Chiều trong hình học fractal

Mục lục Trang Mở đầu Ch-ơng I Chiều hình học Fractal 1.1 Các kiến thức së 1.2 Độ đo chiều Hausdorff 1.3 ChiÒu hép 14 1.4 Chiều hộp cải biên 20 1.5 Độ đo gói chiều gói 21 1.6 Mối liên hệ chiều Hausdorff, chiều hộp, chiều hộp cải biên chiều gói 22 Ch-¬ng II Mét sè vÝ dơ vỊ viƯc tÝnh chiỊu vµ øng dơng cđa chiỊu 25 2.1 Mét sè vÝ dơ vỊ viƯc tÝnh chiỊu Hausdorff vµ chiỊu hép 25 2.2 Mét sè øng dơng cđa chiỊu Hausdorff to¸n häc 39 KÕt luËn 43 Tµi liƯu tham kh¶o 44 Lời mở đầu Chiều không gian hay tập đ-ợc định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, cách có ý nghĩa ứng dụng riêng Tuy nhiên, khái niệm chiều cho kết chiều số nguyên, không âm Thế nh-ng vào năm 1890, 1891 tìm kiếm đặc tr-ng bất biến đối t-ợng hình học qua phép biến đổi đồng phôi lý thuyết tôpô, Peano Hilbert đà tìm đ-ờng cong có tính chất đặc biệt đ-ờng không tự cắt, lấp đầy miền hình học mặt phẳng Hình học Euclide xem chiều, nh-ng nh- cảm thấy không thoả đáng Ngoài ra, đầu kỷ XX, ng-ời ta dẫn nhiều toán mà hiểu chiều theo nghĩa thông th-ờng gây cảm giác gò bó Chính cần phải mở rộng khái niệm chiều Mặt khác, Hình học Euclide đà tồn lâu có nhiều ứng dụng toán học đời sống Tuy nhiên, đối t-ợng nghiên cứu hình dạng lý t-ởng, nh-ng t-ợng, vật giới thực không thoả mÃn tính trơn tru, lý t-ởng mà đối t-ợng gồ ghề, kỳ dị Vì thế, ng-ời ta kết luận Hình học Euclide khô cứng v lạnh lẽo Để giải t-ợng này, với hỗ trợ máy tính, khoa học CHAOS lý thuyết ngẫu nhiên, vào năm 70 kỷ XX, nhà Toán học B Mandelbrot đà khởi x-ớng h-ớng toán học mang tên Hình học Fractal Những đối t-ợng đ-ợc xem Fractal có nhiều toán học nhtrong thực tiễn việc nghiên cứu chúng đạt nhiều ứng dụng hầu hết lĩnh vực Điều đặc biệt Hình học Fractal không dùng công cụ nghiên cứu hình học thông th-ờng để nghiên cứu mà công cụ nghiên cứu chiều Chính nhờ nghiên cứu chiều tập Fractal đà làm sáng tỏ đặc điểm, tính chất chúng mà nhờ phát ứng dụng phong phú Hình học Fractal hầu hết lĩnh vực lý thut lÉn thùc tiƠn V× thÕ, viƯc t×m hiểu khái niệm chiều Hình học Fractal vấn đề lý thú, mẻ có ý nghĩa Do đó, chọn đề tài nghiên cứu cho khoá luận tốt nghiệp là: Chiều hình học Fractal Mục đích khoá luận nghiên cứu khái niệm chiỊu H×nh häc Fractal nh- chiỊu Hausdorff, chiỊu hép, chiều gói ; làm rõ tính chất công thức dùng để tính chiều Trên sở đó, tìm ví dụ minh họa cho khái niệm chiều tìm số ứng dụng chiều toán học Khoá luận đ-ợc thực hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo - ng-ời đà đặt vấn đề dẫn dắt, giúp đỡ tận tình, chu tác giả hoàn thành khoá luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo khoa Toán tất ng-ời thân bạn bè đà giúp đỡ, động viên tác giả suốt thời gian qua Do điều kiện thời gian lực hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong đ-ợc quý thầy, cô giáo bạn bè đóng góp ý kiến Vinh, ngày 10 tháng năm 2010 Tác giả Mai Thị Hà CHƯƠNG Chiều hình học fractal Trong ch-ơng này, trình bày kiến thức sở độ đo chiều Hausdorff; kh¸i niƯm chiỊu hép, chiỊu gãi; c¸c tÝnh chÊt độ đo Hausdorff chiều 1.1 Các kiến thức sở 1.1.1 Định nghĩa Cho X * : C C lớp tập X Hàm đ-ợc gọi hàm tập Hàm tập *: C đ-ợc gọi độ đo C (hay X ) thoả mÃn điều kiện sau: (i) * ( A)  0, A  X ;  * ()  ;   i 1 i 1 (ii)  * ( A)    * ( Ai ) với A (*) Ai Điều kiện (*) đ-ợc gọi - d-ới cộng tính 1.1.2 Định nghĩa Cho X   vµ tËp  : A  A đại số tập X Hàm đ-ợc gọi độ đo A (hay X ) thoả mÃn điều kiện sau: (i)  (A)  0, A  A ;  () = 0;   (ii) NÕu  An n1  A vµ Ai  Aj  , i  j cho     n1 n 1  An     ( An ) n1 An A ` (**) Điều kiện (**) đ-ợc gọi - cộng tính 1.1.3 Định nghĩa Cho D n , ánh xạ S : D D đ-ợc gọi phép co D nÕu tån t¹i c  [0, 1) cho S ( x)  S ( y)  c x  y , x, y  D NÕu dÊu đẳng thức xảy ánh xạ S : D D đ-ợc gọi phép đồng dạng D c đ-ợc gọi tỷ số phép đồng dạng 1.1.4 Định nghĩa Một họ hữu hạn phép co D đ-ợc gọi hệ hàm lặp D 1.1.5 Định nghĩa Cho tập đóng D n m ánh xạ co Si : D  D; i  1, , m Mét tËp F D đ-ợc gọi tập bất biến hệ hàm lặp S1, , Sm F m Si ( F ) i 1 NÕu c¸c Si ánh xạ đồng dạng tập bất biến F đ-ợc gọi tập tự đồng dạng 1.1.6 Định nghĩa Ta nói hệ hàm lặp S1, , Sm thỏa mÃn điều kiện tập mở tồn tập V mở, không rỗng, giới nội cho m  V  Si (V )  i 1   S (V )  S (V )  , i j j i 1.1.7 Định nghĩa Giả sö U  n , U   , ®ã U  sup  x  y : x, y U đ-ợc gọi đ-ờng kính tập U ( x y đ-ợc hiểu khoảng cách thông th-ờng x y n ) 1.1.8 Định nghĩa Giả sử Ui họ đếm đ-ợc tập Nếu F n U i Ui đ-ợc gọi phñ cña F i 1 NÕu  Ui  với i Ui đ-ợc gọi - phủ F 1.2 Độ ®o vµ chiỊu Hausdorff Cho tËp F  n vµ s 0, với > ta định nghÜa Hs (F )  inf i1 Ui s :{Ui} lµ  - phđ F  DƠ dµng nhËn thÊy r»ng nÕu < 1 < 2 th× mäi 1 - phđ F cịng lµ 2 - phđ F Do ®ã Hs (F )  Hs (F ) Nh- vËy, víi s  cho tr-íc, hµm Hs (F ) tăng giảm Dẫn đến tån t¹i giíi h¹n cđa Hs (F )  0+ (giới hạn hữu hạn hay +) Do ta đến định nghĩa sau 1.2.1 Định nghĩa Với F s 0, > ta định nghĩa n H s ( F )  lim H s (F) 1.2.2 Mệnh đề Với s > n Hs đ-ợc xác định nh- độ đo H s : P thỏa mÃn điều kiện định nghĩa độ đo P lớp tËp cña n ThËt vËy, (i) H s ( F )  , F  ; H s () (dễ dàng kiểm tra đ-ợc) n Chøng minh Ta sÏ chØ r»ng n n (ii) Giả sử Ei - phủ F > Với i , theo tính chất infimum tồn U i , j  lµ  - phđ Ei cho Hs (Ei )  2i  j1 Ui, j s Khi Ui, j - phđ F Do ®ã i , j 1  Hs (F )  i1 j1 Ui, j s  i1  Hs (Ei )  2i   i1 Hs (Ei )        Do  > bÐ tïy ý nªn   Hs ( F )  i1 Hs ( E ) Cho 0+ ta đ-ợc i H s ( F )  i1 H s ( E ) i Vậy H s độ đo n Nhận thấy họ tập H s - đo đ-ợc tạo thành - đại số 1.2.3 Định nghĩa Độ đo cảm sinh độ đo đ-ợc gọi độ đo Hausdorff s - chiều n Hs lớp - đại số ký hiệu H s 1.2.4 Mệnh đề Trong ®Þnh nghÜa ®é ®o Hausdorff s - chiỊu ta cã thĨ thay  phđ bÊt kú bëi  - phđ gåm c¸c tËp më (  - phđ gåm c¸c tập đóng) Nếu F tập compact thay phủ phủ hữu hạn Chứng minh Với > 0, đặt Ta chứng minh H s ( F )  inf  U i s :{U i} lµ  - phđ më cđa F   i=1  s s s H s ( F )  lim H  ( F )  H ( F ) với F H - đo đ-ợc Thật vậy, - phủ më cđa F cịng lµ  - phđ cđa F nên lớp - H s (F ) Hs (F ) Cho 0+ ta đ-ợc phủ mở hẹp Do H s (F ) H s (F ) (1) Ng-ợc lại, giả sư  > lµ sè bÐ tïy ý cho tr-ớc, tồn Ui - phủ F mµ  U i  Hs ( F ) Với i , lấy tập mở Vi tháa m·n Vi  Ui s i 1  Vi (+1)Uibằng cách chọn Vi x  n   : d ( x,U i )   U i    Khi ®ã x, y Vi, tồn a, b U i cho   2 d(x, y)  d(x, a) + d(a, b) + d(b, y)  U i  U i  U i  (  1) U i  (  1) VËy nÕu Ui - phủ F Vi lµ ( + 1) - phđ më cđa F Ta cã H s ( F )  i1 Vi s  i1 ( 1)s Ui s  ( 1)s i1 Ui s   1s  Hs ( F )     Cho   0+ ta đ-ợc H s (F ) ( 1)s  H s ( F )    Vì > bé tùy ý nên H s (F )  H s (F ) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Thay phủ phủ tập đóng ta chứng minh t-ơng tự Trong tr-ờng hợp F tập compact phủ mở F trích đ-ợc phủ hữu hạn nên dễ dàng chứng minh đ-ợc F compact thay phủ phủ hữu hạn 1.2.5 Các tính chất độ đo Hausdorff 1.2.5.1 Mệnh đề Nếu F n > H s ( F )   s H s ( F ) với s F   x : x  F Chøng minh Víi  > vµ s  0, nÕu Ui - phủ F Ui  - phđ F Do ®ã   Hs ( F )  i1 U i s   s i1 U i s (3) Mặt khác, theo định nghĩa infimum với > tồn Ui - phủ F mµ  U i  Hs ( F )   s (4) i 1 Tõ (3) vµ (4) suy Hs ( F )   s  Hs (F )    Cho   0+ ta đ-ợc H s ( F ) s  H s (F )    Do  > bÐ tïy ý nªn H s ( F )   s H s ( F ) áp dụng kết cho tập F vµ sè H s  1    F          Tõ (*) vµ (**) ta cã s  (*) ta cã H s ( F ) hay H s (F )  1s H s ( F ) (**) H s ( F )   s H s ( F ) 1.2.5.2 MƯnh ®Ị Cho F n , f :F n ánh xạ Hölder tháa m·n f ( x)  f ( y)  c x  y , víi c >0,  > số cho tr-ớc Khi đó, với s ta có H s f ( F )   c s H s ( F )  Chøng minh NÕu Ui  - phủ F f (Ui ) c Ui  c  Khi ®ã  f (Ui ) lµ c  - phđ cđa f ( F ) Ta cã f (U i ) s    c Ui    s  c s  s U i Suy  Hcs  f (F )   i1 f (Ui ) s  c s i1 Ui s  c s Hs (F ) s Cho   0+ ta đ-ợc H s f ( F )  c s H s ( F ) 1.2.5.3 Hệ (i) Nếu = f ánh xạ Lipschitz, khiđó H s f ( F )   cs H s (F ) (ii) Nếu f : F n phép đẳng cự từ F lên f(F) nghĩa f ( x) f ( y)  x  y víi mäi x, y  F th× H s  f (F )   H s (F ) Chøng minh (i) Từ Mệnh đề 1.2.5.2 thay ta đ-ợc (ii) V× f ( x)  f ( y)  x  y H s  f ( F )   cs H s (F ) nªn theo (i) ta cã H s  f (F )  cs H s (F ) (*) Mặt khác, f đẳng cự nên tồn f (*) viết F thay f(F) ta đ-ợc H s  f  f (F )  H s  f (F ) 1 (**) Tõ (*) vµ (**) suy H s  f (F )   H s (F ) NhËn xÐt Tõ mệnh đề ta suy độ đo Hausdorff bất biến phép dời hình 1.2.6 Chiều Hausdorff Trong hình học Euclide, ta th-ờng gặp đối t-ợng có chiều nguyên: (điểm); (đ-ờng, đoạn thẳng); (mặt phẳng); (hình cầu, khối đa diƯn), Mét tÝnh chÊt phỉ biÕn cđa H×nh häc Fractal bên cạnh tính tự đồng dạng có số chiều số nguyên, chẳng hạn log2/log3, nói đến Fractal nhiều ng-ời nghĩ tập hợp có số chiều không nguyên 1.2.6.1 Bổ ®Ị Gi¶ sư F  n , <  < vµ  s  t , ta cã Ht (F)   ts Hs (F) Chøng minh Giả sử Ui - phủ F, Ui Suy U nên với t > s th×  i   t   Ui       LÊy infimum hai vế ta đ-ợc Ui 1, s   t s t s  víi mäi i Do ®ã  U i    U i i 1 i 1  Ht (F)   ts Hs (F) NhËn xÐt Tõ Bỉ ®Ị 1.2.6.1, cho   0+ ta thÊy r»ng nÕu H t ( F )  0, t  s V× vËy nÕu tån t¹i s  [0, ) cho tån t¹i sF tháa m·n  s  inf t  0: H t ( F )  0  s   H s (F )   th×  H s ( F )   th× F ThËt vËy, nÕu sF  inf t  0: H t ( F )  0  s tồn s1 : sF > s1 > s mà H s ( F ) trái với cách xác định sF Nếu s inf t  0: H t ( F )  0  s tồn s2 cho sF < s2 < s mà Hs (F ) =0 Vì s > s2 mµ H s ( F )   nên theo Bổ đề 1.2.6.1 H s ( F )  (v« lý) F 2 1.2.6.2 MƯnh ®Ị Víi mäi F  n , s > tồn giá trị thích hợp sF cho H s ( F )  víi mäi s > sF (ii) H s ( F )   víi mäi s < sF (s > 0) Chứng minh (i) Đặt s inf s  0: H s ( F )  Nếu s > sF tồn s (i) F cho sF < s’ < s ®Ĩ H s ' (F) <  Theo Bỉ ®Ị 1.2.6.1 ta cã Hs (F )   ss.Hs (F ) Cho 0+ ta đ-ợc H s (F )  (ii) Ta chøng minh H s ( F )   víi s < sF ThËt vËy, nÕu H s ( F )   th× víi mäi s' tho¶ m·n s < s' < sF, ta cã H s' (F )  (m©u thn víi cách đặt sF) Vậy H s ( F ) với s s 1.2.7 Định nghĩa Giá trị đặc biệt sF mà hàm (giá trị) độ đo H s ( F ) F nhy từ + đ-ợc gọi chiều Hausdorff cđa F vµ ký hiƯu lµ dimHF H s ( F )   nÕu s < dimHF; H s ( F )  nÕu s > dimHF vµ s = dimHF th× H s ( F ) cã thĨ b»ng hc  hc  H s ( F )   Nh- vËy dimHF  inf s  0: H s ( F )  0  sup s  0: H s ( F ) Nhận xét Với F s  cho tr-íc mµ H s (F ) đồ thị hàm H s (F ) dạng sau: H s (F ) sF 1.2.7.1 Định nghĩa Một tập Borel F s = dimHF đ-ợc gäi lµ s - tËp n s tháa m·n  H s ( F )   víi cã 30 1   VÝ dô Cho tËp F  0,1, , ,  Khi ®ã dim B F    1 1 Chứng minh Khoảng cách hai phần tử 1, , , , = F , 2  k 1 k    bÐ nhÊt lµ  1 2k 1   2  (k 1) k k (k 1) k (k 1)2 Chän k cho 1    Khi F1 đ-ợc phủ k tập nên k3 k (k  1)2 N ( F )  k Suy dim B F  lim log k = 3 log k (1) TËp cßn lại F đ-ợc phủ k tập đ-ờng kính tập lại có độ dài 0, (k 1)  nªn ta cã k  k (k  1)2 1  Suy k3 k N ( F )  k  k  2k DÉn ®Õn dim B F  lim k  log 2k  log k (k 1) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã dim B F  VÝ dơ ChiỊu Hausdorff tập tự đồng dạng Tập tự đồng dạng phổ biến tự nhiên, toán học đặc biệt nghiên cứu Hình học Fractal Chẳng hạn nh- tËp Cantor, ®Ưm Sierpinski, ®-êng cong Koch, Chóng ta tập m dimH F  dimB F  s víi s nghiệm ph-ơng trình ci s i ci tỷ số đồng dạng Hơn F có độ đo Hausdorff hữu hạn Điều đ-ợc khẳng định định lý sau 31 a) Định lý 2.1 Cho S1 , S2 , ,Sm m ánh xạ đồng dạng với tỷ sè ci 1  i  m tháa m·n ®iỊu kiện tập mở Khi đó, F tập tự đồng dạng hệ hàm lặp, nghĩa F m i 1 th× dimH F  dimB F  s víi s lµ nghiƯm nhÊt cđa Si ( F ) m ph-ơng trình ci s Hơn nữa, với giá trị s ta cã  H s ( F )   i 1 Chøng minh Víi mäi tËp A vµ mét bé k sè tù nhiªn i j 1,2, ,m ( j  1, k ) , ta ký hiÖu Ai1, ,i j  Si1 Si2 Sik ( A) Vì Si phép đồng dạng với tỷ số m đồng dạng ci nên Si (F ) ci F B»ng quy n¹p ta cã Fi1,i2 , ,ik   ci j F Do j 1 cho tr-ớc , tồn k ®đ lín ®Ĩ Fi 1, ,ik   Ký hiÖu J k  (i1, , ik ) : i j 1, , m Ta cã F  S k ( F )  m  m   ( ( Sik ( F ) ))   Fi1, ,ik cho nªn hä i1 1  i2 1 ik 1  Jk m F  víi i1, ,ik i1, , ik   Jk lµ  - phđ cña F Ta cã F s i1 , ,ik Jk VËy s s  m   m   m m  s     ci  F    ci    ci    ci k i 1  j 1 j   i1 1   i2 1   ik 1 s k H (F )  F s s Cho ta đ-ợc s  s s s  F  1.1 F  F  H s (F )  F s Do Điều ng-ợc lại đ-ợc chứng minh t-ơng tự b) Chiều tập tự đồng dạng b1) tập cantor F có dimH F  dim B F  log log3 Chøng minh Xét ánh xạ sau: x x f1 : f2 : x  x  3 dimH F  s 32 DÔ thÊy f1 , f hai ánh xạ đồng dạng tỷ sè vµ F  f1 ( F )  f ( F ) Nh3 vËy F lµ tập bất biến hai ánh xạ đồng dạng tỷ số Hơn f1( x), f ( x) tháa m·n ®iỊu kiƯn tËp më víi V  (0,1) ThËt vËy, dƠ dµng thÊy V tập mở, bị chặn Lại  f1 (V )   0,  ; f (V )   ,1  3 3  cã nªn f1(V )  f (V )  ; f1(V )  f (V )  V Vậy tập Cantor sinh hệ hàm lặp thoả mÃn điều kiện tập mở Theo Định lý 2.1 dimH F  dimB F  s víi s lµ nghiệm ph-ơng trình ci Do ®ã s i 1 s log 1     hay s  log  3 VËy tËp cantor F cã dimH F  dim B F  log log3 b2) Bôi Cantor cã dimH F  dim B F Chứng minh Xét bốn ánh xạ sau: f1 :  ( x, y) f2 : 1 1  x, y     ( x, y) f3 :   x, y  f4 : 1 3 1  x 2,4 y 4   ( x, y)  1  1  x 4, y    1 1  x 4,4 y 4  Dễ dàng chứng minh đ-ợc f1, f , f3 , f ánh xạ đồng dạng víi cïng tû sè ci  , víi i  1, ,4 vµ F  fi ( F ) Nh- vậy, F tập bất biến bốn i ánh xạ đồng dạng tỷ sè  f1( x), f ( x), f3 ( x), f (x) Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra đ-ợc thỏa mÃn điều kiện tập mở víi 33 V  ( x, y):0  x, y Theo Định lý 2.1 dimH F dimB F  s víi s lµ nghiƯm cđa ph-ơng trình (ci ) s Do ®ã i 1 s 1     hay s   4 VËy bôi cantor cã dimH F  dim B F  b3) Chiều đệm Sierpinski *) Cách xây dựng Tập đ-ợc xây dựng cách xuất phát từ tam giác đều, chia thành bốn tam giác nhỏ đ-ờng nối trung điểm cạnh, bỏ tam giác nhỏ lặp lại y cách làm cho tam giác lại Cứ tiếp tục mÃi tập thu đ-ợc cuối đ-ợc gọi đệm Sierpinski A M B N P C *) Chiều đệm Sierpinski Giả sử F đệm Sierpinski, dimH F dim B F  log3 log Chøng minh LÊy Eo tam giác ABC Xét ánh xạ sau: f1 : ( x, y) ABC  x y  ,  2 2 MNP f2 : ( x, y) ABC  x y   2,    NPC f3 :  ( x, y) ABC DƠ dµng thÊy f1 , f , f phép đồng dạng tû sè co ci  x y 3   ,   2 4  AMN vµ F  fi ( F ) i 1 Nh- vËy F lµ tËp bÊt biÕn qua  f1, f , f3 H¬n nữa, f1, f , f3 thỏa mÃn điều kiện tập mở với V điểm tam giác ABC Theo Định lý 2.1 34 dimH F  dimB F  s víi s lµ nghiệm ph-ơng trình (ci ) s Do ®ã i 1 s log 1 3    hay s  log  2 VËy dimH F  dim B F  log3 log b4) ChiỊu cđa th¶m Sierpinski *) Cách xây dựng Tập đ-ợc xây dựng cách xuất phát từ hình vuông, chia thành chín hình vuông nhỏ nhau, bỏ hình vuông nhỏ lặp lại y cách làm cho hình vuông lại Cứ tiếp tục mÃi tập thu đ-ợc cuối đ-ợc gọi thảm Sierpinski *) Chiều đệm Sierpinski Giả sử F thảm Sierpinski Khi dimH F dim B F log8 log3 Chứng minh Xét ánh xạ sau : f1 :  ( x, y) x y  3,    f2 :  ( x, y) x y   3,    f3 :  ( x, y) x y   3,    35 f4 :  ( x, y) f7 :  ( x, y)  x y 1  3,  3    x y 2   3,     f5 :   x y 1   3,     ( x, y) f8 :  ( x, y) f6 :  ( x, y)  x y 2  3,  3    x y 2   3,  3   DƠ dµng thÊy f1 , f , , f8 phép đồng dạng tỷ số co ci  vµ F  fi ( F ) i 1 Nh- vËy F lµ tËp bÊt biÕn qua  f1, f2 , , f8 Hơn nữa, f1, f2 , , f8 thỏa mÃn điều kiện tập mở với V điểm tam giác ABC Theo Định lý 2.1 dimH F  dimB F  s víi s lµ nghiệm ph-ơng trình (ci ) s Do ®ã  i 1 s log8 log8 1 VËy dimH F  dim B F      hay s  log log3  3 b5) ChiỊu cđa ®-êng cong Koch *) Cách xây dựng Đ-ờng cong Koch đ-ợc tạo thành cách lấy đoạn thẳng bất kỳ, chia làm ba đoạn nhỏ nhau, thay đoạn hai cạnh lại tam giác xây dựng đoạn đà bỏ Sau phép làm có bốn đoạn (mỗi đoạn dài đoạn gốc) lặp lại y nh- với đoạn Cứ tiếp tục mÃi tập thu đ-ợc gọi đ-ờng cong Koch 36 *) Chiều đ-ờng cong Koch Giả sử F đ-ờng cong Koch, ®ã dimH F  dim B F  log log3 Chứng minh Với cách xây dựng nh- ta có F tập bất biến bốn ánh xạ đồng dạng tỷ số c1 c2 c3 c4 điều kiện tập mở đ-ợc thỏa mÃn lấy V phần Eo Vậy theo Định lý 2.1 ta cã dimH F  dimB F  s với s nghiệm ph-ơng trình (ci ) s  i 1 hay s log log 1 VËy dimH F  dim B F      Suy s  log log3  3 b6) Chiều đ-ờng cong Koch cải biên *) Cách xây dùng Víi  a  cho tr-íc, ta xây dựng đ-ờng cong Koch cải biên nh- sau: Xuất phát từ đoạn, cắt bỏ khỏi đoạn khoảng với chiều dài a lần độ dài đoạn ban đầu thay hai cạnh tam giác xây dựng đoạn đà bỏ Lặp lại y nh- vơi đoạn tiếp tục mÃi Tập thu đ-ợc gọi đ-ờng cong Koch cải biên *) Chiều đ-ờng cong Koch cải biên Giả sử F đ-ờng cong Koch cải biên, dimH F dimB F s nghiệm ph-ơng trình 37 s  2a   (1  a)   s Chứng minh Với cách xây dựng nh- ta có F tập bất biến bốn ánh xạ đồng dạng tỷ số c1  c4  1 a , c2  c3 a điều kiện tập mở đ-ợc thỏa mÃn lấy V tam giác cân cạnh đ-ờng cao a Vậy theo Định lý 2.1 ta có dimH F dimB F s với s nghiệm ph-ơng tr×nh  i 1 s (ci ) s  1 hay 2a   (1  a)  2  s b7) ChiỊu cđa ®-êng cong Koch mở rộng *) Cách xây dựng Mở rộng việc xây dựng đ-ờng cong Koch cách thay đoạn đoạn cạnh hình chữ nhật với cạnh dọc Ta có độ dài đoạn phần tử sinh E1 theo thứ tự lµ 1 1 , , , , chÝnh 4 lµ tỷ số đồng dạng phép biến đổi ®ång d¹ng 1 4 3 Tiếp tục mở rộng cách xây dựng đ-ờng cong Koch cách chia E0 0,1 thành bốn phần nhau, bỏ hai phần thay phần bỏ cạnh lại hình vuông Khi E1 ảnh E0 qua phép đồng dạng với tỷ số đồng dạng vµ b»ng TËp bÊt biÕn qua phép đồng dạng Fractal, gọi ®-êng cong Koch më réng 38 *) ChiÒu đ-ờng cong Koch mở rộng (i) Với F ®-êng cong Koch më réng ë tr-êng hỵp thø nhÊt th× s s 1 1 dimH F  dimB F s với hay s nghiệm ph-ơng trình       (ii) Với F đ-ờng cong Koch mở rộng tr-ờng hợp thứ dimH F  dim B F  log8 log Chứng minh (i) Với F đ-ờng cong Koch mở rộng tr-ờng hợp thứ F tập bất biến qua năm phép đồng dạng tỷ số 1 1 , , , , vµ ®iỊu kiƯn tËp 4 më ®-ỵc thỏa mÃn với V phần Eo Vậy theo Định lý 2.1 ta có dimH F dimB F s với s nghiệm ph-ơng tr×nh s (ci ) s   i hay s s 1 nghiệm ph-ơng tr×nh 3      (ii) Với F đ-ờng cong Koch më réng ë tr-êng hỵp thø ta nhËn thấy E1 ảnh E o qua phép ®ång d¹ng víi tû sè ®ång d¹ng ®Ịu b»ng vµ b»ng 1 vµ F lµ tËp bÊt biÕn qua phép đồng dạng với tỷ số đồng dạng 4 Hơn nữa, điều kiện tập mở đ-ợc thỏa mÃn với V tam giác cân có c¹nh b»ng 1, chiỊu cao VËy theo §Þnh lý 2.1 ta cã dimH F  dim B F  s víi s lµ s log8 1 s Do ®ã ta cã ( c )       hay s  i log 4 i 1 nghiÖm ph-ơng trình b8) Chiều Fractal *) Cách xây dựng Xét tập Fractal nh- xuất từ phần tử sinh [0,1], bổ sung thêm đoạn thẳng vuông góc từ khác phía có độ dài điểm ; ta đ-ợc tập E1 Cứ lặp lại trình nh- từ đoạn sở 3 E1 ta đ-ợc E2 Tiếp tục trình nh- từ đoạn sở E đ-ợc E3 Tập thu đ-ợc sau vô hạn lần tập Fractal F 39 *) Chiều Fractal Giả sử F Fractal, dimH F dim B F  log5 log3 Chøng minh Víi c¸ch xây dựng nh- ta có F tập bất biến với năm ánh xạ đồng dạng với tû sè lµ ci  , i = 1, ,5 Theo định lý 2.1 dimH F dimB F s với s nghiệm ph-ơng trình   ci   Do ®ã s i 1 s log5 1     hay s  log3 3 2.2 Mét sè øng dơng cđa chiỊu Hausdorff to¸n häc 2.2.1 ChiỊu Hausdorff dùng làm đặc tr-ng để phân biệt tập 2.2.1.1 Định lý Cho E, F n Nếu f : E F ánh xạ song Lipschitz, nghÜa lµ : c1 x  y  f  x   f  y   c2 x  y víi x, y  E;0  c1  c2   th× dimH f ( E )  dimH E Chứng minh Vì f Lipschitz nên f song ánh Do tồn f , f : f (E) E tháa m·n f 1  f  x    f 1  f  y    x  y  f  x  f  y c1 Suy f 1 cịng lµ ánh xạ Lipschitz Theo Mệnh đề 1.2.8.2 ta có dimH f 1  f  E    dimH E  dimH f  E  (1) MỈt khác, f Lipschitz nên ta có dimH f ( E )  dimH E (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã dim H f ( E )  dim H E 40 2.2.1.2 HƯ qu¶ NÕu hai tập có chiều Hausdorff khác tồn song Lipschitz chúng Để ý rằng, ánh xạ song Lipschitz đ-ợc quan tâm toán học ánh xạ Lipschitz không mở rộng khoảng cách số cho tr-ớc mạnh tính liên tục Hơn nữa, ánh xạ song Lipschitz không mở rộng co rút ngắn khoảng cách số cho tr-ớc nên cho tính chất liên tục ánh xạ ng-ợc Nh- vậy, chiều Hausdorff đặc tr-ng để xem hai tập "nh- nhau" (tức tồn song Lipschitz chúng) Do đó, ng-ời ta dùng dimH làm đặc tr-ng để phân biệt tập 2.2.2 ứng dụng ph-ơng pháp xấp xỉ Newton để tìm nghiệm gần ph-ơng trình Bên cạnh ứng dụng kỳ lạ tự nhiên, Fractal có ứng dụng quan trọng toán học Một ứng dụng việc giải thích ph-ơng pháp xấp xỉ Newton tìm nghiệm gần ph-ơng trình Ph-ơng pháp đ-ợc Isacc Newton xây dựng vào khoảng năm 1670 quen thuộc với nghiên cứu tính toán B-ớc đầu ph-ơng pháp tạo phán đoán nghiệm x0 ph-ơng trình f(x) = Sau cải thiện dự đoán ban đầu cách lặp lại công thức xn1 xn f ( xn ) f '( xn ) Khi ®ã  xn hội tụ nghiệm ph-ơng trình Ta biết ph-ơng trình xn với n số nguyên d-ơng Ph-ơng trình có nghiệm n số chẵn -1 nghiệm thực ph-ơng trình Các nghiệm lại nghiệm phức Nếu biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức chúng cách đ-ờng tròn đơn vị Khi mở rộng nghiệm tr-ờng số phức việc tìm nghiệm gặp số khó khăn Chẳng hạn năm 1879, Cayley đà đặt câu hỏi: nghiệm dự đoán ban đầu số phức hội tụ dÃy xn đ-ợc hiểu nh- nào? Hay ta không đủ may mắn để chọn lựa giá trị nghiệm 41 ban đầu gần với nghiệm mà lại cách với hai nghiệm phân biệt ph-ơng trình dÃy xn nhy hỗn loạn Hình dạng biểu diễn số nh- nào? Gần câu hỏi đ-ợc trả lời đầy đủ mô hình Fractal đẹp Fractal đ-ợc tạo thành có số đ-ờng chaos khác nhau, phụ thuộc vào số nghiệm ph-ơng trình Ta tạo nên đ-ợc nhiều fractal Chẳng hạn, với n=3 ta có hình dạng Fractal nh- sau: Hay với n = 10 hình dạng Fractal nh- sau: 2.2.3 Chiều Hausdorff dùng để kiểm tra tính hoàn toàn không liên thông tập 2.2.3.1 Định lý Tập F n với dim H F