Về các điểm rốn trên đa tạp con nửa RIEMNN

bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Đặng Thị Vinh Về các điểm rốn trên đa tạp con nửa Riemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 1 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu các tính chất của mặt là một trong những vấn đề cơ bản của hình học vi phân. Chúng ta đã biết ánh xạ Weingarten trong hình học vi phân cổ điển là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng. Từ đó dẫn đến các khái niệm về độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, điểm rốn. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về điểm rốn trong không gian Lorentz – Minkowski. Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu điểm rốn và rốn hoàn toàn trên đa tạp con nửa Riemann. Với những lý do trên được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Về các điểm rốn trên đa tạp con nửa Riemann”. Nội dung chính của luận văn chia làm 2 chương. Chương 1: Giới thiệu một số khái niệm cơ bản và tính chất của liên thông Lêvi – Cêvita trên đa tạp nửa Riemann, giới thiệu khái niệm và tính chất của độ cong trên đa tạp con, là cơ sở cho việc xây dựng các kiến thức trong chương 2. Chương 2: Xây dựng một số khái niệm và tính chất của điểm rốn, điểm v – rốn trên đa tạp con nửa Riemann, nghiên cứu rốn hoàn toàn trên siêu mặt, đóng góp chung của luận văn được trình bày trong mục 2. Cụ thể trong mục 2 2 chúng tôi tìm điều kiện cần và đủ để một đa tạp con nửa Riemann là v-rốn; quan hệ giữa tốn hoàn toàn và v-rốn. Trong mục 2 chúng tôi nếu các tính của rốn hoàn toàn của siêu mặt, được thể hiện bởi định lý (2.3), mệnh đề (2.5) và định lý (2.7). Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy, cảm ơn các trong tổ hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn đề liên quan tới đề tài nghiên cứu. Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo làm việc tại khoa Sau đại học, Ban giám hiệu trường THPT Nam Đàn II, các đồng nghiệp bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 12 năm 2010 Đặng Thị Vinh 3 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ I. LIÊN THÔNG LEVI - CIVITA TRÊN ĐA TẠP NỬA RIEMANN 1.1. Liên thông tuyến tính 1.1.1. Định nghĩa M là đa tạp khả vi thực n- chiều với cơ sở đếm được kí hiệu: B(M) là tập các trường các khả vi trên M. Tp(M) là không gian vectơ tiếp xúc với M tại p. F(M) là tập các hàm khả vi trên M. Ánh xạ ( ) ( ) ( ) : B M B M B M∇ × → ( ) , X X Y Y→ ∇ Được gọi là liên thông tuyến tính trên đa tạp M nếu và chỉ nếu ∇ thoả mãn 4 điều kiện sau: 1. ( ) X Y Z∇ + = Y X ∇ + Z X ∇ ; ( ) , , .X Y Z B M∀ ∈ 2. ( ) X Y Z + ∇ = Z X ∇ + Z Y ∇ ; ( ) , , .X Y Z B M∀ ∈ 3. ( ) X X Y Y ϕ ∇ = ϕ∇ ; ( ) ( ) , ; .X Y B M F M φ ∀ ∈ ∈ 4. ( ) [ ] X X Y X Y Y φ φ φ ∇ = + ∇ ; ( ) ( ) , ; .X Y B M F M φ ∀ ∈ ∈ 1.1.2. Ví dụ Giả sử M là đa tạp khả song n- chiều với trường mục tiêu { } 1, 2, ., n E E E … . 4 ( ) ,X Y B M∀ ∈ ta có ( ) ( ) 1 1 , , ; 1, , . n n i i i i i i i i X X E Y Y E X Y F M i n = = = = ∈ = ∑ ∑ Ta đặt: Y X ∇ = [ ] ∑ = n i ii EYX 1 . Khi đó ∇ là một liên thông tuyến tính trên M. Thật vậy, với ( ) ( ) , , , ;X X Y Y B M F M φ ′ ′ ∀ ∈ ∈ . Ta có: ( ) [ ] [ ] [ ] ' 1 1 1 1) n n n X i i i i i i i i Y Y X Y Y E X Y E X Y E = = = ′ ′ ∇ + = + + + ∑ ∑ ∑ = .YY XX ′ ∇+∇ ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 1 1 1 2) . n n n X X i i i i i i i i i X X Y X X Y E X Y E X Y E Y Y ′ + = = = ′ ′ ′ ∇ = + = + = ∇ + ∇ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) [ ] [ ] 1 1 3) . n n X i i i i Y i i Y X Y E X Y E Z φ φ φ φ = = ∇ = = = ∇ ∑ ∑ ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 4) . n n X i i i i i i i n n i i i i i i X Y X Y E X Y Y X E X Y E X X Y E Y X Y φ φ φ φ φ φ φ φ = = = = ∇ = = + = + = ∇ + ∑ ∑ ∑ ∑ 1.2. Liên thông Levi-Civita trên đa tạp nửa Riemann 1.2.1. Định nghĩa Giả sử ánh xạ : ; p g p g→ trong đó MpRMTMTg PPp ∈∀→× ;: là dạng song tuyến tính và g thoả mãn: 5 1. g phụ thuộc vào p một cách khả vi (nghĩa là g (X, Y) (p) = g p (X p , Y p ) là hàm khả vi theo p, với mỗi cặp trường vectơ X, Y ). 2. g p đối xứng p M∀ ∈ . 3. g p không suy biến p M ∀ ∈ . 4. g p có chỉ số hằng p M ∀ ∈ . Khi đó g được gọi là mêtric nửa Riemann trên M. Đa tạp (M, g) được gọi là đa tạp nửa Riemann. Chú ý: + Khi g p xác định dương, Mp ∈∀ ta nói g là mêtric Riemann. Đa tạp (M, g) được gọi là đa tạp Riemann. + Khi g p không xác định dương, mọi p thuộc M ta nói g là mêtric giả Riemann. Đa tạp (M,g) gọi là đa tạp giả Riemann có chỉ số 1. 1.2.2. Ví dụ Trong 3 1 R với mêtric thông thường ta xét ( ) { } ( ) 322211321 3 1 ,,,, yxyxyxyxgRxxxxxR i −+=∈= . Khi đó ( 3 1 R , g) là đa tạp giả Riemann 1.2.3. Định nghĩa Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên đa tạp nửa Riemann M. Khi đó, ∇ được gọi là liên thông Levi- Civita nếu ∇ thoả mãn 2 điều kiện sau: 1. Độ xoắn T = 0 (nghĩa là [ ] ( ) MBYXXYYX YX ∈∀∇−∇= ,;, ) 6 2. Với mọi trường vectơ X, Y, Z trên M thì 0 =∇ g (nghĩa là Zg (X, Y) = g( ),YX Z ∇ + g(X, )Y Z ∇ ) 1.2.4. Ví dụ Giả sử M là đa tạp Riemann khả song n - chiều với trường mục tiêu trực chuẩn { } 1 , n E E (tức là g(E i , E j ) = ij δ với 1 = ij δ nếu i = j ; ij δ = 0 nếu i j ≠ ). Với X = 1 n i i i X E = ∑ ; Y = 1 n j j j Y E = ∑ . Ta đặt Y X ∇ = [ ] 1 n i i i X Y E = ∑ Khi đó, ∇ là một liên thông Levi- Civita trên M. Thật vậy theo ví dụ 1.1.2 ta đã chứng minh ∇ là liên thông tuyến tính. Bây giờ ta sẽ kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Levi- Civita 1. [ ] [ ] [ ] [ ] ,X Y X Y Y X ϕ ϕ ϕ     = −     ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1 n n 1 1 n n X Y E Y E Y X E X E ϕ ϕ     = +…+ − +…+     [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1 n n i i i i X Y i i X Y E Y X E Y X ϕ ϕ ϕ ϕ = =   = − = ∇ − ∇      ∑ ∑ [ ] ,X Y⇒ = Y X ∇ - X Y ∇ 2. Do ∑ = = n i ii EXX 1 ; ∑ = = n j jj EYY 1 ; ( ) 1 1 . n n i i i j i i i i X Y X Y E E X Y = = = = ∑ ∑ Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 1 1 . . n n i i i i i i i i Z X Y Z X Y Z X Y Z Y X = = = = + ∑ ∑ 7 [ ] [ ] 1 1 n n i i i i i i Z X Y Z Y X = =   = +  ÷   ∑ ∑ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 2 2 1 1 . . n n n n Z X Y Z X Y Z X Y Z Y X Z Y X= + + + + + + = [ ] ( ) 1 1 . n n i i i i i i Z X E Y E = = + ∑ ∑ [ ] ( ) 1 1 . n n i i i i i i Z Y E X E = = ∑ ∑ = [ ] ( ) 1 . n i i i Z X E Y = + ∑ [ ] ( ) 1 . n i i i Z Y E Y = ∑ = . Z X Y∇ + YX Z ∇ . Vậy [ ] . . . Z Z Z X Y X Y Y X= ∇ + ∇ . 1.2.5. Định lí. Xem [1] Cho (M,g) là đa tạp nửa Riemann với liên thông tuyến tính ∇ . Khi đó liên thông ∇ là liên thông Riemann g ∇⇔ = 0 (nghĩa là X [g(Y,Z) ] = g( , ) ( , ) X X Y Z g Y Z∇ + ∇ ) 1.2.6. Định lí. (Định lí cơ bản của hình học Riemann) Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann, khi đó tồn tại duy nhất một liên thông tuyến tính Levi- Civita trên M. Chứng minh: Giả sử X,Y ∈ B(M). Ta xác định Y X ∇ bởi phương trình sau g( Y X ∇ , Z) = 2 1 [X[g(Y, Z) ] + Y[g(Z, X) ] - Z[g(X,Y) ] + g([X,Y],Z) + g([Z, X], Y) + g(X, [Z, X]) ] ∀ Z ∈ B(M) (1) Kiểm tra trực tiếp thấy ánh xạ (X, Y)  Y X ∇ thoả mãn các điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính. Vậy ∇ là liên thông tuyến tính trên M. Do công thức (1) ta có 8 g(T(X,Y), Z) = 0 ∀ Z ∈ B(M). Từ đó T(X,Y) = 0. Nghĩa là liên thông ∇ không có độ xoắn. Để chứng minh ∇ là liên thông Riemann, ta xét X, Y, Z bất kì ∈ B(M). Do (1) ta thu được: X[g(Y, Z) ] = g( , ) ( , ) X X Y Z g Y Z∇ + ∇ . Áp dụng định lí 1.2.4 ta có ∇ là liên thông Riemann. Để chứng minh tính duy nhất, ta chứng tỏ rằng nếu ∇ thoả mãn điều kiện (1-1) và có tenxơ xoắn T = 0 thì nó thoã mãn phương trình (1). Thật vậy từ (1) ta có ( ) ( ( ) ( ) , , , X X X g Y Z g Y Z g Y Z   = ∇ + ∇   (2) ( ) ( ) ( ) , , , Y Y Y g Z X g Z X g Z X= ∇ + ∇    (3) ( ) ( ) ( ) , , , Z Z Z g X Y g X Y g X Y= ∇ + ∇    (4) Do T (X, Y) = Y X ∇ - X Y ∇ - [X, Y] = 0 nên ta có ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) , , , , , , , X Y Z g X Y g Y Y g Z X Y g X Z g X Z Y= ∇ + + ∇ +    (5) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) , , , , , Y X Y g Z X g Z X g Z X g XZ Y X= ∇ + ∇ +    (6) Cộng vế theo vế (2) và (6) ta được ( ) ( ) ( ) 1 , , , 2 X g Y Z X g Y Z Y g Z X  ∇ = +         - ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) , , , , , , ,Z g X Y g X Y Z g Z X Y g X Z X Z B M+ + + ∀ ∈    Đây chính là đẳng thức (1), tính duy nhất được chứng minh. 9 II. ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP CON Giả sử (M, g) là đa tạp con n- chiều của đa tạp Riemann m- chiều ( ) ,M g . Kí hiệu ∇ , ∇ tương ứng là liên thông Levi-Civita của M và M. ⊥ ∇ là liên thông pháp dạng. Ta thường kí hiệu tích vô hướng , thay cho mêtric g và g. Với mỗi p ∈ M không gian tiếp xác T p M được phân tích thành tổng trực tiếp T p M = T p M ⊕ ⊥ )( MT p . Trong đó ⊥ )( MT p là phần bù trực giao của T p M trong không gian T p M Kí hiệu: N(M) = ⊥ ∈ )( MT p Mp  v ới ∀ X,Y ∈ B(M) Ta luôn có: ( ) ( ) T X X X Y Y Y ⊥ ∇ = ∇ + ∇ (2.1) 2.1. Dạng cơ bản thứ 2 Định nghĩa Ánh xạ II: B(M) x B(M)  → (B(M)) ⊥ được xác định bởi II(X,Y) = ( ) X Y ⊥ ∇ được gọi là dạng cơ bản thứ 2 của M Nhận xét: II là dạng song tuyến tính đối xứng. 2.1.2. Định lí (công thức Gauss) Với ∀ X,Y ∈ B(M) ta có: ( ) , X X Y Y II X Y∇ = ∇ + (2.2) Công thức (2.2) gọi là công thức Gauss 10