Không gian con lagrăng và đa tạp con grassman lagrăng

Mở đầu Từ cách đây 2 thế kỷ, hình học symplectic đã cung ngôn ngữ cho cơ học cổ điển và nó phát triển mạnh vào những năm 1970 với các công trình nghiên cứu của nhiều nhà Toán học mà tiêu biểu là Wenrstem, Gromow, Taube, Đonalson Đến thời gian gần đây hình học symplectic đã trở thành một phần ngành của hình học Tôpô. Hình học symplectic là hình học của đa tạp symplectic, tính chất hình học trên đa tạp symplectic đợc mô tả bởi tính vô hớng, phản xứng và không suy biến (dạng song tuyến tính phân xứng và không suy biến). Các khái niệm cơ bản của hình học symplectic nh: Không gian vectơ symplectic, dạng symplectic, cấu trúc phức trên không gian symplectic, không gian con Lagrăng, đa tạp con Grassman Lagrăng, các khái niệm này đã trình bày trong nhiều tài liệu, các bài báo. Mục đích của luận văn này là tập trung các khái niệm này theo một trình tự và chứng minh một số tính chất của chúng. Luận văn có bố cục nh sau: Luận văn chia làm hai chơng . Chơng I: Không gian vectơ symplectic. Chơng này tập trung các khái niệm cơ bản nhất của hình học symplectic nh khái niệm dạng symplectic và không gian vectơ symplectic nhằm phục vụ cho chơng sau. Chơng I chia làm hai phần. Phần 1. Không gian vectơ symplectic Phần 2. Cấu trúc phức tơng thích. Trong phần này ta chú ý đến 2 mệnh đề quan trọng, phục vụ nhiều trong các phần sau đó là mệnh đề 2.3 và mệnh đề 2.4. 1 Chơng II. Là chơng quan trọng nhất của luận văn, chúng đợc chia làm ba phần. Phần 1. Không gian con Lagrăng. Nội dung chính đợc trình bày là định nghĩa, các tính chất của không gian con Lagrăng. Tuy phần này có một số tính chất quan trọng đợc trình bày ở mệnh đề 1.2.2, mệnh đề 1.2.3, mệnh đề 1.2.4, mệnh đề 1.2.5. Ngoài ra trong phần này còn trình bày về khái niệm, tính chất quan trọng, đó là mệnh đề 1.3.5, hệ quả 1.3.6, nhận xét 1.3.7. Phần 2. Đa tạp con Grassman Lagrăng Phần này xây dựng cấu trúc đa tạp trên không gian G(V, n), và không gian (V) và khẳng định đợc một số tính chất quan trọng nh G(V, n), (V) có cấu trúc đa tạp liên thông tách đợc có chiều lần lợt là n 2 và n(n 1) 2 + hơn thế nữa (V) còn là đa tạp con của G(V, n). Phần 3. Không gian con Lagrăng đặc biệt trên không gian symplectic. Đa vào tập hợp các không gian con Lagrăng một tích vô hớng tơng thích với cấu trúc phức và tách ra đợc một lớp các không gian con Lagrăng đặc biệt. Khi xét không gian symplectic C n ta thấy tập các Lagrăng đặc biệt trong C n cùng với Lagrăng R n trùng với tập các Lagrăng đặc biệt của C n theo nh đã biết trong hình học định cỡ và từ đó có tính chất trong hình học định cỡ và đa tạp con compact định hớng n chiều Lagrăng đặc biệt có thể tích bé nhất trong các lớp cùng biên. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Duy Bình. Tác giả xin bày tỏ lời biết ơn sâu sắc tới thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hớng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. 2 Tác giả cũng xin chân thành cám ơn PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang, TS. Phạm Ngọc Bội, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Đào tạo Sau đại học và các học viên Cao học XI Toán đã thờng xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 12 năm 2005 Tác giả 3 Chơng I không gian vectơ symplectic Phần 1. Dạng Symplectic và không gian vectơ Symplectic 1.1. ánh xạ song tuyến tính, phản xứng. 1.1.1. Định nghĩa: Giả sử V là không gian vectơ m - chiều trên R và : V x V R là ánh xạ song tuyến tính. Khi đó ta định nghĩa là phản xứng nếu : (u, v) = - (v, u) u, v V. 1.1.2. Ví dụ. V = R 2 : V x V R ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) 1 2 1 2 x x y y Dễ thấy + là song tuyến tính + ((y 1 , y 2 ), (x 1 , x 2 )) = 1 2 1 2 y y x x = - 1 2 1 2 x x y y = - ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) Vậy là song tuyến tính, phản xứng 1.1.3. Định lý. (Dạng tiêu chuẩn cho ánh xạ song tuyến tính, phản xứng) Giả sử là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng trên V. Khi đó có cơ sở {u 1 , u 2 , , u k , e 1 , e 2 e n , f 1 , f 2 f n } của V sao cho: + (u i , v) = 0 i = 1,n v V + (e i , e j ) = 0= (f i , f j ) với i, j = 1,n + (e i , f i ) = ij i, j = 1,n 4 Chứng minh. Trớc hết ta định nghĩa u v (u, v) = 0 Xét U V và U = {u|u v v V} . Rõ ràng U ( U). Giả sử dim U = k (k m) trong U có cơ sở {u 1 , u 2 , , u k }. Đặt: V = U W; dim W = m - k. Lấy e 1 W e 1 0 lúc này tồn tại 1 f W sao cho (e 1 , 1 f ) 0 (Vì nếu giả sử không tồn tại 1 f để (e 1 , 1 f ) 0 thì : (e 1 , 1 f ) = 0 1 f W (e 1 , v) = 0 v V e 1 U (mâu thuẫn tính chất V = U W) Đặt (e 1 , 1 f ) = 0 (e 1 , 1 f ) = 1 đặt f 1 = 1 f . (1) Ta chứng minh {e 1 , f 1 } độc lập tuyến tính. Giả sử ngợc lại ta có : f 1 = e 1 (f 1 , e 1 ) = (e 1 , e 1 ) = (e 1 , e 1 ) = 0 (mâu thuẫn với (1)). Đ ặt W 1 = <e 1 , f 1 > Xét 1 W = {| v v W 1 }. Ta sẽ chứng minh W = W 1 1 W * W 1 1 W = {} Giả sử W 1 1 W ( ) 1 1 W ,v 0 v W = Do W 1 nên = ae 1 + bf 1 Vậy (, 1 ) = (ae 1 +bf 1 , e 1 ) =- b = 0 (, f 1 ) = (ae 1 +bf 1 , f 1 ) = a = 0 Tức = * v W đặt (v, e 1 ) = - b, (v, f 1 ) = a 5 Vậy thì v = (ae 1 + bf 1 ) +(v - ae 1 - bf 1 ) + Rõ ràng ae 1 + bf 1 W 1 + Lại có (v - ae 1 - bf 1 , e 1 ) = (v,e 1 ) +b (e 1 , f 1 ) = - b + b = 0 (v ae 1 - bf 1 , f 1 ) = (v, f 1 ) - a (e 1 , f 1 ) = a - a = 0 Suy ra v - ae 1 - bf 1 1 W Tức v W luôn phân tích v = v 1 + v 2 Trong đó v 1 W 1 v 2 1 W Thông qua các chứng minh trên cho ta W = W 1 1 W Nh vậy V = U W 1 1 W Tiếp tục lấy e 2 , f 2 1 W mà (e 2 , f 2 ) = 1 Lý luận tơng tự nh trên và có hữu hạn lần nh vậy cuối cùng ta đợc : V = U W 1 W n Ta sẽ có cơ sở {u 1 , u 2 , , u k , e 1 , e 2 e n , f 1 , f 2 f n } thoả mãn định lý. 1.1.4. Chú ý. - Cơ sở xác định trên là không duy nhất - Cơ sở này đợc gọi là cơ sở chính tắc - Ma trận A(a ij ) mà a ij = ( i , j ) Trong đó i , j thuộc cơ sở chính tắc A = 0 0 0 0 0 id 0 id 0 - (u, v) = [u] * A[v] trong đó u, v V 1.2. Không gian vectơ symplectic Giả sử là dạng song tuyến tính, phản xứng trên V. Ký hiệu V * ={f|f tuyến tính V Ă } (Không gian đối ngẫu của không gian V, dim V * = dimV) Ký hiệu % : V V * , v % v 6 1.2.1. Nhận xét. i, % với cách xác định nh đã nói trên là tuyến tính. ii, Ker % = { } v v V = % = U iii, % là song ánh (đẳng cấu) U = {} 1.2.2. Định nghĩa. ánh xạ song tuyến tính đợc gọi là dạng symplectic nếu là phản xứng và % với cách xác định nh trên là song ánh. ánh xạ khi này còn đợc gọi là cấu trúc symplectic và (V, ) đợc gọi là không gian symplectic. 1.2.3. Chú ý: + Khi V là không gian vectơ symplectic % là song ánh U = 0 Vậy dim V = 2n + Khi V là không gian vectơ symplectic A = 0 I I 0 1.2.4. Định nghĩa. Cho không gian vectơ symplectic (V, ) i) Không gian con W của V đợc gọi không gian con symplectic nếu | W không suy biến. ii) Không gian con Y đợc gọi là đẳng hớng nếu | Y = 0 . iii) Trực giao symplectic Y của Y đợc xác định: Y = {v V| (v, u) = 0, u Y}. Thế thì không gian con Y đợc gọi là đối đẳng hớng nếu Y Y . 1.2.5. Mệnh đề. Cho Y là không gian tuyến tính của không gian vectơ symplectic (V, ) khi đó ta có: i) dim Y + dimY = dim V ii) (Y ) = Y 7 iii) Nếu Y và W là không gian con, khi đó: Y W W Y iv) Y là symplectic (nghĩa là | Y xY không suy biến) Y Y = {} V = Y Y Chứng minh. i) dimY + dimY = dimV. Giả sử trong V có cơ sở {e 1 , e 2 e n }. Trong Y có cơ sở {e 1 , e 2 e m } (m < n). Xét v Y v = m i i i 1 v e = Xét : V Y * (Y * đối ngẫu của Y) (v) (.,v) (do dim Y = m dimY * = m) Ta chứng minh là toàn ánh . Thật vậy: f Y * xét phơng trình (x, v) = f(x), x Y; x(x i ) m m m i j i j i i i 1 i 1 i 1 x v (e ,e ) x f (e ) = = = = ữ Lấy lần lợt x m 1,0,0 .0, 0 .0 ữ ữ 14 2 43 V x m 0,1,0 .0, 0 .0 ữ ữ 14 2 43 V x m 0,0 .1, 0 .0 ữ ữ 1 2 3 V thế vào phơng trình trên 8 Cho ta hệ m j 1 j 1 j 1 m j m j m j 1 v (e ,e ) f (e ) . . v (e ,e ) f (e ) = = = = Đặt i = ((e 1 , e 1 ), (e i , e 2 ) , (e i , e m )) i = 1,n. Giả sử hệ { 1 , 2 . m } phụ thuộc tuyến tính thì hệ { 1 , 2 . m , m+1 , n } phụ thuộc tuyến tính Do đó ma trận 1 1 1 n 2 1 2 n m 1 m n n 1 n n (e ,e ) . (e ,e ) (e ,e ) . (e ,e ) . (e ,e ) . (e ,e ) . (e ,e ) . (e ,e ) suy biến. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy hệ { 1 , 2 . m } độc lập tuyến tính. Hay 1 1 1 n m 1 m n (e ,e ) . (e ,e ) . . (e ,e ) . (e ,e ) có hạng = m Vậy hệ phơng trình (1) luôn có nghiệm Chứng tỏ rằng f Y * luôn v V: (x, V) = f(x) x Y là toàn ánh dim V = dim (V) + dim(ker) 9 = dimY * + dimY = dimY + dimY (đpcm) ii) Ta có (Y ) = {w V|(w, v) = 0 v Y } do là song tuyến tính phản xứng và v Y v V do đó (w, v) = - (v, w) = 0 hay (v, w) = 0 Suy ra (Y ) = {w V|(w, v) = 0 v Y } = {w V|(v, w) = 0 v Y } = Y iii) Chứng minh Y W W Y Lấy bất kỳ v W (v, u) = 0 u W mà Y W (v, u) = 0 u Y v Y W Y Ngợc lại nếu W Y Y W u Y (u, v) = 0 v Y (u,v) = 0 v Y (do W Y ) u W vậy Y W iv) a. Chứng minh Y là symplectic Y Y = {} Nếu Y là symplectic giả sử V có cơ sở {e 1 , e 2 e n } Y có có sở {e 1 , e 2 e m } suy ra ma trận A Y = 1 2 m m m 1 m m (e ,e ) . (e ,e ) . . (e ,e ) . (e ,e ) là không suy biến . Giả sử v Y Y (u, v) = 0 u Y. Giả sử u(u i ) và v(v j ) với cơ sở của Y 10 . symplectic nh: Không gian vectơ symplectic, dạng symplectic, cấu trúc phức trên không gian symplectic, không gian con Lagrăng, đa tạp con Grassman Lagrăng, các. nhận xét 1.3.7. Phần 2. Đa tạp con Grassman Lagrăng Phần này xây dựng cấu trúc đa tạp trên không gian G(V, n), và không gian (V) và khẳng định đợc một số