chiều goldie hữu hạn của môđun

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN MAI THUẬN CHIỀU GOLDIE HỮU HẠN CỦA MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN MAI THUẬN CHIỀU GOLDIE HỮU HẠN CỦA MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 604605 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh_2010 Lời cám ơn Trước tiên em xin gởi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong khoa Toán - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên,nhất là những thầy trong bộ môn Đại số,những người đã tận tình chỉ dạy cho em trong mấy năm qua.Hơn hết,em chân thành cám ơn thầy TS.Nguyễn Viết Đông đã động viên,khích lệ,hướng dẫn tận tình cho em trong quá trình nghiên cứu. Tiếp đến,em xin cám ơn cám ơn các bạn học cùng khóa đã ủng hộ em trong suốt quá trình học.Đặc biệt là các bạn Bùi Anh Tuấn,Dương Đức Thònh,Lê Văn Luyện đã giúp em có những kiến thức bổ ích để hoàn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5, 2010 Trần Mai Thuận Mục lục Lời cám ơn 1 Lời nói đầu 2 1 Kiến thức cơ sở 4 2 Các công thức cơ bản về số chiều Goldie hữu hạn của môđun 10 2.1 Đònh nghóa và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Chiều Goldie của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Môđunco-Hopf 20 2.4 Môđun E-bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Một số tính chất về chiều Goldie của môđun . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Môđun mà môđun thương có chiều Goldie hữu hạn 29 3.1 Đònh nghóa và tính chất của bao nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Môđun mà môđun thương có chiều Goldie hữu hạn . . . . . . . . . . . 32 Tài liệu tham khảo 35 Lời nói đầu Chúng ta đều biết rằng số chiều của không gian vector được đònh nghóa là số phần tử của cơ sở của không gian vector đó.Trong đó,cơ sở của không gian vector được đònh nghóa là tập con tối đại gồm các vector độc lập tuyến tính hay tập con nhỏ nhất sinh ra không gian vector đó.Mặt khác,khái niệm môđun trên vành chính là sự tổng quát hóa của khái niệm không gian vector trên trường.Từ điều này dẫn đến việc nghiên cứu khái niệm chiều của môđun trên vành,được gọi là chiều Goldie. Trong luận văn này,chúng tôi nêu đònh nghóa và chứng minh một số tính chất về số chiều Goldie của môđun . Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về môđun nội xạ. Chương 2: Nêu một số đònh nghóa và tính chất để xây dựng chiều Goldie của môđun .Sau đó,chúng tôi trình bày đònh nghóa chiều Goldie của môđun .Tiếp đó,chúng tôi giới thiệu về môđun Co-Hopf và chứng minh môđun tự nội xạ có chiều Goldie hữu hạn là môđun Co-hopf.Nêu đònh nghóa môđun E-bất khả quy và các tính chất của nó.Tiếp đó,chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa phần bù, mở rộng cốt yếu,chiều Goldie của môđun và môđun E-bất khả quy.Cuối cùng chúng tôi nêu một số tính chất về chiều Goldie của môđun . Chương 3: Chúng tôi trình bày về khái niệm bao nội xạ của môđun và một số tính chất của nó.Sau đó,chúng tôi trình chứng minh môđun M là q.f.d khi và chỉ khi mỗi môđun con N chứa một môđun hữu hạn sinh T mà N/T không có môđun con tối đại. 2 Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong suốt luận văn này,ta xét R là vành( không nhất thiết giao hoán).Ta quy ước: khi nói môđun A thì ta xem A là môđun trái. Đònh nghóa 1.1. Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử Hom(-,J) là hàm tử khớp. Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom(-,J) chuyển mỗi dãy khớp ngắn: 0 → A χ → B σ → C → 0 thành dãy khớp các nóm aben: 0 → Hom(C, J) σ ∗ → Hom(B,J) χ ∗ → Hom(A, J) → 0 Ta có hàm tử Hom(-,J) là hàm tử khớp trái nên tính khớp của dãy sau cùng tương đương với đòi hỏi đồng cấu: χ ∗ : Hom( B,J) → Hom(A, J) là toàn cấu nếu χ là đơn cấu. Và tính chất toàn cấu của χ ∗ có nghóa là: với mọi đồng cấu f ∈ Hom(A, J), tồn tại đồng cấu ∼ f ∈ Hom(B,J) sao cho χ ∗ ( ∼ f)= ∼ fχ= f. Từ các điều trên, ta có đònh chi tiết và thông dụng hơn về môđun nội xạ như sau: Đònh nghóa. Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu χ : A → B, mỗi đồng cấu f : A → J, tồn tại đồng cấu ∼ f : B → J sao cho f = ∼ fχ. Bởi χ là đơn cấu nên ta có thể xem A ⊂ B, và do vậy ∼ f có thể xem là sự mở rộng của f trên B. Do đó, ta có thể xem môđun nội xạ J là môđun cho phép sự mở rộng của bất kỳ đồng cấu f : A → J thành đồng cấu ∼ f : B → J, trên mỗi môđun A ⊂ B. 4 Đònh lý 1.1. (Tiêu chuẩn Baer) R-môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f : I → J,luôn tồn tại phần tử q ∈ J sao cho với mọi λ ∈ J,tacó:f(λ)=λq. Nói cách khác,mọi đồng cấu f : I → J đều có thể mở rộng được tới đồng cấu ∼ f : R → J. Chứng minh. Trước hết,nếu J là môđun nội xạ thì với bất kì iđêan trái I ⊂ R và bất kỳ đồng cấu f : I → J,tồn tại mở rộng ∼ f là mở rộng của f từ I lên toàn R.Lấy q = ∼ f(1), thì với mọi λ ∈ I ta có : f(λ)= ∼ f(λ.1) = λ ∼ f(1) = λq Cho A,B là các môđun mà A ⊂ B và f : A → J là đồng cấu.Để chứng minh J nội xạ cần chỉ ra sự tồn tại của mở rộng ∼ f : B → J. Xét họ Ω các cặp (D, f D ) trong đó D là môđun con của B,A ⊂ B và f D : D → J là mở rộng của f : A → J. Hiển nhiên Ω = ∅.Ta sắp Ω theo quan hệ sau: (D, f D ) ≥ (C, f C ) ⇔ C ⊂ D và f D là mở rộng của f C . Ta chỉ ra họ Ω với quan hệ thứ tự trên thỏa mãn điều kiện của bổ đề Zorn.Thật vậy,nếu ξ là bộ phận khác rỗng và được sắp toàn phần của Ω,khi đó,môđun con E =  D∈ξ D và f E : E → J mà trên mỗi D ∈ ξ thì f E trùng với f D ,lập thành cặp ( E,f E ) là cận trên của ξ. Theo bổ đề Zorn,trong Ω tồn tại phần tử tối đại (G, f G ) mà ta sẽ chứng minh G = B và do đó f G là ∼ f cần tìm. Ta giả sử ngược lại,khi đó B\G = ∅ và do đó tồn tại x 0 ∈ B\G. Lập môđun con H = G + R x 0 = {a + r x 0 /a ∈ G, r ∈ R}⊂B. Ta có G ⊂ H và G = H. Xét tập I = {λ ∈ R/λ x 0 ∈ G} dễ thấy I là iđêan trái của R.Đồng thời ánh xạ h : I → J xác đònh theo công thức h(λ)=f G (λ x 0 ),λ∈ I là đồng cấu.Do đó,theo điều kiện của tiêu chuẩn Baer,tồn tại phần tử q ∈ J mà h(λ)=λq. Bây giờ ta sẽ xây dựng ánh xạ f H : H → J như sau :với mỗi x = a + r x 0 ∈ H thì f H (x)=f G (a)+rq. Tính hợp lý của f H được suy ra từ cách xác đònh phần tử q.Thật vậy,nếu phần tử x ∈ H có 2 cách biểu diễn x = a 1 + r 1 x 0 = a 2 + r 2 x 0 5 thì a 1 − a 2 =(r 2 − r 1 ) x 0 ∈ G . Do dó, f G ( a 1 − a 2 )=f G [( r 2 − r 1 ) x 0 ]=h( r 2 − r 1 )=( r 2 − r 1 )q . Vậy f G ( a 1 )+ r 1 q = f G ( a 2 )+ r 2 q, tức f H (x) là duy nhất không phụ thuộc vào cách biểu diễn của x ∈ H = G + R x 0 . Dễ dàng kiểm tra f H là đồng cấu.Và như vậy ta có cặp (H, f H ) ∈ Ω,đồng thời (H, f H ) thực sự lớn hơn cặp (G, f G ).Điều đó mâu thuẫn với tính tối đại của (G, f G ) trong Ω và do đó G = B,tức f G = ∼ f. Đònh lý 1.2. Tích trực tiếp họ môđun J =  k∈K J k là nội xạ khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần J k là nội xạ. Chứng minh. Nếu J =  k∈K J k là nội xạ,ta cần chứng minh mỗi thành phần J t là nội xạ theo tiêu chuẩn Baer. Giả sử f : I → J t là đồng cấu từ iđêan trái I của R vào J t .Nối kết f với phép nhúng j t : J t →  J k ta được đồng cấu: j t f : I → J Do J là môđun nội xạ nên tồn tại phần tử x ∈ J mà với mọi λ ∈ I : j t f(λ)=λx.Khi đó,với phần tử x t = p t (x) ∈ J t ,ta có: f(λ)= p t [ j t f](λ)= p t (λx)=λ p t (x)=λ x t , với mỗi λ ∈ I. Vậy j t thỏa mãn tiêu chuẩn Baer,tức j t là môđun nội xạ. Bây giờ nếu mọi môđun thành phần j k là nội xạ và f : I → J =  J k là đồng cấu từ iđêan trái I của R vào J.Khi đó,với mọi k ∈ K, đồng cấu f k = p k f : I → J k ,do j k là nội xạ nên tồn tại phần tử x k ∈ J k sao cho với mỗi λ ∈ I:f k (λ)=λ x k .Chọn phần tử x =( x k ) k∈K của J =  J k , ta có: f(λ)=( p k f(λ)) = (f k (λ)) = (λ x k )=λ( x k )=λx, ∀λ ∈ I. Vậy J thỏa mãn tiêu chuẩn Baer,tức J là môđun nội xạ. 6 Đònh nghóa 1.2. Cho R miền nguyên, môđun X trên R gọi là môđun chia được nếu với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ R\{0} luôn tồn tại phần tử y ∈ X sao cho λy = x. Đònh lý 1.3. Nếu R là vành chính thì mọi R-môđun ïchia được đều nội xạ. Chứng minh. Cho X là môđun chia được,I là iđêan của R và f : I → X là đồng cấu.Để chỉ ra X là nội xạ,ta cần chứng minh có phần tử q ∈ X mà với mỗi λ ∈ I thì f(λ)=λq. Vì R là vành chính,nên mỗi iđêan của R là iđêan chính,nói riêng tồn tại a ∈ R mà I = aR.Khi đó,chọn q ∈ X là phần tử mà f(a)=aq, do X là môđun chia được,thì với mỗi λ ∈ I,λ = ra ta có: f(λ)=f(ra)=rf(a)=r(aq)=λq Vậy theo tiêu chuẩn Baer,X là môđun nội xạ. Đònh lý 1.4. Nếu R là miền nguyên thì mọi R-môđun nội xạ đều chia được. Chứng minh. Giả sử X là R-môđun nội xạ.Ta cần chỉ ra với mọi x ∈ X, mọi λ ∈ R\{0},tồn tại y ∈ X mà x = λy.Xét iđêan I = λR,sinh bởi phần tử λ.Vì R là miền nguyên nên I là môđun tự do với cơ sở là tập một phần tử {λ}.Ánh xạ φ : {λ}→X mà φ(λ)=x có thể mở rộng tới đồng cấu φ : I → X.Vì X nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer,thì tồn tại phần tử y ∈ X sao cho với mọi r ∈ I thì φ(r)=ry .Nói riêng,khi r = λ:x = φ(λ)=λy. Vậy X là môđun chia được. Đònh lý 1.5. Cho R là PID,khi đó, mọi môđun thương của môđun nội xạ X đều nội xạ. Chứng minh. Vì X nội xạ nên X chia được.Nếu M là môđun con của X thì X/M nội xạ.Thật vậy,với mọi r ∈ R, với mọi x + M ∈ X/M,vì X nội xạ nên tồn tại y ∈ X sao cho x = ry nên x + M = ry + M = r(y + M).Do đó,X/M chia được nên X/M nội xạ. Đònh lý 1.6. (Xem [1], trang 51) R-môđun X là tự do khi và chỉ khi X đẳng cấu với tổng trực tiếp của một họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R. Đònh lý 1.7. Mọi nhóm aben M có thể nhúng vào một Z-môđun nội xạ nào đó,xem M như là môđun con của môđun nội xạ đó. 7 Chứng minh. Vì M là môđun nên M = F/K với F là nhóm aben tự do và K ⊆ F .Vì F là nhóm aben tự do nên theo đònh lý 1.6, F = ⊕ i Z i . Ta có M = F/K =(⊕ Z i i )/K ⊆ (⊕ Q i i )/K trong đó mỗi bản sao Z i của Z có thể nhúng vào bản sao Q i của Q.Vì Q i chia được nên ⊕ i Q i chia được.Do đó,(⊕ i Q i )/K chia đượcï.Vậy,(⊕ i Q i )/K nội xạ. Đònh lý 1.8. (Adjoint Isomorphism, Second Version)( Xem [10], trang 93) Cho các môđun R A , S B R và S C trong đó R và S là vành ,khi đó ta có đẳng cấu tự nhiên: τ  A,B,C : Hom S (B ⊗ R A, C) → Hom R (A, Hom S (B,C)) f → τ  (f) trong đó f : B ⊗ R A → C, a ∈ A, b ∈ B và τ  (f) a : b → f(b ⊗ a). Hệ quả 1.9. ( Xem [10],trang 93) (i) Cho các môđun R B S và S C ,khi đó,hàm tử Hom R (−,Hom S (B,C)) và Hom S (−⊗ S B,C):Mod R → Ab là đẳng cấu tự nhiên. (ii) Cho các môđun S B R và S C ,khi dó,hàm tử Hom R (−,Hom S (B,C)) và Hom S (B ⊗ S −,C): R Mod → Ab là đẳng cấu tự nhiên. Bổ đề 1.10. Nếu D là nhóm aben chia được,khi đó Hom Z (R, D) là R-môđun nội xạ trái. Chứng minh. Nếu f : R → D và a ∈ R,ta đònh nghóa (af)(r)=f(ra) với mọi r ∈ R.Khi đó, Hom Z (R, D) là R-môđun trái.Để chứng minh Hom Z (R, D) là R-môđun nội xạ ta cần chứng minh Hom R (−,Hom Z (R, D)) là hàm tử khớp.Theo hệ quả 1.9, Hom R (−,Hom Z (R, D)) ∼ = Hom Z (R ⊗ R −,D) trong đó Hom Z (R ⊗ R −,D) là hợp của Hom Z (−,D) ◦ (R ⊗ R −). Vì D là Z-môđun chia được , theo đònh lý 1.3,D là Z−môđun nội xạ.Do đó,Hom Z (−,D) và R ⊗ R − đẳng cấu tự nhiên với hàm tử đồng nhất trên R Mod,cả hai hàm tử này đều khớp nên Hom R (−,Hom Z (R, D)) là hàm tử khớp. Đònh lý 1.11. Mỗi môđun M có thể nhúng vào một môđun nội xạ nào đó,xem như là môđun con của môđun nội xạ đó. Chứng minh. Xem M là nhóm aben,ta đònh nghóa φ : M → Hom Z (R, M) với m → φ m trong đó φ m (r)=rm.Dễ thấy φ là Z- đồng cấu,ta sẽ chứng minh φ là đơn 8 [...]... 2.2 Chiều Goldie của môđun Đònh nghóa 2.5 H có chiều Goldie hữu hạn( ký hiệu FGD) nếu H không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không Đònh lý 2.9 Môđun K có chiều Goldie hữu hạn khi và chỉ khi với bất kỳ dãy tăng ngặt H1 , H2 , các môđun con của K thì tồn tại một số nguyên i sao cho Hk ≤e Hk+1 với k ≥ i Chứng minh (⇒) Giả sử K có chiều Goldie hữu hạn. Lấy dãy tăng ngặt H1 , H2 , các môđun. .. α∈Ω 3.2 Môđun mà môđun thương có chiều Goldie hữu hạn Đònh nghóa 3.3 Socle của môđun M là tổng trực tiếp các môđun con đơn của M 32 Bổ đề 3.9 Môđun M là q.f.d khi và chỉ khi mỗi môđun thương của M có socle có chiều Goldie hữu hạn Chứng minh Nếu M = 0: hiển nhiên Nếu M = 0 thì M có một môđun thương có socle khác 0 Thật vậy, vì M = 0 nên tồn tại m = 0 sao cho m ∈ M Lấy A là môđun con tối đại của M mà... mà không chứa m Khi đó, môđun thương M/A có socle khác 0 Vì vậy, một tổng vô hạn các môđun có một môđun thương có socle có chiều Goldie vô hạn Đònh lý 3.10 Môđun M là q.f.d khi và chỉ khi mỗi môđun con N chứa một môđun hữu hạn sinh T mà N/T không có môđun tối đại Chứng minh (⇒) Giả sử X là môđun mà mọi môđun con hữu hạn sinh đều chứa trong một môđun con tối đại của X Chọn các môđun con tối đại M1 ,... đó,K1 = E(k1 R) ⊕ K2 Vì vậy, E(M) = E(m1 R) ⊕ E(k1 R) ⊕ K2 Cứ tiếp tục như vậy, E(M) là tổng hữu hạn các bao nội xạ của các môđun cyclic Mà cácmôđun cyclic có chiều Goldie hữu hạn nên bao nội xạ của nó cũng có chiều Goldie hữu hạn Vậy E(M) có chiều Goldie hữu hạn nên M có chiều Goldie hữu hạn 34 ... +K Vì T hữu hạn nên sinh S/K hữu hạn sinh ( vô lý) Vậy M là q.f.d Đònh lý 3.11 Nếu mọi môđun cyclic có chiều Goldie hữu hạn thì môđun hữu hạn sinh cũng có chiều Goldie hữu hạn 33 Chứng minh Giả sử M =< m1 , , mr > Gọi (E(M),i) là bao nội xạ của M Nên E(M) = E(m1 R) ⊕ K1 Do đó, m2 = a1 + k1 Khi đó,K1 = E(k1 R) ⊕ K2 Vì vậy, E(M) = E(m1 R) ⊕ E(k1 R) ⊕ K2 Cứ tiếp tục như vậy, E(M) là tổng hữu hạn các... tiếp vô hạn các môđun con khác không của K Điều này mâu thuẫn với giả thiết K có chiều Goldie hữu hạn Do đó, K có môđun con đều Đònh lý 2.11 Cho H là R -môđun khác không và có chiều Goldie hữu hạn Khi đó, ta có (i) (Sự tồn tại) Tồn tại các môđun con đều khác không U1 , U2 , , Un của H mà tổng của chúng là tổng trực tiếp và cốt yếu trong H (ii) Nếu Vi , 1 ≤ i ≤ k là các môđun con đều khác không của H mà... Mà X/Y có chiều Goldie vô hạn nên M có chiều Goldie vô hạn 27 ∀y ∈ Y , ta có đồng cấu β : A ⊕ B → j(y)A + i(y)B (a; b) → j(y)a − i(y)b là toàn cấu nên A ⊕ B/Z ∼ j(y)A + i(y)B ∼ A + B = = Mà M có chiều Goldie vô hạn nên A + B cũng có chiều Goldie vô hạn ( vô lý) Vậy M là q.f.d (⇐): theo đònh lý 2.26 28 Chương 3 Môđun mà môđun thương có chiều Goldie hữu hạn 3.1 Đònh nghóa và tính chất của bao nội xạ Đònh... chứa một tổng vô hạn các môđun con khác không Theo bổ đề 3.9, tồn tại môđun con K' của M sao cho ⊕ Ai ⊂ M/K với Ai là môđun i∈I con đơn của M Lấy S là môđun con của M chứa K' mà S/K = ⊕ Ai i∈I Lấy T là môđun hữu hạn sinh mà S/T không có môđun con tối đại Khi đó, S/T + K không có môđun con tối đại Mà S/T + K là ảnh đồng cấu của môđun nửa đơn S/K nên S/T + K là môđun nửa đơn Nên S/T + K có môđun tối đại... con đều Ta gọi số n này là chiều Goldie của môđun H, và ký hiệu dimH Nói cách khác , chiều Goldie của môđun H là số nguyên n lớn nhất mà H chứa một tổng trực tiếp n môđun con khác không Nếu H không có chiều Goldie hữu hạn thì ta nói H có chiều Goldie vô hạn và khi đó dim H = ∞ Nếu môđun chỉ có phần tử 0 thì ta quy ước dimH = 0 Ví dụ Cho M = Zp2 ⊕ Zp các môđun con của M là A = Zp2 và B = {(m; n)/0 ≤ m... chỉ khi tồn tại môđun con A của M mà A ∩ K = 0 và Q ∩ A = 0 với Q là môđun con của M và K là môđun con thực sự của Q.Hơn nữa,K + A ≤e M và (A ⊕ K)/K ≤e M/K Chứng minh (⇒) Giả sử K là phần bù trong môđun M nên K là phần bù của một môđun con A của M Nên K là môđun con tối đại của M mà K ∩ A = 0 Giả sử Q là môđun con của M mà K là môđun con thực sự của Q Nếu Q ∩ A = 0 thì do tính tối đại của K nên ta suy . (iii). 2.2 Chiều Goldie của môđun Đònh nghóa 2.5. H có chiều Goldie hữu hạn( ký hiệu FGD) nếu H không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. Đònh lý 2.9. Môđun K có chiều Goldie hữu hạn. vô hạn các môđun con khác không của K. Điều này mâu thuẫn với giả thiết K có chiều Goldie hữu hạn. Do đó, K có môđun con đều. Đònh lý 2.11. Cho H là R -môđun khác không và có chiều Goldie hữu hạn. . trình bày đònh nghóa chiều Goldie của môđun .Tiếp đó,chúng tôi giới thiệu về môđun Co-Hopf và chứng minh môđun tự nội xạ có chiều Goldie hữu hạn là môđun Co-hopf.Nêu đònh nghóa môđun E-bất khả quy