Chiểu đều của môđun

1 MỤC LỤC Trang Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương 1: KiÕn thøc sở 1.1 Môđun, v nh Noether 1.2 Môđun cốt yếu, môđun 1.3 Môđun hu hn sinh, CS - môđun 11 Chng 2: Chiều môđun 14 2.1 Xây dựng chiều môđun 14 2.2 Một số tính chất chiều hữu hạn 19 Chng 3: CS - môđun chiều hữu hạn 23 Kt lun 28 Ti liu tham khảo 29 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N  M: N môđun môđun M N * M: N môđun cốt yếu môđun M N  M: N hạng tử trực tiếp môđun M A  B: Tổng trực tiếp mơđun A mơđun B  Mi : Tỉng c¸c môđun Mi, iI Mi : Tổng trực tiếp môun Mi, iI iI i n Mi : i Tổng trực tiếp môun Mi, i n dimM: Số chiều môun M r(x): Linh hóa tử phải x Soc(M): Đế môun M Z: Vành số nguyên ( Z -môđun ) Z(M): Là môđun suy biến M HomR(A,B):Tập tất đồng cấu từ môđun A ®Õn m«®un B : KÕt thóc mét chøng minh M U Việc nghiên cứu lý thuyết môđun đ-ợc phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Một h-ớng để nghiên cứu vành đặc tr-ng vành qua tính chất lớp xác định môđun chúng Nghiên cứu lý thuyết môđun vành, nghiên cứu cấu trúc môđun từ đ-a số đặc tr-ng lớp vành Luận văn đề cập đến việc xét tính chất chiều môđun, luận văn đề cập đến tổng trực tiếp môđun CS - môđun Chiều môđun h-ớng mở rộng chiều không gian vectơ Những vấn đề chiều đà đ-ợc trình bày sách Extending modules N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith and R Wisbauer [5] LuËn văn trình bày cách hệ thống chi tiÕt mét sè vÊn ®Ị vỊ chiỊu ®Ịu cđa môđun Lun c chia lm ba chng cựng vi phần mở đầu, kết luận, danh mục ký hiệu tài liệu tham khảo Cơ thĨ: Chương 1: KiÕn thøc c¬ së Trình bà y định nghĩa vỊ Môđun, v nh Noether Artin, Mụun ct yu, mụun u, Mụun hu hn sinh, CS - môđun, tính chất có liên quan đến lun Ch-ơng 2: Chiều môđun Ch-ơng đ-ợc chia làm hai phần : Phần thứ nhất: Xây dựng khái niệm chiều môđun Cụ thể phần đ-a điều kiện môđun chứa môđun điều kiện để tổng trực tiếp môđun cốt yếu môđun Phần thứ hai : Một số tính chất chiều hữu hạn Trong phần nghiên cứu tính chất số chiều môđun Ch-ơng 3: CS - Môđun chiều hữu hạn Lun c thc hin hoàn thành trường Đại học Vinh hng dn ca PGS.TS.Ngụ S Tựng Nhân dịp này, tỏc giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Trong q trình học tập viết luận văn, tác giả nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo tổ Đại số trường Đại học Vinh Cũng dịp này, tác giả xin cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy, cô giáo khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh cỏc bn lp cao hc khoỏ 16 chuyên ngành Đại sè - Lý thuyÕt sè Tac giả xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục Đào tạo Thanh ho¸, Ban giám hiệu, tỉ to¸n đồng nghiệp trường THPT Hµm Rång, động viên giúp đỡ để luận văn hoàn thành kế hoạch Cuối cùng, khả cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận góp ý q thầy giáo, giáo tất bạn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Ch-¬ng KiÕn thøc c¬ së 1.1 Môđun, Vành Noether 1.1.1 Mnh Cỏc iu kin sau tương đương vành R có đơn vị 1: i) Mọi dãy tăng ideal phải dừng ii) Mọi tập khác rỗng ideal phải có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm iii) Mọi ideal phải R hữu hạn sinh iv) Đối với A ideal R A R/A có tính chất i) 1.1.2 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương R - môđun phải M: i) Mọi dãy tăng môđun M dừng ii) Mọi tập khác rỗng mơđun M có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm iii) Mọi môđun M hữu hạn sinh iv) Đối với môđun A M A M/A có tính chất i) 1.1.3 Định nghĩa Vành R thỏa mãn điều kiện mệnh đề 1.1.1 gọi vành Noether phải 1.1.4 Định nghĩa Mọi R- môđun phải M thỏa mãn điều kiện mệnh đề 1.1.2 gọi R- môđun noether phải 1.1.5 Ví dụ i) Z- mơđun Z noether ii) Khơng gian vectơ hữu hạn chiều môđun noether, không gian vectơ vô hạn chiều không môđun noether 1.1.6 Hệ Nếu môđun M tổng hữu hạn mơđun noether M noether i=n Chứng minh Giả sử M =  Ai , ta biến thành quy nạp theo n i=1 Với n =1 mệnh đề hiển nhiên i = n-1 Giả sử mệnh đề với n - Khi mơđun N =  Ai noether i=1 Ta có M/An = ( N + An)/An  N/(N  An) Nếu N noether N/(N  An) noether M/An noether Khi M  noether 1.1.7 Hệ Nếu vành R noether phải M l R- môđun hu hn sinh thỡ M l noether Chứng minh Với a  M xét ánh xạ a : R  M R| ar Rõ ràng a đồng cấu R- mơđun Theo định lí đơng cấu mơđun ta có: R/kera  Ima = aR Do R noether nên R/kera noether aR noether Bây giả i=n sử { a1, a2, …, an} hệ sinh M, M =  a1R Theo hệ 1.1.6 ta i=1 suy M noether  1.2 Môđun cốt yếu, môđun 1.2.1.Định nghĩa Cho M R- môđun N môđun M  Môđun N gọi cốt yếu M kí hiệu N  * M, với môđun K M, K ≠ N K ≠  Nếu N  * M M gọi mở rộng cốt yếu N  Nếu  * M M = ( quy ước ) 1.2.2 Định nghĩa Cho R vành, R-môđun U gọi ( hay uniform) U ≠ A  B ≠ môđun khác không A, B U Hay nói cách khác, U U≠ môđun khác không cốt yếu U 1.2.3.Ví dụ  Z- mơđun Z mơđun vì: Lấy A = mZ  Z, m≠ B = kZ  Z, k≠ Khi đó: ≠ m.k  mZ  kZ   Z- mơđun Q mơđun : Lấy ≠A, B  ZQ   Ta có am = bm a  A; b a m  A,  B (m, k, a, b  Z*) b n am = ak m B n Khi đó: ≠ am  A  B  Mọi môđun khác không môđun đều,  1.2.4 Mệnh đề Cho M R- mơđun Khi ta có : i) A  * M vµ  x  M, x ≠ 0, xR  A ≠ ii) Cho A  B, B  M A  * M vµ A  *B vµ B  * M iii) Nếu Ai  * Bi (  i 1,2,…,n), Ai , Bi  M  Ai  *  Bi i=n i=n i=1 i=1 i=n Đặc biệt Ai  M  Ai  * M * i=1 iv) Cho A B, B M Nếu B/A  * M/A B  * M v) Nếu f: M N đồng cấu môđun A  * N f-1(A)  * M vi) Cho M =  Mi, A =  Ai Mi môđun M, iI,trong iI iI M i vµ A  *  M i Ai  * Mi Khi tồn i I iI Chứng minh i) Giả sử A  * M, với ≠ x  M  xR ≠ 0, xR  M, hiển nhiên xRA≠0 (theo định nghĩa) Ngược lại, xR  A ≠ 0, 0 ≠ x  M Khi , giả sử ≠ X  M mà X  A =0 Do X ≠   x X, x ≠ ta có = ( X  A) xR  A≠ Vô lý Vậy X  A ≠ hay A  * M  ii) Giả sử A  * M Lấy ≠ X  B X  M  X  A ≠ (do A  * M) suy A  * B Lấy ≠ X  M  X  A ≠  X  B ≠ 0( A  B )  B  * M Ngược lại, giả sử A * B B * M Lấy ≠ X  M B * MX  B≠ 0, mà (X  B)  B A *B  (X  B)  A ≠ 0 X  A ≠  A * M  i=n iii) Lấy ≠ X   Bi  X  Bi mà Ai  * Bi  X  Ai ≠ i=1 i=n i=n i=n Do X   Ai ≠ Hay  Ai   Bi  * i=1 i=1 i=1 iv) Lấy ≠ X  M Giả sử X  B = suy tồn X  B Ta có (X  A)/A  M/A Do B/A * M/A nên ( ( X  A)/A )  ( B/A) ≠ Suy tồn x + a + A = b + Ax=b + a’ (a’ A ) Vô lý Vậy X  B ≠ 0 B * M v)  Lấy ≠ X  M - Nếu f(X) =  X  f-1( A)  (X  f-1( A) ) = X ≠ - Nếu f(X) ≠ Vì A * N A  f( X ) ≠ Do tồn a ≠ 0, a A a  f( X )  a = f(x) x  X, x ≠ Suy x = f-1(a)  xf-1( A)  X  f-1( A) ≠ Vậy f-1( A) * M  vi) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn Dùng quy nạp ta xét với n = Ta có M = M1 + M2 , A1  * M1 , A2  * M2, tồn A1  A2 Theo iii) ta có ( A1  A2) * (M1  M2) hay * (M1 M2)  M1 M2= Do tồn tổng M1  M2 Tiếp theo xét phép chiếu : 1: M1  M2  M1 2: M1  M2  M2 Do A1  * M1  1-1 ( A1) * (M1  M2) ( theo v) 10 Nhưng 1-1 ( A1)= A1  M2  (A1  M2 )  * (M1  M2) (1) Do A2  * M2  2-1 ( A2) * (M1  M2)  (A2 M1 ) * (M1  M2) (2) Lấy giao vế (1) )( 2) ta có:  (A1  M2 )(A2  M1 )  (M1  M2)  ( A1  A2)  * (M1  M2) Bây ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn Lấy x   Mi ta biểu diễn x =  xi, với F hữu hạn thuộc I, theo iI iF trường hợp tồn  M i biểu diễn iF M i   ≠ x  X; mà x   M i ,  Ai *  M i ( Tiếp theo lấy ≠ X  i iF iF iF I Ai ≠0 X   Ai ≠0  X   Ai ≠0 với F hữu hạn thuộc I )  xR  i F iF iI Ai *  M i Vậy i I iI  1.2.5 Định nghĩa Cho M R - môđun  Môđun A M gọi đóng M A khơng có mở rộng cốt yếu thực M, tức : A * B  M  A = B  Mơđun X M gọi bao đóng U M U * X vµ X đóng M 1.2.6 Mệnh đề Bao đóng môđun môđun M tồn 1.2.7 Hệ i) Nếu A mơđun đóng M hạng tử trực tiếp A đóng M ii) Nếu A mơđun đóng hạng tử trực tiếp M A đóng M iii) Nếu A mơđun đóng X X đóng M A mơđun đóng M 15 2.1.2.3 Hệ Cho R- m«đun M i) Nếu M môđun noether khỏc khụng thỡ M chứa môđun ii) Cho R vành trái noether R – mơđun trái khác không chứa môđun Chứng minh i) Gi s M môđun noether m cha tng vụ hạn môđun khác không   Ai  M Khi ta có dãy tăng thực môđun M: i 1 n Ai … A1  (A1  A2) …  i 1 Mâu thuẫn với giả thiết M noether Do M khơng chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Theo mệnh đề 2.1.2.2, M chứa môđun ii) Nếu M R – môđun trái , R vành noether trái nên R- môđun hữu hạn sinh neother Vì với x≠ 0, x  M , ta có Rx mơđun neother Do theo i) Rx chứa mơđun Vì M chứa môđun  2.1.2.4 Mệnh đề Cho môđun M khác khơng có tính chất mơđun chứa mơđun Thế tồn mơđun A tổng trực tiếp môđun A môđun cốt yếu M Chứng minh Gọi S = {  U i |U i đều, Ui  M, i  I} iI Xác định quan hệ thứ tự  U i   V j  I  J Vi = Ui ,i I iI jJ Theo giả thiết M chứa mơđun U có  U với | I | = 1 S ≠  I Ta có  U i U  U   U n  suy iI  U k 1 k  S cận 16 Theo bổ đề Zorn, S tồn phần tử tối đại A= I U i ta có A * M A khơng môđun cốt yếu M suy tồn B  M, B ≠  mà A  B = Theo giả thiết A chưa môđun V, suy A  V=0 suy tồn A’= A  V mà A  A’, A ≠ A’ Mâu thuẫn với tính tối đại A Vậy A * M  2.1.2.5.Hệ U i  * M, Ui đều, i I i) Nếu môđun M noether tồn mơđun A= i I U i  * M, Ui đều, ii) Nếu vành R noether R- mơđun M ta có A = i I  i I Chứng minh i) Nếu môđun M noether với mơđun N M ta có N noether Theo hệ 2.1.2.3 suy N chứa môđun Theo mệnh đề 2.1.2.4 tồn môđun U i * M A= i I ii) Nếu N vành noether, theo hệ 2.1.2.3 suy R- môđun chứa môđun ( môđun M R- môđun) U i * M Theo mệnh đề 2.1.2.4 tồn môđun A = i I  2.1.2.6 Bổ đề Giả sử M môđun chứa môđun cốt yếu dạng  U i , iI Ui mơđun  i I Khi mơđun N M cốt yếu M N  Ui ≠ 0, i I Chứng minh Giả sử N * M suy N  X ≠0 với X  M, X ≠ 17 suy N  Ui ≠0,i  I Ngược lại, giả sử N  M, N  Ui ≠0, i  I Đặt Ni = N  Ui, theo giả thiết U i , mà Ni ≠ 0, i  I Vì Ui mơđun suy Ni * Ui ,  i  I Do có i I N i  N i *  U i ( Theo mệnh Ni  Ui ,  i  I nên tồn tổng trực tiếp i I iI iI đề 1.2.4) U i * M ta có  N i *  U i * M, từ suy  N i *M (*) Theo giả thiết i iI iI iI I Mặt khác Ni  N,  i  I, Ni  N  M Vì N * M ( N không môđun cốt yểu M suy tồn K ≠0,K  M mà N  K = N i = Mâu thuẫn với (*)) suy K  i I  2.1.2.7 Định lí Cho mơđun M, tồn mơđun Ui đều,  i = 1,2,3,…,n n U i * M thì:  i 1 i) Mọi tổng trực tiếp mơđun khác khơng M có nhiều n hạng tử ii) Nếu tồn môđun Vi đều,  i = 1,2,3,…,k V1 … Vk * M n = k Chứng minh i) Giả sử tồn A1 … An+1, M Ta chứng minh An+1 = Do A1  (A2 … An+1) = dẫn đến A2… An+1 không môđun cốt yếu M 18 Theo bổ đề 2.1.2.6 tồn Ui,  i  n để Ui  (A2… An+1) = Không tính tổng qt, giả sử i=1 ta có U1  ( A2… An+1 ) = suy tồn U1  A2 … An+1 Tiếp tục ta có ( U1 A3 … An+1 )  U2 = suy (U1 A3 … An+1 không môđun cốt yếu M Do tồn U2 để ( U1  A2 … An+1 )  U2 = Suy tồn U1  U2  A3 … An+1 Tiếp tục q trình ta có : U1  U2  U3 … Un  An+1 Do U1  U2  U3 … Un cốt yếu M suy An+1 = ii) Theo i) ta có k  n n  k suy n = k ( vai trò hai tổng trực tiếp n n i 1 i 1  U i  Vi nhau)  Từ định lý 2.1.2.6 ta rút số tự nhiên n mà U1  U2  U3… Un cốt yếu M, Ui với i = 1,2,3,…,n số bất biến Vậy ta có định ngha sau : 2.1.2.8 Định nghĩa Ta gi dim M = n tồn tổng trực tếp hữu hạn U1  U2  U3 …  Un * M, với môđun Ui đều, i = 1,2,3,…,n, n gọi chiều môđun M Khi M = ta quy ước dim M = 19 2.2 Một số tính chất chiều hữu hạn 2.2.1 Mệnh đề i) Nếu dim M < dim A < với A môđun M ii) Nếu A, B môđun M tồn A B vi dim ( A B) <  th× dim ( A B) = dim A + dim B Chøng minh i) Gi¶ sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Do A M nên suy M ch-a tổng trực tiếp cô hạn môđun khác không Vậy M có chiều vô hạn Mâu thn víi gi¶ thiÕt dim M <  VËy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không hay dimA