ĐỀ TÀI: CS môđun và môđun hầu như m nội xạ

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “ CS-môđun và môđun hầu như M-nội xạ” Mục đích của bản luận văn này là tìm hiểu môđun hầu như M–nội xạ, đặc biệt là những môđ

LỜI NÓI ĐẦU

Môđun nội xạ là một đối tượng nghiên cứu của lý thuyết vành vàmôđun Vai trò quan trọng của nó trong lý thuyết vành và môđun trở nênhiển nhiên vào những năm 1960, 1970 và lâu hơn nữa Trong suốt quátrình phát triển của lý thuyết, nó được rất nhiều nhà toán học quan tâm và

do đó nó không ngừng được phát triển Người ta đã mở rộng khái niệmnày thành khái niệm môđun M–nội xạ, môđun tự nội xạ Sau đó nó lại tiếptục mở rộng thành các khái niệm môđun gần M–nội xạ, môđun M–nội xạcốt yếu Rồi vào những năm 80, những nhà toán học như M Harada (NhậtBản), B Muller (Đức) đã đóng góp nhiều công trình trong việc nghiên cứumôđun π–nội xạ (hay môđun tựa liên tục) và tổng quát hơn là CS–môđun.Vào năm 1988, Yoshitomo Baba (Nhật Bản) đã đưa ra khái niệm môđunhầu như M–nội xạ Vào năm 2008, Saunder K Jain, nhà toán học Hoa Kìtiếp tục công bố những kết quả mới về môđun hầu như M–nội xạ trong bàibáo mang tên:

“A note on almost injective modules”.

Từ đầu thập niên 90 trở lại đây, nhiều bài toán về CS- môđun và

những dạng tổng quát khác của môđun nội xạ được đặt ra và nghiên cứurộng rãi Đó là việc khảo sát cấu trúc, thiết lập điều kiện đặc trưng và chonhững ứng dụng vào lý thuyết vành đối với một số lớp môđun có liên hệ

gần với tính CS Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài luận

văn là:

“ CS-môđun và môđun hầu như M-nội xạ”

Mục đích của bản luận văn này là tìm hiểu môđun hầu như M–nội

xạ, đặc biệt là những môđun hầu như M–nội xạ không phân tích được và

Đề tài nhằm trình bày một cách hệ thống chi tiết những kiến thức nền tảng

về môđun nội xạ làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn

Luận văn ngoài phần mở đầu, phần kết luận, được bố cục thành bachương nội dung:

Chương 1: Trình bày những kiến thức chuẩn bị, các khái niệm của môđun

như: Môđun,môđun con cốt yếu, môđun Uniform, môđun nội xạ, môđun con

bù Kết quả chủ yếu là chiều Uniform và về sự phân tích môđun nội xạ

Chương 2: Trình bày về môđun M-nội xạ, môđun tự nội xạ, CS-môđun,

môđun tựa liên tục,… gọi chung là các dạng yếu hơn của tính chất nội xạ

và xem xét mối liên hệ giữa chúng Trong đó quan trọng là định lí 2.6.7phát biểu một tính chất đặc trưng của môđun tựa liên tục được S K Jainđưa ra

Chương 3: Là chương chính của đề tài nghiên cứu về môđun hầu như

N-nội xạ là mở rộng của môđun N-nội xạ, cùng với vành các tự đồng cấu củamôđun hầu như tự nội xạ và không phân tích được và quan trọng nhất làmối liên hệ giữa môđun hầu như M-nội xạ và CS-môđun Trong chươngnày chúng tôi xem xét tính chất CS đối với f.c.uniform và tính chất của

å -CS môđun thể hiện qua mệnh đề 3.1.2 và định lí 3.3.8 Mệnh đề và

định lí này dã được A.Alahmadi và S.K.Jain đưa ra trong các công trìnhnghiên cứu của họ

Bản luận văn đã được hoàn thành dưới sự lao động nghiêm túc củabản thân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Duy Thuận.Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn DuyThuận, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số và Lý thuyết số, ban chủnhiệm khoa Toán, Phòng quản lý Sau đại học trường ĐHSP Hà Nội, cùngcác thầy cô giáo phản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp

nhiều ý kiến quý báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình họctập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã độngviên tôi trong suốt quá trình học tập của mình

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cốgắng, nỗ lực Song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể cònnhiều thiếu sót Kính mong sự góp ý chân tình của thầy cô và các bạn đểbản luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Chương I NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MÔĐUN NỘI XẠ

Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kếtquả đã biết về môđun nội xạ, bao nội xạ môđun con cốt yếu,…Ta quy ước

nếu nói: Môđun con M mà không nói gì thêm, ta hiểu đó là môđun phải M.

Các vành đều được giả thiết là có đơn vị, các môđun đều là Unita (Nghĩa

là x.1R =x với mọi x MÎ R)

1.1 Môđun con cốt yếu

Khái niệm môđun con cốt yếu được sử dụng xuyên suốt trong luận văn

1.1.1 Định nghĩa.

1) Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con cốt yếu của M

nếu với mọi B Ì M thoả mãn A BÇ = 0thì B =0.

Kí hiệu A Ì * M

Ta còn gọi A là môđun con lớn của M.

2) Đồng cấu a : A ®M được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu Ima Ì * M ,

1.1.2 Mệnh đề M là R môđun, A Ì B Ì M Khi đó, A Ì *M khi và chỉ khi A Ì *B và B Ì *M

1.1.3 Mệnh đề Giả sử A là môđun con của M khi đó A Ì *M khi và chỉ

1) Môđun con A*của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong

M nếu A+A* =M và A*là môđun con tối tiểu có tính chất A +A* =M

2) Môđun con A’ của M được gọi là phần bù theo giao (hay Ç-bù ) nếu

A AÇ = và A’ là môđun con tối đại có tính chất A AÇ '=0.

1.2.2 Mệnh đề Mọi môđun con của môđun M đều có bù giao.

3) Nếu A⊂ A" thì A⊂ * A".

1.3 Môđun uniform

Tính chất uniform quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ và các dạngsuy rộng của tính chất này Bởi vậy môđun uniform có mặt hầu kháp nơitrong luận văn Đi cùng với nó là khái niệm chiều uniform

1.3.1 Định nghĩa Môđun con M được gọi là môđun Uniform (thuần

nhất) nếu mỗi môđun con khác không của M đều là môđun con cốt yếu

của M

(Nói cách khác, M là Uniform nếu mọi môđun con khác không A và B ta

có A BÇ ¹ Æ).

1.3.2 Ví dụ

a) Mỗi R môđun đơn là uniform.

b) Mỗi môđun con khác không của một môđun uniform là uniform

Thật vậy, giả sử N Ì M N, ¹ 0

Mọi B Ì M mà N ÇB =0 nên B =0 Vì nếu B ¹ 0 thì do giả thiết M là

Uniform ta sẽ có:N ÇB ¹ 0 (mâu thuẫn với giả thiết N ÇB = 0)

Vậy N Ì *M

Nhận xét Mỗi R môđun M chứa một môđun con uniform N, N cốt yếu

1.3.3 Mệnh đề M là R môđun khác không, M không chứa một tổng trực

tiếp vô hạn các môđun con khác không Khi đó M chứa một môđun con uniform.

1.3.4 Mệnh đề Giả sử N Ì *M , với N =U1 ÅU2 Å ÅU n

( U i là uniform trong M, " =i 1,n ) Thế thì mỗi môđun con K ¹ 0 của M

là cốt yếu trong M khi và chỉ khi K UÇ i ¹ 0 với " =i 1,n

1.3.5 Mệnh đề Giả sử M là một R-môđun và

* 1

n i

=

, trong đó mọi i

U đều là môđun uniform Khi đó,

1) Mọi tổng trực tiếp những môđun con khác 0 của M có nhiều nhất n hạng tử

2) Nếu

* 1

k i

Vì U1 Å ÅU n Ì *M nên K n+1 ¹ 0 (Trái với giả thiết K n+1 ¹ 0)

Vậy 1) được chứng minh

2) Nếu V1 Å ÅV k Ì *M Ta có theo 1) k£ n Mặt khác thay đổi vai tròcủa V i thành U i và lại áp dụng 1) ta có n £ k Vậy n =k

Như vậy với môđun M ¹ 0 ta có môđun M không chứa một tổng trực tiếp

vô hạn các môđun con khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một số nguyên dương n sao cho M chứa một môđun cốt yếu dạng: U1 ÅU2 Å ÅU n , U i

uniform (i=1,…,n).

1.3.6 Định nghĩa Số n bất biến với môđun M trong mệnh đề 1.3.5 gọi là

chiều uniform của môđun M Kí hiệu UdimM.

1.3.7 Mệnh đề Cho M và N là các R – môđun, N là môđun con của M

1) N Ì *M khi đó U dimM hữu hạn khi và chỉ khi U dimN hữu hạn và trong trường hợp này U dimM =U dimN

2) Giả sử N và M N/ có chiều uniform hữu hạn thì M cũng có chiều uniform hữu hạn và U dimM =U dimN U+ dim /M N

1.4 Môđun nội xạ

Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, môđun nội xạ là điểm xuấtphát đi đến những vấn đề nghiên cứu của luận văn Mặc dù không là đối

Khi đó ta nói g là một mở rộng của b theo đơn cấu a

1.4.2 Định lí Đối với môđun Q các mệnh đề sau tương đương:

i) Q là môđun nội xạ

ii) Mỗi đơn cấu a : A ®B đều cảm sinh một toàn cấu:

* :Hom B Q( , ) Hom A Q( , )

xác định bởi a * f( ) = a , với f Î Hom B Q( , ) .

iii) Mỗi đơn cấu a :Q ® M đều chẻ ra.

1.4.3 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ

khi mỗi R đồng cấu I ® E từ một iđêal I của R (xem như R-môđun) vào

E luôn mở rộng được thành một đồng cấu R ® E

1.4.4 Định lý Giả sử E là R môđun Các điều kiện sau là tương đương:

(i) E là nội xạ.

(ii ) Mỗi dãy khớp 0 ®E ¾¾®j M ® M ' ® 0 các R môđun đều chẻ ra (iii) Mỗi dãy khớp 0 ® E ¾¾®j M ®M ' ® 0

các R môđun, với M’ là môđun xyclic đều chẻ ra.

(iv) Nếu dãy các R môđun 0 ® N ' ¾¾®a N ® N'' ® 0 là khớp thì dãy

1.5.1 Định nghĩa Cho M là một R môđun Một R môđun E được gọi là

bao nội xạ của M và kí hiệu là E M( ) nếu E là R môđun nội xạ và là một

mở rộng cốt yếu của M

1.5.2 Định lý Cho E là một R môđun Khi đó các mệnh đề sau tương

đương:

(i) E là R môđun nội xạ.

(ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức là nếu E’ là một mở rộng cốt yếu của E thì E @E '.

1.5.3 Hệ quả Cho E là một mở rộng của R môđun M Khi đó các mệnh

đề sau là tương đương:

(i) E là một bao nội xạ của M

(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.

1.5.4. Định lý Mỗi R môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ Hơn nữa,

giả

sử E và E’ là những bao nội xạ của M khi đó tồn tại một R đẳng cấu

f E ®E sao cho f x( ) =x với mọi x MÎ .

1.6 Môđun nội xạ không phân tích được

Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết môđun là vấn đề phântích một môđun thành tổng trực tiếp các môđun con

1.6.1 Định nghĩa

1) Một R môđun khác không M được gọi là không phân tích được, nếu M

chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là 0 và M

2) Một R môđun con N của M được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại

hai môđun con N N1 , 2 chứa thực sự N sao cho N =N1 ÇN2.

1.6.2 Định lý Cho E là một R môđun nội xạ khác không Khi đó các

mệnh đề sau là tương đương:

(i) E là không phân tích được.

(ii) E là bao nội xạ của mọi R môđun con khác không của E

(iii) Môđun không của E là bất khả quy.

(iv) Mỗi môđun con trong E là thuần nhất.

(v) E là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó

1.6.3 Hệ quả Cho R môđun M và N là một R môđun con của M Khi đó

bao nội xạ là không phân tích được khi và chỉ khi N là môđun con bất khả quy của M.

1.6.4 Hệ quả Bao nội xạ của một R môđun đơn là môđun không phân

tích được.

11

Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, nội dung chương này bao gồm các kết quả nghiên cứu tính chất nội xạ suy rộng Môđun tựa nội xạ và môđun tựa liên tục đã được đặc trưng bởi tính chất bất biến qua một tập thích hợp những tự đồng cấu của bao nội xạ.

ngắn Nếu M là B-nội xạ thì M cũng là A-nội xạ và C-nội xạ.

2.1.3 Mệnh đề M là môđun A-nội xạ và B Ì A Khi đó M là B-nội xạ và

2.1.6 Mệnh đề Giả sử môđun M là A-nội xạ, N Ì * M Khi đó các điều

kiện sau tương đương:

Khái niệm môđun tự nội xạ được Johson-Wong đưa ra

2.2.1 Định nghĩa Một môđun M gọi là tự nội xạ nếu và chỉ nếu M là

M-nội xạ.

2.2.4 Mệnh đề Cho các môđun M1và M2 Khi đó M1 Å M2 là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i là M j -nội xạ ( i j = 12, , ).

2.2.7 Mệnh đề Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun con

hoàn toàn bất biến của môđun E M( ).

2.3 Môđun con đóng

2.3.1 Định nghĩa Môđun con N của môđun M được gọi là đóng trong M

nếu mọi mở rộng cốt yếu của nó trong M đều trùng với nó.

2.3.2 Mệnh đề Giả sử N là một môđun con của M, L là bù giao của N

trong M, K là bù giao của L trong M và N Ì K Khi đó,

1) K Å L Ì * M

2) K là môđun con đóng trong M.

2.3.3 Mệnh đề Giả sử K, L là những môđun con của môđun M và

K Ì L

Nếu L K Ì * M K thì L Ì * M

2.3.4 Định lí Giả sử K, L, N là những môđun con của môđun M và

K Ì L Thế thì

1) Tồn tại một môđun con đóng H của M sao cho N Ì * H

2) Môđun con K đóng trong M khi và chỉ khi với mỗi môđun Q Ì * M sao cho K Ì Q thì Q K Ì *M K

3) Nếu L là môđun con đóng trong M thì L K đóng trong M K

4) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.

K Ç K +L = 0

2.4 CS-Môđun

Ở phần trên chúng ta nghiên cứu các tính chất nội xạ suy rộng là

những trường hợp đặc biệt của tính chất CS.

2.4.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là một CS-môđun (hay một môđun

Extending) nếu nó thoả mãn điều kiện sau: Mỗi môđun con N của M đều

là môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của M

Vành R được gọi là CS-vành bên phải nếu môđun R R là CS-môđun.

2.4.2 Ví dụ Mỗi môđun nửa đơn là CS-môđun vì mỗi môđun con là tổng

trực tiếp Hơn nữa, mỗi môđun uniform là CS-môđun vì mỗi môđun conkhác không là cốt yếu

2.4.3 Mệnh đề Đối với R-môđun M, hai điều kiện sau đây tương đương:

(i) M là CS- môđun

(ii) Mỗi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M.

2.4.4 Mệnh đề M là môđun không phân tích được Khi đó, M là CS–

môđun khi và chỉ khi M là môđun uniform.

2.4.5 Hệ quả Mỗi hạng tử trực tiếp của một CS-môđun là một CS-môđun 2.4.6 Định nghĩa Họ các môđun ( M i i I) Î và M2 được gọi là nội xạ tương

hỗ nếu M i là M j -nội xạ với mọi i ¹ j

2.4.7 Bổ đề Giả sử M =M1 Å M2 Thế thì M1 là M2-nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N Ì M sao cho N ÇM1 = 0 đều tồn tại một môđun con M 'Ì M sao cho M =M1 Å M ' và N Ì M '.

2.4.8 Mệnh đề Giả sử M1và M2 là những CS-môđun và M =M1 Å M2 Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ khi mỗi môđun con đóng K Ì M thoả mãn điều kiện K ÇM1 = 0 hoặc K ÇM2 = 0 đều là một hạng tử trực tiếp của M.

2.4.9 Định lí Giả sử

n i i

=1

= Å

với các M i là những môđun nội xạ tương

hỗ Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ khi mọi M i là CS-môđun.

2.5 Uniform CS-môđun

2.5.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là một uniform CS-môđun

(f.c.uniform CS-môđun) nếu mỗi môđun con uniform (f.c.uniform) đều là

môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của M.

11

2.5.2 Mệnh đề Giả sử M là một uniform CS-môđun và K Ì M là môđun con đóng có chiều uniform hữu hạn Khi đó K là một hạng tử trực tiếp của M

2.5.3 Định lí Giả sử udim M=n <¥ Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ khi M là uniform CS-môđun

2.6 Môđun tựa liên tục

Khái niệm môđun tựa liên tục được Utumi đưa ra Đây là một trường

hợp đặc biệt của CS-môđun.

một CS – môđun và với hai hạng tử trực tiếp M1, M2của M mà

M1ÇM2= 0 thì M1 Å M2 cũng là một hạng tử trực tiếp của M.

2.6.2 Mệnh đề Mọi môđun Uniform đều là môđun tựa liên tục.

2.6.4 Bổ đề Cho môđun M, f Î EndM Nếu f luỹ đẳng thì:

M =f M Å 1- f M Ngược lại, nếu M =M1 Å M2 thì tồn tại e End MÎ ( ) , e luỹ đẳng sao cho:

( )

M1=e M và M2 = 1-( e M)

2.6.5 Định lý Cho R - môđun M Các mệnh đề sau tương đương:

( )i M là môđun tựa liên tục

( )ii M =X ÅY với mỗi cặp môđun con X, Y của M mà chúng là phần

2.6.6 Định lý Giả sử E =E M( ) Các mệnh đề sau tương đương:

(i) M là môđun tựa liên tục.

(ii) Nếu N N1, 2 Ì M và N1 ÇN2 = 0 thì tồn tại M M1, 2 Ì M

sao cho M =M1 Å M2, trong đ ó N i Ì M i , i = 12, .

(iii) Nếu N N, Ì M và N ÇN = 0 thì tồn tại f Î End M( )

sao cho N1 Ì Kerf và N2 Ì Ker(1- f).

(iv) Nếu N N1, 2 Ì M và N1 ÇN2 = 0 thì đơn cấu sau chẻ ra:

2.6.7 Định lí Đối với môđun M các mệnh đề sau tương đương:

i) M là một môđun tựa liên tục

ii) Với hai môđun con bất kì M1, M2 của M mà M1 ÇM2 = 0 thì mỗi phép chiếu chính tắc p M i : 1Å M2 ®M i , (i=1; i=2) đều mở rộng được thành một tự đồng cấu của M.

Ta chứng minh p i mở rộng được thành tự đồng cấu của M.

Nếu M1 = 0 thì p1 = 0 Do đó nó mở rộng được thành tự đồng cấu 0 của M

Nếu M2 = 0, thì p2 = 1M1 Do đó nó mở rộng được thành tự đồng cấu 1M Nếu M1 ¹ 0,M2 ¹ 0 thì tồn tại những hạng tử trực tiếp K K1, 2 của M sao

cho: M1 Ì * K M1, 2 Ì * K2

Khi đó K1 ÇK2 = 0

Thật vậy nếu 0 ¹ x KÎ 1 I K2 thì tồn tại r Î R sao cho 0 ¹ xr Î K2

Vì 0 ¹ xr Î K2 nên tồn tại s RÎ sao cho 0 ¹ xrs MÎ 2