Về các điểm rốn của đa tạp con trong không gian lorentz minkowski

MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu các tính chất của mặt là một trong những vấn đề cơ bản của hình học vi phân . Chúng ta đã biết ánh xạ Weingarten trong hình học vi phân cổ điển là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng .Nó đưa đến các khái niệm về độ cong chính ,độ cong trung bình,độ cong Gauss, điểm rốn . Với mặt trong không gian 3 R và siêu mặt trong không gian n R ánh xạ Weingarten luôn là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất hình học của mặt và siêu mặt . Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về điểm rốn trong không gian Lorentz-Minkowski. Trên cơ sở kết quả của một số nhà toán học chúng tôi tìm hiểu về điểm rốn của mặt trong không gian 3 R từ đó tìm kiếm các kết quả trong 1 n R . Ở luận văn này, từ việc xây dựng ánh xạ dạng trong không gian 1 n R , trên cơ sở bài báo “ Umbilicity of spacelike submanifolds of Minkowski space” (của nhóm tác giả Izumiya,D.Pei,M.C.Romo-Fuster). Chúng tôi đi tìm hiểu tính rốn của đa tạp con trong các loại không gian . Với những lý do trên được sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là : “ Về các điểm rốn của đa tạp con trong không gian Lorentz - Minkowski” Nội dung chính của luận văn chia làm hai chương. Chương I Giới thiệu một số khái niệm cơ bản về không gian Lorentz- Minkowski , khái niệm và các tính chất của liên thông tuyến tính trên đa tạp con trong không gian giả Riemann là cơ sở cho việc xây dựng lý thuyết trong chương II . 2 Chương II Bắt đầu từ việc xây dựng ánh xạ Weingarten trong 3 R ,tìm hiểu các kết quả quen thuộc về điểm rốn trong 3 R , từ đó kiếm tìm các kết quả tương tự trong 1 n R . Đóng góp chính của luận văn được trình bày trong mục 2, mục 3. Trong mục 2 chúng tôi đưa ra khái niệm điểm rốn của siêu mặt tựa không gian trong không gian 1 n R , chứng minh mọi điểm trên giả cầu là điểm rốn và đi tìm điều kiện cần và đủ để một siêu mặt là rốn hoàn toàn . Mục 3 trước hết chúng tôi xây dựng khái niệm điểm rốn thông qua ánh xạ Weingarten trên đa tạp con trong không gian 1 n R . Thông qua tính chất của liên thông tuyến tính trên đa tạp con trong không gian giả Riemann để tìm kiếm điều kiện cần và đủ để một mặt là ν -rốn. Tuy đã cố gắng nhiều, song do hạn chế về mặt thời gian nên luận văn không tránh khỏi những sai sót .Rất mong quý thầy cô và các bạn quan tâm góp ý.Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 11 năm 2008 Nguyễn Thị Vân Anh Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản của không gian Lorentz - Minkowski và một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính trên đa tạp con trong đa tạp giả Riemann . 1. Không gian Lorentz-Minkowski 3 Trong phần này ,chúng ta xét không gian n R cùng với một dạng song tuyến tính không suy biến với chỉ số quán tính (1, n - 1), nó được gọi là không gian Lorentz- Minkowski , ký hiệu là 1 n R . Để thuận tiện cho việc trình bày ,các khái niệm giả tích vô hướng , giả trực giao, giả pháp véc tơ … trong 1 n R lần lượt gọi là tích vô hướng, trực giao, pháp véc tơ … mà không giải thích gì thêm . 1.1. Không gian Lorentz-Minkowski Cho R n+1 = {(x 0 ,x 1 , .,x n } /x i ∈ R,i=0,1, .,n} là không gian véctơ (n+1)- chiều. với x = (x 0 ,x 1 , .x n ) và y = (y 0 ,y 1 , .y n ) <x,y> = -x 0 y 0 + n i i i = 1 x y ∑ Ta gọi (R n+1 , < , >) là không gian Lorentz-Minkowski (n+1)-chiều và kí hiệu n + 1 1 R thay cho (R n+1 , < , >) . Với x ∈ R 1 1 + n , độ dài của vectơ x được xác định theo lượng vô hướng là x = <x,x> 1.2. Các loại véctơ và tích có hướng của n véctơ trong không gian Lorentz-Minkowski a. Cho x ∈ 1 n R , x ≠ 0. Khi đó ( ) + x được gọi là véctơ tựa không gian nếu <x,x> > 0 ( ) + x được gọi là véctơ tựa ánh sáng nếu <x,x> = 0 ( ) + x được gọi là véctơ tựa thời gian nếu <x,x> < 0 4 Hai véctơ x và y được gọi là trực giao với nhau nếu <x,y> = 0 Nhận xét 1.1. ( ) i Hai véctơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau . ( ) ii Hệ gồm hai loại véctơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau . ( ) iii Với a, b ∈ R 1 1 + n , nếu a ≠ 0, <b,b> = - λ < 0 và <a,b> = 0 thì <a,a> > 0. Nói cách khác, một véctơ nếu khác không trực giao với véctơ tựa thời gian thì nó là véctơ tựa không gian . Thật vậy ( ) i Giả sử a, b ∈ R 1 1 + n là hai véctơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính với nhau ⇒ ∃ λ ∈ R * sao cho a =λ b. Ta có <a,b> = < λ b, a> = λ <b,b> = λ .0 = 0 hay a, b giả trực giao với nhau . ( ) ii Với a,b,c tương ứng là các véctơ tựa không gian, tựa thời gian và tựa ánh sáng Giả sử {a,b} phụ thuộc tuyến tính ⇒ λ ∈ R * sao cho a = λb Ta có 0 < <a,a> = < λ b, λ b> = λ 2 <b,b> <0 ( vô lý ) do đó {a,b} độc lập tuyến tính Tương tự ta cũng có các hệ {b,c}, {c,a} là độc lập tuyến tính . ( ) iii Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 1 n-1 n 0 b, b = -λ b + .+ b + b = b - λ⇔ (1) <a,b> = 0 ⇔ a 2 0 b 2 0 = (a 1 b 1 + a 2 b 2 + . + a n b n ) 2 5 Từ (1) ta có b 0 ≠ 0 nên ta có a 2 0 = ( ) 2 1 1 2 2 n n 2 0 a b + a b + . + a b b ≤ 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 2 0 (a + a + . + a )(b + b + . + b ) b = (a 2 1 +a 2 2 + .+a 2 n ) 0 2 0 b - c b Ta lại có <a,a> = - a 2 0 +a 2 1 + .+a 2 n ≥ a 2 1 + a 2 1 + .+a 2 n - (a 2 1 +a 2 2 + .+a 2 n ) 2 0 2 0 b - c b ≥ ( a 2 1 + a 2 1 + .+a 2 n )(1 - 2 0 2 0 b - c b ) = ( a 2 1 + a 2 1 + .+a 2 n ) n 0 c b ≥ 0 Nếu a 2 1 + . + a 2 n = 0 thì a 2 0 = 0, suy ra a = 0 (vô lý) Vậy - a 2 0 + a 2 1 + .+ a 2 n > 0 nên <a,a> > 0 hay a là véctơ tựa không gian . Chú ý Với x 1 , x 2 , ., x n ∈ R 1 1 + n ta định nghĩa tích có hướng của n véctơ x 1 , x 2 , ., x n là một véctơ, kí hiệu x 1 ∧ x 2 ∧ . ∧ x n và được xác định 6 x 1 ∧ x 2 ∧ . ∧ x n = 0 1 n 1 1 1 0 1 n n n n 0 1 n -e e . e x x . x . x x . x trong đó {e 0 ,e 1 , .,e n } là cơ sở chính tắc của R 1 1 + n , x i =(x i 0 ,x i 1 , .,x i n ) ∈ R n + 1 1 ( ∀ i = 1,2, .,n) Dễ thấy ( ) i <x,x 1 ∧ x 2 ∧ . ∧ x n > = det (x,x 1 ,x 2 , .,x n ) ( ) ii x 1 ∧ x 2 ∧ . ∧ x n trực giao với mọi x i , ∀ i=1,2, .,n 1.3. Các loại siêu phẳng trong không gian Lorentz -Minkowski Với một véctơ v ∈ R n + 1 1 và một số thực c. Ta định nghĩa siêu phẳng trực giao với v là HP(v,c) = { x ∈ R n + 1 1 / <x,v> = c} Khi đó, v được gọi là véctơ pháp tuyến của siêu phẳng HP(v,c). Cho π là một m-phẳng trong 1 1 n+ R ( ) + π gọi là m - phẳng tựa không gian nếu không gian chỉ phương của π chỉ chứa các véc tơ tựa không gian hoặc véc tơ không . ( ) + π gọi là m- phẳng tựa thời gian nếu không gian chỉ phương của π có chứa ít nhất một véctơ tựa thời gian . ( ) + π gọi là m- phẳng tựa ánh sáng nếu không gian chỉ phương của π chứa ít nhất một véctơ tựa ánh sáng và không chứa véc tơ tựa thời gian nào . Nhận xét 1.2 7 ( ) i Cho π là một m-phẳng trong 1 1 n+ R . Khi đó π chỉ có thể là m-phẳng tựa không gian, m-phẳng tựa thời gian hoặc m-phẳng tựa ánh sáng . ( ) ii HP ( ) v, c là một siêu phẳng trong 1 1 n+ R . Khi đó HP ( ) v, c lần lượt là siêu phẳng tựa không gian, siêu phẳng tựa thời gian, siêu phẳng tựa ánh sáng nếu và chỉ nếu ν tương ứng là vectơ tựa thời gian, vectơ tựa không gian, vectơ tựa ánh sáng. 1.4. Các loại giả cầu và n-không gian trong không gian Lorentz- Minkowski ( ) i Các loại giả cầu thường gặp. Tập H n = { x ∈ R 1 1 + n / <x,x> = -1} được gọi là siêu mặt Hyperbolic n-chiều Tập S n 1 = { x ∈ R n + 1 1 / <x,x> = 1} được gọi là không gian de Sitter n-chiều Tập LC a = {x ∈ R n + 1 1 / <x - a, x- a> = 0} được gọi là nón ánh sáng với đỉnh a ( ) ii Các loại n-không gian n-không gian hyperbolic, kí hiệu n + H (-1) , được xác định bởi H n + (-1) = { x ∈ R n + 1 1 /<x,x> = -1; x 0 ≥ 0 } n-không gian hyperbolic tâm a ∈ R n + 1 1 bán kính r ∈ R + , ký hiệu n + H (a, r) và được xác định H n + (a,r) = { x ∈ R n + 1 1 / <x - a,x - a> = -r, x 0 ≥ 0 } n- không gian de Sitter tâm a ∈ n + 1 1 R , bán kính r ∈ R + , ký hiệu S n 1 và được xác định. S n 1 = { x ∈ R 1 1 + n / < x-a,x-a > = r } 8 Tập LC * + = {x = (x 0 , x 1 , ., x n ) ∈ LC 0 / x 0 > 0} được gọi là nón ánh sáng tương lai tại gốc 0 Với x = (x 0 , x 1 , ., x n } là một véctơ tựa ánh sáng thì x 0 ≠ 0. Thật vậy, giả sử x 0 = 0 mà x là tựa ánh sáng nên ta có 0 = -x 2 0 + n 2 i i = 1 x ∑ = n 2 i i = 1 x ∑ ⇒ x i = 0, i = 1,2, .,n ⇒ x = 0 (mâu thuẫn vì x là véctơ tựa ánh sáng thì x ≠ 0) . Vậy x 0 ≠ 0. Khi đó Đặt x ̃ =(1, 1 0 x x , ., n 0 x x ) ∈ S 1 − + n = { x = (x 0 , x 1 , ., x n ) / <x,x> = 0, x 0 = 1 } và gọi S 1 − + n là nón ánh sáng (n-1) -cầu . 2. Vi phân hiệp biến và dạng cơ bản thứ hai trong không gian giả Riemann Trong mục này chúng ta nói về liên thông giả Riemann của đa tạp con khi sử dụng khái niệm vi phân hiệp biến X Y∇ . Đồng thời chúng ta định nghĩa dạng cơ bản thứ 2. 2.1.Định nghĩa Cho ( ) χ M là tập các trường véc tơ tiếp xúc khả vi trên đa tạp M . Ánh xạ ∇ : χ(M) × χ(M) → ( ) χ M ( ) X X,Y Y∇a được gọi là liên thông tuyến tính ( đạo hàm hiệp biến) trên M nếu ∇ thõa mãn các điều kiện (1) x x x (Y + Z) = Y + Z∇ ∇ ∇ ( ) X,Y,Zχ M∀ ∈ 9 (2) X + Y X Y Z = Z + Z∇ ∇ ∇ ( ) X,Y,Zχ M∀ ∈ (3) fX X Y = f Y∇ ∇ với f ∀ ∈ F(M) ( ) X,Yχ M∀ ∈ (4) X X (fY) = f Y + (Xf)Y∇ ∇ f ∀ ∈ F (M) ( ) X,Yχ M∀ ∈ 2.2. Định nghĩa Cho P là một đa tạp con trong đa tạp giả Riemann M , j là phép nhúng từ P vào M . Nếu ( ) j g ∗ là một tenxơ metric trên P thì P được gọi là một đa tạp con giả Riemann của M . 23. Định nghĩa Cho M là đa tạp giả Riemann . Liên thông tuyến tính ∇ được gọi là liên thông Lêvi-Sivita nếu và chỉ nếu ∇ thõa mãn 2 tiên đề sau (1) Trường tenxơ xoắn T = 0 ( nghĩa là [ ] X,Y = X Y Y - X = 0∇ ∇ ( ) X,Yχ M∀ ∈ ) (2) Với mọi trường véc tơ X,Y,Z trên M thì 0g∇ = ( nghĩa là X.g(Y,Z) = g( X Y∇ ,Z ) + g ( Y, X Y∇ ) Giả sử M là đa tạp con giả Riman n chiều được nhúng vào đa tạp giả Riemann N có chiều n+p. Ký hiệu ∇ là vi phân hiệp biến trên N. Vì việc khảo sát mang tính chất địa phương, có thể lấy p nhát cắt 1 2 p ν , ν , ., ν của phân thớ pháp ( ) T M ⊥ mà cụ thể là p trường véctơ pháp khả vi sao cho chúng độc lập tuyến tính tại mỗi điểm trên M. Hơn nữa có thể giả thiết chúng là trực chuẩn tại mỗi điểm . Giả sử X và Y là các trường véctơ trên M. Bởi vì X x ( Y)∇ được xác định với mỗi x M∈ nên chúng ta ký hiệu X x ( Y)∇ là thành phần tiếp xúc của nó và x α (X, Y) là thành phần pháp dạng của nó, tức 10 X x X x x ( Y) = ( Y) + α (X, Y) ∇ ∇ ở đây X x x x ( Y) T (M) , α (X,Y) ∇ ∈ ∈ ( ) x T M ⊥ Trên đây X x ( Y)∇ được đưa vào là ký hiệu cho thành phần tiếp xúc, mục đích của chúng ta là chứng minh nó là vi phân hiệp biến đối với liên thông giả Riemann trên M . Dễ dàng kiểm tra được rằng trường véctơ x Y∇ ở mỗi điểm x M∈ được xác định bởi X x ( Y)∇ là khả vi và α(X, Y) là trường véctơ pháp khả vi. 2.4. Mệnh đề (Xem [8] ) X Y∇ là vi phân hiệp biến đối với liên thông giả Riemann trong M. Chứng minh: Chúng ta kiểm tra (1) → (4) của định nghĩa 2.1 chương I. (1) → (3) là hiển nhiên từ các tính chất của ∇ trên N và phép chiếu tuyến tính ( ) x x T N T (M)→ Để kiểm tra tính chất (4) chúng ta giả sử f là hàm khả vi trên M khi đó X X (fY) = (Xf)Y + f Y∇ ∇ Ở đây (Xf)Y tiếp xúc đối với M. Bởi vậy, khi lấy thành phần tiếp xúc của cả hai vế chúng ta có. X X (fY) = (Xf)Y + f( Y)∇ ∇ điều này chứng minh tính chất (4) đối với ∇ . Khi đó tồn tại liên thông tuyến tính duy nhất Γ trên M, đối với nó x Y∇ là vi phân hiệp biến. Để chứng minh Γ là liên thông giả Riemann đối với mêtric cảm sinh trên N chỉ cần chứng minh rằng : a) ten xơ xoắn đối với Γ bằng 0, tức là 11 . này từ các kết quả quen thuộc về điểm rốn trong không gian 3 R . Chúng tôi đi xây dựng ánh xạ Weingarten của đa tạp con trong không gian Lorentz- Minkowski. dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là : “ Về các điểm rốn của đa tạp con trong không gian Lorentz - Minkowski Nội dung chính của