Một số ứng dụng của chiều Hausdorff trong tốn học

2.2.1. Chiều Hausdorff dùng làm đặc tr-ng để phân biệt các tập

2.2.1.1. Định lý. Cho E F,  n. Nếu f E: F là ánh xạ song Lipschitz, nghĩa là :

   

1 2

c x y f x  f y c xy với x y, E;0   c1 c2

thì dimH f E( )dimHE.

Chứng minh. Vì f là Lipschitz nên f là song ánh. Do đĩ tồn tại 1

f , hơn nữa E E f f1: ( ) thỏa mãn 1   1       1 1 f f x f f y x y f x f y c        . Suy ra 1 f cũng là ánh xạ Lipschitz. Theo Mệnh đề 1.2.8.2 ta cĩ 1     H H H

dim f f E dim Edim f E . (1) Mặt khác, f là Lipschitz nên ta cĩ dimH f E( ) dim HE. (2) Từ (1) và (2) ta cĩ dimH f E( )dimHE.

2.2.1.2. Hệ quả. Nếu hai tập bất kỳ cĩ chiều Hausdorff khác nhau thì khơng thể tồn tại song Lipschitz giữa chúng.

Để ý rằng, ánh xạ song Lipschitz rất đ-ợc quan tâm trong tốn học.

ánh xạ Lipschitz khơng mở rộng khoảng cách hơn một hằng số cho tr-ớc và nĩ mạnh hơn tính liên tục đều. Hơn nữa, ánh xạ song Lipschitz khơng mở rộng hoặc co rút ngắn khoảng cách hơn một hằng số cho tr-ớc nên nĩ cịn cho tính chất liên tục đều của ánh xạ ng-ợc. Nh- vậy, chiều Hausdorff là một đặc tr-ng để xem hai tập là "nh- nhau" (tức là tồn tại song Lipschitz giữa chúng). Do đĩ, ng-ời ta dùng dimH làm đặc tr-ng để phân biệt các tập.

2.2.2. ứng dụng trong ph-ơng pháp xấp xỉ Newton để tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình

Bên cạnh những ứng dụng kỳ lạ trong tự nhiên, Fractal cịn cĩ những ứng dụng quan trọng trong tốn học. Một trong những ứng dụng này là việc giải thích ph-ơng pháp xấp xỉ Newton tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình. Ph-ơng pháp này đ-ợc Isacc Newton xây dựng vào khoảng những năm 1670 và nĩ khá quen thuộc với những ai nghiên cứu tính tốn. B-ớc đầu của ph-ơng pháp này là tạo ra một phán đốn về nghiệm x0 của ph-ơng trình f(x) = 0. Sau đĩ cải thiện dự đốn ban đầu bằng cách lặp lại cơng thức

1 ( ) '( ) n n n n f x x x f x    . Khi đĩ  xn hội tụ về một nghiệm của ph-ơng trình. Ta biết rằng ph-ơng trình n 1

x  với n là số nguyên d-ơng. Ph-ơng trình này luơn cĩ nghiệm là 1 và nếu n là số chẵn thì -1 cũng là một nghiệm thực của ph-ơng trình. Các nghiệm cịn lại là các nghiệm phức. Nếu biểu diễn các nghiệm này trên mặt phẳng phức thì chúng “cách đều nhau” trên một đ-ờng trịn đơn vị. Khi mở rộng các nghiệm này trong tr-ờng số phức thì việc tìm nghiệm sẽ gặp một số khĩ khăn. Chẳng hạn năm 1879, Cayley đã đặt câu hỏi: nếu nghiệm dự đốn ban đầu là số phức thì sự hội tụ của dãy  xn đ-ợc hiểu nh- thế nào? Hay nếu ta khơng đủ may mắn để chọn lựa một giá trị nghiệm

ban đầu “gần nhất” với một nghiệm nào đĩ mà nĩ lại cách đều với hai nghiệm phân biệt của ph-ơng trình thì dãy  xn “nh°y hỗn loạn”. Hình dạng biểu diễn của các số này nh- thế nào? Gần đây câu hỏi này mới đ-ợc trả lời đầy đủ và đĩ là một mơ hình Fractal rất đẹp. Fractal đ-ợc tạo thành sẽ cĩ số “đ-ờng chaos” khác nhau, phụ thuộc vào số nghiệm của ph-ơng trình. Ta cĩ thể tạo nên đ-ợc rất nhiều fractal. Chẳng hạn, với n=3 thì ta cĩ hình dạng của Fractal nh- sau:

Hay với n = 10 thì hình dạng của Fractal nh- sau:

2.2.3. Chiều Hausdorff dùng để kiểm tra tính hồn tồn khơng liên thơng của một tập

2.2.3.1. Định lý. Tập F nvới dimHF <1 thì F là hồn tồn khơng liên thơng.

Chứng minh. Giả sử x y, F và x y. Ta chứng minh x, y nằm trong hai thành phần liên thơng khác nhau của mỗi điểm ấy.

: 0,  ( ) x x f F z f z z x      Khi đĩ f zx( )1  f zx( )1  z1 x z2  x z1 z2 . Vậy fx là ánh xạ Lipschitz. Theo Mệnh đề 1.2.8.2 thì dimH f Fx( ) dim H F1.

Suy ra H1f Fx( )0. Điều này dẫn đến L1f Fx( )0.

Vì f Fx( ) nên f Fx( ) khơng chứa trọn một khoảng nào cả. Do đĩ, tồn tại r0,fx(y)\ fx(F)( rõ ràng f yx( )  x y 0 do yx). Suy ra

 :   : 

F  z F z x   r z F z x r . Thật vậy, nếu zF ta cĩ các khả năng sau:

(1) z x r; (2) z x r;

(3) z x r.

Nếu (1) xảy ra thì f zx( )r (vơ lý) nên chỉ xảy ra (2) hoặc (3).

Lại cĩ x z F z x:  rFL vì f xx( )0 và y z F z x:  rFR vì 0,f (y)\ f (F)

r x x mà FLFR  . Vậy F hồn tồn khơng liên thơng.

Kết luận

Vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu chiều trong hình học Fractal là vấn đề thời sự và cĩ tính hấp dẫn lớn. Tiếp cận với h-ớng nghiên cứu mới này, chúng tơi đã cố gắng nghiên cứu khá nhiều tài liệu để cĩ thể nắm bắt và hiểu một cách thấu đáo các nội dung đã trình bày trong khố luận. Cụ thể là

1. Trình bày rõ ràng, cụ thể và cĩ hệ thống về các định nghĩa, các tính chất về chiều và độ đo Hausdorff, chiều hộp, chiều hộp cải biên và chiều gĩi.

2. Chứng minh chi tiết các Mệnh đề 1.1.2; 1.2.4; 1.2.5.1; 1.2.5.2; 1.2.8.1; 1.2.8.2; 1.2.9.1; 1.3.2.1; 1.3.2.2; 1.3.2.3; 1.3.2.4; 1.6.2.1; Bổ đề 1.2.6.1; 1.2.6.2; Định lý 2.2.1.1; 2.2.3.1.

3. Tìm hiểu một số ví dụ về việc tính chiều Hausdorff, chiều hộp của các tập Fractal.

4. Trình bày một số ứng dụng của chiều Hausdorff trong tốn học. Trong lĩnh vực này, ngồi việc sử dụng định nghĩa và các tính chất của chiều để tính chiều mà chúng tơi đã trình bày cịn cĩ nhiều ph-ơng pháp để tính chiều. Trong khuơn khổ của một khĩa luận chúng tơi ch-a đi nghiên cứu sâu về các kỹ thuật, ph-ơng pháp tính chiều. Trong thời gian tới, chúng tơi sẽ cố gắng tiếp tục nghiên cứu các vấn đề này, đồng thời tìm hiểu thêm về ứng dụng của chiều Hausdorff trong tốn học cũng nh- trong các lĩnh vực khác.

Tài liệu tham khảo

Tiếng việt

[1] Hồng Tuỵ (1979), Giải tích hiện đại Tập I, Nhà XBGD. [2] Hồng Tuỵ (2000), Hình học Fractal, Bài giảng Viện tốn.

[3] Trần Văn Ân - Đinh Huy Hồng (2003), Giáo trình Độ đo - Tích phân, Nhà XBGD.

Tiếng anh

[4] Gerald Edgar (2007), Measure, Topology, and Fractal Geometry.

[5] K. Falconer (1990), Fractal Geomerty, Mathematical Foundations and Applications, John Wiley.

[6] K. Falconer (1997), Techniques in Fractal Geomerty, John Wiley and Sons.