Về phương trình cấu trúc của đa tạp khả vi

Lời mở đầu Lý thuyết về phơng trình cấu trúc của đa tạp khả vi thực n- chiều, có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu các tính chất hình học nội tại, nh tính độ cong Gauss và độ cong trung bình . Lý thuyết này đã đợc trình bày trong một số tài liệu chuyên khảo về hình học vi phân. Mục đích của khoá luận này là trình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản về liên thông Lêvi - Civita và phơng trình cấu trúc của đa tạp khả vi M, để từ đó suy ra phơng trình cấu trúc của nhóm Lie G đối với trờng mục tiêu bất biến trái. Khoá luận đợc trình bày trong 4 mục: Đ1. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi. Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu các tính chất về liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi. Chỉ ra sự tồn tại của liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi bất kỳ và tính bất biến của liên thông tuyến tính qua một phép vi phôi giữa các đa tạp. Các tích chất cơ bản của Đ1 là: mệnh đề 1.6, 1.7. Đ2 . Đa tạp Riemann n- chiều. Từ định nghĩa cấu trúc Riemann, chúng tôi chứng minh đợc trên đa tạp khả vi luôn tồn tại cấu trúc Riemann. Ngoài ra, chúng tôi chứng minh đ- ợc tính sự tồn tại và duy nhất của liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann và tính bất biến của liên thông Lêvi - Civita qua một phép vi phôi đẳng cự giữa các đa tạp Riemann. Các tính chất cơ bản trong Đ2 là: mệnh đề 2.3, 2.6. Đ3. Nhóm Lie và các tính chất của nhóm Lie. Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất của nhóm Lie thực n - chiều, khái niệm trờng véctơ bất biến trái trên nhóm Lie và khái niệm dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie. Các tính chất cơ bản của Đ3 là: mệnh đề 3.4, 3.6, 3.11, 3.13. Đ4. Phơng trình cấu trúc của nhóm Lie. 1 Bằng việc xây dựng các dạng liên thông trên nhóm Lie G và phơng trình cấu trúc của đa tạp khả vi bất kỳ, chúng tôi chỉ ra ph ơng trình cấu trúc của nhóm Lie G đối với trờng mục tiêu bất biến trái trên G. Các tính chất cơ bản của Đ4 là: định lý 4.4, hệ quả 4.5, 4.8, mệnh đề 4.7, 4.9. Khoá luận này đợc thực hiện tại khoa Toán trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn khoa học tận tình của cô giáo Thạc sỹ Nguyễn Ngọc Bích. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hớng dẫn Thạc sỹ Nguyễn Ngọc Bích. Và chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Vinh, tháng 5 năm 2004 Tác giả: 2 Đ1. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi. Trong khoá luận này, chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau: M là đa tạp khả vi n - chiều, gọi tắt là đa tạp. B (M) = { XX là trờng véc tơ khả vi trên M} F (M) = { ff là hàm số khả vi trên M} T p M = { vv là véctơ tiếp xúc với M tại p} 1 (M) = { là 1 - dạng vi phân khả vi trên M } B r (M) = B (M) x B (M) x .x B (M), (r lần ) 1 s (M) = 1 (M) x 1 (M) x .x 1 (M) , (slần) 1.1. Định nghĩa. ánh xạ : B (M) x B (M) B (M) (X, Y) X Y, đợc gọi là liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi M nếu thoả mãn các tính chất: T 1 . X+Y Z = X Y + Y Z; T 2 . X Y = X Y; T 3 . X (Y+Z) = X Y + Y Z; T 4 . X (Y) = X Y; Với mọi X, Y, Z B (M) và với mọi F (M). X Y gọi là đạo hàm thuận biến của trờng vectơ Y dọc trờng véctơ X. * Nhận xét. Từ T 1 và T 2 ta có là F (M) - tuyến tính đối với biến Y. Từ T 4 thì ta có là một đạo hàm đối với biến Y. 3 1.2.Ví dụ. Trong R n với trờng mục tiêu tự nhiên { } n i i E 1 = và X, Y B (R n ), ta xác định đạo hàm của trờng véctơ Y dọc theo trờng véctơ X bởi công thức: D X Y = 1 [ ] n i i i X Y E = ; với Y = 1 n i i i Y E = . Khi đó D là một liên thông tuyến tính trên R n . Thật vậy, ta sẽ kiểm tra các điều kiện trong định nghĩa về liên thông tuyến tính của D T 1 . YD XX 21 + = 1 2 i i 1 (X + X )[Y ]E n i= = 1 i i 2 i i 1 1 X [Y ]E X [Y ]E n n i i= = + = + YD X 1 YD X 2 . T 2 . YD X = i i 1 ( X)[Y ]E n i = = i i 1 X[Y ]E n i= = D X Y . T 3 . D x (Y 1 + Y 2 ) = 1 2 i i i 1 X[Y + Y ]E n i= = 1 2 i i i i 1 1 X[Y ]E + X[Y ]E n n i i= = = D X Y 1 +D X Y 2 T 4 . YD X = i i 1 X[ Y ]E n i = = i i i i 1 1 X[ Y ]E X[Y ]E n n i i = = + = X[]Y + D X Y. Với mọi X, Y, X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 B (R n ) và F (R n ). Vậy D là một liên thông tuyến tính và gọi là liên thông tuyến tính chính tắc trên R n . 4 1.3 Mệnh đề. chỉ phụ thuộc vào X tại từng điểm. (Tức là nếu X p =X' p thì: ( X Y) p = ( X Y) p ). Chứng minh: Xét trong một bản đồ địa phơng (U,x) với trờng mục tiêu n i i x 1 = ; đặt E i = i x (i = 1,2, .,n). Khi đó với X, X' B (U) ta có sự biểu diễn sau: X = = n i 1 X i E i ; X' = = n i 1 X' i E i , (với X i , X' i f (U), i = 1,2, .,n). Từ X p = X p ' ta suy ra X i (p) = X i '(p), (với mọi i = 1,2, .,n) và do đó. 1 ( ) ( ) n i i i X p p E X Y Y = = 1 ( )( ) i n i E p i X p Y = = ' ( ) p X Y = . 1.4. Mệnh đề. Y X phụ thuộc Y trong lân cận mỗi điểm. (Tức là nếu thu hẹp U Y lên tập mở U M và U Y = 0 thì X U Y = 0). Chứng minh: Thật vậy, với mỗi p U ta lấy hàm số f (U) thoả mãn: (p) = 0 nếu p U và (p) =1, nếu p M\ U. Thì khi đó Y = Y và ta có: ( Y X ) p = ( X Y) p = (X[] Y) p + ( Y X ) p = (X[] ) p Y p + pYp X ))(( = 0. 1.5. Mệnh đề. Giả sử và ' là hai liên thông tuyến tính trên M. Khi đó + ' ' là một liên thông tuyến tính trên M khi và chỉ khi + ' = 1. Chứng minh: Với mọi X, Y, X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 B (M) , và , ' F (M) ta có: ( + ' ') 21 XX + Y = 21 XX + Y + ' ' 21 XX + Y 5 = 1 X Y + ' ' 1 X Y + 2 X Y + ' ' 2 X Y = ( + ' ') 1 X Y+ ( + ' ') 2 X Y. ( + ' ') X Y = X Y + ' ' X Y = X Y + ' ' X Y = ( + ' ') X Y, với mọi F (M). ( + ' ') X (Y 1 +Y 2 ) = X (Y 1 + Y 2 ) + ' '(Y 1 +Y 2 ) = X Y 1 + ' ' X Y 1 + X Y 2 + ' ' X Y 2 = ( + ' ') X Y 1 + ( + ' ') X Y 2 . ( + ' ') X (Y) = X (Y) + ' ' X (Y) =X[]Y + X Y +'X[]Y+' ' X Y = ( + ')X[]Y + ( +' ' X )Y, với mọi F (M). Chúng ta nhận thấy rằng các điều kiện T 1 , T 2 , T 3 về liên thông tuyến của +' ' đợc thỏa mãn.Vậy để + ' ' X là liên thông tuyến tính khi và chỉ khi T 4 đợc thỏa mãn, tức là khi và chỉ khi + ' = 1. 1.6. Mệnh đề. Trên mỗi đa tạp khả vi M luôn tồn tại một liên thông tuyến tính. Chứng minh:Giả sử (U i ,x i ),iI là tập bản đồ trên đa tạp khả vi M. Ta ký hiệu i là liên thông tuyến tính chính tắc trên D trên R n lên U i qua phép vi phôi x i . Giả sử ( i ), i I là phân hoạch đơn vị ứng với {U i }, iI. Ta đặt: = Ii i i . Khi đó là một liên thông tuyến tính trên M. Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiện trong định nghĩa về liên thông tuyến tính của . 6 T 1 . ∇ 21 XX + Y = ( Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i ) 21 XX + Y = Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i 21 XX + Y = Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i 1 X Y + Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i 2 X Y = 1 X ∇ Y + 2 X ∇ Y T 2 . ∇ ϕ X Y = ( Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i ) ϕ X Y = Ii ∈ ∑ ϕ i i X ϕ ∇ Y = ϕ Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i X Y = Y X ∇ ϕ . T 3 . X ∇ (Y 1 +Y 2 ) =( Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i ) X (Y 1 +Y 2 ) = Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i X (Y 1 +Y 2 ) = Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i X Y 1 + Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i X Y 2 = X ∇ Y 1 + X ∇ Y 2 T 4 . ∇ X (ϕY) =( Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i ) X (ϕY) = Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i X (ϕY) = Ii ∈ ∑ ϕ i X[ϕ]Y + ϕ Ii ∈ ∑ ϕ i ∇ i X Y = X[ϕ]Y + Y X ∇ ϕ . Víi mäi X, Y, X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 ∈ B (M) , vµ ϕ ∈ F (M).  7 1.7. Mệnh đề. Giả sử f : M N là một vi phôi từ đa tạp M lên đa tạp N và là một liên thông tuyến tính trên M.Ta đặt: Yf Xf * * = f ( X Y). Khi đó là một liên thông tuyến tính trên N. Để chứng minh mệnh đề 1.7 ta có các bổ đề sau: Bổ đề 1.1. Giả sử cung tham số : J M t (t), thoả mãn : (t o ) = p và '(t o ) = p , thì : p [] = (o )'(t o ) ; với mọi F (M). Chứng minh: Giả sử: (t) = (x 1 (t), x 2 (t), ., x n (t)), '(t) = (x' 1 (t), x' 2 (t), ., x' n (t)), p = '(t o ) = (x' 1 (t o ), x' 2 (t o ), ., x' n (t o )). Khi đó: (o )'(t o ) = '( (t o )) '(t o ) = 1 n p i i x = x'(t o ) = p []. Bổ đề 1.2. Giả sử f : M N là ánh xạ khả vi từ đa tạp M lên đa tạp N. Khi đó với mọi p T p M, mọi F (N) ta có: f * ( p )[] = p [o f ]. Chứng minh: Giả sử cùng tham số: : J M t (t) , thoả mãn : (t o ) = p và '(t o ) = p . Ta có: * p f ( p ) = * p f ( '(t o )) = ( f o )'(t 0 ) Suy ra ( * p f ( p ))[ ] = dt d (o( f o )) o tt = Mặt khác p [o f ] = dt d ((o f )o ) o tt = = dt d (o( f o )) o tt = Vậy ( * p f ( p ))[] = p [o f ] . 8 Bæ ®Ò 1.3. Gi¶ sö f : M → N lµ mét vi ph«i tõ ®a t¹p M lªn ®a t¹p N. Khi ®ã víi mäi X,Y ∈ B (M) , vµ ϕ ∈ F (N) ta cã: i) ϕ * f X = * f (ϕo f )X , ii) ( * f X)[ϕ] = X[ϕo f ]o f -1 , iii) * f (X[ϕo f ]Y) = ( * f X)[ϕ] * f Y . Chøng minh: Víi mäi p ∈ M, X, Y ∈ B (M) vµ ϕ ∈ F (N) ta cã: i) (ϕ * f X) f (p) = ϕ( f (p))( * f X) f (p) = ϕo f (p) * p f X p = * p f ((ϕo f ) p X p ) = * f ((ϕo f )X) f (p) , víi mäi p ∈ M. Suy ra ϕ * f X = * f (ϕo f )X .  ii) Ta cã : * p f (X p )[ϕ] = ( * f X) f (p) [ϕ] , (X p ∈ T p M). Theo bæ ®Ò 1.2: ( * f X) f (p) [ϕ] = X p [ϕo f ] , Hay (( * f X)[ϕ]) f (p) = X p [ϕo f ] p ; ⇒ (( * f X)[ϕ]o f ) p = X[ϕo f ] p ; víi mäi p ∈ M ⇒ ( * f X)[ϕ]o f = X[ϕo f ]; ⇒ ( * f X)[ϕ] = X[ϕo f ]o 1 f − Suy ra ( * f X)[ϕ] = X[ϕo f ]o 1 f −  iii)Ta cã: * f (X[ϕo f ]Y) ƒ (p) = * f (( * f X[ϕ]o f )Y) f (p) = * f (( * f X[ϕ]o f (p))Y p ) = * p f (( * p f X p [ϕ]Y p ) = * p f X p [ϕ] * p f Y p = ( * f X) ƒ (p) [ϕ]( f * Y) ƒ (p) ; víi mäi p ∈ M. Suy ra: * f (X[ϕo f ]Y) = ( * f X)[ϕ] * f Y.  9 Chøng minh mÖnh ®Ò 1.7 V× f : M → N lµ mét vi ph«i nªn: * f : B (M) → B (N) lµ mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh. Khi ®ã, víi mäi X 1 , Y 1 , ' 1 X , ' 2 X , ' 1 Y , ' 2 Y ∈ B (N) lu«n tån t¹i X,Y, X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 ∈ B (N) sao cho: X' = * f X, ' 1 X = * f X 1 , ' 2 X = * f X 2 , Y' = * f Y, ' 1 Y = * f Y 1 , ' 2 Y = * f Y 2 . Ta cã: T 1 . ' 2 ' 1 XX + ∇ Y' = * f ( 1 2 X X + ∇ Y) = * f ( 1 X ∇ Y + 2 X ∇ Y) = * f ( 1 X ∇ Y) + * f ( 2 X ∇ Y) = ' 1 X ∇ Y' + ' 2 X ∇ Y' T 2 . Víi mäi ϕ ∈ F (N), theo i, bæ ®Ò 1.3 ta cã: 'X ϕ ∇ Y' = * *f X f Y ϕ ∇ = * ( ) * f f X f Y ϕ ∇ o = * f ( ∇ ( ϕ o f )X Y) = f * (ϕ o f X ∇ Y) = ϕ( * f ( X ∇ Y)) = ϕ ∇ X' Y'. T 3 . )( ' 2 ' 1 ' YY X +∇ = * f ( X ∇ (Y 1 + Y 2 )) = * f ( X ∇ Y 1 + X ∇ Y 2 ) = * f ( X ∇ Y 1 ) + * f ( X ∇ Y 2 ) = ' ' ' ' 1 2 X X Y Y ∇ + ∇ . T 4 . ' X ∇ (ϕY') = * * ( ) f X f Y ϕ ∇ = * * ( ) f X f f Y ϕ ∇ o 10 . chất cơ bản về liên thông L vi - Civita và phơng trình cấu trúc của đa tạp khả vi M, để từ đó suy ra phơng trình cấu trúc của nhóm Lie G đối với trờng. Đa tạp Riemann n- chiều. Trong mục này chúng tôi trình bày một số nội dung về cấu trúc Rimann trên đa tạp khả vi M, liên thông L vi - Civita trên một đa