ĐỀ TÀI: CS môđun và môđun hầu như m nội xạ

LỜI NÓI ĐẦU Môđun nội xạ là một đối tượng nghiên cứu của lý thuyết vành và môđun. Vai trò quan trọng của nó trong lý thuyết vành và môđun trở nên hiển nhiên vào những năm 1960, 1970 và lâu hơn nữa. Trong suốt quá trình phát triển của lý thuyết, nó được rất nhiều nhà toán học quan tâm và do đó nó không ngừng được phát triển. Người ta đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun M–nội xạ, môđun tự nội xạ. Sau đó nó lại tiếp tục mở rộng thành các khái niệm môđun gần M–nội xạ, môđun M–nội xạ cốt yếu. Rồi vào những năm 80, những nhà toán học như M. Harada (Nhật Bản), B. Muller (Đức) đã đóng góp nhiều công trình trong việc nghiên cứu môđun π–nội xạ (hay môđun tựa liên tục) và tổng quát hơn là CS–môđun. Vào năm 1988, Yoshitomo Baba (Nhật Bản) đã đưa ra khái niệm môđun hầu như M–nội xạ. Vào năm 2008, Saunder K. Jain, nhà toán học Hoa Kì tiếp tục công bố những kết quả mới về môđun hầu như M–nội xạ trong bài báo mang tên: “A note on almost injective modules”. Từ đầu thập niên 90 trở lại đây, nhiều bài toán về CS- môđun và những dạng tổng quát khác của môđun nội xạ được đặt ra và nghiên cứu rộng rãi. Đó là việc khảo sát cấu trúc, thiết lập điều kiện đặc trưng và cho những ứng dụng vào lý thuyết vành đối với một số lớp môđun có liên hệ gần với tính CS. Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “ CS-môđun và môđun hầu như M-nội xạ” Mục đích của bản luận văn này là tìm hiểu môđun hầu như M–nội xạ, đặc biệt là những môđun hầu như M–nội xạ không phân tích được và tìm hiểu mối liên hệ giữa CS–môđun với môđun hầu như M–nội xạ. 1 1 Đề tài nhằm trình bày một cách hệ thống chi tiết những kiến thức nền tảng về môđun nội xạ làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn. Luận văn ngoài phần mở đầu, phần kết luận, được bố cục thành ba chương nội dung: Chương 1: Trình bày những kiến thức chuẩn bị, các khái niệm của môđun như: Môđun,môđun con cốt yếu, môđun Uniform, môđun nội xạ, môđun con bù. Kết quả chủ yếu là chiều Uniform và về sự phân tích môđun nội xạ. Chương 2: Trình bày về môđun M-nội xạ, môđun tự nội xạ, CS-môđun, môđun tựa liên tục,… gọi chung là các dạng yếu hơn của tính chất nội xạ và xem xét mối liên hệ giữa chúng. Trong đó quan trọng là định lí 2.6.7 phát biểu một tính chất đặc trưng của môđun tựa liên tục được S. K. Jain đưa ra. Chương 3: Là chương chính của đề tài nghiên cứu về môđun hầu như N- nội xạ là mở rộng của môđun nội xạ, cùng với vành các tự đồng cấu của môđun hầu như tự nội xạ và không phân tích được và quan trọng nhất là mối liên hệ giữa môđun hầu như M-nội xạ và CS-môđun. Trong chương này chúng tôi xem xét tính chất CS đối với f.c.uniform và tính chất của å -CS môđun thể hiện qua mệnh đề 3.1.2 và định lí 3.3.8. Mệnh đề và định lí này dã được A.Alahmadi và S.K.Jain đưa ra trong các công trình nghiên cứu của họ. Bản luận văn đã được hoàn thành dưới sự lao động nghiêm túc của bản thân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Duy Thuận. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Duy Thuận, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số và Lý thuyết số, ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng quản lý Sau đại học trường ĐHSP Hà Nội, cùng các thầy cô giáo phản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp 2 2 nhiều ý kiến quý báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập của mình. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cố gắng, nỗ lực. Song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể còn nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý chân tình của thầy cô và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! 3 3 Chương I NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MÔĐUN NỘI XẠ Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả đã biết về môđun nội xạ, bao nội xạ môđun con cốt yếu,…Ta quy ước nếu nói: Môđun con M mà không nói gì thêm, ta hiểu đó là môđun phải M. Các vành đều được giả thiết là có đơn vị, các môđun đều là Unita (Nghĩa là .1   = với mọi   Î ). 1.1 Môđun con cốt yếu Khái niệm môđun con cốt yếu được sử dụng xuyên suốt trong luận văn. 1.1.1. Định nghĩa. 1) Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi  Ì thoả mãn 0 Ç = thì 0 = . Kí hiệu *  Ì . Ta còn gọi A là môđun con lớn của M. 2) Đồng cấu :   ® được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu * Im  Ì , 1.1.2. Mệnh đề. M là R môđun,   Ì Ì . Khi đó, * Ì khi và chỉ khi * Ì và * Ì . 1.1.3. Mệnh đề. Giả sử A là môđun con của M khi đó  *Ì khi và chỉ khi      , 0, , 0" Î ¹ $ Î ¹ mà  Î . 1.1.4. Mệnh đề. Cho họ ( )   các môđun con của M 1) 1 * , 1, , *         Ì " = Þ Ç Ì 2) , , * ,               Î = Å Ì Ì " . Khi đó, 1 1       = = Å å và * Ì . 1.2 Phần bù 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử A là môđun con của M . 4 4 1) Môđun con *  của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong M nếu *   + = và *  là môđun con tối tiểu có tính chất *   + = . 2) Môđun con A’ của M được gọi là phần bù theo giao (hay Ç -bù ) nếu ' 0 Ç = và A’ là môđun con tối đại có tính chất ' 0 Ç = . 1.2.2. Mệnh đề. Mọi môđun con của môđun M đều có bù giao. 1.2.3. Mệnh đề. 1) Nếu ,A M B M ⊂ ⊂ và 0A B = I . Khi đó : ( ) * ' / /B A A B B M B= ⇔ + ⊂ . 2) Nếu 'B A= và "A B= thì A’ bù giao đối với "A trong M. 3) Nếu "A A⊂ thì * "A A ⊂ . 1.3 Môđun uniform Tính chất uniform quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ và các dạng suy rộng của tính chất này. Bởi vậy môđun uniform có mặt hầu kháp nơi trong luận văn. Đi cùng với nó là khái niệm chiều uniform. 1.3.1. Định nghĩa. Môđun con M được gọi là môđun Uniform (thuần nhất) nếu mỗi môđun con khác không của M đều là môđun con cốt yếu của M. (Nói cách khác, M là Uniform nếu mọi môđun con khác không A và B ta có  Ç ¹ Æ ). 1.3.2. Ví dụ. a) Mỗi R môđun đơn là uniform. b) Mỗi môđun con khác không của một môđun uniform là uniform. Thật vậy, giả sử , 0  Ì ¹ . Mọi  Ì mà 0 Ç = nên 0 = . Vì nếu 0 ¹ thì do giả thiết M là Uniform ta sẽ có: 0 Ç ¹ (mâu thuẫn với giả thiết 0 Ç = ). Vậy * Ì . 5 5 Nhận xét. Mỗi R môđun M chứa một môđun con uniform N, N cốt yếu trong M thì M là uniform. Chứng minh. Giả sử * Ì , N uniform thì M uniform: 0 , .  ¹ Ì Vì * 0   Ì Þ Ç ¹ và 0 Ç ¹ . Khi đó ( ) ( )     0Ç Ç Ç ¹ suy ra ( )    0Ç Ç ¹ hay   0Ç ¹ . Vậy M là uniform. 1.3.3. Mệnh đề. M là R môđun khác không, M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. Khi đó M chứa một môđun con uniform. 1.3.4. Mệnh đề. Giả sử * Ì , với 1 2     = Å Å Å . (   là uniform trong M, 1, " = ). Thế thì mỗi môđun con 0 ¹ của M là cốt yếu trong M khi và chỉ khi 0   Ç ¹ với 1, " = . 1.3.5. Mệnh đề. Giả sử M là một R-môđun và * 1      = Å Ì , trong đó mọi   đều là môđun uniform. Khi đó, 1) Mọi tổng trực tiếp những môđun con khác 0 của M có nhiều nhất n hạng tử. 2) Nếu * 1      = Å Ì , với   là những môđun uniform thì k=n. Chứng minh. 1) Giả sử tồn tại trong M tổng trực tiếp: 1 2 1 , 0       + Å Å Å ¹ , ( 1, , 1 = + ),   Ì . Thế thì 2 1 *     + Å Å Ë ( vì có 1 0 ¹ , sao cho ( ) 1 2 1 0     + Ç Å Å = ). Theo mệnh đề 1.3.4 tồn tại ( 1, , )    = sao cho: ( ) 2 3 1 0       + Å Å Å Ç = . Giả sử 1  = , ta có tổng trực tiếp trong M: 1 2 1     + Å Å Å 6 6 Ta lại có: 1 3 1 *      + Å Å Å Ë (Vì ( ) 1 3 1 2 0      + Å Å Å Ç = ). Do đó tồn tại   sao cho: ( ) 1 3 1 0       + Ç Å Å Å = với ( 1 ¹ ) Chẳng hạn 2  = , khi đó ta có tổng trực tiếp: 1 2 3 1      + Å Å Å . Sau n bước như vậy ta có tổng trực tiếp: 1 2 1       + Å Å Å Å . Suy ra ( ) 1 1 0      + Å Å Ç = . Vì 1 *    Å Å Ì nên 1 0   + ¹ (Trái với giả thiết 1 0   + ¹ ). Vậy 1) được chứng minh. 2) Nếu 1 *    Å Å Ì . Ta có theo 1)  £ . Mặt khác thay đổi vai trò của   thành   và lại áp dụng 1) ta có  £ . Vậy  = . Như vậy với môđun 0 ¹ ta có môđun M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một số nguyên dương n sao cho M chứa một môđun cốt yếu dạng: 1 2    Å Å Å , U i uniform (i=1,…,n). 1.3.6. Định nghĩa. Số n bất biến với môđun M trong mệnh đề 1.3.5 gọi là chiều uniform của môđun M. Kí hiệu UdimM. 1.3.7. Mệnh đề. Cho  và  là các R – môđun,  là môđun con của  1) * Ì khi đó  dim hữu hạn khi và chỉ khi  dim hữu hạn và trong trường hợp này    dim dim= . 2) Giả sử  và  / có chiều uniform hữu hạn thì  cũng có chiều uniform hữu hạn và       dim dim dim /= + . 1.4 Môđun nội xạ Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, môđun nội xạ là điểm xuất phát đi đến những vấn đề nghiên cứu của luận văn. Mặc dù không là đối 7 7   α 0   tượng nghiên cứu chính nhưng tính chất nội xạ xuất hiện thường xuyên trong các khảo sát của chúng tôi. 1.4.1. Định nghĩa. Môđun  được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu :   ® và mọi đồng cấu :   ® , tồn tại đồng cấu :   ® thoả mãn  = . Khi đó ta nói  là một mở rộng của  theo đơn cấu  . 1.4.2. Định lí. Đối với môđun  các mệnh đề sau tương đương: i)  là môđun nội xạ ii) Mỗi đơn cấu :   ® đều cảm sinh một toàn cấu: * : ( , ) ( , )      ® xác định bởi ( ) *  = , với ( ) ,   Î . iii) Mỗi đơn cấu :  ® đều chẻ ra. 1.4.3. Định lý (Tiêu chuẩn Baer). Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mỗi R đồng cấu  ® từ một iđêal I của R (xem như R-môđun) vào E luôn mở rộng được thành một đồng cấu  ® . 1.4.4. Định lý. Giả sử E là R môđun. Các điều kiện sau là tương đương: (i) E là nội xạ. (ii ) Mỗi dãy khớp 0 ' 0    ® ¾¾® ® ® các R môđun đều chẻ ra. (iii) Mỗi dãy khớp 0 ' 0    ® ¾¾® ® ® các R môđun, với M’ là môđun xyclic đều chẻ ra. (iv) Nếu dãy các R môđun 0 ' '' 0    ® ¾¾® ® ® là khớp thì dãy 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 ", , ', 0        ® ® ® ® là khớp. 1.5 Bao nội xạ Khái niệm bao nội xạ có liên quan chặt chẽ với môđun nội xạ và mở rộng cốt yếu của nó. 1.5.1. Định nghĩa. Cho  là một R môđun. Một R môđun E được gọi là bao nội xạ của  và kí hiệu là ( )   nếu E là R môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M. 1.5.2. Định lý. Cho E là một R môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (i) E là R môđun nội xạ. (ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức là nếu E’ là một mở rộng cốt yếu của E thì ' @ . 1.5.3. Hệ quả. Cho E là một mở rộng của R môđun M. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) E là một bao nội xạ của M. (ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M. 1.5.4. Định lý. Mỗi R môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, giả sử E và E’ là những bao nội xạ của M khi đó tồn tại một R đẳng cấu : '  ® sao cho ( )   = với mọi  Î . 1.6 Môđun nội xạ không phân tích được Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết môđun là vấn đề phân tích một môđun thành tổng trực tiếp các môđun con. 1.6.1. Định nghĩa. 1) Một R môđun khác không  được gọi là không phân tích được, nếu  chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là 0 và  . 9 9 2) Một R môđun con  của  được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại hai môđun con 1 2 ,  chứa thực sự N sao cho 1 2   = Ç . 1.6.2. Định lý. Cho E là một R môđun nội xạ khác không. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) E là không phân tích được. (ii) E là bao nội xạ của mọi R môđun con khác không của E. (iii) Môđun không của E là bất khả quy. (iv) Mỗi môđun con trong E là thuần nhất. (v) E là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó . 1.6.3. Hệ quả. Cho R môđun M và N là một R môđun con của M. Khi đó bao nội xạ là không phân tích được khi và chỉ khi N là môđun con bất khả quy của M. 1.6.4. Hệ quả. Bao nội xạ của một R môđun đơn là môđun không phân tích được. 1 0 1 0 [...]... Th thỡ M l CS- m un khi v ch khi mi M i l CS- m un 2.5 Uniform CS- m un 2.5.1 nh ngha M un M c gi l mt uniform CS- m un (f.c.uniform CS- m un) nu mi m un con uniform (f.c.uniform) u l m un con ct yu trong mt hng t trc tip no ú ca M 1 1 4 4 2.5.2 Mnh Gi s M l mt uniform CS- m un v K è M l m un con úng cú chiu uniform hu hn Khi ú K l mt hng t trc tip ca M 2.5.3 nh lớ Gi s udim M= n < Ơ Th thỡ M l CS- m un khi... 2.4.7 B Gi s M = M 1 M 2 Th thỡ M 1 l M 2 -ni x khi v ch khi vi mi m un con N è M sao cho N ầ M 1 = 0 u tn ti mt m un con M ' è M sao cho M = M 1 M ' v N è M ' 2.4.8 Mnh Gi s M 1 v M 2 l nhng CS- m un v M = M 1 M 2 Th thỡ M l CS- m un khi v ch khi mi m un con úng K è M tho m n iu kin K ầ M 1 = 0 hoc K ầ M 2 = 0 u l mt hng t trc tip ca M 2.4.9 nh lớ Gi s n M = Mi i =1 vi cỏc M i l nhng m un ni x... M l uniform CS- m un M un ta liờn tc 2.6 Khỏi nim m un ta liờn tc c Utumi a ra õy l mt trng hp c bit ca CS- m un 2.6.1 nh ngha M un M c gi l m un ta liờn tc nu nú l mt CS m un v vi hai hng t trc tip M 1 , M 2 ca M m M 1 ầ M 2 = 0 thỡ M 1 M 2 cng l mt hng t trc tip ca M 2.6.2 Mnh Mi m un Uniform u l m un ta liờn tc 2.6.4 B Cho m un M, f ẻ EndM Nu f lu ng thỡ: M = f ( M ) ( 1- f ) M Ngc li, nu M. .. uniform l CS- m un vỡ mi m un con khỏc khụng l ct yu 2.4.3 Mnh i vi R -m un M, hai iu kin sau õy tng ng: (i) M l CS- m un (ii) Mi m un con úng ca M l mt hng t trc tip ca M 2.4.4 Mnh M l m un khụng phõn tớch c Khi ú, M l CS m un khi v ch khi M l m un uniform 2.4.5 H qu Mi hng t trc tip ca mt CS- m un l mt CS- m un 2.4.6 nh ngha H cỏc m un ( M i ) i ẻ I v M 2 c gi l ni x tng h nu M i l M j -ni x vi mi i ạ... ca M cng l mt CS- m un n 3.3.8 nh lớ Gi s M = Mi i =1 , vi cỏc M i l nhng m un khụng phõn tớch c Cỏc mnh sau l tng ng: (i) M M l CS- m un v End (M i ) l vnh a phng vi mi i (ii) M l m un ồ - CS hu hn v End (M i ) l vnh a phng vi mi i ,2 (iii) M i l hu nh M j -ni x vi mi i, j ẻ {1 , n} Chng minh ( i ) ị ( ii ) Ch cn chng minh M l ồ- CS hu hn Vỡ M M l CS m un nờn theo h qu 2.4.5, chng 2, M l CS m un... m un con bt kỡ M 1 , M 2 ca M m M 1 ầ M 2 = 0 thỡ mi phộp chiu chớnh tc pi : M 1 M 2 đ M i , (i=1; i=2) u m rng c thnh mt t ng cu ca M Chng minh ( i ) ị ( ii ) Gi s M l m un ta liờn tc, M 1, M 2 l hai m un con bt kỡ ca M sao cho: M 1 ầ M 2 = 0, pi : M 1 M 2 đ M i , i = {12} , l phộp chiu chớnh tc ; Ta chng minh pi m rng c thnh t ng cu ca M Nu M 1 = 0 thỡ p1 = 0 Do ú nú m rng c thnh t ng cu 0 ca M. .. m un Do ú M cú tớnh cht CS i vi f.c .m un uniform ( k) Vỡ th M tho m n iu kin ( ii ) ca nh lý 3.3.4 Nhng M cng tho m n iu kin y ( k) Vỡ th li theo nh lớ ny M li cú tớnh cht CS i vi f.c m un uniform ( k) Vỡ U dimM < Ơ nờn U dimM < Ơ nờn vi mi m un con uniform cng l f.c .m un uniform ( k) Do ú theo nh lớ 2.5.3, chng 2, M l CS- m un ( ii ) ị ( iii ) 2 2 3 3 Vỡ M l m un ồ- CS hu hn nờn M M l CS m un Do ú,... m un con Ai ca M i vo M j u m rng c n mt n cu t M i n M j hoc f - 1 m rng c n mt n cu t M j n M i 2 2 2 2 3.3.6 nh lớ Gi s { M a } aẻ I l tp nhng m un uniform hon ton khụng M = Ma aẻ I phõn tớch c, mi M a u l uniform v Th thỡ hai l iu kin sau l tng ng: ( i ) M cú tớnh cht CS ca m un f.c.uniform ( ii ) Vi mi cp tu ý a , b trong I, M a l hu nh M b -ni x ồ- 3.3.7 nh ngha CS- m un M c gi l CS m un hu hn... CS- M un phn trờn chỳng ta nghiờn cu cỏc tớnh cht ni x suy rng l nhng trng hp c bit ca tớnh cht CS 2.4.1 nh ngha M un M c gi l mt CS- m un (hay mt m un Extending) nu nú tho m n iu kin sau: Mi m un con N ca M u l m un con ct yu trong mt hng t trc tip no ú ca M 1 1 3 3 Vnh R c gi l CS- vnh bờn phi nu m un RR l CS- m un 2.4.2 Vớ d Mi m un na n l CS- m un vỡ mi m un con l tng trc tip Hn na, mi m un uniform... ngha Mt m un M gi l t ni x nu v ch nu M l Mni x 2.2.2 H qu Mi m un ni x u l m un ta ni x 2.2.3 H qu M l t ni x f ( M ) è M vi mi f ẻ End ( E ( M ) ) 2.2.4 Mnh Cho cỏc m un M 1 v M 2 Khi ú M 1 M 2 l ta ni x , khi v ch khi M i l M j -ni x ( i, j = 12) 2.2.5 H qu Gi s M = Mi iẻ I , khi ú M l ta ni x khi v ch khi M i , l M j -ni x vi i, j = 1 n 2.2.6 nh ngha Cho R -m un M, N è M thỡ N gi l m un con . là môđun hầu như tự nội xạ. Vành R được gọi là vành hầu như tựa nội xạ nếu nó là R -môđun hầu như tự nội xạ. 3.1.2. Mệnh đề. Mỗi môđun hầu như tự nội xạ và không phân tích được đều là môđun tựa. 3 MÔĐUN HẦU NHƯ N-NỘI XẠ Nội dung chính của chương này là nghiên cứu về môđun hầu như N- nội xạ và các tính chất liên quan đến khái niệm này 3.1 Môđun hầu như N-nội xạ Môđun hầu như N-nội xạ. luận văn là: “ CS -môđun và môđun hầu như M-nội xạ Mục đích của bản luận văn này là tìm hiểu môđun hầu như M–nội xạ, đặc biệt là những môđun hầu như M–nội xạ không phân tích được và tìm hiểu mối