Tính artin và noether của môdun đối đồng điều địa phương
Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Học viên thực hiện: NGUYỄN HOÀNG PHƯƠNG Lớp K35, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương công cụ quan trọng việc nghiên cứu Đại số giao hoán Trong luận văn nghiên cứu số vấn đề sau N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương công cụ quan trọng việc nghiên cứu Đại số giao hoán Trong luận văn nghiên cứu số vấn đề sau Xây dựng môđun đối đồng điều địa phương thông qua hàm tử xoắn Trình bày tính chất Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương công cụ quan trọng việc nghiên cứu Đại số giao hoán Trong luận văn nghiên cứu số vấn đề sau Xây dựng môđun đối đồng điều địa phương thông qua hàm tử xoắn Trình bày tính chất Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Luận văn gồm có chương: Chương Một số kiến thức liên quan Chương Các hàm tử đối đồng điều địa phương Chương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Hàm tử xoắn Định nghĩa Với R – môđun M, tập ΓI (M) := {x ∈ M : ∃n ∈ N : xI n = 0} Cho f : M −→ N R - đồng cấu ta có đồng cấu cảm sinh: ΓI (f ) : ΓI (M) −→ ΓI (N) Khi ta có: • ΓI hàm tử hiệp biến cộng tính từ phạm trù R – môđun vào • Hàm tử I - xoắn ΓI hàm tử khớp trái Nghĩa là: /L Dãy / ΓI (L) ΓI (f ) / ΓI (M) ΓI (g ) / ΓI (N) khớp f /M g Nếu /N / dãy khớp ngắn thì: N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Môđun đối đồng điều địa phương Cho M R - môđun, ta tính môđun đối đồng điều địa phương sau: N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Môđun đối đồng điều địa phương Cho M R - môđun, ta tính môđun đối đồng điều địa phương sau: • Xây dựng phép giải nội xạ M: /M / I0 δ0 / I1 δ1 / / Ii δi i+1 / I i+1 δ / N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Môđun đối đồng điều địa phương Cho M R - môđun, ta tính môđun đối đồng điều địa phương sau: • Xây dựng phép giải nội xạ M: /M δ0 / I0 δ1 / I1 / δi / Ii i+1 / I i+1 δ / • Thu phức thu gọn là: I : / I0 δ0 / I1 δ1 / / Ii δi i+1 / I i+1 δ / N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Môđun đối đồng điều địa phương Cho M R - môđun, ta tính môđun đối đồng điều địa phương sau: • Xây dựng phép giải nội xạ M: /M δ0 / I0 δ1 / I1 / δi / Ii i+1 / I i+1 δ / • Thu phức thu gọn là: I : / I0 δ0 / I1 δ1 / / Ii δi i+1 / I i+1 δ / • Tác động hàm tử ΓI vào phức I ta được: ΓI I : / ΓI (I ) ΓI (δ ) ΓI (δ ) / ΓI (I ) / / ΓI (I i ) ΓI (δ i ) Γ (δ i+1 ) / ΓI (I i+1 )I N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 / Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Môđun đối đồng điều địa phương Cho M R - môđun, ta tính môđun đối đồng điều địa phương sau: • Xây dựng phép giải nội xạ M: /M δ0 / I0 δ1 / I1 / δi / Ii i+1 / I i+1 δ / • Thu phức thu gọn là: I : / I0 δ0 / I1 δ1 / / Ii δi i+1 / I i+1 δ / • Tác động hàm tử ΓI vào phức I ta được: ΓI I : / ΓI (I ) ΓI (δ ) ΓI (δ ) / ΓI (I ) / / ΓI (I i ) ΓI (δ i ) Γ (δ i+1 ) / ΓI (I i+1 )I Ta được: HIi (M) := Ker ΓI δ i /ImΓI δ i−1 N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 / Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Định lí Giả sử (R, m) vành địa phương, M R - môđun hữu hạn sinh Khi i R - môđun Hm (M) môđun Artin với i ∈ N Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp dùng định lý 3.1.1 • Chứng minh mệnh đề với n = • Giả sử M m - xoắn tự + M hữu hạn sinh =⇒ tồn r ∈ M r ∈ m thỏa r không ước không N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Định lí Giả sử (R, m) vành địa phương, M R - môđun hữu hạn sinh Khi i R - môđun Hm (M) môđun Artin với i ∈ N Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp dùng định lý 3.1.1 • Chứng minh mệnh đề với n = • Giả sử M m - xoắn tự + M hữu hạn sinh =⇒ tồn r ∈ M r ∈ m thỏa r không ước không • Xậy dựng dãy khớp: /M r /M / M/rM /0 N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Định lí Giả sử (R, m) vành địa phương, M R - môđun hữu hạn sinh Khi i R - môđun Hm (M) môđun Artin với i ∈ N Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp dùng định lý 3.1.1 • Chứng minh mệnh đề với n = • Giả sử M m - xoắn tự + M hữu hạn sinh =⇒ tồn r ∈ M r ∈ m thỏa r không ước không • Xậy dựng dãy khớp: /M /M r / M/rM /0 • Khớp cảm sinh: i−1 Hm (M/rM) d / H i (M) m f / H i (M) m N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Tính Artin • Khớp cảm sinh: i−1 Hm (M/rM) d / H i (M) m f / H i (M) m N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Tính Artin • Khớp cảm sinh: i−1 Hm (M/rM) d / H i (M) m f / H i (M) m i−1 + Theo giả thiết quy nạp: Hm (M/rM) Artin N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Tính Artin • Khớp cảm sinh: i−1 Hm (M/rM) d / H i (M) m f / H i (M) m i−1 + Theo giả thiết quy nạp: Hm (M/rM) Artin ⇒ Imd Artin N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Tính Artin • Khớp cảm sinh: i−1 Hm (M/rM) d / H i (M) m f / H i (M) m i−1 + Theo giả thiết quy nạp: Hm (M/rM) Artin ⇒ Imd Artin + (0 :Hm (M) r ) = Kerf = Imd Artin i N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Tính Artin • Khớp cảm sinh: i−1 Hm (M/rM) d / H i (M) m f / H i (M) m i−1 + Theo giả thiết quy nạp: Hm (M/rM) Artin ⇒ Imd Artin + (0 :Hm (M) r ) = Kerf = Imd Artin i Định lí 3.1.1 Nếu M I - xoắn R - môđun thỏa (0 :M I ) Artin Thì M môđun Artin N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Tính Artin • Khớp cảm sinh: i−1 Hm (M/rM) d / H i (M) m f / H i (M) m i−1 + Theo giả thiết quy nạp: Hm (M/rM) Artin ⇒ Imd Artin + (0 :Hm (M) r ) = Kerf = Imd Artin i Định lí 3.1.1 Nếu M I - xoắn R - môđun thỏa (0 :M I ) Artin Thì M môđun Artin i =⇒ Hm (M) môđun Artin N.H.Phương (Khoa Toán-Tin, ĐHSP TPHCM) TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013 / 13 Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin Noether môđun đối đồng điều địa phương Kết luận Tính Noether Định lí 3.2.1 Cho M R - môđun hữu hạn sinh cho số tự nhiên t Khi mệnh đề sau tương đương i) HIi (M) môđun Noether với i