Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Đinh - 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 Người hướng dẫn TS NGUYỄN THÁI HÒA Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương cơng trình nghiên cứu khoa học riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa, nội dung khơng chép chưa cơng bố hình thức nào, kết riêng mà trích dẫn với nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Người thực Nguyễn Thị Thanh Chương Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Một số ký hiệu Spec(R) Tập tất iđêan nguyên tố vành R Max(R) Tập tất iđêan cực đại vành R Ann(M ) Linh hóa tử môđun M Ass(M ) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết môđun M Supp(M ) Giá môđun M Psupp (M ) Giả giá thứ i môđun M psd (M) Giả chiều thứ i môđun M i R i lR(M) gr(R) Độ dài R-môđun M Vành phân bậc liên kết vành R gr(M) Môđun phân bậc liên kết môđun M d(M) Bậc đa thức Hilbert-Samuel môđun M dim R Chiều Krull vành R dim M Chiều Krull môđun M ht(I) Chiều cao iđêan I idR(M) Chiều nội xạ môđun M vành R depth M Độ sâu môđun M Muc luc Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số ký hiệu MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 Đầy đủ Tôpô Zariski Địa phương hóa Sự phân tích nguyên sơ 10 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp 12 Đa thức Hilbert, chiều Krull môđun Cohen-Macaulay 13 Đồng cấu phẳng 22 Đối đồng điều địa phương 23 Đối ngẫu Matlis 29 Tính catenary vành vành Gorenstein 30 CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐốI ĐồNG ĐIÊU ĐỊA PHƯƠNG 33 2.1 Đa thức Hilbert, chiều bội môđun Artin .34 2.2 Công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương 38 KẾT LUẬN 52 DANH MỤC TÀI LIÊU THAM KHẢO 54 thiết lập công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i Hm (M) hai trường hợp vành sở ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương vành sở catenary phổ dụng địa phương mà tất thớ hình thức Cohen-Macaulay Nếu //m(M) = e'(q,Hm (M ))= £ l Rp —m (Mp))e(q,R/p) pePsupp (M) dim R/p=psd (M ) i i Với mục đích tìm hiểu sâu đại số giao hốn, chúng tơi chọn đề tài: "Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương" Mục tiêu luận văn trình bày lại số kết liên quan đến chiều bội môđun đối đồng điều địa phương [3], [4], [5], [6], [8], [14], [19], Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức đầy đủ, địa phương hóa, phân tích ngun sơ, biểu diễn thứ cấp, đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull, môđun CohenMacaulay, đối đồng điều địa phương, tôpô Zariski, đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, vành Gorenstein đồng cấu phẳng Chương 2: Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương Chương trình bày số kết chiều bội môđun Artin; chiều n+s n+s-1 s-1 s +e + + gP0,q(A, n) n >=s0, 1gs bội môđun đối đồng điều địa phương hai trường hợp vành sở ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương vành sở catenary phổ dụng địa phương mà tất thớ hình thức Cohen-Macaulay Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức đầy đủ, địa phương hóa, đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull, mơđun Cohen-Macaulay, phân tích ngun sơ, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, đồng cấu phẳng, đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, vành Gorenstein tôpô Zariski theo [4], [5], [9], [10], [12], [13], [14] 1.1 Đầy đủ Nội dung phần trình bày theo [14] Định nghĩa 1.1.1 Một vành lọc R vành R với họ (Rn)n> nhóm (R, +) thỏa mãn điều kiện: (i) R0 = R; (ii) R c R với n > 0; n+1 n (iii) R R c R với n,m > n m n+m Ví dụ 1.1.2 (i) Giả sử R vành Cho R = R Rn = với n > Khi (R ) > lọc vành R gọi lọc tầm thường R n n (ii) Cho I iđêan R Khi (I ) > lọc R, gọi n n lọc I-adic R (iii) Cho (R ) > lọc R S vành R Khi (R n S) ^ n n n n lọc S, gọi lọc cảm sinh S Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành lọc với lọc (Rn)n> Một R-môđun M lọc R-môđun M với họ (M ) ^ R-môđun M thỏa mãn điều n n kiện: (i) M0 = M; (ii) M c M với n > 0; n+1 n (iii) R M c M với n,m > m n m+n Ví dụ 1.1.4 (i) Cho M R-mơđun R có lọc tầm thường Khi M có lọc tầm thường định nghĩa M = M, M = với n n (ii) Xét lọc I-adic R với I iđêan R Định nghĩa lọc I-adic M M = I M với n > Khi M R-môđun lọc n n Cho M R-môđun lọc Lọc (M ) ^ M xác định tơpơ M tương n n thích với cấu trúc nhóm abel M mà (M ) > sở lân cận Tôpô n n gọi tôpô cảm sinh lọc (M ) ^ n n Trước hết nhắc lại khái niệm dãy Cauchy: Một dãy (x ) phần tử n M gọi dãy Cauchy với k E N, tồn n cho x — x m n E M , với m, n > n k Gọi T tập tất dãy Cauchy M Trên T quan hệ hai định nghĩa bởi: Với (x ), (yn) E T, (x ) ~ (y ) với m E N, tồn n n n n cho x — y E M , với n > n Khi quan hệ quan hệ tương đương n n m Kí hiệu M = T/~ = {(XJ | (Xn) E T} Tương tự, gọi S tập dãy Cauchy R ứng với lọc (R ) > Kí hiệu R = S/ ~ n n = {(a ) | (a ) E S} Khi (R, + ,.) vành giao hốn có đơn vị với hai phép toán: n n> n Với (a ) 0, (bn) > E R, n n> n (a ) + (b ) n n — (an + bn) >0 n (a ) (b ) n n — (anbn) >0 n Tiếp theo, hai phép toán cộng phép nhân vô hướng M định nghĩa Với (Xn), (y ) E M, (Xn) + (y ) — (Xn + yn) > n n n Với (a ) E R, với (x ) E M, (a ).(x ) — (a x ) n n n n n n Khi M R-môđun Cho I iđêan vành R, tôpô định nghĩa M lọc I-adic gọi tôpô I-adic bao đầy đủ M gọi bao đầy đủ I-adic 1.2 Tôpô Zariski Nội dung phần trình bày theo [14] Kí hiệu Var(a) = {p E Spec(R) | a c p} cho tập hợp tất iđêan nguyên tố chứa 38 Ghi 2.2.4 1) Một môđun song phân bậc họ R-môđun M = (Mp,q )(p,q-)eZxZ- Nếu loại bỏ p q ta định nghĩa mơđun phân bậc đồng cấu phân bậc cách tương tự Cho M, N R-môđun song phân bậc, ta nói đồng cấu f : M N có song cấp (a, b) E Z X Z f (M , ) c N p q kí hiệu deg(f) = (a, b) , p+a q+b vối cặp số (p, q) E Z X Z Bậc f 39 Nếu ta có đồng cấu song phân bậc f : M N với deg(f) = (a, b) ta định nghĩa Imf = (Im fp-a,q-b) C (Np,q), Ker f = (Ker fp,q) C (Mp,q) 2) Một lọc R-môđun M họ (M ) môđun M cho p peZ với p C Mp-1 C Mp C Mp+1 C 3) Cho M R-môđun song phân bậc d đồng cấu song phân bậc song bậc với có mơđun bậc (a, b) phân thỏa mãn dd = = Ker dp,q Im d Khi mơđun đồng điều H(M, d) H(M, d)p,q p-a,q-b d )r>1 E mơđun song 4) Một dãy phổ dãy (E , r r r phân bậc, thỏa mãn drdr = E = H(E ) với r > r+1 r Nếu (E ,d ) >1 dãy phổ, ta có E = H(E ,d ) = Z /B , Z chu trình B bờ với B C Z C E Ta lại có r r r 2 1 2 E = (Z /B )/(B /B ) = H(Z /B ,d ) với B C B C Z C Z C E 3 2 2 3 Quy nạp theo r ta có E = Z /B với r r r B C B C C B C Z C C Z C Z C E (*) r r Cho (E ,dr) > dãy phổ, họ (Z , B ) > cho thỏa mãn (*), đặt r r r r r Z = Q Z B = U > B Khi đó, giới hạn dãy phổ môđun song phân bậc E x r>1 r x r r định nghĩa Ep° = Zp° /Bp> q q q 5) Cho lọc (F CC) e phức C thỏa mãn với p p p z C F C C FC C F C C ; p-1 họ phép nhúng i : Fp p p+1 C cảm sinh i : H^(F ) p p p nghĩa lọc cảm sinh H (C) & H (C) = Imi n p n p H'(C) Ta định x 40 Nếu với n tồn s t cho Q H = {0} &H = H ta nói lọc (^ H ) s n n p n n bị chặn Một dãy phổ (E , d ) >i gọi hội tụ đến mơđun phân bậc H, kí hiệu Ep r r r q H , có lọc bị chặn (Q H q) H cho EPq * í Hp+ /í Hp+, p p+q p p+ ợ p-1 Dãy phổ (E , d ) >i gọi suy biến theo trục p Ep = {0} với q = r r r q Dãy phổ (E , d ) >i gọi suy biến theo trục q Ep = {0} với p = r r r q 6) Có bốn dãy phổ Grothendieck: hai dãy góc phần tư thứ (theo đồng diều) hai dãy góc phần tư thứ ba (theo đối đồng điều) Dãy phổ (E ,d ) >i r r r gọi dãy phổ góc phần tư thứ ba Ep = {0} với q > p > Cho dãy ,q phổ (E , d ) >i góc phần tư thứ ba hội tụ Ep H Khi r ,q r r p+q (i) Nếu dãy phổ suy biến theo trục p, ta có H = l'E° n (ii) Nếu dãy phổ suy biến theo trục q, ta có H = E n 0n Định lý 2.2.5 Cho h : (R, m) —> (B, n) đồng cấu phẳng vành địa phương cho B/mB Cohen-Macaulay có chiều d Khi đó, với R-mơđun N với j E Z, ta có H'n (N B) = Hd(Hm(N) ®R B) +j H (N ®R B) = chi H m(N) = ỉ+J j Chứng minh Xét dãy phổ Ej = Hn (H B (N®RB)) j E = Hj (N RB ) = HÍ (N R B) (*) i+j +j Mặt khác, theo Định lý 1.8.17 ta có đẳng cấu B-môđun HmB(N 0R B) Hj(N) 0R B 41 Do E2 = H'n(Hm(N) B) Ta cần chứng minh Hn(H (N) B) = với i, j G j R R m Z i = d Thật vậy, Cho L R-môđun khác không có độ dài hữu hạn Khi B-mơđun L B khác R không dim(L B) = depth(L B) = d Do H(L B) = với i = d R R R Với mơđun đối đồng điều Hm(N) khác khơng Hm(N) B = Do Hn(H (N) j R B) = với i, j G Z i = d R Từ suy dãy phổ (*) suy biến Hd (N ®R B) = Hd(Hm(N) ®R B) +j Lấy j E N cho Hm(N) = Khi với ảnh đồng cấu G H (N) H (G j d-1 R B) = Do đó, Hm(N)có mơđun S Hd(S ®R B) = Do Hd(Hm(N) R B) = hay H„ (N R B) = d+j □ Tiếp theo sử dụng Định lý 2.2.5 để nghiên cứu tập giả giá Rmôđun hữu hạn sinh Trước hết, trình bày số kết liên quan đến tập iđêan nguyên tố gắn kết Định lý 2.2.6 (Xem [19], Định lý 4.8) Giả sử M = p E SuppR(M) cho dim R/p = t Giả sử i > số nguyên q iđêan nguyên tố với q C p cho qRp E Att (HpR(Mp)) Khi q E Att (Hị+ (M)) Hệ 2.2.7 (Xem [19]) Giả sửM Rp R t = p E Ass M với dim R/p = t Khi //,„(M) = p E Attfìll’m(M) R Chúng tơi trình bày kết tập giả vành địa phương R 42 catenary Bổ đề 2.2.8 Giả sử vành địa phương R catenary Cho i số ngun khơng âm, PsuppR(M) ổn định với phép đặc biệt hóa Chứng minh Cho p, q E Spec(R) với q C p p E PsuppR(M), Hp i- dim R/p ) = Theo Đinh lý 1.5.2thì Rp-mơđun Artin Hp i- dim R/p R R ( Mp ( Mp ) có iđêan nguyên tố gắn kết hay Att (Hp—Rd™ (Mp)) = R/p Rp Vì R catenary, dim R/q = dim R/p — ht q/p Áp dụng Định lý 2.2.6 vành địa phương Rq, ta có Att (Hq—1™ Rp (Mq)) = Do HR™ R/p+htq/p R/p+htq/p Từ suy HqR™ (Mq) = q E PsuppR(M) (Mq) = □ R/q Mệnh đề 2.2.9 Cho i E N, p E Spec(R), P E Spec(R) cho P n R = p Cho h' : Rp —> Rp đồng cấu phẳng địa phương cảm sinh từ đồng cấu R —> R Giả sử thớ hình thức h' iđêan cực đại pRp vành Rp vành Cohen-Macaulay, R catenary phổ dụng Khi P E PsuppR(M R) p E R PsuppR(M) Chứng minh Vì R catenary phổ dụng từ ([14], Định lý 31.7), ta có đẳng thức dim R/p + ht p = dim R/P + ht p Do đó, theo Bổ đề 1.7.3, thớ hình thức ứng với iđêan pRp P vành Rp/pRpRp dim(Rp/pRpRp) = dim Rp-dim Rp = ht p—ht p Áp dụng Định lý 2.2.5, HpRd (Mp) = H f imR/p p mR/p+htp-htp (Mp 0R Rp) = p Từ Định lý 1.3.7, ta có đẳng cấu Rp-môđun (M RR)P — Rp (M 0RR) = Mp R/? = (Mp0R Rp)®R,R — Mp R Rp p Vậy nên P G PsuppR(M R) p G PsuppR(M) R p □ 43 Định lý 2.2.10 Giả sử vành địa phương R catenary phổ dụng tất thớ hình thức Cohen-Macaulay Cho i E Z, i = q iđêan m-nguyên sơ R (i) Cho p E Spec(R) cho P iđêan nguyên tố nhỏ pR Khi đó, mệnh đề sau tương đương (a) p phần tử nhỏ PsuppR(M); (b) P phần tử nhỏ PsuppR(M R R); (c) l (Hp-Rd™ (Mp)) khác không hữu hạn Hơn R/p Rp lRp (Hpdm ((M 0RR)P)) = lRp (HpRd (Mp))lRp (Rp/PRp) R/P lm R/p (ii) Psupp (M) đóng psd (M) = dimRHm (M) i i R i R (iii) Giả sử H (M) = Khi m e'(q,Hm (M ))= lRp (HpRd £ im(R/P) (Mp))e(q,R/p) pEPsupp (M) dim R/p=psd (M) i i Chứng minh (i) Từ Mệnh đề 2.2.9, ta biết với P n R = p, P E PsuppR(M R) p E PsuppR(M) R Giả sử p E Spec(R) phần tử nhỏ PsuppR(M) Khi tồn Q E PsuppR(M R) cho Q c P Q n R E PsuppR(M) Mặt khác, P iđêan R nguyên tố nhỏ pR nên Q n R = p Q n R £ p Điều mâu thuẫn với p E Spec(R) phần tử nhỏ PsuppR(M) Do P E Spec(R) phần tử nhỏ PsuppR(M 0R R) 44 Giả sử P E Spec(R) phần tử nhỏ PsuppR(M R) Khi tồn q E R PsuppR(M) cho q c p Vì h! : Rp —> Rp đồng cấu phẳng địa phương nên theo Mệnh đề 1.7.1, tồn Q E Spec(R) cho Q c P Q n R = q Vì q c p nên Q CỊ P Q E PsuppR(M R) Điều mâu thuẫn với P phần tử nhỏ R PsuppR(M R R) Do p E Spec(R) phần tử nhỏ PsuppR(M) Vì R vành đầy đủ nên R ảnh đồng cấu vành địa phương quy Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.3(iv), P E Spec(R) phần tử nhỏ PsuppR(M R) ỈR^(HpRd™ ((M R)p)) khác không hữu hạn Từ R/P R R Định lý Ratliff (xem [14], Định lý 31.7) dim R/P = dim R/p; ý ựpRpRp = pRp Theo Định lý 1.8.17 ta có đẳng cấu Rp-mơđun Hp-^ ((M^RRR)P) - HpR™ (M/0RpRp) = HpRd (M/)0RpRp R/P R/P imR// Vì h' đồng cấu hoàn toàn phẳng nên l Ị,(Hp-d™ ((M R)P)) khác không hữu R/P R hạn l (H/Rd™ (M/)) khác không hữu hạn Do Rp R// lRp(Hp-PmM ®R RR)P)) = lRp(H'/RR (MpY)l p(Rp/pRp) R// S (ii) Vì PsuppR(M) ổn định với phép đặc biệt hóa, PsuppR(M) tập đóng, nghĩa chứa hữu hạn phần tử nhỏ Thật Cho / phần tử nhỏ PsuppR(M) p iđêan nguyên tố nhỏ /R (nên p n R = /) Từ Định lý 2.2.10(i) ta p phần tử nhỏ PsuppR(M R).Vì R R ảnh đồng cấu vành địa phương quy nên, theo Mệnh đề 2.2.3(iii) PsuppR(M R R) tập đóng Spec(R), PsuppR(M R) chứa R 45 hữu hạn phần tử nhỏ Từ suy PsuppR(M) chứa hữu hạn phần tử nhỏ Tiếp theo ta chứng minh psdR(M) = dim Hm(M) Từ Mệnh đề 2.2.9 ta có p G R PsuppR(M R) / G PsuppR(M) Do psdR(M) = psdR(M R) R R Mặt khác, từ Mệnh đề 2.2.3(iii) ta có psdR(M R) = dimR(K^ -) Giả sử m iđêan R cực đại R Khi (M) R-mơđun //m(M) = H^(M) R = H—(M R) Theo R R 46 Mệnh đề 2.2.3(i) suy M (—1 Hm (M) ®RR dim R ; - ; ) Hm (M ®RR = dimR (Hm(M 0R R = dimR (KM0R R) = PsdR(M) (iii) Ta biết rằng, N R-môđun phân bậc hữu hạn với n E Z,n > 0, ta có Do H y-q eq£_ ^K* R m (M) lR(N/qnN) = l ((N/q N) 0R R) = l ((N 0R R)/(qR) (N R R) e(q,R/p) = e(qR, n R n R R/pR) với p G Spec(R) Do theo ([6], 4.6.8) ta có cơng thức bội liên kết cho R/pR ứng với iđêan qR e(qR,R/pR) = IRP (Rp/pRp)e(qR,R/p) R PeSupp (R/pR) dim R/P=dim R/p Từ suy e ^ R/p) ^2 R ^p^RpMqỉị P R R/P) PeSupp (R/pR) dim R/P=dim R/p Từ chứng minh Định lý 2.2.10(i) ta có -H = -)q £ Do (M) R e'(q,Hm(M)) = e'(qR, Hm(M R)) Đặt psdR(M) = s Từ Định lý R 2.2.10(ii) ta có psdR(M R) = s R Vì vành đầy đủ R ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương nên theo Mệnh đề 2.2.3 ta có e(qRH(M R R) =E PePsupp lRp (H-Pm ((M ®R R)pW.qR,R/P R/P R (M ®R R) dim R/P=s Với p € PsuppR(M) thỏa mãn dim R/p = dim Hm(M) = s, theo phần chứng R minh (i) Mệnh đề 2.2.9, ta có 47 ~ lRp( pePsupp (M ®RR) dim R/p=s,pnR=p £ R = R PX((M ®R R)p))e(qR,R/P) H £ lRp (HR (Mp))lRp (Rp/pRp(e(qR,R/P') P € Psupp (M ® R R) dim R/p=s,pnR=p = lRp(HR(Mp))e(qR,R/pR) = IR(HR(Mp))e(q, R/p) Khi e'(q,Hm (M ))= £ l Rp -m p€Psupp (M) dim R/p=psd (M) i i (Mp))e(q,R/p) KÊT LUẬN Trong luận văn, chúng tơi trình bày số kết chiều công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương theo [5] Chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức đầy đủ, địa phương hóa, vành phân bậc môđun phân bậc, đa thức Hilbert, chiều Krull, phân tích nguyên sơ, biểu diễn thứ cấp, chiều Krull, đối đồng điều địa phương, vành Gorenstein, đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, đồng cấu phẳng tôpô Zariski Chương 2, chúng tơi trình bày kết chiều bội cho môđun Artin môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể • Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm đa thức Hilbert-Samuel, chiều Noether, hệ bội cho môđun Artin; mối liên hệ chiều Krull chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương Hm (M) điều kiện để chúng • Tiếp theo chúng tơi trình bày khái niệm tập giả giá, giả chiều môđun đối đồng điều địa phương chứng minh chi tiết công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương H^(M) hai trường hợp vành sở ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương (trong Mệnh đề 2.2.3) vành sở catenary phổ dụng mà thớ hình thức Cohen-Macaulay (trong Định lý 2.2.10) DANH MỤC TÀI LIẸU THAM KHAO [1]Atiyah, M F., Macdonald, I.G., (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading Mass [2]Brodmann, M (1978), A particular class of regular domains, J Algebra, 54, 366-373 [3]Brodmann, M and Rotthaus, C.(1982), Local domains with bad sets of formal prime divisors, J Algebra, 75 , 386-394 [4]Brodmann, M and Sharp, R Y (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [5]Brodmann, M and Sharp, R Y (2002), On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167, 217-233 [6]Bruns, W and Herzog, J (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [7]Cuong, N T., Nhan, L T (2002), On the Noetherian dimention of Artinan module, Vietnam J Math., 30(2), 121-130 [8] Cuong, N T., Nhan, L T and Nga, N T K (2010), On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generateg modules, J Algebra, 323, 3029-3038 [9] Gopalakrishman, N S., Commutative Algebra Dume, 1954 [10] Goto Shiro , Homological methods in commutative algebra, Institude of Mathematics Hanoi 2016 [11] Kirby, D (1973), Artinian modules and Hilbert polynomials, Quart J Math Oxford (2),24 , 47-57 [12] Macdonal, I G (1973), Secondary reprsentation of modules over a communicate ring, Symposia Mathematica, 11, 23-43 [13] Matsumura, H (1970), Commutative algebra, W A Benjamin, New York [14] Matsumura, H (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [15] Melkersson, L and Schenzel, P.(1995), The co-localization of an Artinian module, Proc.Edinburgh Math Soc., 38 , 121-131 [16] Nagata, M (1962), Local rings, Interscience, New York [17] Nhan, L T and An, T N (2009), On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules,J Algebra, 321, 303-311 [18] Roberts, R N (1975), Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings, Quart J Math Oxford (2), 26 , 269273 [19] Sharp, R Y (1975), Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc London Math Soc., 30, 177-195 ... đồng điều địa phương 23 Đối ngẫu Matlis 29 Tính catenary vành vành Gorenstein 30 CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐốI ĐồNG ĐIÊU ĐỊA PHƯƠNG 33 2.1 Đa thức Hilbert, chiều bội môđun Artin... đại số giao hốn, chọn đề tài: "Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương" Mục tiêu luận văn trình bày lại số kết liên quan đến chiều bội môđun đối đồng điều địa phương [3], [4], [5], [6], [8],... dụng, vành Gorenstein đồng cấu phẳng Chương 2: Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương Chương trình bày số kết chiều bội môđun Artin; chiều n+s n+s-1 s-1 s +e + + gP0,q(A, n) n >=s0, 1gs bội môđun