một kết quả hữu hạn của tập iđeean nguyên tố liên kết của một số môđun exit

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ass Ext s s Ass Ext Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R I R M R . . . Ass(R/I n ) n n R Z Z I = aZ a = p α 1 1 . . . p α t t a Ass Z (Z/I n ) = {p 1 Z, . . . , p t Z} n. R Ass R (M/I n M) n, n n 0 Ass R (M/I n M) = Ass R (M/I n 0 M) n ≥ n 0 . M/I n M ∼ = Tor R 0 (R/I n , M) Tor R i (R/I n , M) i ≥ 0. Ass R Tor R i (R/I n , M) n n i ≥ 0. Ass R Ext i R (R/I n , M) n n (R, m) 5 x, y ∈ m I = (x, y)R Ass R H 2 I (R) Ass R H 2 I (R)  n∈N Ass  Ext 2 R (R/I n , M)   n Ass R (R/(x n , y n )R)  n∈N Ass  Ext 2 R (R/I n , M)   n Ass R (R/(x n , y n )R) Ass R Ext 2 R (R/I n , M) n n M R I (x 1 , . . . , x r ) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/  n∈N Ass R Ext i R (R/I n , M)  n 1 , ,n r Ass R (M/(x n 1 1 , . . . , x n r r )M) s ≥ −1 T Spec(R), (T ) ≥s T s M s (x 1 , . . . , x r ) M s  n 1 , ,n r  Ass R M/(x n 1 1 , . . . , x n r r )M  ≥s M s Ext Ext Ext Ext Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R I R L R I √ I √ I = {a ∈ R | ∃n ∈ N a n ∈ I}. √ I R I I = R ab ∈ I, a /∈ I b ∈ √ I a, b ∈ R I p = √ I. p I p I = Q 1 ∩ . . . ∩ Q n Q i p i I I Q i p i Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ I √ I I √ I √ I I Z mZ m 36Z 36Z = 4Z ∩ 2Z ∩ 9Z 4Z 2Z 2Z 9Z 3Z 2Z 36Z = 4Z ∩9Z 36Z. Q 1 , Q 2 p R Q 1 ∩ Q 2 p R I I = Q 1 ∩. . .∩Q n = Q  1 ∩. . .∩Q  m I Q i p i Q  i p  i n = m {p 1 , . . . , p n } = {p  1 , . . . , p  n }. I = Q 1 ∩ . . . ∩Q n I Q i p i {p 1 , . . . , p n } I {p 1 , . . . , p n } I. Q i p i Q i Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ I = Q 1 ∩ . . . ∩ Q n = Q  1 ∩ . . . ∩ Q  n I Q i , Q  i p i p i {p 1 , . . . , p n } Q i = Q  i . Q i p i I L R N L a ∈ R, ϕ a : L → L ϕ a (x) = ax a L ϕ a ϕ a n ϕ n a = 0 a n x = 0 x ∈ L. I p a R/I a /∈ p a ∈ p Ann R L = {a ∈ R | aL = 0}. Ann R L R Ann R L L N L N = L a L/N a ∈ R N L p =  Ann R (L/N) p N p N = Q 1 ∩ . . . ∩ Q n Q i p i L N Q i p i Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Q 1 , Q 2 p L Q 1 ∩Q 2 p L N N = Q 1 ∩. . .∩Q n = Q  1 ∩. . .∩Q  m N Q i p i Q  i p  i n = m {p 1 , . . . , p n } = {p  1 , . . . , p  n }. {p 1 , . . . , p n } N Q i p i {p 1 , . . . , p n } N N N R M R M N M N N = M N a ∈ R N : M a = {m ∈ M | am ∈ N}. N : M a M N N N a ∈ R a M/N M Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ N : M a ⊆ N : M a 2 ⊆ . . . k ∈ N N : M a n = N : M a k n ≥ k. N 1 = a k M + N N 2 = N : M a. N = N 1 ∩ N 2 . a M/N m /∈ N am ∈ N. m ∈ (N : M a) \ N. N 2 ⊃ N N 2 = N a M/N a k (M/N) = 0 a k M ⊆ N. N 1 ⊃ N N 1 = N. N M M M Γ M Γ = ∅ M Γ N 0 Γ N 0 ∈ Γ N 0 N 0 N 0 N 0 M N 0 N 0 = N 1 ∩ N 2 N 1 = N 0 N 2 = N 0 N 0 Γ N 1 , N 2 /∈ Γ N 1 , N 2 N 1 = Q 11 ∩. . .∩Q 1k N 2 = Q 21 ∩. . .∩Q 2t N 1 N 2 N 0 = N 1 ∩N 2 = Q 11 ∩. . .∩Q 1k ∩Q 21 ∩. . .∩Q 2t N 0 N 0 ∈ Γ L R N L m ∈ L Ann R m = {a ∈ R | am = 0} Ann R m R Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... MƯnh ®Ị 1.1.10, nÕu 0 cđa M AssR L/N trong ®ã th× M Qi lµ pi -nguyªn s¬, lµ mét ph©n AssR (L/N ) = {p1 , , pn } lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh th× m«®un con cã ph©n tÝch nguyªn s¬ V× thÕ ta cã kÕt qu¶ sau Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 1.2.6 HƯ qu¶ NÕu M lµ h÷u h¹n sinh th× AssR M lµ tËp h÷u h¹n PhÇn ci cđa tiÕt nµy dµnh ®Ĩ nh¾c l¹i mét tÝnh chÊt vỊ tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt... ph¶i thø øng víi m«®un n cđa hµm tư I -xo¾n ΓI (−) L ®­ỵc gäi lµ m«®un ®èi ®ång ®iỊu thø n cđa L víi gi¸ I vµ ®­ỵc kÝ hiƯu lµ n n HI (L) Cơ thĨ, ®Ĩ tÝnh HI (L) ta lÊy u u 0 1 0 → L → E0 → E1 → E2 → Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 lµ mét gi¶i néi x¹ tïy ý cđa L, sau ®ã t¸c ®éng hµm tư ΓI (−) ta cã ®èi phøc u∗ u∗ 0 1 0 → Γ(E0 ) → Γ(E1 ) → Γ(E2 ) → Khi ®ã n HI (L) = Ker... §Þnh nghÜa Cho thø n≥0 lµ mét sè tù nhiªn M«®un dÉn xt ph¶i n cđa hµm tư khíp tr¸i hiƯp biÕn HomR (L, −) øng víi m«®un N gäi lµ m«®un më réng thø ®­ỵc n cđa L vµ N , vµ ®­ỵc ký hiƯu lµ Extn (L, N ) R Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 Nh­ vËy, ®Ĩ tÝnh Extn (L, N ), ta lÊy mét gi¶i néi x¹ R d d 0 1 0 → N → E0 → E1 → T¸c ®éng hµm tư khíp tr¸i hiƯp biÕn HomR (L, −) vµo d·y... c¸c ®ång cÊu nèi Extn (L, N ) → Extn+1 (L, N ) R R víi mçi sao cho ta cã d·y khíp dµi 0 → Hom(L, N ) → Hom(L, N ) → Hom(L, N ) → Ext1 (L, N ) → Ext1 (L, N ) → Ext1 (L, N ) R R R → Ext2 (L, N ) → R Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ n≥0 11 (iv) NÕu 0→L →L→L →0 tån t¹i c¸c ®ång cÊu nèi lµ d·y khíp ng¾n c¸c Extn (L , N ) → Extn+1 (L , N ) R R R-m«®un víi mçi th× n≥0 sao cho ta... R, lµ cËn trªn cđa c¸c ®é dµi cđa c¸c d·y i®ªan nguyªn tè cđa cđa lµ h÷u n Trong st tiÕt nµy, lu«n gi¶ thiÕt cđa Extn (M, N ) R R ChiỊu (Krull) M , kÝ hiƯu lµ dim M , lµ chiỊu cđa vµnh th­¬ng R/ AnnR M Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 1.5.2 VÝ dơ Trong vµnh Z, d·y {0} ⊂ 3Z lµ d·y i®ªan nguyªn tè ®é dµi 1 Râ rµng dim Z = 1 V× M h÷u h¹n sinh nªn lµ vµnh Noether nªn ta cã tÝnh... ) < ∞ V× (M/mM ) < ∞ nªn Do ®ã, theo §Þnh lÝ 1.5.5 ta cã dim M < ∞ Tõ nay ®Õn hÕt tiÕt nµy, gi¶ thiÕt r»ng dim M = d 1.5.6 §Þnh nghÜa Mét hƯ sè cđa M nÕu (x1 , , xd ) ⊆ m (M/(x1 , , xd )M ) < ∞ Số hóa bởi trung tâm học liệu ®­ỵc gäi lµ mét hƯ tham Mét hƯ (x1 , , xr ) ⊆ m http://www.lrc-tnu.edu.vn/ víi 13 r d, ®­ỵc gäi lµ mét phÇn hƯ tham sè cđa M nÕu tån t¹i c¸c phÇn tư xr+1 , , xd ∈ m... cho tr­êng hỵp dim(M/xM ) = k < d − 1 §Þnh lÝ 1.5.5, tån t¹i (x1 , , xr ) lµ M Chøng minh B»ng quy n¹p theo Cho víi ®Ĩ §Ỉt M1 = M/xM Theo (M1 /(x1 , , xk )M1 ) < ∞ Suy ra d = dim M k + 1 k, v« lÝ Số hóa bởi trung tâm học liệu r = 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Do V× thÕ 14 Ch­¬ng 2 TÝnh h÷u h¹n cđa tËp Ass cđa mét sè m«®un Ext Trong st ch­¬ng nµy, lu«n gi¶ thiÕt vµ M lµ R-m«®un R lµ vµnh giao ho¸n... thiÕt ®Þa ph­¬ng, cho dim M = d kÝ hiƯu I lµ mét i®ªan cđa Ta kÝ hiƯu (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether R vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi (0 :M I) = {m ∈ M | Im = 0} vµ víi (0 :M x) = {m ∈ M | xm = 0} Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ x∈R ta 15 2.1 D·y chÝnh quy vµ ®é s©u 2.1.1 §Þnh nghÜa (i) Mét phÇn tư cđa kh«ng ®èi víi nÕu (0 :M x) = 0, tøc lµ xm = 0 kÐo theo m=0 m ∈ M víi... :R/xR y) = 0 vµ (0 :R/(x,y)R z) = 0 (ii) DƠ kiĨm tra ®­ỵc 2.1.4 Bỉ ®Ị Cho (i) x, y(1 − x), z(1 − x) lµ R-d·y x, x1 , , xk ∈ m Khi ®ã ta cã x lµ M -chÝnh quy nÕu vµ chØ nÕu x ∈ p víi mäi p ∈ AssR M / Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 16 (ii) (x1 , , xk ) lµ M -d·y nÕu vµ chØ nÕu víi mäi i = 1, , k ta cã xi ∈ p víi mäi p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M ) / Chøng minh Kh¼ng... x ∈ p víi mäi p ∈ AssR M LÊy q ∈ AssR (M/xM ) sao / dim(R/q) = dim(M/xM ) Khi ®ã x ∈ q vµ tån t¹i p ∈ min AssR M sao cho p ⊆ q Do x ∈ p vµ x ∈ q nªn / dim(M/xM ) = dim(R/q) Theo HƯ qu¶ 1.5.7 ta suy ra Số hóa bởi trung tâm học liệu dim(R/p) − 1 dim M − 1 x lµ phÇn tư tham sè cđa M http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 17 MƯnh ®Ị sau ®©y chØ ra r»ng ®é dµi cđa c¸c I M -d·y trong mét i®ªan cã thĨ ®Ỉc tr­ng qua tÝnh . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ass Ext s s Ass Ext Số hóa bởi trung tâm học liệu. 1. d −1  k, Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ass Ext R M R Ext s s s (R, m) I R M R dim M = d. (0 : M I) = {m ∈ M | Im = 0} x ∈ R (0 : M x) = {m ∈ M | xm = 0}. Số hóa bởi. . . . , x r ) M s  n 1 , ,n r  Ass R M/(x n 1 1 , . . . , x n r r )M  ≥s M s Ext Ext Ext Ext Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R I R L R I √ I √ I = {a ∈ R | ∃n ∈ N a n ∈