Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức trong vành đa thức

2.3.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của vành đa thức K x 1,...,xn. Khi đó I

đ-ợc gọi là iđêan đơn thức nếu I đ-ợc sinh bởi các đơn thức.

2.3.2. Mệnh đề. Giả sử m, n là hai đơn thức không chứa biến chung và

1, 2,..., r

m m m là các đơn thức khi đó:

m m1, 2,...,m mnr,   m m1, 2,...,m mr,  m m1, 2,...,m nr, .

Chứng minh. Bao hàm thức  là hiển nhiên đúng. Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức ng-ợc lại "". Giả sử f m m1, 2,...,m mr,  m m1, 2,...,m nr,  và u

là đơn thức xuất hiện trong biểu diễn chính tắc của f .

Do f m m1, 2,...,m mr, , và f m m1, 2,...,m nr,  nên có hai khả năng xảy ra: (i) Tồn tại mi nào đó 1 i r sao cho u chia hết cho mi. Khi đó ta có

 1, 2,..., r, 

u m m m mn .

(ii) u không chia hết cho mi, với mọi i1,...,r. Khi đó u chia hết cho

m và n. Do m n, nguyên tố cùng nhau nên u chia hết cho mn. Từ đó ta suy ra um m1, 2,...,m mnr, .

Nh- vậy, cả hai khả năng trên ta đều có f m m1, 2,...,m mnr, . Vậy bổ đề đ-ợc chứng minh.

2.3.3. Chú ý. Cho I là iđêan đơn thức của vành đa thức K x 1,...,xn. Khi đó: (i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I sinh bởi các biến;

(ii) I là iđêan bất khả quy khi và chỉ khi I sinh bởi luỹ thừa các biến;

(iii) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi có một tập con biến Y sao cho các đơn thức sinh tối thiểu của I chỉ chứa các biến trong Y và với mỗi x Y thì

Y chứa một luỹ thừa nào đó của x.