Bổ đề 2.24. Cho A và B là các môđun con của X, D là môđun con của A+B mà D ∩A = 0, D∩B = 0. Khi đó, có môđun con C của A và đơn cấu g : C → B mà D = (1−g)(C).
Chứng minh. ĐặtC ={a∈A/∃b∈B :a+b∈D}
Khi đó, C là môđun con của A
Thật vậy, lấy x, y∈Cthì tồn tại hai phần tử bx, by sao cho x+bx ∈D vày+by ∈D. Khi đó, ta chọn b=bx+by thì ta có x+y∈C.
∀r∈R thìr(x+bx)∈D hay rx+r bx ∈D nênrx∈D. Do đó, C là môđun con của M.
Ta sẽ chứng minh b là duy nhất với mỗi a∈C. Thật vậy giả sử tồn tạib1, b2 ∈B sao cho a+b1 ∈ D và a+b2 ∈ D nên b1−b2 ∈D. Do đó, b1−b2 ∈ D∩B = 0, suy ra
b1 =b2. Vậy b là duy nhất. Đặt
g :C→ B
Do tính duy nhất của b mà g là đơn ánh. Thật vậy, ta có g(a1)=−b1, g(a2)=−b2. Giả sử, b1 =b2 thì a1−a2 ∈D. Suy ra, a1−a2 ∈D∩A= 0 nên a1 =a2.
Bây giờ ta sẽ chứng minh g là đồng cấu. Giả sử, g(a1)= −b1, g(a2)= −b2 nên
(a1+a2) + (b1+b2) ∈ D. Do đó, g(a1+a2) = −(b1+b2) = g(a1) +g(a2). vậy g là đồng cấu. Ta sẽ chứng minh D = (1−g)(C)
Lấy d ∈ D, suy ra d = a+b với a ∈ A, b ∈ B. Suy ra, a ∈ C và g(a) = −b nên
d=a+b=a−g(a). Vậyd ∈(1−g)C
Ngược lại, lấy p=a−g(a)∈(1−g)C. Mà g(a)∈B nên p∈D. Vậy D = (1−g)C.
Bổ đề 2.25. Cho N là môđun con của X, N là môđun mở rộng cốt yếu tối đại của N. Khi đó, dimX + dim(N /N) = dim(X/N) + dimN.
Chứng minh. Gọi T là phần bù của N trong X nên T ∩N = 0 và T ⊕N≤eX. Do đó,dimX = dim(T⊕N) = dimT+ dimN. Ta sẽ chứng minh (N+T)/N+N /N
là tổng trực tiếp. Ta có N ∩N∩T = 0. MàN≤eN , N ∩T ≤N nên N ∩T = 0. N+T N ∩ N N = (N+NT)∩N = (N∩NT)+N = 0. Ta sẽ chứng minh N+T N ⊕ N N ≤eX N
Lấy Y là môđun con của X mà N là môđun con thực sự của Y. Ta sẽ chứng minh
Y
N ∩(NN+T ⊕ N
N)6= 0.
Nếu Y /N ∩N /N 6= 0 : hiển nhiên.
Giả sử Y /N ∩N /N = 0.Khi đó,T ∩(N +Y) 6= 0. Do đó ta có thể chọn y ∈ Y sao cho T ∩(N +y)6= 0.
Ta có T ∩N = 0, N là mở rộng cốt yếu của N nên T ∩N = 0. Do đó, y /∈N vì nếu y∈N thì T ∩(N +Y) = 0 nên y+N 6= 0. Ta có 0 6= y +N ∈ Y /N ∩(NN+T ⊕ N N). Vậy N+T N ⊕ N N ≤eX/N nên dim(X/N) = dim(NN+T) + dim(NN). Mặt khác, N+T N
∼= TT∩N =T nên dimT = dim(NT+T) + dim(NN). Thế vào công thức trên ta được dim(X/N) = dimT + dim(NN).
Mà dimT =dimX −dimN nên dimX + dim(N /N) = dim(X/N) + dimN
Định nghĩa 2.10. Môđun con N của M được gọi là đóng trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M.
Định nghĩa 2.11. Một môđun được gọi là q.f.dnếu mọi môđun thương đều có chiều Goldie hữu hạn.
Định lý 2.26. Cho A, B là các môđun con của X. ĐặtC =A∩B,1C là ánh xạ đồng nhất trên C, f là mở rộng tối đại của 1C xem như là đồng cấu phần từ A đến B, gọi D là miền của f. Khi đó, dim(A+B) =dimA+dimB−dimD+dim(D/C).
Chứng minh. ĐặtS ={(d;−f(d))/d∈D} và T = (1−f)D
Ta có S⊆A⊕B, T ⊆A+B. Ta sẽ chứng minh S và T đóng trong A⊕B vàA+B. Trước tiên ta sẽ chứng minh S đóng trong A⊕B.
Lấy x∈S∩A. Ta có x∈S nên tồn tạid∈D sao cho x= (d;−f(d)). Mặt khác x∈A nên f(d) = 0. Do f là đơn ánh nên d= 0. VậyS∩A= 0. Chứng minh tương tự ta được S∩B = 0.
Giả sử L là mở rộng cốt yếu của D thì L∩A=L∩B = 0. Thật vậy,S∩L∩A= 0
Mà L∩A≤L, S≤eL nên L∩A= 0. Chứng minh tương tự, ta được L∩B = 0. Theo bổ đề 2.24 , ta cóL= (1−g)K với K là môđun con của A vàg :K →B là đơn cấu.
Ta sẽ chứng minh g là mở rộng của f.
Thật vậy, ta xem D =D×0 vàB = 0×B là các môđun con củaA×B
Vớid∈D thìd= (d; 0). Khi đó, tồn tại(0;−f(d))∈Bmà (d; 0)+(0;−f(d)) ∈S ⊂L
nên D⊂ K
Ta có g(d) =−(−f(d)) = f(d) nên g là mở rộng của f ( vô lý vì f là mở rộng tối đại). Do đó, S không có mở rộng cốt yếu thực sự. Vậy S đóng trong A⊕B.
Bây giờ ta sẽ chứng minh T đóng trong A+B
Xét toàn cấu
π :A⊕B →A+B
(a; b)7→a + b
Ta có π(S) = T. Ta sẽ chứng minh Kerπ ⊂ S. Thật vậy , do f là mở rộng của 1C
nên
Kerπ={(a;b)∈A⊕B/a+b= 0}
={(a; b)∈A⊕B/a=−b}
={(a;−a)∈A⊕B/a∈A∩B}
={(a;−f(a))∈A⊕B/a∈A∩B} ⊂ {(a;−f(a))∈A⊕B/a∈D} =S
Ta có thể xem π là toàn cấu từ S vào T nên S/kerπ ∼= T. Mà S đóng trong A⊕B
Khi đó, áp dụng bổ đề 2.25 ta được
dim(A⊕B) = dim(A⊕SB) + dimS
dim(A+B) = dim(A+TB) + dimT
Xét h là toàn cấu chính tắc từ A+B vào A+B/T. Khi đó, πh là toàn cấu từ A⊕B
vào A+B/T. Do đó, (A⊕B)/ker(πh)∼= (A+B)/T. Mà Ker(πh) ={(a;b)∈A⊕B/(a+b) +T = 0} ={(a;b)∈A⊕B/(a+b)∈T} ={(a;b)∈A⊕B/(a+b)∈(1−f)D}=S Vậy (A⊕B)/S ∼= (A+B)/T
Do đó, dim(A+B) = dim(A⊕B)−dimS+ dimT
Xét đồng cấu
φ :S →D
(d;−f(d)7→d
Khi đó, φ là đẳng cấu nênS ∼=D. Xét đồng cấu
λ= (1−f) :D →T
d7→(1−f)(d)
Khi đó, λ là toàn cấu . Vậy T ∼=D/kerλ. Màkerλ =C nên T ∼=D/C. Nên
dim(A+B) = dim(A⊕B)−dimS+ dimT
= dimA + dimB−dimD + dim(D/C)
Hệ quả 2.27. Cho A và B là các môđun có chiều Goldie hữu hạn, khi đó, A+B có chiều Goldie hữu hạn khi và chỉ khi với các dãy khớp 0 →X →i A và 0 →X →j B thì X là q.f.d.
Chứng minh. (⇒) Giả sử X không là q.f.d nên tồn môđun con Y của X sao cho X/Y có chiều Goldie vô hạn.
Đặt M =A⊕B/Z trong đóZ ={(i(y);j(y))/y ∈Y}. Khi đó, ta có đơn cấu
µ :X/Y →A⊕B/Z
x + Y 7→(i(x); j(x)) + Z
Nên ta có dãy khớp 0→X/Y →M.
∀y∈Y, ta có đồng cấu
β :A⊕B →j(y)A+i(y)B
(a; b)7→j(y)a−i(y)b
là toàn cấu nên A⊕B/Z ∼=j(y)A+i(y)B ∼=A+B
Mà M có chiều Goldie vô hạn nên A+B cũng có chiều Goldie vô hạn ( vô lý) Vậy M là q.f.d.
Chương 3
Môđun mà môđun thương có chiều Goldie hữu hạn
3.1 Định nghĩa và tính chất của bao nội xạ
Định nghĩa 3.1. Đơn cấu f :K →M được gọi là cốt yếunếu imf≤eM.
Định nghĩa 3.2. Cặp (E(M),i) được gọi làbao nội xaï của môđun M nếu E(M) là môđun nội xạ và i:M →E(M) là đơn cấu cốt yếu.
Ví dụ. QlàZ-môđun chia được nên nó là Z-môđun nội xạ. Đơn cấui:Z→Q là cốt yếu nên (Q, i) là bao nội xạ củaZ.
Định lý 3.1. Cho M, N và N' là các R-môđun trái vàf :M →N là R-đồng cấu. Nếu g :N0→N là đơn cấu vớiimf ⊆ img, khi đó tồn tại duy nhất đồøng cấuh:M →N0
mà f =gh.
Hơn nữa, Kerh =Kerf và Imh =g−1(Imf) nên h là đơn cấu khi và chỉ khi f là đơn cấu và h là toàn cấu khi và chỉ khi Img=Imf.
Chứng minh. Với mỗi m∈M, f(m)∈imf ⊆img. Vì g là đơn cấu nên tồn tại duy nhất n0∈N0 sao cho g(n0) =f(m). Đặt h:M →N0 sao cho h(m) =g−1f(m). Vậy h là đồng cấu cần tìm.
Hệ quả 3.2. Cho M và K là các R-môđun trái và j : K → M là R-đơn cấu với Imj =L. Khi đó, tồn tại duy nhất đẳng cấu v:L→K mà jv=iL
Chứng minh. Áp dụng định lý 3.1 với L = M, M = N, K = N0 và iL = f và
Mệnh đề 3.3. Cho K là môđun con của M. Khi đó, các điều sau là tương đương: i. K≤eM
ii. Ánh xạ bao hàm iK :K →M là đơn cấu cốt yếu
iii. Với mỗi môđun N và mỗi h∈Hom(M, N), (Kerh)∩K = 0 thìKerh= 0
Chứng minh. (i)⇔(ii) và(i)⇒(iii): hiển nhiên
(iii)⇒(i). Giả sửK∩L= 0 vớiL≤M. GọinL:M →M/L là toàn cấu chính tắc. Khi đó, (Ker nL)∩K = 0 nên L=Ker nL = 0
Hệ quả 3.4. Đơn cấu f : L → M là cốt yếu khi và chỉ khi với mọi đồng cấu h :M →N, nếu hf là đơn cấu thì h là đơn cấu.
Chứng minh. Đặt K = imf. Khi đó, theo hệ quả 3.2 tồn tại đẳng cấuφ : K → L
mà f φ=iK vớiiK : K →M là đơn cấu . Nên hf đơn cấu khi và chỉ khi h iK là đơn cấu. Mà h iK là đơn cấu khi và chỉ khi (Kerh)∩K = 0.
Mệnh đề 3.5. Cho M là R-môđun và i: M →E(M) là bao nội xạ của M. Nếu Q là môđun nội xạ và q:M →Qlà đơn cấu . Khi đó, Q=E0⊕E00 mà
a. E0∼=E(M)
b. Imq≤ E0
c. q:M →E0 là bao nội xạ của M.
Hơn nữa, nếu f :M1 → M2 là đẳng cấu i1 : M1 →E1 và i2 :M2 →E2 là các bao nội xạ, khi đó có đẳng cấu f :E1 →E2 màf i1 =i2f
.
Định lý 3.6. Mọi môđun đều có bao nội xạ , nó là duy nhất sai khác nhau một đẳng cấu.
Chứng minh. Cho M là R-môđun . Khi đó, tồn tại môđun nội xạ Q mà M ≤Q.Đặt
Ω ={N ≤Q/M≤eN}
Do M ∈Ω nên Ω6=∅. Xét thứ tự bao hàm trong tập Ω. Giả sử
N1 ⊆...⊆Nm ⊆...
Rõ ràng L=
∞
S
i=0
Ni là chặn trên của dây chuyền nói trên.
Chọn E' là phần bù của E(M) trong Q nên (E(M)⊕E0)/E0≤eQ/E0.
Khi đó, Q=E(M)⊕E0. Thật vậy, đặt g : (E(M)⊕E0)/E0→E(M) vớig((e;e0) +
E0) =e. Khi đó, g là đẳng cấu.
Vì Q là môđun nội xạ nên ta có biểu đồ sau giao hoán với dòng và cột là dãy khớp
0 Q/E0 h ' ' P P P P P P P P P P P P P P (E(M)⊕E0)/E0 g o o 0 o o Q
Theo hệ quả 3.4, h là đơn cấu nên
M≤eE(M) = Img =h((E(M)⊕E0)/E0)≤eh(Q/E0)
Vì vậy, theo mệnh đề 2.1M≤eh(Q/E0)nên do tính tối đại của E(M), do dó
h((E(M)⊕E0)/E0) =h(Q/E0)
Khi đó, vì h là đơn cấu, Q = E(M)⊕E0. Do đó, E(M) là môđun nội xạ, vì vậy bao hàm i:M →E(M) là bao nội xạ. Tính duy nhất sai khác một đẳng cấu được suy ra từ mệnh đề 3.5.
Hệ quả 3.7. Cho đơn cấui:M →E(M). Khi đó, các điều sau tương đương: i. i :M →E(M) là bao nội xạ của M.
ii. E(M) là môđun nội xạ và với mỗi đơn cấu f :M →Q với Q là môđun nội xạ thì tồn tại đơn cấu làm biểu đồ sau giao hoán
M i FFF"" F F F F F F f / / Q E(M) g O O
iii. i là đơn cấu cốt yếu và với mỗi đơn cấu cốt yếu f :M →N thì tồn tại đơn cấu g :N →E làm biểu đồ sau giao hoán
M f # # F F F F F F F F F i // E(M) N g O O
Chứng minh. (i)⇒(ii): Vìi:M →E(M)là bao nội xạ của M nên E(M) là môđun nội xạ. Do Q là môđun nội xạ nên tồn tại đồng cấu g : E(M)→ Q sao cho gi =f. Theo hệ quả 3.4, ta có g là đơn cấu.
(i) ⇒ (iii): Vì i : M → E(M) là bao nội xạ của M nên E(M) là môđun nội xạ. Do đó,tồn tại đồng cấu g :N →E(M) sao cho gf =i. Theo hệ quả3.4, ta có g là đơn cấu.
(ii)⇒(i): Theo định lý 3.6, với mỗi môđun M ta có bao nội xạ f :M →Q.Khi đó, theo (ii) ta có đơn cấu g : E(M) → Q với gi = f. Vì E(M) nội xạ nên đơn cấu này phải chẻ ra, tức là Q= Img⊕E0.
Nhưng f là đơn cấu cốt yếu nên Imf≤eQ vàE0=Im(gi)≤Img. Vậy E0= 0 và g là đẳng cấu nên i:M →E(M) là cốt yếu.
(iii)⇒(i):Lấyf :M →N là bao nội xạ của môđun M.
Khi đó, theo điều kiện (iii), tồn tại đơn cấu g :N →E(M) sao cho gf =i. Do đó, E(M) là môđun nội xạ.
Định lý 3.8. (i) M là môđun nội xạ khi và chỉ khi M =E(M). (ii). M≤eN khi đó E(M) =E(N).
(iii) M là môđun con của Q với Q là môđun nội xạ, khi đóQ=E(M)⊕E0. (iv) Nếu ⊕ α∈Ω E(Mα) là nội xạ, khi đó E( ⊕ α∈ΩMα) = ⊕ α∈Ω E(Mα).
Chứng minh. (i) Được suy ra từ định nghĩa bao nội xạ.
(ii) Vì N≤eE(N)nên nếuM≤eN thìM≤eE(N)và E(N) là môđun nội xạ nên ánh xạ bao hàm M →E(N) là bao nội xạ của M.
(iii) Áp dụng hệ quả 3.7(ii) cho ánh xạ bao hàm f : M → Q thì tồn tại đơn cấu
g : E(M) → Q sao cho f = gi. Do đó, ta có dãy khớp 0 → E(M) → Q. Vì Q là môđun nội xạ nên dãy khớp trên là chẻ ra. Do đó, Q=E(M)⊕E0.
(iv) Đặt
f : ⊕
α∈ΩMα → ⊕
α∈ΩE(Mα)
là tổng trực tiếp của các bao nội xạ Mα → E(Mα). Vì f là đơn cấu nên nó cốt yếu. Vậy E(⊕
α∈ΩMα) = ⊕
α∈Ω
E(Mα).
3.2 Môđun mà môđun thương có chiều Goldie hữu hạn
Bổ đề 3.9. Môđun M là q.f.d khi và chỉ khi mỗi môđun thương của M có socle có chiều Goldie hữu hạn.
Chứng minh. Nếu M = 0: hiển nhiên.
Nếu M 6= 0 thì M có một môđun thương có socle khác 0.
Thật vậy, vì M 6= 0 nên tồn tại m 6= 0 sao cho m ∈ M. Lấy A là môđun con tối đại của M mà không chứa m. Khi đó, môđun thương M/A có socle khác 0.
Vì vậy, một tổng vô hạn các môđun có một môđun thương có socle có chiều Goldie vô hạn.
Định lý 3.10. Môđun M là q.f.d khi và chỉ khi mỗi môđun con N chứa một môđun hữu hạn sinh T mà N/T không có môđun tối đại.
Chứng minh. (⇒) Giả sử X là môđun mà mọi môđun con hữu hạn sinh đều chứa trong một môđun con tối đại của X. Chọn các môđun con tối đại M1, ..., Mn và các phần tử x1, ..., xn màxi ∈/ Mi nhưngxi ∈Mj vớij > i. Chọn môđun con Mn+1 chứa
x1R+...+xnR vàxn+1∈/Mn+1. ĐặtX =X/ ∞ T i=1 Mi. Khi đó,X = n T i=1 Mi⊕ ∞ T i=n+1
Mi vì nếu ta đặt tổng bên phải bởi M, ta có dây chuyền giảm ngặt M ⊃M ∩Mn ⊃M∩Mn∩Mn−1 ⊃...vì vậy M có cùng chiều dài hợp như X/
n
T
i=1
Mi.
Vì vậy, X chứa một tổng trực tiếp có chiều dài tùy ý nên nó có chiều Goldie vô hạn. (⇐) Giả sử M không là q.f.d. Khi đó, tồn tại môđun con K của M mà M/K chứa một tổng vô hạn các môđun con khác không.
Theo bổ đề 3.9, tồn tại môđun con K' của M sao cho ⊕
i∈IAi ⊂M/K0 vớiAi là môđun con đơn của M. Lấy S là môđun con của M chứa K' mà S/K0 = ⊕
i∈IAi.
Lấy T là môđun hữu hạn sinh mà S/T không có môđun con tối đại. Khi đó, S/T+K0
không có môđun con tối đại.
MàS/T+K0là ảnh đồng cấu của môđun nửa đơn S/K0 nênS/T+K0 là môđun nửa đơn.
Nên S/T +K0 có môđun tối đại nếu S/T +K0 6= 0. Vì vậy S/T +K0 = 0 nên
S =T +K0.
Vì T hữu hạn nên sinh S/K0 hữu hạn sinh ( vô lý). Vậy M là q.f.d.
Định lý 3.11. Nếu mọi môđun cyclic có chiều Goldie hữu hạn thì môđun hữu hạn sinh cũng có chiều Goldie hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử M =< m1, ..., mr >. Gọi (E(M),i) là bao nội xạ của M.
Nên E(M) = E(m1R)⊕K1. Do đó, m2 = a1+k1. Khi đó,K1 = E(k1R)⊕K2. Vì vậy, E(M) =E(m1R)⊕E(k1R)⊕K2.
Cứ tiếp tục như vậy, E(M) là tổng hữu hạn các bao nội xạ của các môđun cyclic. Mà cácmôđun cyclic có chiều Goldie hữu hạn nên bao nội xạ của nó cũng có chiều Goldie hữu hạn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên, Đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp. Hồ Chinh Minh, 2006.
[2] V.P.Camillo, Modules whose quotient have finite Goldie dimension, Pacific journal of mathematics, Vol.69, No.2,1977
[3] Satyanarayana Bhavanari, Nagaraju Dasari, Balamurugan Kuppareddy Subra- manyam and Godloza Lungisile,Finite dimension in associative rings, Kyungpook