. ν tựa không gian, đặt eν =ν và ta có ∇X e1 ∀∈ 0, X χ( )M trong trường hợp đặc biệt
3.9. Mệnhđề (Xem ]) Ch oM là đa tạp con (n-2) chiều nhúng trong ¡ 1n
trong ¡ 1n
( )+ Nếu M là ν - rốn đối với trường ν song song tựa thời gian thì
M được chứa trong ( n- 1) - không gian hyperbolic khi ν có độ cong
khác không hoặc siêu phẳng tựa không gian khi ν có độ cong triệt
( )+ Nếu M là ν - rốn đối với trường ν song song tựa không gian
thì M được chứa trong (n-1) - không gian de Sitter khi ν có độ
cong khác không hoặc M nằm trong một siêu phẳng tựa thời gian trong trường hợp ν có độ cong triệt tiêu.
( )+ Nếu M là ν - rốn đối với trường ν song song tựa ánh sáng thì
M được chứa trong nón ánh sang khi ν có độ cong khác không, hoặc M nằm trong một siêu phẳng tựa ánh sáng trong trường hợp
ν có độ cong triệt tiêu.
Chứng minh:
Giả sử M là ν - rốn và với véctơ tiếp xúc X của M ta có
N N
Xν = Xν + ( Xν) = λX + ( Xν)
∇ ∇ ∇ ∇
Nhưng (∇ν)N =0 do ν là trường song song, và do đó
Xν = λX
∇
Mặt khác ta có đạo hàm hiệp biến của trường bán kính X là đồng nhất (VD:∇XX = X) đối với mỗi véctơ tiếp xúc X của 1
n
R
Bởi vậy ta đưa ra phương trình
X(λX - ν) = 0
∇
với véc tơ tiếp xúc X của M. Suy ra ν - λX là vectơ hằng X0, vì vậy
0
λX(p) - ν(p) = X , p M∀ ∈ . Bây giờ trong trường hợp λ ≠ 0 ta đặt
0
Xν(p)
X(p) - = , p M
Vì λ hằng tức là M thuộc không gian hyperbolic (n-1) chiều trong trường hợp ν là tựa không gian, không gian de Sitter (n-1) chiều trong trường hợp ν là tựa thời gian hoặc nón ánh sáng trong trường
hợp ν là tựa ánh sáng .
Nếu λ=0 theo mệnh đề 3.8 ν phải là trường pháp tuyến hằng
0
X trên M chứa trong siêu mặt trực chuẩn của X0 .
Nhận xét 3.10 . Sự tính toán trong mệnh đề 3.8 cũng dễ dàng phù
hợp trong trường hợp đổi chiều của đa tạp con cao hơn trong ¡ 1n . Vì vậy kết quả thu thập trong mệnh đề 3.9 cũng đúng đối với các đa tạp con này.