Về các dạng symplectic và các dạng đa tạp con lagrangian

bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh -_______________________________ thái hoài sơn về các dạng Symplectic và các dạng đa tạp con Lagrangian luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: hình học-tôpô Mã số 1.01.05 Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Duy Bình ______________________________________________________________ vinh 2003 1 mục lục Trang Lời nói đầu 3 Đ 1. Không gian vectơ symplectic 5 1.1. ánh xạ song tuyến tính phản xứng 5 1.2. Không gian vectơ symplectic 7 Đ 2. Dạng symplectic trên đa tạp 15 2.1. Đa tạp symplectic 15 2.2. Phân thớ đối tiếp xúc 16 2.3. Các dạng đúng và chính tắc 17 2.4. Toạ độ tự do 18 2.5. Tính tự nhiên của dạng đúng và dạng chính tắc 19 Đ 3. ánh xạ symplectic 20 3.1. Định nghĩa và ví dụ 20 3.2. Đồng cấu symplectic 23 Đ 4. Đa tạp con Lagrangian 25 4.1. Đa tạp con 25 4.2. Định nghĩa không gian con Lagrangian 25 4.3. Đa tạp con Lagrangian của T * X 25 4.4. Phân thớ đối pháp dạng 32 4.5. ứng dụng của ánh xạ symplectic 33 Tài liệu tham khảo 36 Lời nói đầu Cách đây 2 thế kỷ hình học symplectic đã cung cấp ngôn ngữ cho cơ học cổ điển và nó phát triển mạnh vào những năm 1970 với các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học mà tiêu biểu là Weinstein, Gromov, Donaldson, . 2 Hình học symplectic là hình học của đa tạp symplectic, tính chất hình học trên đa tạp symplectic đợc mô tả bởi tích vô hớng phản xứng và không suy biến (dạng song tuyến tính phản xứng và không suy biến). Các khái niệm cơ bản của hình học symplectic nh: Không gian vectơ symplectic, các dạng symplectic, ánh xạ symplectic, đa tạp con Lagrangian, các phép tính vi phân, tích phân trên đa tạp symplectic đã đợc đa vào trong chơng trình đào tạo của một số trờng Đại học ở Anh, Đức . Tuy nhiên trong chơng trình đào tạo của hệ Đại học và Cao học thạc sĩ, chúng tôi không đợc học về hình học symplectic, bên cạnh đó hình học symplectic lại là phân ngành của Hình học- Tôpô. Vì vậy trong luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến một số khái niệm cơ bản nhất mở đầu cho việc nghiên cứu về hình học symplectic, đó là: Không gian vectơ symplectic, các dạng symplectic, ánh xạ symplectic và các dạng đa tạp con Lagrangian. Luận văn đợc chia làm bốn mục: Đ1. Không gian vectơ symplectic Đ2. Dạng symplectic trên đa tạp Đ3. ánh xạ symplectic Đ4. Đa tạp con Lagrangian ở Đ1 chúng tôi chọn lọc, đa ra các khái niệm cơ bản của ánh xạ song tuyến tính phản xứng, đồng thời chúng tôi tập hợp và đa ra một số tính chất của không gian vectơ symplectic dới dạng mệnh đề. Trong Đ2 chúng tôi đa ra định nghĩa và ví dụ của đa tạp symplectic, định nghĩa dạng đúng , dạng chính tắc trên T * U (trong đó: (U , x 1 , x 2 , ., x n ) là bản đồ trên đa tạp X có n- chiều), đồng thời chứng minh một số tính chất của dạng đúng và dạng chính tắc . Nội dung chính đợc trình bày ở Đ3 là định nghĩa, ví dụ về ánh xạ symplectic. Ngoài ra chúng tôi bổ sung thêm tính chất của đồng cấu symplectic 3 và quan hệ giữa nhóm các vi phôi của đa tạp X ( Diff(X) ) và nhóm các đồng cấu symplectic của ( M, ) ( sympl(M, )). Cuối cùng trong Đ4 chúng tôi nêu ra định nghĩa không gian con Lagrangian, định nghĩa và ví dụ về đa tạp con Lagrangian của T * X (X là đa tạp n-chiều). Chứng minh một số tính chất của không gian con Lagrangian, đồng thời đa ra một số dạng đa tạp con Lagrangian Vì năng lực có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp lợng thứ và vui lòng sửa chữa cho. Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ, động viên chỉ bảo hết sức tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình và các thầy, cô giáo trong chuyên ngành Hình học- Tôpô, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn đối với sự chỉ bảo đó. Vinh,ngày tháng năm 2003 Tác giả Đ1. Không gian vectơ Symplectic 1.1. ánh xạ song tuyến tính phản xứng. 4 1.1.1. Định nghĩa: Giả sử V là không gian vectơ m- chiều trên R và RV x V : là ánh xạ song tuyến tính. Khi đó ta định nghĩa là phản xứng nếu: (u,v) = -(v,u), u, v V 1.1.2. Ví dụ. V = R 2 , : RV x V ( ) )y,(y ),x,(x 2121 21 21 y y xx Trong đó: vectơ V)x,x(x 21 , vectơ V)y,y(y 21 Khi đó: là ánh xạ song tuyến tính phản xứng. Chứng minh: Trong V lấy các vectơ: )y,y(y),x,x(x 2121 , )y,(yy'),x,(xx' ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 Khi đó vectơ )xx,xx( x'x ' 22 ' 11 +++ vectơ )yy,yy( y'y ' 22 ' 11 +++ Ta có: ( ) 21 ' 22 ' 11 yy xxxx y,x'x ++ =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y,x'yx, yxyxyxyx yxxyxx 1 ' 22 ' 11221 1 ' 222 ' 11 += += ++= ( ) ' 22 ' 11 21 yyyy xx y'yx, ++ =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y'x,yx, xyxyxyx yyxyyx ' 12 ' 211221 ' 112 ' 221 += += ++= y Vậy là ánh xạ song tuyến tính 5 ( ) yx, ( ) xy, xx y y y y xx 21 21 21 21 === Vậy là ánh xạ song tuyến tính phản xứng. 1.1.3. Định lý. (Dạng tiêu chuẩn cho ánh xạ song tuyến tính phản xứng) (xem [1]). Giả sử cho là ánh xạ song tuyến tính phản xứng trên V. Khi đó có cơ sở: {u 1 , u 2 , .,u k , e 1 , e 2 , ., e n , f 1 , f 2 .f n } của V sao cho: 1) Vv ,ki,,v)(u i == và 1 0 2) n1, j , n1, ==== , ),(0),( iffee jiji 3) n1, ji, == , ),( ijji fe Chứng minh. Giả sử U = {uV/(u,v) = 0, v V}, chọn cơ sở của U là: {u 1 , u 2 , .,u k } và chọn phần bù của U trong V là W: V = UW. Khi đó nếu lấy bất kỳ e 1 W và e 1 0 , ta có f 1 W sao cho: (e 1 ,f 1 ) 0. Giả sử rằng (e 1 , f 1 ) = 1 và W 1 là không gian sinh bởi e 1 , f 1 ( W 1 = <e 1 , f 1 >). Ký hiệu: { } 11 Wv0,v),(W W == .Ta cần chứng minh: 11 WWW = Giả sử 111 1 W Wbf aev += .Khi đó: 0v a)f(v,0 b)e(v,0 1 1 = == == 6 Do đó: 1 W 1 W = {0} Giả sử d)f, (v c)e , (v : W v 11 == và có Khi đó )decf (v )de(-cf v 1111 +++= Vì ++ 111111 W )de - cf v W )de cf ( , ( v W 1 1 W . Vậy W = W 1 1 W . Ta lại tiếp tục giả thiết rằng 0 e , W e 2 12 , ta có sao cho , ><== 22222 f , e và W1 )f (e , . Quá trình này sẽ dừng lại vì dim V < . Do đó chúng ta có: ,W .WWUV n21 = trong đó tất cả các số hạng đều trực giao đối với và i W có cơ sở {e i , f i } với (e i , f i ) = 1. Chiều của không gian con U={u |V (u,v) = o, v V } không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở. k = dim U là bất biến của ( V, ) từ đó k + 2n = m = dim V n là bất biến của ( V, ); 2n đợc gọi là hạng của . 1.2. Không gian vectơ symplectic. Giả sử V là không gian vectơ m - chiều trên R và : RVxV là ánh xạ song tuyến tính phản xứng. 1.2.1. Định nghĩa: ánh xạ VV: ~ là ánh xạ tuyến tính đợc xác định bởi R}V :{V , Vuu),(v,(v)(u) ~ == f tính tuyếnxạ ánh . Hạt nhân của ~ là không gian U trong chứng minh mục 1.1.3 1.2.2. Định nghĩa: ánh xạ song tuyến tính phản xứng là symplectic (hoặc không suy biến) nếu ~ là song ánh, tức là: U = {0}. ánh xạ khi đó đợc gọi là cấu trúc symplectic tuyến tính trên V, và (V, ) đợc gọi là không gian vectơ symplectic. 1.2.3. Tính chất của ánh xạ symplectic . 1) Tính đối ngẫu: ánh xạ VV: ~ là song ánh 7 12 W f 0 )f ,(e 22 2) Theo định lý 1.1.3 : k = dim U = 0 nên dim V = 2n 3) Theo định lý 1.1.3 : không gian vectơ symplectic (V, ) có cơ sở {e 1 , e 2 , .,e n , f 1 , f 2 , .,f n } (*) thoả mãn: (e i , f j ) = ij (e i , e j ) = 0 = (f i , f j ). Cơ sở (*) gọi là cơ sở symplectic của (V, ). Đối với cơ sở symplectic, ta có: [ ] = | v | 0Id Id0 uv)(u, 1.2.4. Định nghĩa: Cho không gian vectơ symplectic (V, ). Không gian con W đợc gọi là symplectic nếu W | là không suy biến. Từ định nghĩa ta có: W là không gian symplectic con biến suy không | V W W Ví dụ: W = <e 1 , f 1 >. Khi đó: Ta có W V W | = (e 1 , f 1 ) = 1 Vậy W là không gian symplectic con. 1.2.5. Mệnh đề: Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian vectơ symplectic (V, ), trực giao symplectic Y của nó là không gian con tuyến tính đợc xác định bởi: Y = { } Y u 0, u) (v,| V v = Khi đó ta có: 1) dim Y + dim Y = dim V 2) ( ) YY = 3) Nếu Y và W là không gian con. Khi đó: Y W W Y 8 4) Y là symplectic (nghĩa là YxY | không suy biến) Y Y = {0} V=Y Y . Chứng minh. 1) Giả sử V có cơ sở {e 1 , e 2 , .,e n } , Y có cơ sở {e 1 , e 2 , .,e m } (m<n) Khi đó: = = m 1i ii exxYx = = n 1j jj ecvVv Xét ánh xạ: R)Hom(Y,YV: = Y |v),(v Vì Y * là không gian đối ngẫu của Y nên: dim Y = dim Y * . Lấy bất kỳ fY * , Khi đó với x Y ta có: = = m 1i ii ).f(exf(x) ta xét phơng trình: (x,v) = f(x) , x Y . =+= == =+ m 1i iiji n 1mj m 1i ji m 1ji, jiji )f(ex)e,(ecx)e,(ecx Chọn ),0,0, .,0(1,0, .,x nm ta có = = n 1j 1j1j )f(e)e,(ec Chọn )0,0, .,0(0,1, .,x nm ta có = = n 1j 2j2j )f(e)e,(ec Chọn )0,0, .,1(0,0, .,0x n m ta có = = n 1j mjmj )f(e)e,(ec Từ đó ta có hệ m phơng trình: 9 = = = = = = n 1j mjmj n 1j 2j2j n 1j 1j1j )f(e)e,(ec )f(e)e,(ec )f(e)e,(ec (1) Ta đặt các vectơ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )e,(e), ,e,(e . )e,(e), ,e,(e )e,(e), ,e,(e )e,(e), ,e,(e )e,(e), ,e,(e nn1nn n1m11m1m nm1mm n2122 n1111 +++ Giả sử hệ vectơ { } m21 , .,, phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ { } n1mm21 , .,, .,, + phụ thuộc tuyến tính. Do đó ma trận ++ )e,(e )e,(e . )e,(e ) e,(e )e,(e )e,(e . )e,(e )e,(e )e,(e )e,(e nn1n n1m11m nm1m n212 n111 suy biến. Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy hệ vectơ { } m21 , .,, độc lập tuyến tính. 10 . 3.2. Đồng cấu symplectic 23 Đ 4. Đa tạp con Lagrangian 25 4.1. Đa tạp con 25 4.2. Định nghĩa không gian con Lagrangian 25 4.3. Đa tạp con Lagrangian của. việc nghiên cứu về hình học symplectic, đó là: Không gian vectơ symplectic, các dạng symplectic, ánh xạ symplectic và các dạng đa tạp con Lagrangian. Luận