Ra  14 Kiểm tra  đồng cấu  biến phần tử thành phần tử Nếu b     b   ka   (b  ra)   (b)  (ra)   (b)   (ra)   (b)  (ra)   (b  ra)   (0)  Vậy ( B  Ra,  )  ( B, ) mâu thuẫn  B  A  1.3.5 Mệnh đề N  Ai - nội xạ  N Ai - nội xạ i  I I Chứng minh N  Ai - nội xạ N Ai - nội xạ I Do N  Ai - nội xạ mà Ai   Ai nên theo Mệnh đề 1.3.3 suy N Ai - nội I I xạ với i  I Ngược lại, giả sử N Ai – nội xạ với i  I Đặt Ai   Ai , X  A  : X  N đồng cấu môđun Tương tự cách chứng minh Mệnh đề 1.3.4 Bổ đề Zorn ta giả sử  không mở rộng thành đồng cấu từ X’ vào N với môđun X '  A mà X’ chứa X Khi đó, X môđun cốt yếu A Do X  A nên j  I a  Aj cho a  X , mà N Aj - nội xạ j  I  N aR - nội xạ, a  A (Mệnh đề 1.3.4) Tương tự Mệnh đề 1.3.4 ta mở rộng đồng cấu  thành đồng cấu  : X  aR  N , điều mâu thuẫn với tính tối đại  Ai - nội xạ Vậy N A - nội xạ hay N  I 1.4 Môđun nội xạ môđun tựa nội xạ 1.4.1 Định nghĩa Cho R M , M gọi nội xạ M A - nội xạ với 15 môđun A Định nghĩa Môđun M gọi tựa nội xạ M M - nội xạ Ví dụ: Z - mơđun Q nội xạ Z – môđun Z không tựa nội xạ khơng nội xạ 1.4.2 Định lý ([1] Định lý 4.5) Cho R M , M nội xạ  Mọi iđêan phải I R R - đồng cấu f : I  M tồn đồng cấu h : R  M cho hi  f i phép nhúng từ I vào R 1.4.3 Mệnh đề Một môđun A nội xạ A hạng tử trực tiếp mơđun chứa Chứng minh Nếu A nội xạ A hạng tử trực tiếp mơđun chứa Thật A nội xạ A  B , ánh xạ đồng A mở rộng thành đồng cấu f : B  A Khi đó, B  A  Kerf Tức A hạng tử trực tiếp môđun B chứa A Ngược lại giả sử ta có mơđun A B cho B  A  Kerf Khi A  B tồn đồng cấu f : B  A mở rộng phép đồng idA Vậy A - nội xạ  1.4.4 Mệnh đề Mọi hạng tử trực tiếp môđun nội xạ R nội xạ Chứng minh Giả sử X tổng trực tiếp U va V R, X nội xạ Để chứng minh mệnh đề, ta chứng minh U nội xạ Cho đơn cấu g : A  B đồng cấu f : A  V gọi j : U  X phép nhúng tự nhiên h : X  U phép chiếu tự nhiên Khi X nội xạ nên tồn đồng cấu k : B  X cho k g  j f Xét đồng cấu hợp thành h k : B  U ta có h k g  h j f  f  U nội xạ  16 1.4.5 Định lý Với môđun tùy ý X R tự đồng cấu đồng i : X  X phát biểu sau tương đương a) X nội xạ g f b) Mọi dãy khớp ngắn O O chẻ V X U c) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun nội xạ R * d) Với đơn cấu g : A  B ta có g  Hom( g , i) : Hom( B, X )  Hom( A, X ) toàn cấu e) g f A B f* l dãy khớp ngắn C g* Hom(A,X) Hom(B,X) Hom(C,X) * * với f  Hom( f , i) g  Hom( g , i) dãy khớp ngắn X Chứng minh a)  b) Giả sử X nội xạ xét biểu đồ sau Theo định nghĩa, tồn h : U  X thỏa mãn h g  i h i X f U theo kết luận dãy khớp điều kéo theo dãy khớp ngắn sau chẻ f X U g V b)  c) Gọi U mơđun nội xạ chứa X ta có dãy khớp ngắn X f U g U/X Trong g : U  U / X phép chiếu tự nhiên Theo chứng minh a)  b) dãy chẻ X hạng tử trực tiếp U c)  a) Từ Mệnh đề 1.3.3 a)  d) Theo định nghĩa g* = Hom(g,i) toàn cấu phần tử f : A  X Hom(A,X) tồn phần tử h : B  X Hom(B,X) cho g*(h) = ihg =hg = f Tức a) xảy  X nội xạ  1.4.6 Bổ đề Môđun N A – nội xạ ánh xạ đồng cấu  : E( A)  E( N ) ln có  ( A)  N 17 Chứng minh Vì E(N) môđun nội xạ nên cần xét   Hom( A, E( N )) Điều kiện cần Đặt X  {a  A  (a)  N} Vì N mơđun A – nội xạ nên  X mở rộng thành đồng cấu  : A  N Ta chứng minh N (  )( A)  Thật vậy, giả sử n  N a  A cho n  (  )(a)  (a)   (a)  n phần tử N Do a  X Từ n   (a)  (a)   (a)  (a)  Thế N (  )( A)  Do (  )( A)  N * E ( N ) Vậy  ( A)   ( A)  N Điều kiện đủ Giả sử X  A  : X  N đồng cấu E(N) nội xạ nên  mở rộng thành đồng cấu  : A  E( N ) Theo giả thiết  ( A)  N ,  đồng cấu từ A đến N mở rộng  Vậy N A – nội xạ  1.4.7 Hệ Môđun Q tựa nội xạ với   End ( E(Q)) ln có  (Q)  Q 1.4.7 Hệ Giả sử A B môđun nội xạ lẫn ( tức A B – nội xạ B A – nội xạ) Nếu E( A)  E( B) A  B Hơn f : E( A)  E( B) đẳng cấu f A đẳng cấu từ A lên B; A B tựa nội xạ Chứng minh Giả sử f : E( A)  E( B) đẳng cấu f ( A)  B f 1 ( B)  A (Bổ đề 1.4.6) Do B  ( ff 1 )( B)  f ( f 1 ( B))  f ( A)  B f ( A)  B Vì f A tồn ánh Từ suy f A đẳng cấu từ A lên B Từ A B – nội xạ A  B nên A A - nội xạ, A tựa nội xạ  1.4.8 Mệnh đề ([9] Mệnh đề 1.17) M1  M tựa nội xạ M i M j nội xạ với i, j  1, Nói riêng, hạng tử trực tiếp môđun tựa nội xạ tựa nội xạ CHƯƠNG MÔĐUN HẦU TỰA NỘI XẠ 18 Cho M N hai R môđun phải M gọi hầu N - nội xạ (almost N – injective) môđun X N đồng cấu f : X  M , tồn đồng cấu g cho biểu đồ (1) giao hoán tồn đồng cấu h cho biểu đồ (2) giao hoán (1) i X f N (2) X i  f g M M N  N1  N h N1 N1 hạng tử trực tiếp khác không N,  : N  N1 phép chiếu lên N1 biếu đồ gọi biểu đồ (1) biểu đồ (2) tương ứng M gọi hầu tựa nội xạ M hầu M – nội xạ Một vành R gọi hầu tựa nội xạ phải tựa nội xạ mơđun phải Vành hầu tựa nội xạ trái định nghĩa tương tự Trong suốt phần này, trừ có quy định khác, R vành có đơn vị  Và tất mơđun mơđun phải có đơn vị Một môđun M gọi CS phần bù môđun hạng tử trực tiếp M Nếu M n CS với n, M gọi  CS hữu hạn Vành R gọi vành CS phải R môđun phải CS Vành CS trái định nghĩa tương tự R gọi Utumi vành thương phải tối đại trùng với vành thương trái tối đại Mỗi phân tích M   M i gọi trao đổi hạng tử trực iI tiếp M, M   M i'  N với M i'  M i iI Sau tìm hiểu số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ 2.1 Bổ đề Một mơđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích tựa liên tục, 19 Chứng minh Rõ ràng M môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích nên M mơđun tựa liên tục Ta chứng minh M mơđun đều.Vì M tựa liên tục nên với môđun U M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Mà M mơđun khơng phân tích nên M có M hạng tử trực tiếp  M U cốt yếu M hay M môđun 2.2 Mệnh đề Cho M N môđun M hầu N - nội xạ f  Hom( E( N ), E(M )) f ( N )  M f đẳng cấu f 1 (M )  N Chứng minh Giả sử M hầu N - nội xạ Cho f  Hom( E( N ), E( M )) X  {n  N f (n)  M } Khi f X : X  M Vì M hầu N - nội xạ, hình (1) hình (2) Nếu (1) , tồn g : N  M cho f X gX Chúng ta thấy M  ( g  f )( N )  Thật Lấy m  M cho m = (g – f)(n) , với n  N Khi f (n)  g (n)  m  M Do n  X suy m = g(n) – f(n) = M * E (M ) nên (g – f)(N) = Suy f (N )  M Nếu (2) tồn h: M  N cho h f  1X Khi f tương ứng một Do f đẳng cấu E(N) nội xạ E(M) môđun không phân tích rõ ràng h f ( X )  f 1 f (X ) Chúng ta thấy N  ( f 1  h)(M )  Thật vậy, lấy m'  N cho n'  ( f 1  h)(m' ) với m'  M Khi f 1 (m' )  h(m' )  n'  N Áp dụng f hai vế m'  f ( f 1 (m' ))  f (h(m' )  n' ) với m'  f ( X ) Do n'  ( f 1  h)(m' )  Bởi h f ( X )  f 1 f (X ) m'  f ( X ) Kết điều chứng minh N * E ( N ) , ( f 1  h)(M )  Do đ ó f 1 (M )  h(M )  N  2.3 Mệnh đề Cho R vành với lũy đẳng không tầm thường Khi R hầu nội xạ phải c  E ( RR ) c  R tồn r  R cho cr  20 Chứng minh Giả sử R hầu nội xạ phải Khi RR Bổ đề 2.1 Cho c  E ( RR ) lC : R  E ( RR ) phép nhân trái đồng cấu Khi tồn f: E( RR )  E( RR ) cho lc R  f R Bởi Mệnh đề 2.2 f ( R)  R f đẳng cấu f 1 ( R)  R Nếu f ( R)  R , c  R Nếu f đẳng cấu f 1 ( R)  R tồn r  R cho f(r) = nên cr  lC (r )  f (r )  Giả sử c  E ( RR ) , c  R tồn r  R cho cr  Chúng ta có E(RR) Nếu e  End ( E ( RR )) lũy đẳng e(1)  R tồn r  R cho e(1)r = Nếu e(1)  R e(1) lũy đẳng R giả thiết e(1) = e(1) = Do e = e  1E ( R ) R * E ( RR ) Nếu e(1)r = R với r  R e(r) = e(1) = e(e(r)) = e2(r) = e(r) = Vì e R  1RR R Chúng ta tiếp tục chứng tỏ e  1E ( R ) Ngược lại tồn x  E ( RR ) cho R e( x)  x Khi e( x)  x  Vì R * E ( RR ) tồn r '  R cho (e( x)  x)r '  (e( x)  x)r '  R Vì (e( x)  x)r '  R , (e( x)  x)r  e(e( x)  x)r  Mâu thuẫn với ' ' (e( x)  x)r '  Bởi e  1E ( R ) Điều chứng minh E ( RR ) khơng phân tích R kết RR Bây cho f  End ( E( RR ) Khi giả sử khác f (1)  R f(r) = với r  R, f (r )  R kéo theo f ( R)  R Nếu f(r) = r  R f rR : rR  R đẳng cấu Bởi E(RR) nội xạ, f đẳng cấu E(RR) f 1 ( R)  rR  R Theo Mệnh đề 2.2, R hầu tựa nội xạ. 2.4 Hệ Cho D miền nguyên Q vành tối đại thương Khi D hầu tựa nội xạ phải c  Q c c1  D 21 2.5 Định lý Nếu M môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích Khi End(M) địa phương Để chứng minh định lý ta chứng minh hai bổ đề sau 2.6 Bổ đề Cho M môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích Khi với f , g  S  End (M ) (i) Nếu Ker(f)  Ker(g) Sg  Sf (ii) Nếu Ker(f)=Ker(g) Sf  Sg Sg  Sf Chứng minh Định nghĩa  : f (M )  g (M )  ( f (M ))  g (M )  R - đồng cấu (i) Chúng ta có Ker( f )  Ker( g ) ,  khơng ánh xạ một Bằng giả sử  mở rộng M Do tồn   S cho  ( f (m))   ( f (m)) m  M Khi g (m)  ( f )(m) với m  M Kết Sg  Sf (ii) Cho Ker(f)=Ker(g) Trong trường hợp  một Do  mở rộng thành tự đồng cấu   S tồn   S cho    f ( m) Nếu    rộng thành tự đồng cấu   S tồn   S cho    f ( m) Nếu    f(M) Sg  Sf nên    f ( m) f (m)  (  ) f (m)   ( g (m)  ( g )(m) với m  M Do Sf  Sg  2.7 Hệ Cho M chuỗi R mơđun hầu tựa nội xạ phải Khi End(M) chuỗi trái 2.8 Bổ đề Cho M môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích S = End(M) Khi iđêan trái H S tạo phép đơn cấu không đẳngcấu S iđêan hai phía 22 Đó đủ cho thấy f , g  H với g  S không đẳng cấu f  S với Ker(fg)=0 Nếu Ker(fg)  theo Bổ đề 2.6 fg  H Bây giả sử fg một fg đẳng cấu f tồn cấu, mâu thuẫn Do fg  H Chứng minh Định lý 2.5 Cho S = End(M) Khi S khơng có lũy đẳng khác Nhớ lại từ M môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích Gọi F tập tất đơn cấu khơng đẳng cấu S Nếu F rỗng   S đẳng cấu Ker =0 Lấy h  g U (S ) , U(S) nhóm đơn vị S Vì M đều, mặt khác Ker(h) = Ker(g) = Điều có nghĩa h g đẳng cấu Do S địa phương Giả sử F không rỗng Cho H   Sf Theo Bổ đề 2.6, S \ U (S )  H Bây cho h  H thấy h f F n không khả nghịch Viết h   gi fi , với fi  F , gi  S Theo Bổ đề 2.6 Sf1 , Sf , , Sf n i 1 xếp tuyến tính Sf1  Sf2   Sf n Sau xếp lại cần thiết Do h = gfn với g  S Bây h khả nghịch fn khả nghịch trái Từ S lũy đẳng không tầm thường fn khả nghịch, mâu thuẫn f n  F Do H = S\ U(S) Từ H iđêan phía S (Bổ đề 2.8) Từ S địa phương  Cho M   M Một môđun N M gọi chứa hữu hạn (viết f.c)  I tổng trực tiếp, đối vơi phân tích M   M tồn 1 , , ,  n }  I  I n cho N   M  i 1 i Một mơđun M gọi có CS tính chất (f.c - đều) môđun Nếu với môđun (f.c - đều) cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nó biết M có số chiều hữu hạn tính chất CS mơđun Khi M 23 CS (Xem [4], Hệ 7.8) 2.9 Định lý ([6], Định lý 10) Giả sử {M }I tập hợp R mơđun hồn tồn khơng phân tích được, M  M   M  Khi điều kiện sau tương đương  I (i) M có tính chất CS f.c – mơđun (ii) Với cặp  ,  I, đồng cấu f môđun A M  tới M  mở rộng tới phần tử HomR (M , M  ) f 1 mở rộng tới phần tử HomR (M , M  ) , với Kerf = Từ tổng trực tiếp CS môđun khơng thiết CS, đối tượng hoạt động nghiên cứu để tìm điều kiện tổng trực tiếp họ CS môđun không phân tích CS Nhận xét sau cho điều kiện điều kiện hầu nội xạ 2.10 Nhận xét Mỗi mơđun M mà biểu thị tổng trực tiếp hữu hạn môđun khơng phân tích {M i }in1 từ Định lý 2.5 Định lý 2.9 điều kiện sau tương đương (i) M  M Cs End(Mi) địa phương i (ii) M  CS hữu hạn End(Mi) địa phương i (iii) Mi hầu Mj - nội xạ với i, j Bởi Nhận xét 2.10, mơđun U khơng phân tích hầu tựa nội xạ U  U CS End( U ) địa phương Nó thể ví dụ sau CS môđun với tự đồng cấu vành địa phương khơng cần hầu tựa nội xạ khơng cần  CS hữu hạn F 0 2.11 Ví dụ Cho F  Q( x1 , x2 , , xn , ) , S  Q( x12 , x22 , , xn2 , ) A    Lấy f F S 24 k ' k đồng cấu vành f(a) =a a  Q f(xi) = x2i Lấy R  { 0  '  k1 k  F } R f (k )  0 vành A Iđêan phải khơng tầm thường   Do R chuỗi vành  F 0 phải địa phương (do CS phải)) Nếu R hầu tựa nội xạ phải Hệ 2.7 R chuỗi trái khơng Do R khơng hầu tựa nội xạ phải Trong [5], Hanada, Kuratomi, Oshiro giới thiệu suy rộng hóa nội xạ tương đối Với hai môđun M N M gọi N – nội xạ suy rộng, môđun X N đồng cấu f : X  M , tồn phân tích N  N  N , M  M  M đồng cấu f : N  M , đơn cấu g : M  N thỏa mãn tính chất (*) (**) (*) X  N  g (M ) (**) Mỗi x  X , biểu thị x N  N  N x  x  x , x  N , x  N Khi f ( x)  f ( x)  f ( x) , f  g 1 M gọi tựa nội xạ suy rộng M M – nội xạ suy rộng 2.12 Mệnh đề Nếu M N - nội xạ suy rộng M hầu N - nội xạ Chứng minh Lấy X môđun N f : X  M đồng cấu tồn phân tích N  N  N , M  M  M đồng cấu f : N  M đơn cấu g : M  N thỏa mãn tính chất (*) (**) Nếu f mở rộng tới N N  N Nghĩa N  Định nghĩa h : M  N h  g  M ,  M : M  M phép chiếu từ M vào M với phân tích M  M  M Mỗi x  X , biểu thị x N  N  N x  x  x , x  N , x  N Khi theo (**) h f ( x)  h( f ( x)  f ( x))  g  M ( f ( x)  f ( x))  g ( f ( x))  x   N i X ( x) 25 Do M hầu N – nội xạ  2.13 Nhận xét Nếu M N môđun khơng phân tích được, M hầu N nội xạ M N – nội xạ suy rộng Hai môđun M N, M gọi N – nội xạ cốt yếu môđun X N, đồng cấu f : X  M với Ker( f ) * X f mở rộng thành đồng cấu g : N  M ( xem [4], p.16-17) Quan sát thấy M hầu N - nội xạ M N - nội xạ cốt yếu Nếu X môđun N f : X  M đồng cấu với Ker( f ) * X , từ [3], Bổ đề B, f mở rộng thành đồng cấu g : N  M cho Ker( f ) * N Lấy Y phần bù X N định nghĩa h : X  Y  M f ( x  y)  f ( x) với x  X , y Y Thì Ker(h)=Ker( f )  Y * X  Y * N Ker(h) * N h mở rộng thành đồng cấu g : N  M Rõ ràng g mở rộng f 2.14 Mệnh đề ([5], Mệnh đề 1.4(2)) Nếu M N nội xạ suy rộng M N – nội xạ cốt yếu 2.15 Nhận xét Cho M i i 1 tập hữu hạn môđun hầu tựa nội xạ không phân n tích Nếu M i hầu M j nội xạ với i j {1, 2,3, , n} in1 M i hầu tựa nội xạ Chứng minh Theo Bổ đề 2.1 M i Theo giả thiết Nhận xét 2.13 M i M j nội xạ suy rộng với mọ i j Đặt M  in1 M i X  M  M Thì X CS phân tích X  in1 (M i  M i ) trao đổi (xem [5] Hệ 2.10) Dụng ý X CS phân tích X  M  M trao đổi Do M tựa nội xạ suy rộng M  in1 M i tựa nội xạ suy rộng ([5], Định lý 2.1) M  in1 M i hầu tựa nội xạ theo Mệnh đề 2.14  26 KẾT LUẬN Luận văn hồn thành với nội dung sau Hệ thống chứng minh tường minh số tính chất môđun cốt yếu, môđun A - nội xạ, môđun nội xạ môđun tựa nội xạ Trong chương luận văn tìm hiểu số tính chất môđun hầu tựa nội xạ Bổ đề 2.1, Mệnh đề 2.2, Mệnh đề 2.3 Định lý 2.5 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nhà xuất Giáo dục, 2001 Tiếng Anh [2] Adel Alahmadi, S K Jain A note on almost injective modules Math J Okayama Univ 51 (2009), 101 – 109 [3] Yoshitomo Baba, Note on Almost M – injective, Osaka J Math 26, (1989), 687 – 698 [4] K I Beidar, S K Jain, P Kanwar, and J B Srivastava, CS matrix rings over local rings, J Algebra, 264 (1), (2003) 251 – 261 [5] K I Beidar, S K Jain, P Kanwar, Nonsingular CS – rings coincide with tight PP rings, J Algebra, 282 (1) (2004) 626 – 637 [6] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer, Extending Modules, Pitman, London, 1994 [7] K Harada, Y Kuratomi, and K Oshiro, On Direct Sums of Extending Modules and Internal Exchange Property, J Algebra, 250, (2002), 115 – 133 [8] K Harada and K Oshiro, On Extending property On Direct Sums of Uniform Modules, Osaka J Math, 18 (1981), 767 – 785 [9] S H Mohamed and B J Muller, Continous and discrete Modules, Cambridge University Press, 1990 ... nội xạ hay N  I 1.4 Môđun nội xạ môđun tựa nội xạ 1.4.1 Định nghĩa Cho R M , M gọi nội xạ M A - nội xạ với 15 môđun A Định nghĩa Môđun M gọi tựa nội xạ M M - nội xạ Ví dụ: Z - môđun Q nội xạ. .. M gọi hầu tựa nội xạ M hầu M – nội xạ Một vành R gọi hầu tựa nội xạ phải tựa nội xạ mơđun phải Vành hầu tựa nội xạ trái định nghĩa tương tự Trong suốt phần này, trừ có quy định khác, R vành có... tính chất mơđun cốt yếu, môđun A – nội xạ, môđun nội xạ môđun tựa nội xạ Chương Môđun hầu tựa nội xạ Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ 4 Luận văn hoàn thành